精品解析：广东省广州市越秀区育才实验学校2023-2024学年九年级下学期第四次综合练习数学问卷

广州市越秀区育才实验学校2023学年第二学期第四次综合练习 九年级数学问卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在数，，，中，有理数的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 2. 中国的航天事业蓬勃发展，取得了显著的进展和突破．下列航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，．把沿的方向平移到的位置，若，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 5G基站的建立是深蓝网络空间领域数字基础的有力支撑，而5G基站服务器芯片的制造需要用到高纯度硅．已知硅原子的半径约为．数字用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于一次函数，下列说法错误的是（ ） A. 函数图象不经过第一象限 B. y随自变量x的增大而减小 C. 函数图象与y轴交于 D. 当时， 7. 按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是2，则输出y的值是（ ） A. 3 B. 1 C. D. 3或 8. 下列表格列举了球星压哨绝杀数据，观察表格中的数据，这组数据的中位数和众数分别是（ ） 球员 乔丹 詹姆斯 科比 伯德 米勒 韦德 次数 9 7 8 3 3 5 A. B. 6，3 C. D. 9. 如图，在中，对角线，交于点，平分交于点，连结．若，，则的长为（ ） A. B. C. 7 D. 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：；；若点是图象上任意两点，且，则，方程（为常数）所有整数根的绝对值的和为；其中正确的结论个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 要使式子有意义，则实数的取值范围是______． 12. 方程的解为______． 13. 袋中装有个黑球和个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为”，则这个袋中白球大约有______个． 14. 为了给山顶供水，决定在山脚A处开始沿山坡铺设水管．现测得斜坡与水平面所成角为，为使出水口高度为35m，那么需要准备____长的水管．（结果保留整数）（） 15. 如图，在四边形中，，，，点、分别在边、上，连接，点为的中点，连接，若，则的最小值为______． 16. 如图1，是一种锂电池自动液压搬运物体叉车，图2是叉车侧面近似示意图．车身为四边形ABCD，，BC⊥AB，底座AB上装着两个半径为30cm的轮胎切于水平地面，AB＝169cm，BC＝120cm．挡货架AE上有一固定点T与AD的中点N之间由液压伸缩杆TN连接．当TN⊥AD时，TN的延长线恰好经过B点，则AD的长度是 _____cm；一个长方体物体准备装卸时，AE绕点A左右旋转，托物体的货叉PQ⊥AE（PQ沿着AE可上下滑动），PQ＝65cm，AE＝AD．当AE旋转至AF时，PQ下降到P'Q'的位置，此时F，D，C三点共线，且FQ'＝52cm，则点P'到地面的离是 _____cm． 三、解答题（本大题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤） 17. 解方程：． 18. 如图，AC⊥BD，垂足点E是BD的中点，且AB=CD，求证：AB//CD. 19. 先化简，再求值：（1﹣），x＝． 20. 视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“Ε”形图都是正方形结构，同一行的“Ε”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值，测得对应行的“Ε”形图边长，在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1 检测距离为5米时，归纳与的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角．视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足． 探究2 当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围． 21. 近年来，我国新能源汽车销量及保有量快速提升，充电基础设施布局也日渐完善．截至2023年底，我国新能源汽车保有量达2041万辆．如图是我国2019～2023年公共充电桩数量情况统计图和2023年全国部分省公共充电桩数量统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）2023年上海市公共充电桩数量约占该年全国公共充电桩数量的______%（精确到1%）； （2）2023年我国新能源汽车保有量与公共充电桩数量配比约为______； A． B． C． D． （3）小明说：2023年全国公共充电桩数量超过前4年的总和，所以2023年全国公共充电桩数量的增长率比2022年高．你同意他的说法吗？请结合统计图说明你的理由． 22. 为落实《健康中国行动（2019—2030）》等文件精神，某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务： 如何确定排球和足球购买方案？ 素材1 某体育器材店每个排球的价格比足球的价格少20元，用400元购买的排球数量与500元购买的足球数量相等． 素材2 该学校决定购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不少于排球的数量的，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球提供7.5折优惠，足球提供8折优惠． 问题解决 任务1 请运用适当的方法求出每个排球和足球的价格． 任务2 运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，最少费用是多少？ 23. 已知在中，，，，以边为直径作，与边交于点，点为边的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）点为直线上任意一动点，连接交于点，连接． ①当时，求的长； ②求的最大值． 24. 已知抛物线与x轴交于A，B两点（点B在x轴正半轴），与y轴交于点C，连接，． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D在点B，C之间的抛物线上运动（不与点B，C重合），连接交于点E，连接．记的面积分别为，求的最大值； （3）已知抛物线的顶点的为G，过点G的直线l与抛物线的另一个交点为P，直线l与直线：交于点F，过点F作的垂线，交抛物线于点Q，过的中点M作于点N．求证：． 25. 在中，，，点为线段上一动点，连接． （1）如图1，若，，求线段的长． （2）如图2，以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点． 若，求证：． （3）在取得最小值的条件下，以为边在右侧作等边．点为所在直线上一点，将沿所在直线翻折至所在平面内得到． 连接，点为的中点，连接，当取最大值时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，请直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市越秀区育才实验学校2023学年第二学期第四次综合练习 九年级数学问卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在数，，，中，有理数的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的概念，掌握“整数和分数统称有理数”是解题的关键． 根据有理数的定义，结合所给的数据即可得出答案． 【详解】解：有理数有：，，，因此有3个， 故选：B． 2. 中国的航天事业蓬勃发展，取得了显著的进展和突破．下列航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 3. 如图，在中，．把沿的方向平移到的位置，若，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移．根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后对应点的连线互相平行或在同一直线上，对各选项分析判断即可求解． 【详解】解：∵把沿的方向平移到的位置，，， ∴， ，故选项AC正确，不符合题意； ∴， ∴，选项B正确，不符合题意； 长度不能确定；故选项D错误，符合题意； 故选：D． 4. 5G基站的建立是深蓝网络空间领域数字基础的有力支撑，而5G基站服务器芯片的制造需要用到高纯度硅．已知硅原子的半径约为．数字用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法的定义，理解定义是解题的关键．用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数，据此即可求解． 【详解】解：由题意得， ． 故选：C． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据有理数的减法运算，单项式乘以多项式，积的乘方，平方差公式对各选项进行判断作答即可． 【详解】A中，故不符合要求； B中，故不符合要求； C中，故不符合要求； D中，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的减法运算，单项式乘以多项式，积的乘方，平方差公式等知识．熟练掌握有理数的减法运算，单项式乘以多项式，积的乘方，平方差公式是解题的关键． 6. 关于一次函数，下列说法错误的是（ ） A. 函数图象不经过第一象限 B. y随自变量x的增大而减小 C. 函数图象与y轴交于 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数解析式中，与对函数图象的影响是解题的关键．由，可知图象经过第二、三、四象限；由，可得随的增大而减小；图象与轴的交点为；当时，结合不等式的性质可得． 【详解】解：∵， ∴图象经过第二、三、四象限， ∴函数图象不经过第一象限，A正确； ∵， ∴随的增大而减小，B正确； 令时，， ∴图象与轴的交点为，C错误；符合题意； 当时，， ∴，即，D正确； 故选：C． 7. 按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是2，则输出y的值是（ ） A. 3 B. 1 C. D. 3或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，比较2与，将代入对应的代数式求值即可．根据条件判断代数式并代入求值是本题的关键． 【详解】解：， ， 输出的值是． 故选：C． 8. 下列表格列举了球星压哨绝杀数据，观察表格中的数据，这组数据的中位数和众数分别是（ ） 球员 乔丹 詹姆斯 科比 伯德 米勒 韦德 次数 9 7 8 3 3 5 A. B. 6，3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数的定义，根据中位数和众数的定义求解即可．解题的关键在于能够熟知中位数和众数的定义． 【详解】解：出现的次数最多， 众数是3． 从小到大排列：3，3，5，7，8，9， 中位数是：． 故选：． 9. 如图，在中，对角线，交于点，平分交于点，连结．若，，则的长为（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质；根据题意得是等边三角形，，，设，则，根据，得出，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵平分交于点， ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴是等边三角形， ∴ ∴ 设，则 ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ 解得： ∴ 在中，， ∴ 故选：A． 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：；；若点是图象上任意两点，且，则，方程（为常数）所有整数根的绝对值的和为；其中正确的结论个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由图象得，，，即得，即可判断；根据对称轴及图象过点，得，，即可判断；由点是图象上任意两点，且，得点离对称轴近，点离对称轴远，再结合，即可判断；求出抛物线与轴的另一个交点，由可得方程的所有整数根为，即可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，，，， ∴， ∴，故正确； ∵抛物线的对称轴为直线，且过点， ∴，， ∴， ∴，故正确； ∵点是图象上任意两点，且， ∴点离对称轴近，点离对称轴远， ∵， ∴，故正确； ∵抛物线的对称轴为直线，且过点， ∴抛物线为轴的另一个交点为， ∵，对称轴是直线， ∴方程的所有整数根为， ∴所有整数根的绝对值的和为，故正确； ∴正确的结论有，共个， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 要使式子有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握分母不为零且被开方数不小于零的条件是解题的关键． 根据分母不为零且被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知，， 解得， 故答案为：． 12. 方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，根据题意先去分母，再解整式方程，最后检验即可． 【详解】解： 去分母，得， 解得， 检验：将代入 ∴是原分式方程的解． 故答案为：． 13. 袋中装有个黑球和个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为”，则这个袋中白球大约有______个． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了概率公式的应用，注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 用黑球的个数除以球的总个数等于0.75列出关于n的方程，解之即可． 【详解】解：根据题意知 ， 解得， 经检验，是该分式方程的解， ∴这个袋中白球大约有3个， 故答案为：3． 14. 为了给山顶供水，决定在山脚A处开始沿山坡铺设水管．现测得斜坡与水平面所成角为，为使出水口高度为35m，那么需要准备____长的水管．（结果保留整数）（） 【答案】113 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解直角三角形进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：113． 15. 如图，在四边形中，，，，点、分别在边、上，连接，点为的中点，连接，若，则的最小值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】连接，过点作于点M，过点G作于点H，根据题意可证明，得到，根据勾股定理可求出，证明，由为的中点，，可得，可得，在与直线相距的直线上运动，为与轨迹的交点，则，当共线时，，，此时最小，再进一步求解即可． 【详解】解：连接，过点作于点M，过点G作于点H， ∴， ，，， ，， ， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴在与直线相距的直线上运动，为与轨迹的交点，则， 当共线时，，，此时最小， 此时，， 过作于，则四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：，四边形为矩形， ∴， ∴， 的最小值为9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，最值问题，勾股定理，三角形的中位线的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，解题的关键是作出合适的辅助线． 16. 如图1，是一种锂电池自动液压搬运物体叉车，图2是叉车侧面近似示意图．车身为四边形ABCD，，BC⊥AB，底座AB上装着两个半径为30cm的轮胎切于水平地面，AB＝169cm，BC＝120cm．挡货架AE上有一固定点T与AD的中点N之间由液压伸缩杆TN连接．当TN⊥AD时，TN的延长线恰好经过B点，则AD的长度是 _____cm；一个长方体物体准备装卸时，AE绕点A左右旋转，托物体的货叉PQ⊥AE（PQ沿着AE可上下滑动），PQ＝65cm，AE＝AD．当AE旋转至AF时，PQ下降到P'Q'的位置，此时F，D，C三点共线，且FQ'＝52cm，则点P'到地面的离是 _____cm． 【答案】 ①. 130 ②. 77 【解析】 【分析】连接BD，过D点作DG⊥AB交AB于点G，先证明，根据勾股定理可得DC长，再根据勾股定理即可解出AD长，②过作交AF于点H，过点作BA延长线，交BA延长线于点L，交于点I，过A作AK⊥FC于点K，根据勾股定理可得FK长，关于 的三角函数可求，再根据三角函数可求出、的值，即可求解． 【详解】① 如图，连接BD，过D点作DG⊥AB交AB于点G， ∵N为AB重点，且TN⊥AD， ∴AN=DN，， ∵BN为△ABN与△DBN共边， ∴， ∴BD=AB=169 cm， ∵，BC⊥AB， ∴， ∴cm， ∵BC⊥AB，DG⊥AB， ∴， ∴四边形DGBC为矩形， ∴BG=DC=119 cm，DG=BC=120 cm， ∴AG=AB-BG=169-119=50 cm， ∴cm． 故答案为130． ② 如图，过作交AF于点H，过点作BA延长线，交BA延长线于点L，交于点I，过A作AK⊥FC于点K， 则AK=BC=120 cm，， ∵cm， ∴cm， ∴，，， 在中，cm ， ∴cm ， 在中，cm ， 在中， cm， cm ， ∴cm， ∵轮胎半径为30 cm， ∴点P'到地面的离为47+30=77 cm． 故答案为77． 【点睛】本题考查了三角形全等、平行线的性质、三角函数及勾股定理等知识点，正确的作出辅助线是解答本题的关键． 三、解答题（本大题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解．先去分母化为整式方程后解出未知数即可，最后记得检验． 【详解】解：方程两边同乘得： ， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解． 18. 如图，AC⊥BD，垂足点E是BD的中点，且AB=CD，求证：AB//CD. 【答案】 证明：∵点是的中点 ∴. ∵ ∴. 在和中 ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】先证明 再利用斜边直角边公理证明，可得，从而可得答案． 【详解】略 【点睛】本题考查的是利用斜边直角边证明两个三角形全等，以及全等三角形的性质，平行线的判定，掌握以上知识是解题的关键． 19. 先化简，再求值：（1﹣），x＝． 【答案】， 【解析】 【分析】根据运算顺序，将括号内的代数式通分，再根据因式分解的方法计算即可． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝， 当x＝时，原式＝． 【点睛】本题考查分式的化简求值，二次根式的运算，解决本题的关键是熟练掌握通分的方法及平方差公式． 20. 视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“Ε”形图都是正方形结构，同一行的“Ε”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值，测得对应行的“Ε”形图边长，在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1 检测距离为5米时，归纳与的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角．视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足． 探究2 当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围． 【答案】探究1：；探究2： 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决． 探究1：由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，由待定系数法可得，将 代入得：； 探究2：由，知在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，故当时，，即可得． 【详解】解：探究 由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系， 设，将其中一点代入得：， 解得：， ，将其余各点一一代入验证，都符合关系式； 将 代入得：； 答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为； 探究 ， 在自变量的取值范围内，随着的增大而减小， 当时，， ， ． 21. 近年来，我国新能源汽车销量及保有量快速提升，充电基础设施布局也日渐完善．截至2023年底，我国新能源汽车保有量达2041万辆．如图是我国2019～2023年公共充电桩数量情况统计图和2023年全国部分省公共充电桩数量统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）2023年上海市公共充电桩数量约占该年全国公共充电桩数量的______%（精确到1%）； （2）2023年我国新能源汽车保有量与公共充电桩数量配比约为______； A． B． C． D． （3）小明说：2023年全国公共充电桩数量超过前4年的总和，所以2023年全国公共充电桩数量的增长率比2022年高．你同意他的说法吗？请结合统计图说明你的理由． 【答案】（1）2 （2）C （3） 解：不同意，理由如下： 2022年的全国公共充电桩数量的增长率为：， 2023年的全国公共充电桩数量的增长率为：， 年全国公共充电桩数量的增长率比2023年高． 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图以及近似数和有效数字，正确读懂统计图是解题的关键． （1）用2023年上海市公共充电桩数量除以全国公共充电桩数量可得答案； （2）根据统计图数据可得2023年我国新能源汽车保有量与公共充电桩数量配比； （3）分别求出2022和2023年的全国公共充电桩数量的增长率，再比较可得答案． 【小问1详解】 解： 2023年上海市公共充电桩数量约占该年全国公共充电桩数量的：， 故答案为：2； 【小问2详解】 解：2023年我国新能源汽车保有量与公共充电桩数量配比为：2041万：859.5万． 故答案为：C； 【小问3详解】 略 22. 为落实《健康中国行动（2019—2030）》等文件精神，某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务： 如何确定排球和足球购买方案？ 素材1 某体育器材店每个排球的价格比足球的价格少20元，用400元购买的排球数量与500元购买的足球数量相等． 素材2 该学校决定购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不少于排球的数量的，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球提供7.5折优惠，足球提供8折优惠． 问题解决 任务1 请运用适当的方法求出每个排球和足球的价格． 任务2 运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，最少费用是多少？ 【答案】任务一：每个排球80元，每个足球100元．任务二：购买40个排球，20个足球，费用最小，最小为4000元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，熟练掌握解分式方程，不等式是解题的关键． （1）设排球的单价为x元，则足球的单价是元，根据用400 元购买的排球数量与500 元购买的足球数量相等，列方程解答即可． （2）设排球购买m个，则足球购买了个，根据，设总费用为w元，根据题意，根据一次函数的性质，解答即可． 【详解】解：任务1：设排球的单价为x元，则足球的单价是元， 根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原方程的根， 故， 答：每个排球80元，每个足球100元． 任务2：设排球购买m个，则足球购买了个，根据题意，得， 解得， 设总费用为w元，根据题意， 故y随x的增大而减小， ∴时，w最小，最小为4000元， 故方案为购买40个排球，20个足球，费用最小，最小为4000元． 23. 已知在中，，，，以边为直径作，与边交于点，点为边的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）点为直线上任意一动点，连接交于点，连接． ①当时，求的长； ②求的最大值． 【答案】（1） 证明：如图，连接，， 是的直径， ， ， 点为边的中点， ， ， ， ， ，即， ， 即， ， 是的半径， 是的切线； （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）连接，，由是的直径，可得，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据等腰三角形性质可得，进而可得，即，再利用切线的判定定理即可证得结论； （2）①分两种情况：当点在线段上时，过点作于点，利用勾股定理和解直角三角形即可求得答案；当点在的延长线上时，过点作于点，运用勾股定理和解直角三角形即可； ②设，则，利用面积法可得，得出，即，再运用乘法公式和不等式性质可得，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①当点在线段上时，如图，过点作于点， 在中，， 设， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ，即， ； 当点在的延长线上时，如图，过点作于点， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：，（舍去）， ，， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：，（舍去）， ； 综上所述，的长为或； ②设，则， 如图，是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最大值为． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定定理，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，三角形面积，乘法公式和不等式性质等．熟练掌握圆的相关性质和解直角三角形等是解题关键． 24. 已知抛物线与x轴交于A，B两点（点B在x轴正半轴），与y轴交于点C，连接，． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D在点B，C之间的抛物线上运动（不与点B，C重合），连接交于点E，连接．记的面积分别为，求的最大值； （3）已知抛物线的顶点的为G，过点G的直线l与抛物线的另一个交点为P，直线l与直线：交于点F，过点F作的垂线，交抛物线于点Q，过的中点M作于点N．求证：． 【答案】（1） （2） （3） 解：∵， ∴顶点； 连接和，过点作与点，如图： 设直线的解析式为：，将代入求得：， 故直线的解析式为：； ∵直线与直线：交于点F， ∴将点的纵坐标代入， 得：， 解得：， 故， 则点的横坐标，故， ∴； ∵直线与抛物线交于，两点， 则， 整理得：， 故， ∵， ∴， 即点的横坐标，故， ∴； ∴， ， ∵，为的中点， ∴， 即， ∵， ∴； 在中，， 在中，， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故， 即为直角三角形， 又∵为的中点， ∴是斜边上的中线， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线解析式可得，根据等角对等边推得，，待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）过点作于点，点作于点，根据三角形的面积公式可推得，待定系数法求直线的解析式为，设，求得直线的解析式为，设，求得直线的解析式为，根据，推得，根据二次函数的性质可得当时，有最大值为，即可求得； （3）根据抛物线的性质可求得顶点，连接和，过点作与点，待定系数法求直线的解析式为：，求得直线与直线的交点坐标为，求得，根据直线与抛物线交于，两点，求得，，，根据平行线分线段成比例公理可求得，根据正切的定义推得，根据等角的余角相等可得，推得，根据中线的判定可得是斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可证明． 【小问1详解】 解：∵抛物线， ∴当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 将，代入抛物线得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：过点作于点，点作于点，如图： 的面积为，， 的面积为，， ∴， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则直线的解析式为， 设，则直线的解析式为， 即， 整理得：， 则， ∵， 故当时，有最大值为， 即的最大值是． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了等角对等边，待定系数法求抛物线解析式，三角形的面积公式，求一次函数解析式，二次函数的性质，平行线分线段成比例，正切的定义，余角的性质，中线的判定，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，根据正切的定义推得是解题的关键． 25. 在中，，，点为线段上一动点，连接． （1）如图1，若，，求线段的长． （2）如图2，以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点． 若，求证：． （3）在取得最小值的条件下，以为边在右侧作等边．点为所在直线上一点，将沿所在直线翻折至所在平面内得到． 连接，点为的中点，连接，当取最大值时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，请直接写出此时的值． 【答案】（1） （2） 证明：如图所示，延长使得，连接，     ∵是的中点则，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴四点共圆， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）解，求得，根据即可求解； （2）延长使得，连接，可得，根据，得出四点共圆，则，，得出，结合已知条件得出，可得，即可得证； （3）在取得最小值的条件下，即，设，则，，根据题意得出点在以为圆心，为半径的圆上运动，取的中点，连接，则是的中位线，在半径为的上运动，当取最大值时，即三点共线时，此时如图，过点作于点，过点作于点，连接，交于点，则四边形是矩形，得出是的中位线，同理可得是的中位线，是等边三角形，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，则，在中，勾股定理求得，进而即可求解． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示， 在取得最小值的条件下，即， 设，则，， ∴，， ∵将沿所在直线翻折至所在平面内得到． ∴ ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， 取的中点，连接， 则是的中位线， ∴在半径为的上运动， 当取最大值时，即三点共线时，此时如图，过点作于点，过点作于点， ∵是的中点， ∴， ∴是等边三角形， 则， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 如图所示，连接，交于点，则四边形是矩形， ∴，是的中点， ∴ 即是的中位线，同理可得是的中位线， ∴， ∵是等边三角形，将沿所在直线翻折至所在平面内得到， ∴ ∴ 则 在中， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，折叠的性质，圆外一点到圆上距离的最值问题，垂线段最短，矩形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $