精品解析：2024年山东菏泽市中考数学模拟押题预测试题

2024中考模拟押题预测卷 数学试题 注意事项∶ 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共6页，满分120分，考试时间 120 分钟．卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在答题纸规定的位置，考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题注意事项见答题纸，答在本试卷上不得分 第I卷(选择题 共30分) 一、选择题(本大题共10 小题，每小题3分，共30分)在每小题所给的四个选项中，只有项是符合题目要求的，请将正确答案涂到答题卡中． 1. 在，，，，，，这个数中，无理数的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 育好“鲁版”新质生产力，点亮钠离子电池“科技树”，2024年1月山东，全球首款普鲁士蓝基钠离子电池正式向用户交付，钠离子（半径）电池具有低成本、大功率充放电等优势，此次交付，实现了将钠离子电池技术从实验室到商品化、从书架到货架的转变．将0.0000000098用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 6. 如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点的对应点为，交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则的值是（ ） A 4 B. 2 C. D. 8. “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．小亮随机地向大正方形内部区域投飞镖．若直角三角形两条直角边的长分别是2和1，则飞镖投到小正方形（阴影）区域的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，内接于，，是的直径，连结，平分交于，若，则的半径为（ ） A B. C. D. 5 10. 如图，抛物线与轴交于A、B两点，与y轴交于C点，⊙B的圆心为B，半径是1，点P是直线AC上的动点，过点P作⊙B的切线，切点是Q，则切线长PQ的最小值是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 式子有意义的条件是_______． 12. 如图，已知菱形的边长为6，且，点分别在边上，将菱形沿折叠，使点B正好落在边上的点G处．若，则的长为_________． 13. 若关于的方程：有增根，则 ______． 14. 如图，在中，，，，将绕点B旋转到的位置，其中点D与点A对应，点E与点C对应．如果图中阴影部分的面积为15，那么的正切值是______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，反比例函数的图像经过菱形对角线的交点，且与边交于点，点的坐标为，则的面积为_________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为，是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；是以点O为圆心，为半径的圆弧；是以点C为圆心，为半径的圆弧；是以点A为圆心，为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心，按上述作法得到的曲线…称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）化简：． 18. 郑州外国语中学迎接40周年校庆，决定委托设计公司制作、两种纪念章，已知制作3个种纪念章比制作2个种纪念章多花140元，制作4个种纪念章与制作5个种纪念章所需钱数相同． （1）求，两种纪念章每个的价格； （2）设计公司也给出了优惠方案，种纪念章打九折．若学校打算制作，两种纪念章共300个，且种纪念章的个数不多于种纪念章个数的一半，则学校最少要花费多少钱？ 19. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量某广场花坛的高度，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在距地面高的点C处，测得花坛顶部点B处的俯角为，沿水平方向由点C飞行到达点D，测得花坛底部点A处的俯角为，其中点A，B，C，D均在同一竖直平面内．请根据以上数据，求花坛的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 20. 某学校组织学生采摘山楂制作冰糖葫芦(每串冰糖葫芦由5颗山楂制成)．同学们经过采摘、筛选、洗净等环节，共得到的山楂．甲、乙两位同学各随机分到了15颗山楂，他们测量了每颗山楂的重量(单位：g)，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a． 甲同学的山楂重量的折线图： b． 乙同学的山楂重量： 8， 8.8， 8.9， 9.4， 9.4， 9.4， 9.6， 9.6， 9.6， 9.8， 10， 10， 10， 10， 10 c． 