第2章 轴对称图形（单元测试·培优卷）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

第2章 轴对称图形（单元测试·培优卷） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列安全指示牌分别代表“禁止攀爬”“禁止高空抛物”“注意安全”“注意摔滑”，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，，，则图中的等腰三角形的个数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，为内一点，平分，，，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 5．如图，直线，等边的顶点在直线上，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（　　） A． B． C． D． 7．在四边形中，，点为对角线的中点，，，连接，，，则（    ） A．25° B．22° C．30° D．32° 8．如图，，，，若，则与间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在中，为一个钝角，交于点D，点E在上，且，．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，点是线段上一动点，连接，，，，连接．当时，线段的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．如图，与关于直线l对称，且，，则的度数是 ． 12．如图，长方形沿折叠至点B，若，那么 °． 13．点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为 ．    14．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，，为，的中点，，，则的长为 ．    15．已知，在中，，于点D，于点E，若，则 ． 16．如图，已知是等边三角形，点为的中点，于点，作，交于点，若，则 17．如图，中，，且点在外，在的垂直平分线上，连接，若，，则 ． 18．如图，在中，，分别以、和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连接、和交于点P，则、、、中某三条线段存在等量关系是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）如图，在中，分别是上两点，与关于轴对称，交于点，已知． （1）求的度数． （2）若，求的度数． 20．（8分）如图，是AD中点，平分．   （1）若，求证：平分． （2）若，求证：． 21．（10分）如图，在中，平分，过点D作于M，的延长线于N，且． （1）求证：点D在的垂直平分线上； （2）若，，求的长． 22．（10分）如图，等腰△ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ． （1）证明：CP=CQ； （2）求∠PCQ的度数； （3）当点D是AB中点时，请直接写出△PDQ是何种三角形． 23．（10分）在中，，且的顶点E在边上移动，在移动过程中，边，分别与，交于点M，N， （1）当且M与A重合时，求证： （2）当E为中点时，连接，求证： 24．（12分）在中，，，点E、分别是，上的动点（不与，C重合），点是的中点，连接． （1）如图1，当时，请问与全等吗？如果全等请证明，如果不是请说明理由； （2）如图2，在（1）的条件下，过点作，垂足为，若，，请求的长； （3）如图3，当时，连接，若，，请求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】根据轴对称图形的定义判断选择即可．本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】 ∵不是轴对称图形， ∴不符合题意； ∵不是轴对称图形， ∴不符合题意； ∵ 是轴对称图形， ∴符合题意； ∵不是轴对称图形，， ∴不符合题意； 故选C． 2．B 【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等； A.由对称的性质得，由等腰三角形的性质得 ，，即可判断； B.不一定等于，即可判断； C.由对称的性质得，由全等三角形的性质即可判断； D. 过作，可得 ，由对称性质得同理可证，即可判断； 掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：A.， ， 由对称得， 点，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形， ，， ， ，结论正确，故不符合题意； B.不一定等于，结论错误，故符合题意； C.由对称得， ∵点 E ，F分别是底边的中点， ，结论正确，故不符合题意； D. 过作， ， ， ，由对称得， ， 同理可证， ，结论正确，故不符合题意； 故选：B． 3．D 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，根据三角形内角和分别计算出、、、、的度数，再根据等角对等边可判断出等腰三角形的个数，解题的关键是掌握等腰三角形的判定方法． 【详解】∵，， ∴和是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 同理是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 同理可得是等腰三角形， 综上所述，等腰三角形有个， 故选：． 4．A 【分析】延长与交于点，由题意可推出，依据垂线的定义，角平分线的定义和三角形的内角和定理，可证得为等腰三角形，于是可得，，根据，即可推出的长度． 【详解】解：如图，延长与交于点， ， ， ， ， ， 平分， ， 又， ， 为等腰三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，垂线的定义，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识点，正确作出辅助线，构建等腰三角形是解题的关键． 5．B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的外角性质，平行线的性质．根据等边三角形的三个角都是可得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和求出，根据两直线平行，内错角相等即可求解． 【详解】解：如图：，分别交直线于点，， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 6．C 【分析】本题考查三角形外角性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．先用三角形内角和求出，再用角平分线求出，由线段垂直平分线知，然后用外角性质求出，最后根据三角形的内角和求出． 【详解】解：在中，，， ， 由作图可知，平分，垂直平分， ，， ， ， 故选：C． 7．B 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，理解掌握这些知识点是解本题的关键．证明，可得，，可得，再利用等腰三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵，点为对角线的中点， ∴， ∴，， 在中，， 同理可得：， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 8．A 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等，等边对等角． 易得，通过证明得出，则，最后根据在中，，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 整理得：， 故选：A． 9．D 【分析】垂直得到，角的和差关系求出的度数，判断A，B；延长至点，使，连接，证明，得到，，根据，推出，进而得到，利用四边形的内角和为360 度，求出，根据三角形的外角判断C，角的倍数关系，判断D． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴；故选项A，B正确； 延长至点，使，连接，如图， 则：， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴， ∴；故选项D错误， ∵是的一个外角， ∴；故选项C正确； 故选D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角，多边形的内角和等知识点，解题的关键是添加辅助线，构造特殊图形和全等三角形． 10．B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质等知识点，找出点P和点F重合时，最小，最小值为的长度是解本题的关键． 如图：在上取一点E，使，连接，过点E作于F，由，证明，由全等三角形的性质得出，则当（点P和点F重合）时，最小，然后由含角的直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图：在上取一点E，使，连接，过点E作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 要使最小，则有最小，而点E是定点，点P是上的动点， ∴当（点P和点F重合）时，最小，即点P与点F重合，最小，最小值为的长度， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，故线段长度的最小值是1， 故选：B． 11．/54度 【分析】本题考查轴对称的性质、三角形内角和定理，根据轴对称的性质可得，，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由轴对称的性质得，，， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】此题考查了折叠，根据折叠得到即可． 【详解】解：∵长方形沿折叠至点B，， ∴， 故答案为： 13．/18度 【分析】连接，，根据正多边形的性质可证，得到，进而得到是的垂直平分线，即，根据多边形的内角和公式可求出每个内角的度数，进而得到，再根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】解：连接，，    ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵在正五边形中，， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查正多边形的性质，内角，全等三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，三角形的内角和定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 14．2 【分析】本题考查等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解答的关键．先证明得到，，再根据等角对等边得到，，设，由结合已知列方程求解x值即可． 【详解】解： 为，的中点， ，， 又， ，， ， ， ，， 设， ，， ，， ， 解得， ， 故答案为：2． 15．40 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质与判定，先根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质得出，再由于点可得出的度数，进而得出的度数，由线段垂直平分线的性质可得出，据此可得出结论． 【详解】解：在中，，， ． ， ， ， ． ，， 是线段的垂直平分线， ， ， ． 故答案为：40． 16． 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、平行线的性质、等边三角形的判定和性质，利用含角的直角三角形的性质求出的长，根据平行线的性质以及等边三角形的判定和性质求出的长即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵点为的中点，， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 17． 【分析】过作，交的延长线于，过作于，证明，得，求出的度数，则根据等腰三角形的内角和，可求出的度数． 【详解】解：如图，过作，交的延长线于，过作于， ∵点在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,含角直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题时要熟知等腰三角形的两个底角相等，需要作辅助线，构建全等三角形，利用全等三角形的对应角相等． 18． 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质； 证明，，可得，，求出，在上截取，连接，证明，再证，可得，进而可得． 【详解】解：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 如图，在上截取，连接， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 19．(1) (2) 【分析】（1）由轴对称的性质得，进而根据三角形的外角性质即可求解； （2）由（1）得，，再根据平行线的性质得，从而根据三角形的内角和定理即可得解． 【详解】（1）解： 与轴对称， ， 又， ； （2）解：由（1）得，， 又， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质、平行线的性质及折叠的性质，熟练掌握三角形的内角和定理、三角形的外角性质是解题的关键． 20．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，灵活做辅助线是解题的关键． （1）过点E作，垂足为H，根据角平分线性质可得，再由角平分线判定即可得出结论； （2）在上截取，连接．先证明可得，再证可得即可证明结论． 【详解】（1）证明：过点E作，垂足为H，    ∵平分，， ∴， 又∵是中点，即， ∴， ∵，， ∴：平分． （2）解：如图：在上截取，连接．   平分， ． 在和中， ， ，． 是的中点， ． 又， ， ， ， 在和中 ． ， ， ， ∴ 21．(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定． （1）连接，，由角平分线性质可得，再证明（），可得，即点D在的垂直平分线上． （2）证明（），可得，由线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，， 是的平分线，，， ， 在和中， （）， ， 点D在的垂直平分线上． （2）解：在和中， （）， ，， ． ， ． 22．（1）见解析；（2）∠PCQ=120°；（3）△PDQ是等边三角形. 【分析】(1)由折叠直接得到结论； (2)由折叠的性质求出∠ACP+∠BCQ=120°，再用周角的意义求出∠PCQ=120°； (3)先判断出△APD是等边三角形，△BDQ是等边三角形，再求出∠PDQ=60°，即可． 【详解】(1)∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ， ∴CP=CD=CQ； (2)∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ， ∴∠ACP=∠ACD，∠BCQ=∠BCD， ∴∠ACP+∠BCQ=∠ACD+∠BCD=∠ACB=120°， ∴∠PCQ=360°-(∠ACP+BCQ+∠ACB)=360°-(120°+120°)=120°； (3)△PDQ是等边三角形． 理由：∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ， ∴AD=AP，∠DAC=∠PAC， ∵∠DAC=30°， ∴∠PAD=60°， ∴△APD是等边三角形， ∴PD=AD，∠ADP=60°， 同理：△BDQ是等边三角形， ∴DQ=BD，∠BDQ=60°， ∴∠PDQ=60°， ∵当点D在AB的中点， ∴AD=BD， ∴PD=DQ， ∴△DPQ是等边三角形 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 23．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质， （1）根据等腰直角三角形的性质可得，利用三角形外角的性质与等量代换可得，在根据全等三角形的判定即可证明； （2）连接，在上截取，根据等腰直角三角形的性质可得，，证得，可得，，利用等量代换可得，证得，可得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：连接，在上截取， ∵，，E为中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 24．(1)全等；见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，作适当的辅助线构建全等三角形是解题的关键. （1）先证明： 从而可得结论； （2）根据全等三角形的性质得出，求出，根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可； （3）过作，交于，证明，设，则，，再求解，从而可得答案. 【详解】（1）证明：全等，理由如下： ∵在中，， 点是的中点， ∴，， ∵， ∴，， ∴ 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：过作，交于，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴，， 在和中 ∴， ∴， ∴， 即， 设，则，， ∴， ， ， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$