精品解析：2024年湖南省长沙市湖南师大附中教育集团中考全真模拟数学试题

2024届九年级第四次质量调研暨中考全真模拟 数学试题 注意事项： 1.答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2.必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4.请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5.答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6.本试卷时量120分钟，满分120分. 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列选项中，比—2℃低的温度是( ) A. —3℃ B. —1℃ C. 0℃ D. 1℃ 2. 如图，原木旋转陀螺是一种传统益智玩具，是圆锥与圆柱的组合体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 在2024甲辰龙年春节联欢晚会上，长沙分会场压轴亮相，展现了长沙潮流底色、文化底蕴，制造底气，让全国观众欣赏到了一场朝气蓬勃的演出，更是令游客对长沙心驰神往.这也让长沙在2024春节热门目的地排名进入前十，据监测数据，除夕至大年初八，长沙市纳入监测范围的景区八天累计接待万人次，比去年春节同期增长，“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 7. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 某中学举行了数学学科素养大赛，赛后小强想提前知道自己的成绩，老师告诉了他两条信息：①其他五名学生的成绩（单位：分）分别是85，87，90，93，95；②你的成绩在这六个分数中既是众数，又是中位数，请你思考，小强的成绩是（ ） A. 85 B. 87 C. 90 D. 93 9. 2024年4月12日下午，湖南师大附中举行了庆祝建校119周年春季马路赛跑活动，赛程全长4.12千米，小军和小娟参加了这次活动，已知小军每小时能比小娟多跑1千米，他们同时起跑，小军先到2分钟，求小军的速度.在这个问题中，若设小娟每小时能跑千米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正六边形面积作近似估计，可得的估计值为（ ） A. 3 B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 12. 如图，菱形的对角线交于点，点 为的中点，连接 ，若，则 的长为__________. 13. 圆心角为，半径为2的扇形的面积为______． 14. 如图，厂房屋顶人字形钢架（等腰三角形）的中柱（ 为底边中点）的长为，，则它的跨度为__________m. 15. 自《学校食品安全与营养健康管理规定》发布后，多地提出“校长陪餐制”，即校长陪学生吃午餐．如图是某校一张餐桌的示意图，学生甲先坐在 座位，校长和学生乙在， ， 三个座位中随机选择两个座位，则校长和学生乙坐在正对面的概率为__________． 16. 如图，平面直角坐标系中，函数的图象经过，两点．若的面积为6，则的值为__________． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分） 17. 计算：. 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 下面是小华同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图1，直线 和直线 外一点.求作：直线，使直线直线 ． 作法：如图2， ①在直线 上任取一点，作射线； ②以为圆心，为半径作弧，交直线 于点 ，连接； ③以为圆心，长为半径作弧，交射线于点 ；分别以 ， 为圆心，大于长为半径作弧，在的右侧两弧交于点 ； ④作直线； 所以直线就是所求作的直线． 根据上述作图过程，回答问题： （1）根据上述作图过程可知：射线平分，这种作角的角平分线的方法的依据是___________（填序号）． ① ② ③ ④ （2）完成下面的证明： 证明：由作图可知平分， __________. 又 ， ___________. ， ， ， 直线直线 ．（___________）（填写推理依据） 20. 运动是一切生命的源泉，运动使人健康、使人聪明、使人快乐，运动不仅能改变人的体质，更能改变人的品格，某中学为了解学生一周在家运动时长（单位：小时）的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集的数据整理分析，共分为四组（ ，其中每周运动时间不少于小时为达标），绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，共调查了______ 名学生； （2）请补全频数分布直方图，并计算在扇形统计图中 组所对应扇形的圆心角的度数； （3）若该校有学生 人，试估计该校学生一周在家运动时长不足小时的人数． 21. 如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O （1）求证：△AEC≌△BED； （2）若∠1＝38°，求∠BDE的度数． 