甲、乙两位同学的山楂重量的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 甲 9.5 m 9.2 乙 9.5 9.6 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m， n的值； （2）对于制作冰糖葫芦，如果一串冰糖葫芦中5颗山楂重量方差越小，则认为这串山楂的品相越好． ①甲、乙两位同学分别选择了以下5颗山楂制作冰糖葫芦．据此推断：品相更好的是 (填写“甲”或“乙”)； 甲 9.2 9.2 9.2 9.2 9.1 乙 9.4 9.4 9.4 8.9 88 ②甲同学从剩余的 10颗山楂中选出5颗山楂制作一串冰糖葫芦参加比赛，首先要求组成的冰糖葫芦品相尽可能好，其次要求冰糖葫芦的山楂重量尽可能大．他已经选定的三颗山楂的重量分别为9.4，9.5，9.6，则选出的另外两颗山楂的重量分别为 和 ； （3）估计这些山楂共能制作多少串冰糖葫芦． 21. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边垂直于轴、垂足为点，反比例函数的图象经过的中点、且与相交于点经过、两点的一次函数解析式为，若点的坐标为且． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）请观察图象直接写出不等式的解集． （3）若在直线上有一点，的面积等于求满足条件的点的坐标； 22. 已知是的直径，且，点是上一点，过点作的切线，与的延长线交于点，连接． （1）如图①，若，求的大小和的长； （2）如图②，若，过点作交于点，连接交于点，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线的图像与x轴交于点和点．与y轴交于点是线段上一点． （1）求这条抛物线的表达式和点C的坐标； （2）如图，过点D作轴，交该抛物线于点G，当时，求的面积； （3）点P为该抛物线上第三象限内一点，当，且时，求点P的坐标． 24. 基本模型（1）如图1，矩形中，，，交于点E，则的值是______． 类比探究（2）如图2，中，，，，D为边上一点，连接，，交于点E，若，求的长． 拓展应用（3）如图3，在矩形中，，点F，G分别在上，以为折痕，将四边形翻折，使顶点A落在上的点E处，且，连接，设的面积为，的面积为，的面积为，若，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024中考模拟押题预测卷 数学试题 注意事项∶ 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共6页，满分120分，考试时间 120 分钟．卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在答题纸规定的位置，考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题注意事项见答题纸，答在本试卷上不得分 第I卷(选择题 共30分) 一、选择题(本大题共10 小题，每小题3分，共30分)在每小题所给的四个选项中，只有项是符合题目要求的，请将正确答案涂到答题卡中． 1. 在，，，，，，这个数中，无理数的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查无理数的概念，求一个数的算术平方根，根据无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数即可判断． 【详解】解：，，， ，，是有理数，是无理数，无理数的个数是1个， 故选：A． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一分析求解即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意； D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，熟知二者的定义是解题的关键． 3. 育好“鲁版”新质生产力，点亮钠离子电池“科技树”，2024年1月山东，全球首款普鲁士蓝基钠离子电池正式向用户交付，钠离子（半径）电池具有低成本、大功率充放电等优势，此次交付，实现了将钠离子电池技术从实验室到商品化、从书架到货架的转变．将0.0000000098用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握． 详解】解： ． 故选：C． 4. 如图，俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，俯视图是从上往下看，即可得到结果，正确得到俯视图是解题的关键． 【详解】解：从上往下看，是一个矩形，看不见的线为虚线，所以左右两边为两条虚线，在两条虚线的中间有两条实线， 故选：C． 5. 下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，单项式除以单项式、积的乘方，合并同类项，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故该选项是错误的； B、，故该选项是正确的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是错误的； 故选：B 6. 