组合型三角函数的单调性,最值,极值,零点,图象问题讲义-2024届高三数学二轮复习

组合型三角函数的单调性,最值,极值,零点,图象问题 三角函数是高中的重要内容,也是高考重点考查的知识点.试题很少出现单一的三角函数,往往是组合型(函数解析式由结合加减乘除构成).此类试题以组合型三角函数为载体,综合考查三角函数的单调性,最值,极值,零点,图象等问题,以此考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力,深受命题者青睐. (1)单调性问题 例1.若在是减函数,则的最大值是 解析:. 则在上恒成立.即在上恒成立. 结合的图像可知,的最大值是. (2)最值问题 例2.已知,求的最小值 解析:. 令,得,即,. 令,得, 即或,. 因此当,时取到最小值. 此时. (3)极值(点)问题 例3.若函数在上有两个极值点,求的取值范围. 解析:.令,由于,所以. 此时有.画出,和,的图象.如图(1),(2). 当时,由图(2)可知,此时不符合题意; 当时,由图(2)可知,由图(1)可知此时有两个极值点,符合题意. 当时,由图(2)可知,由图(1)可知此时有四个极值点,不符合题意. 当时,由图(2)可知,此时不符合题意; 图(1) 图(2) 综上,. 例4.已知函数()在区间内没有极值点,则的取值范围是 A B C D 解析:,,显然,解得. .由已知有或. 当时, . 因为,所以. 令得,结合得. 当时, . 因为,所以. 令得,结合得. 综上,有的取值范围是. (4)零点问题 例5.已知函数,若在区间和区间内各有一个零点,则的取值范围是 A B C D 解析:令,得.令,问题转化成在区间和区间内各有一个零点.显然为偶函数,因此只需考查在这个区间内的零点情况即可.当时,恒成立,无零点.当时,,故在单调递减.又,,所以在存在唯一的一个零点.结合为偶函数,可知在也存在一个零点.因此符合题意. 例6.已知函数,则函数在上的所有零点之和为 解析:令,易知的图象关于点中心对称. . 令,由得. 故. 当时,,即在和单调递增; 当时,,即在单调递减. ,,,,. 令,则,的图象关于点中心对称. 画出和的图象.如图(3)所示 图(3) 设交点分别为.则,,故函数在上的所有零点之和为. (5)图象问题 例7.已知函数,,.若在上的最大值为,求的值. 解析:,. 当时,,单调递增; 当时,,单调递减; 所以的最大值为. 显然,,,. 易知函数的图象关于直线对称. 结合的图象可得符合题意的图象如图(4). 图(4) 故. 例8.已知函数,如果当时,函数的图象恒在的下方,则的取值范围是 A B C D 图(5) 解析:,,即曲线在处的切线斜率为.画出的图象(如图(5)),可知. 练习: 练习1:函数在区间上单调递增,求实数的取值范围. 解析:. 令, 整理得. 令,只需. 又. 所以. 练习2:已知函数,下列结论中错误的是 A.的图像关于点中心对称 B.的图像关于直线对称 C.的最大值为. D.既是奇函数又是周期函数. 解析: . 令,.则. 令,得,. 当时,,在单调递减. 当时,,在单调递增. 当时,,在单调递减. 又,,所以的最大值为. 故C答案错误. 练习3:设函数,则下列是函数极小值点的是 A B C D 解析:.令,得或. 画出和的图象(如图(6)),结合图象及的正负可知函数极小值点的是. 图(6) 练习4:已知函数的图象与直线()恰好有三个公共点,这三个点的横坐标从小到大分别为,则的值为 A B C D 解析: 直线()过定点,斜率为.设函数的图象与直线的交点分别为,,显然两点关于点对称,则,., ,整理得,即, 故. 学科网（北京）股份有限公司 $$