22. “阅读陪伴成长，书香润泽人生”，某中学为营造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书，调查发现，若购买甲种书柜5个，乙种书柜2个，共需要资金1380元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元． （1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ （2）若该校计划购进这两种规格的书柜共24个，其中购买乙种书柜的费用不少于购买甲种书柜的费用，问：学校应如何购买，花费资金最少，最少资金是多少？ 23. 如图，菱形的对角线，交于点，点，分别在，的延长线上，且， ． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的边长． 24. 若抛物线（、、 为常数，）与直线 有两个不同的交点、 ，且其中一个交点在轴的负半轴上，则称直线 与抛物线 具有“友好”关系. （1）下列抛物线中，与直线 具有“友好”关系的有___________. ①；②；③. （2）若直线与抛物线具有“友好”关系，且当时，二次函数有最小值为，求和 的值. （3）若直线与抛物线具有“友好”关系，记抛物线与轴的另一个交点为 ，与 轴的交点为 ，若与相似，求直线的解析式. 25. 如图，是的直径，平分交于点 ，点在的延长线上，满足． （1）求证：与相切； （2）在下列两个等式中，正确的请在相应的括号中打“√”，错误的打“×”，并选择其中一个正确的等式进行证明； ①（ ）；②（ ）； （3）设的面积为，的面积为，若，，试求 关于的函数关系式，并求当为何值时， 的值最大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024届九年级第四次质量调研暨中考全真模拟 数学试题 注意事项： 1.答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2.必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4.请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5.答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6.本试卷时量120分钟，满分120分. 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列选项中，比—2℃低的温度是( ) A. —3℃ B. —1℃ C. 0℃ D. 1℃ 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数大小比较的方法进行比较即可. 【详解】A、∵|-3|=3，|-2|=2，∴-3<-2，故A选项符合题意； B、∵|-1|=1，|-2|=2，∴-1>-2，故B选项不符合题意； C、-2<0，故C选项不符合题意； D、1>-2，故D选项不符合题意， 故选A. 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小. 2. 如图，原木旋转陀螺是一种传统益智玩具，是圆锥与圆柱的组合体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从组合体正上方看到的平面图形即可得到答案． 【详解】解：由题意得组合体的俯视图是： ， 故选：D． 【点睛】此题考查了三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方，积的乘方，完全平方公式以及单项式的除法，根据幂的乘方、积的乘方，完全平方公式以及单项式的除法，逐一判断各选项，即可得到答案，掌握运算法则解题的关键． 【详解】解：A. ，原计算错误； B. ，原计算错误； C. ，原计算错误； D. ，计算正确； 故选D 4. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】点（1，2）所在的象限是第一象限． 故选：A． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（−，＋）；第三象限（−，−）；第四象限（＋，−）． 5. 在2024甲辰龙年春节联欢晚会上，长沙分会场压轴亮相，展现了长沙潮流底色、文化底蕴，制造底气，让全国观众欣赏到了一场朝气蓬勃的演出，更是令游客对长沙心驰神往.这也让长沙在2024春节热门目的地排名进入前十，据监测数据，除夕至大年初八，长沙市纳入监测范围的景区八天累计接待万人次，比去年春节同期增长，“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为，其中，为整数，即可求解． 【详解】解：万， 故选：D． 6. 不等式组的解在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解每一个不等式，再根据结果判断数轴表示的正确方法． 【详解】解：由不等式①，得3x＞5-2，解得x＞1， 由不等式②，得-2x≥1-5，解得x≤2， ∴数轴表示的正确方法为C． 故选：C． 【点睛】考核知识点：解不等式组. 7. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”即可得到结论． 【详解】解：水面和杯底互相平行， ， ∵， ． 水中的两条光线平行， ． 故选：B． 8. 某中学举行了数学学科素养大赛，赛后小强想提前知道自己的成绩，老师告诉了他两条信息：①其他五名学生的成绩（单位：分）分别是85，87，90，93，95；②你的成绩在这六个分数中既是众数，又是中位数，请你思考，小强的成绩是（ ） A. 85 B. 87 C. 90 D. 93 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了众数和中位数．熟练掌握众数和中位数的定义和确定方法，是解决问题的关键．