如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点的对应点为，交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，长方形的性质以及三角形内角和定理，根据折叠的性质，可以得到的度数，然后再根据平行线的性质得到的度数，最后由三角形内角和定理可得结论． 【详解】解：由折叠的性质得到，， ∵， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴ 故选：C． 7. 若，则的值是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值．熟练掌握分式的乘法法则，整体代入法求代数式的值，是解题的关键． 先把分子用平方差公式因式分解，再约分相乘，最后把已知条件变形为，代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 故选：D． 8. “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．小亮随机地向大正方形内部区域投飞镖．若直角三角形两条直角边的长分别是2和1，则飞镖投到小正方形（阴影）区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．首先确定小正方形的面积在大正方形中占的比例，根据这个比例即可求出针扎到小正方形（阴影）区域的概率． 【详解】解：根据题意分析可得：正方形ABCD边长为，故面积为5； 阴影部分边长为，面积为1； 则针扎到小正方形（阴影）区域的概率是即两部分面积的比值为． 故选：A． 9. 如图，内接于，，是的直径，连结，平分交于，若，则的半径为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】过点作垂直于点，交于点，交于点，连接，易得为的直径，根据圆周角定理，推出，求出的长，圆周角定理结合角平分线的性质，推出，设半径为，在中，利用勾股定理，列出方程进行求解即可． 【详解】解：过点作垂直于点，交于点，交于点，连接， ∵， ∴为线段的中垂线，， ∵内接于， ∴三点共线，， ∴为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即：， ∴， ∵是的直径， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设半径为，则：， ∴， 在中，， ∴， 解得：（舍去）或； ∴的半径为； 故选B． 【点睛】本题考查圆周角定理，三角形的外接圆，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，综合性强，难度较大，属于选择题中的压轴题，解题的关键是添加辅助线，构造特殊三角形和相似三角形． 10. 如图，抛物线与轴交于A、B两点，与y轴交于C点，⊙B的圆心为B，半径是1，点P是直线AC上的动点，过点P作⊙B的切线，切点是Q，则切线长PQ的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据解析式求出点A、B、C的坐标，求出直线AC 的解析式，设点P的坐标，根据过点P作⊙B的切线，切点是Q得到PQ的函数关系式，求出最小值即可. 【详解】解：令中y=0，得x1=-，x2=5， 令，则 设直线的解析式为，将 解得 ∴直线AC的解析式为， 设P（x，）， ∵过点P作⊙B的切线，切点是Q，BQ=1 ∴PQ2=PB2-BQ2， =(x-5)2+（）2-1， =， ∵＞0， ∴PQ2有最小值=， ∴PQ的最小值是， 故选D 【点睛】此题考查二次函数最小值的实际应用，求动线段的最小值，需构建关于此线段的函数解析式，利用二次函数顶点坐标公式求最值，此题找到线段PQ、BQ、PB之间的关系式是解题的关键. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 式子有意义的条件是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件（被开方数是非负数）和分式有意义的条件（分式的分母不等于零），解题的关键是能根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出．据此解答即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 12. 如图，已知菱形的边长为6，且，点分别在边上，将菱形沿折叠，使点B正好落在边上的点G处．若，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质可知是等边三角形，再通过折叠的性质和等边三角形的性质得出，即是菱形的高，最后用勾股定理求高即可， 本题主要考查菱形的性质，等边三角形的性质及勾股定理，掌握菱形的性质并能将FG转化成菱形的高是解题的关键． 【详解】解：如图，设与交于点，交于点． ∵ 四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形的高， 即为等边三角形的高， ∴ ． 13. 若关于的方程：有增根，则 ______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的增根和分式方程无解的情况；先将分式方程化为整式方程，根据方程有增根，可得到，然后代入整式方程，即可求解． 【详解】解∶方程两边同乘以，得， 整理得， ∵原方程有增根， ∴， ∴， 当时， ，解得； 当时， ，解得； ∴a的值为或， 故答案为：或． 14. 如图，在中，，，，将绕点B旋转到的位置，其中点D与点A对应，点E与点C对应．如果图中阴影部分的面积为15，那么的正切值是______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查正切函数的定义，旋转的性质，勾股定理． 过点F作于点G，由可得，，从而，，根据三角形的面积公式可求得，，再根据勾股定理，在中，，在中，，从而，由旋转得到，则． 【详解】过点F作于点G， ∵，，， ∴． ， ∵， ∴． ∵由旋转可得，， ∴， ∵，即， ∴． ∵由旋转有，， ∴， ∴， ∵由旋转得， ∴在中，， ∵， ∴在中，， ∴． ∵由旋转得， ∴． 故答案为： 15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，反比例函数的图像经过菱形对角线的交点，且与边交于点，点的坐标为，则的面积为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据菱形的性质求出点坐标，将点的坐标代入到反比例函数的一般形式后求得值即可确定函数的解析式；过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于，求得点的坐标，然后求得直线的解析式，确定直线和双曲线的交点坐标，然后根据求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵点的坐标为， ∴， 把点代入反比例函数，解得， ∴反比例函数的解析式为； 过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于，如下图， 则， 设，则，， 在中，可有，即， 解得， ∴点的坐标为， 设直线的函数表达式为，直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 解，得（不合题意，舍去）或， ∴点的坐标为， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、菱形的性质、勾股定理、反比例函数和一次函数综合应用等知识，解题的关键是正确确定点坐标，从而确定直线的解析式． 16. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为，是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；是以点O为圆心，为半径的圆弧；是以点C为圆心，为半径的圆弧；是以点A为圆心，为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心，按上述作法得到的曲线…称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是罗列出部分点的坐标找出坐标规律．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合画弧的方法以及部分点的坐标寻找出来点的排布规律是关键．根据画弧的方法以及罗列部分点的坐标发现：点Ax的坐标满足“(n为正整数)，(n为自然数)，(n为自然数)，(n为自然数)”，根据这一规律即可得出点的坐标． 【详解】解：观察，找规律∶，，，，，，，，，，，，，，，…， ∴(n为正整数)，(n为自然数)，(n为自然数)，(n为自然数)． ∵， ∴的坐标为． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）3；（2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答． 【详解】解：（1） ； （2） ． 18. 郑州外国语中学为迎接40周年校庆，决定委托设计公司制作、两种纪念章，已知制作3个种纪念章比制作2个种纪念章多花140元，制作4个种纪念章与制作5个种纪念章所需钱数相同． （1）求，两种纪念章每个的价格； （2）设计公司也给出了优惠方案，种纪念章打九折．若学校打算制作，两种纪念章共300个，且种纪念章的个数不多于种纪念章个数的一半，则学校最少要花费多少钱？ 【答案】（1）每个种纪念章价格为100元，每个种纪念章的价格为80元 （2）最少花费26000元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式和一次函数的实际应用： （1）设每个A种奖品的价格为x元，每个B种奖品价格为y元，根据题意可列出关于x，y的二元一次方程组，解出x，y的值即可； （2）设购买A种奖品a个，则购买B种奖品个，根据B种奖品的个数不多于A种奖品个数的一半，即可列出关于a的一元一次不等式，从而可求出a的取值范围．设购买奖品的总花费为w元，根据题意可求出w与a的关系式，最后由一次函数的性质即得出答案． 小问1详解】 解：设每个种纪念章的价格为元，每个种纪念章价格为元， 根据题意，得：， 解得：， 答：每个种纪念章的价格为100元，每个种纪念章的价格为80元； 【小问2详解】 解：设购买种奖品个，则购买种奖品个， 根据题意，得：，解得：． 设购买奖品的总花费为元， 根据题意，得：， ， 随着的增大而增大． 当时，取得最小值，． 答：该公司最少花费26000元． 19. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量某广场花坛的高度，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在距地面高的点C处，测得花坛顶部点B处的俯角为，沿水平方向由点C飞行到达点D，测得花坛底部点A处的俯角为，其中点A，B，C，D均在同一竖直平面内．请根据以上数据，求花坛的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】花坛的高度约为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的判定，延长交的延长线于点E，，由已知条件得出，则，根据等角对等边得出，解得出，最后用即可求解． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点E， 则，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， ∵ ∴ ∴， ∴花坛的高度约为． 20. 某学校组织学生采摘山楂制作冰糖葫芦(每串冰糖葫芦由5颗山楂制成)．同学们经过采摘、筛选、洗净等环节，共得到的山楂．甲、乙两位同学各随机分到了15颗山楂，他们测量了每颗山楂的重量(单位：g)，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a． 甲同学的山楂重量的折线图： b． 乙同学的山楂重量： 8， 8.8， 8.9， 9.4， 9.4， 9.4， 9.6， 9.6， 9.6， 9.8， 10， 10， 10， 10， 10 c． 甲、乙两位同学的山楂重量的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 甲 9.5 m 9.2 乙 9.5 9.6 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m， n的值； （2）对于制作冰糖葫芦，如果一串冰糖葫芦中5颗山楂重量的方差越小，则认为这串山楂的品相越好． ①甲、乙两位同学分别选择了以下5颗山楂制作冰糖葫芦．据此推断：品相更好的是 (填写“甲”或“乙”)； 甲 9.2 9.2 9.2 9.2 9.1 乙 9.4 9.4 9.4 8.9 8.8 ②甲同学从剩余的 10颗山楂中选出5颗山楂制作一串冰糖葫芦参加比赛，首先要求组成的冰糖葫芦品相尽可能好，其次要求冰糖葫芦的山楂重量尽可能大．他已经选定的三颗山楂的重量分别为9.4，9.5，9.6，则选出的另外两颗山楂的重量分别为 和 ； （3）估计这些山楂共能制作多少串冰糖葫芦． 【答案】（1）9.4，10 （2）甲，②9.3，9.6 （3）160串 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的概念，即可求解； （2）①根据方差的定义，即可求解； ②根据题意可知，剩余两个山楂的重量应该尽可能大，且接近已有的三个山楂的重量，以保证方差最小，据此解答即可． （3）已知总重量和调查的平均数，用总数量除以调查的平均数先求出大概有多少个山楂， 再用山楂数除以每串冰糖葫芦的山楂数即可求出能制作多少串冰糖葫芦． 【小问1详解】 解：根据甲的折线图可以看出，这组数据从小到大排列，中间第8个数为9.4， 也就是说这组数据的中位数为9.4，所以； 根据乙同学的山楂重量数据可以发现，重量为10克出现的次数最多， 也就是说这组数据的众数为10，所以． 【小问2详解】 解：①根据题意可知甲同学的5个冰糖葫芦重量分布于之间，乙同学的5个冰糖葫芦重量分布于， 从中可以看出，甲同学的5个数据比乙同学的5个数据波动较小， 所以，甲同学的5个冰糖葫芦重量的方差较小，故甲同学冰糖葫芦品相更好． ②要求数据的差别较小，山楂重量尽可能大， 可供选择的有9.3、9.6、9.9， 当剩余两个为9.3、9.6，这组数据的平均数为9.48， 方差为：， 当剩余两个为9.6、9.9，这组数据的平均数为9.6， 方差为：， 当剩余两个为9.3、9.9，这组数据平均数为9.54， 方差为：， 据此，可发现当剩余两个为9.3、9.6，方差最小，山楂重量也尽可能大． 【小问3详解】 解：7.6千克克， （个， （串， 答：能制作160串冰糖葫芦． 【点睛】本题考查了折线统计图，平均数，众数，中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边垂直于轴、垂足为点，反比例函数的图象经过的中点、且与相交于点经过、两点的一次函数解析式为，若点的坐标为且． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）请观察图象直接写出不等式的解集． （3）若在直线上有一点，的面积等于求满足条件的点的坐标； 【答案】（1）， （2）或 （3）点或 【解析】 【分析】（1）把代入，利用待定系数法即可求得，利用中点坐标公式求出，点C的坐标为，利用待定系数法求解即可； （2）根据图象求得即可； （3）根据三角形的面积求得点的纵坐标，代入直线解析式即可求得横坐标． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是求得点的坐标． 【小问1详解】 解：把代入得， 解得， 反比例函数的解析式为； 由点D的坐标为，且， ∴点A的坐标为， ∵点C为的中点， ∴点C的坐标为， 将点和点代入，得， 解得，即； 【小问2详解】 解：不等式的解集为：或． 【小问3详解】 解：设点的坐标为 的面积等于8，， ， 即，代入， 得到点或； 22. 已知是的直径，且，点是上一点，过点作的切线，与的延长线交于点，连接． （1）如图①，若，求的大小和的长； （2）如图②，若，过点作交于点，连接交于点，求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了本题考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，垂径定理及勾股定理等知识， （1）连接，根据切于点得，由是的直径，得，根据得，即，在中，根据勾股定理即可求解； （2）连接，根据，得是等边三角形，由，得，根据是等边三角形，，得，根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：连接． 切于点， ，即． 是的直径，， ． ． ． ． ． ． 在中，． 【小问2详解】 解：连接． ，， 是等边三角形． ． 同（1）可得， ， ． ， ．即， 又是的直径， ． 是等边三角形，， ． 在中，． ． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线的图像与x轴交于点和点．与y轴交于点是线段上一点． （1）求这条抛物线的表达式和点C的坐标； （2）如图，过点D作轴，交该抛物线于点G，当时，求的面积； （3）点P为该抛物线上第三象限内一点，当，且时，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将、代入得，，可求，则，当时，，进而可求； （2）如图1，作于，记与的交点为，设，则，，则，，，，由，可得，计算求出满足要求的解为，则，待定系数法求直线的解析式为，进而可得，则，根据，计算求解即可； （3）如图2，作于，在上取，连接交抛物线于点，由，可知点即为所求，由勾股定理得，，由，可求，则，待定系数法求直线的解析式为，设，由，可求，（舍去），则，待定系数法求直线的解析式为，联立得，，计算求解，然后作答即可． 【小问1详解】 解：将、代入得，， 解得，， ∴， 当时，，即； 【小问2详解】 解：如图1，作于，记与的交点为， 设，则，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且符合要求； ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∴， ∴， ∴的面积为； 【小问3详解】 解：如图2，作于，在上取，连接交抛物线于点， ∵，， ∴， ∴点即所求， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设， ∴， 解得，，（舍去）， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立得，， 解得，舍去或， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与角度综合，正切，二次函数与面积综合，一次函数解析式，勾股定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数与角度综合，正切，二次函数与面积综合，一次函数解析式，勾股定理，三角形外角的性质是解题的关键． 24. 基本模型（1）如图1，矩形中，，，交于点E，则的值是______． 类比探究（2）如图2，中，，，，D为边上一点，连接，，交于点E，若，求的长． 拓展应用（3）如图3，在矩形中，，点F，G分别在上，以为折痕，将四边形翻折，使顶点A落在上的点E处，且，连接，设的面积为，的面积为，的面积为，若，请直接写出的值． 【答案】（1）（2）5（3） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质结合，证明，由相似三角形的性质解求解； （2）过点A，D作的垂线，垂足分别为，证明，解直角三角形，求出，得到，进而得到，设，则 ， 解直角三角形即可求解； （3）连接，设 ， 则 ，由勾股定理求出m的值，证明相似，设，根据，求出的值，即可得到，过点作，垂足为Q，证明，推出，由即可求解． 【详解】解：（1） 四边形是矩形，，，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）过点A，D作的垂线，垂足分别为， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， 设，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ∴； （3）连接 ， 设 ， 则 ， ，即 ， 解得 ， ， ， ， ， ， ， ，，， ，，， ， ， ， 设， ，， ， ， ，即， （舍去）， ， 过点作，垂足为Q， 由折叠的性质得到， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ． 【点睛】本题考查了矩形性质与判定，三角形相似的判定和性质，三角函数，勾股定理，熟练掌握三角形的相似，三角函数是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$