一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数；一组数据按一定大小顺序排列，处在中间的一个数或两个数的平均数叫做这组数据的中位数． 五个数85，87，90，93，95，再添一个数既是众数，又是中位数，可知添上的是90． 【详解】∵其他五名学生的成绩（单位：分）分别是85，87，90，93，95； ∴这五名学生的成绩（单位：分）中位数是90分， ∵小强的成绩在这六个分数中既是众数，又是中位数， ∴小强的成绩是90分． 故选：C． 9. 2024年4月12日下午，湖南师大附中举行了庆祝建校119周年春季马路赛跑活动，赛程全长4.12千米，小军和小娟参加了这次活动，已知小军每小时能比小娟多跑1千米，他们同时起跑，小军先到2分钟，求小军的速度.在这个问题中，若设小娟每小时能跑千米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 根据小军及小娟速度间的关系，可得出小军每小时能跑千米，利用时间路程速度，结合小军比小娟先到2分钟，即可列出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：小军每小时能比小娟多跑1千米，且小娟每小时能跑千米， 小军每小时能跑千米． 根据题意得：． 故选：C． 10. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正六边形面积作近似估计，可得的估计值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆的综合、等边三角形的判定及性质、含角的直角三角形的特征．连接 、，作 于，利用正多边形的性质得 ，再根据等边三角形的判定及性质得，，进而可得，再利用割补法求得正六边形的面积，进而可求解． 【详解】解：连接 、，作 于，如图： 六边形是正六边形， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 的估计值为， 故选：B． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】x-1 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件解答即可． 【详解】解：根据分式有意义的条件可知， x+10， 解得x-1， 故答案为：x-1． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，当分式的分母不等于0时，分式有意义． 12. 如图，菱形的对角线交于点 ，点为的中点，连接 ，若，则 的长为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线，根据四边形为菱形得，即点O为的中点，根据点为的中点得 为的中位线，即可得；掌握菱形的性质，三角形的中位线是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴点O为的中点， ∵点为的中点， ∴ 为的中位线， ∵， ∴， 故答案为：4． 13. 圆心角为，半径为2的扇形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式；直接利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：圆心角为，半径为2的扇形的面积为， 故答案为：． 14. 如图，厂房屋顶人字形钢架（等腰三角形）的中柱（ 为底边中点）的长为，，则它的跨度为__________m. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、含角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键． 由等腰三角形的性质得，再由含角的直角三角形的性质得,再由勾股定理求出的长，进而求得的长即可． 【详解】解：∵，D为底边的中点，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 自《学校食品安全与营养健康管理规定》发布后，多地提出“校长陪餐制”，即校长陪学生吃午餐．如图是某校一张餐桌的示意图，学生甲先坐在 座位，校长和学生乙在， ， 三个座位中随机选择两个座位，则校长和学生乙坐在正对面的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 画树状图，共有6种等可能的结果，其中校长和学生乙坐在正对面的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可得，共有6种等可能的结果，其中校长和学生乙坐在正对面的结果有2种， ∴校长和学生乙坐在正对面的概率． 故答案为： 16. 如图，平面直角坐标系中，函数的图象经过，两点．若的面积为6，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．熟练掌握反比例函数k的几何意义，是解决问题的关键．根据条件和k的几何意义得到，代入坐标整理得到，依据，转化为，可求出，将所求代数式化简后代入数据即可得到结果． 【详解】解：如图，作轴，轴，垂足分别为D、C， ∵，， ∴， ∴， 又， 整理得：，则， ∵， ∴， ∴，即 解得，或（舍去）， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分） 17. 计算：. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据负整数指数幂，零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，绝对值的意义，进行求解即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据分式混合运算法则化简，然后再将代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 下面是小华同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图1，直线 和直线 外一点 .求作：直线，使直线直线 ． 作法：如图2， ①在直线 上任取一点，作射线； ②以 为圆心，为半径作弧，交直线 于点 ，连接； ③以 为圆心，长为半径作弧，交射线于点 ；分别以 ， 为圆心，大于长为半径作弧，在的右侧两弧交于点； ④作直线； 所以直线就是所求作的直线． 根据上述作图过程，回答问题： （1）根据上述作图过程可知：射线平分，这种作角的角平分线的方法的依据是___________（填序号）． ① ② ③ ④ （2）完成下面的证明： 证明：由作图可知平分， __________. 又 ， ___________. ， ， ， 直线直线 ．（___________）（填写推理依据） 【答案】（1）① （2）；；同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边对等角、平行线的判定等知识． （1）根据作图可知，即可证明，得到答案； （2）由角平分线作图可知， ． 由等边对等角可知. 由三角形外角的性质得到，则，则，即可证明结论成立． 【小问1详解】 解：由作图可知，， ∴， 故选：①； 【小问2详解】 证明：由作图可知平分， . 又 ， . ， ， ， 直线直线 ．（同位角相等，两直线平行） 故答案为：，，同位角相等，两直线平行 20. 运动是一切生命的源泉，运动使人健康、使人聪明、使人快乐，运动不仅能改变人的体质，更能改变人的品格，某中学为了解学生一周在家运动时长（单位：小时）的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集的数据整理分析，共分为四组（ ，其中每周运动时间不少于小时为达标），绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，共调查了______ 名学生； （2）请补全频数分布直方图，并计算在扇形统计图中 组所对应扇形的圆心角的度数； （3）若该校有学生 人，试估计该校学生一周在家运动时长不足小时的人数． 【答案】（1）120 （2） 补全频数分布直方图如下： （3）700人 【解析】 【分析】）（1）根据条形统计图与扇形统计图中数据关联， 有36人，占比为 ，从而得到这次抽样调查的总人数； （2）计算出C组的人数，即可补全频数分布直方图； （3）由样本估计总体，列式求解即可得到答案． 【小问1详解】 解： 组人，占比 ， 在这次抽样调查中，共调查了 名， 故答案为： ； 【小问2详解】 解： 组频数为： ， 扇形统计图中 组所对应扇形的圆心角的度数为： ； 【小问3详解】 解：该校学生一周在家运动时长不足小时的人数约为： 人， 答：估计该校学生一周在家运动时长不足小时的人数约为 人． 【点睛】本题考查统计综合，涉及补全频数分布直方图及用样本估计总体，熟记相关统计指标的定义是解决问题的关键． 21. 如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O （1）求证：△AEC≌△BED； （2）若∠1＝38°，求∠BDE的度数． 【答案】 （1）证明：∵AE和BD相交于点O， ∴∠AOD=∠BOE． 在△AOD和△BOE中， ∠A=∠B，∴∠BEO=∠2． 又∵∠1=∠2， ∴∠1=∠BEO， ∴∠AEC=∠BED． 在△AEC和△BED中， ， ∴△AEC≌△BED（ASA）． （2）71°． 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED； （2）由（1）可知：EC=ED，∠C=∠BDE，根据等腰三角形的性质即可知∠C的度数，从而可求出∠BDE的度数； 【详解】（1）略 （2）∵△AEC≌△BED， ∴EC=ED，∠C=∠BDE． 在△EDC中， ∵EC=ED，∠1=38°， ∴∠C=∠EDC=71°， ∴∠BDE=∠C=71°． 【点睛】此题考查全等三角形，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型． 22. “阅读陪伴成长，书香润泽人生”，某中学为营造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书，调查发现，若购买甲种书柜5个，乙种书柜2个，共需要资金1380元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元． （1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ （2）若该校计划购进这两种规格的书柜共24个，其中购买乙种书柜的费用不少于购买甲种书柜的费用，问：学校应如何购买，花费资金最少，最少资金是多少？ 【答案】（1）甲种书柜单价180元，乙种书柜单价240元 （2）购买甲书柜13个，乙书柜11个时，资金最少，最少资金4980元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数解决实际问题． （1）设每个甲种书柜是x元，每个乙种书柜是y元，根据“购买甲种书柜5个，乙种书柜2个，共需要资金1380元；购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元”即可列出方程组，求解即可； （2）设购买甲种书柜 个，则购买乙种书柜个，根据“购买乙种书柜的费用不少于购买甲种书柜的费用”列出不等式，求出m的取值范围．进一步求出所需资金w与m的函数解析式，根据一次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：设每个甲种书柜是x元，每个乙种书柜是y元，由题意得 ， 解得：， 答：每个甲种书柜是180元，每个乙种书柜是240元； 【小问2详解】 解：设购买甲种书柜 个，则购买乙种书柜个， 由题意得：， 解得：， 所需资金， ，随 的增大而减小， ，且 为整数， 当时，w取最小值，为（元）， 此时（个） 答：购买甲书柜13个，乙书柜11个时，资金最少，最少资金为4980元． 23. 如图，菱形的对角线，交于点 ，点，分别在，的延长线上，且， ． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的边长． 【答案】（1）证明：四边形是菱形， ， ， ， ，即 ， 又 ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）菱形的边长为5 【解析】 【分析】（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到是平行四边形，然后根据 ，即可证明四边形是矩形； （2）在中，利用正切函数设 ，则，，在中，利用勾股定理求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形是矩形， ， ， 设 ，则， ， 在中，由勾股定理得： 即， 解得： 或 （舍去）， ， 菱形的边长为5． 24. 若抛物线（ 、、为常数，）与直线 有两个不同的交点、 ，且其中一个交点在轴的负半轴上，则称直线 与抛物线 具有“友好”关系. （1）下列抛物线中，与直线 具有“友好”关系的有___________. ①；②；③. （2）若直线与抛物线具有“友好”关系，且当时，二次函数有最小值为，求 和的值. （3）若直线与抛物线具有“友好”关系，记抛物线与轴的另一个交点为 ，与轴的交点为 ，若与相似，求直线的解析式. 【答案】（1）① （2），或， （3）直线的解析式为或 【解析】 【分析】本题是二次函数的综合，涉及一次函数一二次函数的交点问题，相似三角形的性质，解题的关键是灵活运用相关知识． （1）根据新定义求解即可； （2）由直线过点，可得抛物线过，进而得到，则当时，即时，二次函数有最小值为，分为当时，当时，两种情况求解即可； （3）画图分析知：，，，则与相似要分两种情况讨论：当时，，当时，，即可求解． 【小问1详解】 解：①联立， 解得：或， 即两函数的交点为和； ②联立， 解得：， 即两函数有一个交点； ③联立， 无解， 即两函数无交点； 故与直线 具有“友好”关系的有①， 故答案为：①； 【小问2详解】 直线与抛物线具有“友好”关系，且直线过点， 过点， ，进而得， “当时，二次函数有最小值为”转化为“当时，二次函数有最小值为”， ①当时，由图可知，当时，取最小值为， ，； ②当时，由图可知，当时，取最小值为， ，； 综上，，或，； 【小问3详解】 在中，令 ，则， 解得：， 令 ，则， 抛物线交轴于和，交轴于点， 直线过点， ， 画图分析知：，，， 与相似要分两种情况讨论， ①， 需有和同时成立， 由知： ， 设直线 的解析式为， 把和代入得： ， 解得：， 直线 的解析式为， 直线的解析式为， 联立， 解得：或， ， ，，， 代入得：， 解得：， 直线的解析式为， ②， 需有 和同时成立， 由 知：直线与关于轴对称，设直线与轴交于点 ，则， 把，代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或， ， ，，， 代入得：， 解得：（负值已舍去）， 直线的解析式为， 综上，直线的解析式为或． 25. 如图，是的直径， 平分交于点 ，点在的延长线上，满足． （1）求证：与相切； （2）在下列两个等式中，正确的请在相应的括号中打“√”，错误的打“×”，并选择其中一个正确的等式进行证明； ①（ ）；②（ ）； （3）设的面积为，的面积为，若，，试求关于的函数关系式，并求当为何值时，的值最大． 【答案】（1）证明：连接， 是的直径， ， 平分， ， ， ， ， ，且， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 与 相切； （2）①√；②√ （3）关于的函数解析式为，当时，取最大值为2 【解析】 【分析】（1）连接，先证，再证 即可得证； （2）分别根据①和②式倒推出需要证明的等式，再根据题干条件去证即可，①过作，，则四边形是正方形，再根据等面积即可得证．②证和得出比例线段，再代入式子推导即可； （3）根据题干条件可得，，连接，过点D作，交的延长线于点F，证明，得出，由得，所以，再代入得即可，需要注意的是在求最值过程中需要换元法． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：① ，② ． 证明：①如图：过作，，则四边形是矩形， ， ∴， 四边形是正方形， ， ， ， ， 两边同时除以得：． ②，， ， ，即， ，， ， ，即， ． 【小问3详解】 解：连接，过点D作，交的延长线于点F，设，则， 是的直径， ， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∵是直径， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． ， ， ， ， ， ， ， 令，则， 当 时，取最大值为2，此时， 关于得函数解析时为，当时，取最大值为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $