精品解析：2024浙江省宁波市初中学业水平考试数学模拟卷B试题

2024年宁波市初中学业水平考试模拟卷B 数学 考生须知： 1.本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2.答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号． 3.必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效，答题方式详见答题纸上的说明． 4.如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 5.考试结束后，试题卷和答题纸一并上交． 一、选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列选项中，比小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 截至2024年2月24日，日本东京电力公司开始将福岛第一核电站核污染水排放入海已满半年．2023年8月24日，不顾日本国内外多方强烈反对，日方正式开始将福岛第一核电站的核污染水排放至太平洋．截至2023年11月，东电分3次排放了合计约2.34万吨核污染水．东电在2024年度将福岛第一核电站约5.46万吨核污染水排入大海，排放分7次进行．从2023年到2024年日本排放核污水的总吨数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下面几何体中，从上面看，得到的平面图形为圆的是（　　） A. B. C D. 5. 不等式组的整数解的个数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 为了弘扬古诗词文化，某校举办了主题为“赏中华诗词，寻文化基因，品文学之美”的古诗词知识竞赛，进入决赛的10名学生成绩统计如下表，这10名学生决赛成绩的中位数应是（ ） 决赛成绩/分 98 96 95 91 90 人数/名 1 2 2 4 1 A. 91分 B. 92分 C. 93分 D. 95分 7. 若点，，在反比例函数上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出钱，还差钱；若每人出钱，还差钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，羊价为钱，根据题意，可列方程组为（ 　 ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，为中点，且交于点，，则的长为（ ） A B. C. D. 10. 如图，在中，，，是边上一点，且．是延长线上一点，连接交于点，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：______． 12. 分解因式：_________． 13. 一个不透明的袋子中装有除颜色外均相同的个黄色和个白色小球，从袋子中任意摸出只一个球是白色的概率是_______． 14. 一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是12cm，当重物上升时，滑轮的一条半径OA绕轴心按逆时针方向旋转的度数_________． 15. 四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边的中点是坐标原点O，固定点A，B，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为________． 16. 如图，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，O点与点C关于直线的对称，若反比例函数的图象过C点，则______． 三、解答题：（本大题有9个小题，共66分） 17. （1）计算：； （2）化简：． 18 解不等式组： 19. 如图所示，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，线段的端点A、B均在小正方形的顶点上．请按要求画图并计算： （1）点C、D均在小正方形顶点上，以为边画一个中心对称四边形，且面积为6； （2）点E在小正方形的顶点上，画直角，且点B为直角顶点； （3）连接，直接写出正切值______． 20. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上． （1）试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标； （2）在抛物线上是否存在一点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 21. 为进一步增强中小学生“知危险会避险”的意识，某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图： b．这30名学生两次知识竞赛获奖情况相关统计表： 参与奖 优秀奖 卓越奖 第一次竞赛 人数 10 10 10 平均分 82 87 95 第二次竞赛 人数 2 12 16 平均分 84 87 93 （规定：分数，获卓越奖；分数，获优秀奖；分数，获参与奖） c．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下： 90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98 d．两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 第一次竞赛 m 87.5 88 第二次竞赛 90 n 91 根据以上信息，回答下列问题： （1）小段同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“”圈出代表小段同学的点； （2）________，________ （3）以第二次竞赛成绩为依据，若该校初三年级共有学生840人，请你估计该校初三年级学生交通安全知识竞赛成绩在90分以上（含90分）的人数． 22. 如图是金溪二中教学用的电子白板．教室高，投影仪P发出的光线夹角，固定投影仪的吊杆，，且，．（以下结果精确到） （1）如图1，求投到白板上的影子高和白板下沿离地面的高度． （2）如图2，由于螺丝松动，吊杆顶点P向下偏移，，若、的大小无变化，求投影仪投到墙上的影子有多长？（参考数据：，，，） 23. 如图1，公路上依次有A、B、C三个汽车站，，，一辆汽车从离A站的P地出发，向C站匀速行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当到达B站时接到通知，要求中午准时到达C站，设汽车出发小时后离A站，图2中折线表示按到通知前y与x之间的函数关系． （1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为______千米/时； （2）求线段所表示的y与x之间的函数关系式； （3）接到通知后，汽车仍按原速行驶，能否准时到达？请说明理由． 24. 定义：在等腰三角形的外部，以一条腰为斜边作直角三角形，那么等腰三角形和直角三角形组成一个四边形，我们就称这个四边形是“等对邻直角四边形”． 概念理解 如图，在四边形中，若，，则四边形______“等对邻直角四边形”； A．是 B．不是 问题探究 （1）如图，在“等对邻直角四边形”中，，，是的中点，是的中点．则与的数量关系是______； （2）如图，在（）的条件下，平分，，问四边形为何种特殊四边形，并说明理由； 拓展探究： （3）在中，，是中点，是的中点．，，以为直角边作等腰直角，且，求以为顶点的四边形的面积． 25. 已知是的直径，且，点是上一点，过点作的切线，与的延长线交于点，连接． （1）如图①，若，求的大小和的长； （2）如图②，若，过点作交于点，连接交于点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年宁波市初中学业水平考试模拟卷B 数学 考生须知： 1.本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2.答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号． 3.必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效，答题方式详见答题纸上的说明． 4.如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 5.考试结束后，试题卷和答题纸一并上交． 一、选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列选项中，比小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握0大于负数，负数比较大小绝对值大的反而小是解题的关键． 根据0大于负数，负数比较大小绝对值大的反而小，即可解答． 【详解】解：， 比小的数是， 故选：D． 2. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是同底数幂的乘除法运算，幂的乘方的运算，根据相关运算法则逐项判断即可． 【详解】解：．，符合题意； ．，不合题意； ．，不合题意； ．，不合题意； 故选：． 3. 截至2024年2月24日，日本东京电力公司开始将福岛第一核电站的核污染水排放入海已满半年．2023年8月24日，不顾日本国内外多方强烈反对，日方正式开始将福岛第一核电站的核污染水排放至太平洋．截至2023年11月，东电分3次排放了合计约2.34万吨核污染水．东电在2024年度将福岛第一核电站约5.46万吨核污染水排入大海，排放分7次进行．从2023年到2024年日本排放核污水的总吨数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用有理数加法，科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定和的值． 【详解】解：2023年到2024年日本排放核污水的总吨数为万吨， 用用科学记数法表示为：万， 故选：B． 4. 下面几何体中，从上面看，得到的平面图形为圆的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是从不同方向看几何体，具备一定的空间想象能力是解题的关键；根据从上面看到的图形，逐项判定即可． 【详解】解：A、长方体从上面观察得到的平面图形是矩形，故此选项不符合题意； B、从上面观察得到的平面图形是三角形，故此选项不符合题意； C、从上面观察得到的平面图形是正方形，故此选项不符合题意； D、球从上面观察得到的平面图形是圆，故此选项符合题意； 故选：D． 5. 不等式组的整数解的个数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为-1，0，1，2，3，4共6个． 故答案为：C． 6. 为了弘扬古诗词文化，某校举办了主题为“赏中华诗词，寻文化基因，品文学之美”的古诗词知识竞赛，进入决赛的10名学生成绩统计如下表，这10名学生决赛成绩的中位数应是（ ） 决赛成绩/分 98 96 95 91 90 人数/名 1 2 2 4 1 A. 91分 B. 92分 C. 93分 D. 95分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中位数的知识，解题的关键是先对这位学生的成绩从小到大的顺序排序，根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：先对这位学生成绩进行排序， ∴，，，，，，，，，， ∴处于中间位置的两位数是平均数为：， ∴中位数为． 故选：C． 7. 若点，，在反比例函数上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，根据解析式可得反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，据此判断出，在第二象限，在第四象限，再由增减性可得． 【详解】解：∵反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内y随x的增大而增大， ∴，在第二象限，且， ∴， ∵在第四象限， ∴， ∴， 故选：B． 8. 《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出钱，还差钱；若每人出钱，还差钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，羊价为钱，根据题意，可列方程组为（ 　 ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，设合伙人数为人，羊价为钱，根据题意，列方程组即可，读懂题意，找准等量关系是解题的关键． 【详解】解：设合伙人数为人，羊价为钱， 根据题意，得：， 故选：． 9. 如图，在中，，，为中点，且交于点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理等，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键． 连接，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据等腰三角形的性质及三角形外角性质求出，根据三角形内角和定理求出，解直角三角形求出，，再根据线段的和差求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 为中点，且交于点， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 10. 如图，在中，，，是边上一点，且．是延长线上一点，连接交于点，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，正确应用性质定理是解题的关键． 作于，根据等腰三角形的性质以及等腰三角形三线合一的性质得出，，利用勾股定理求得，证得，求得，证得，求得，根据即可求解． 【详解】解：作于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：D． 二、填空题：（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减法混合运算，绝对值定义，零指数幂，解题的关键是熟记以上运算法则．先化简绝对值，再计算零指数幂，最后从左到右计算即可． 【详解】解：原式 故答案为： ． 12. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提取公因式，再用平方差公式因式分解，即得答案． 【详解】． 故答案为：． 13. 一个不透明的袋子中装有除颜色外均相同的个黄色和个白色小球，从袋子中任意摸出只一个球是白色的概率是_______． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】本题考查概率的求解，解题的关键是掌握计算概率的方法．用白色球的个数除以所有球的个数得到概率． 【详解】解：任意摸出一个球是白色球的概率为：， 故答案为：． 14. 一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是12cm，当重物上升时，滑轮的一条半径OA绕轴心按逆时针方向旋转的度数_________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式的计算．重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：滑轮的半径是， 设旋转的角度是， 由题意得：， 解得：， 滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为， 故答案：． 15. 四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边的中点是坐标原点O，固定点A，B，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确地识别图形是解题的关键． 由已知条件得到，，根据勾股定理得到，再根据的长度进而即可得出结论． 【详解】解：由题意得：，， ， ，， ， 故答案为：． 16. 如图，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，O点与点C关于直线的对称，若反比例函数的图象过C点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先求解，，可得，如图，过作轴于，由O点与点C关于直线的对称，可得，是的垂直平分线，求解，再求解，，从而可得答案． 【详解】解：∵直线与两坐标轴分别交于A，B两点， ∴当时，， 当时，， ∴，， ∴， 如图，过作轴于， ∵O点与点C关于直线的对称， ∴，，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的应用，轴对称的性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题：（本大题有9个小题，共66分） 17. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，完全平方公式，单项式乘以多项式； （1）根据有理数的乘方，化简绝对值，求一个数的算术平方根进行计算即可求解； （2）根据完全平方公式，单项式乘以多项式进行计算即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为． 19. 如图所示，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，线段的端点A、B均在小正方形的顶点上．请按要求画图并计算： （1）点C、D均在小正方形顶点上，以为边画一个中心对称四边形，且面积为6； （2）点E在小正方形的顶点上，画直角，且点B为直角顶点； （3）连接，直接写出正切值______． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3）1 【解析】 【分析】（1）根据中心对称图形的定义，画出一个平行四边形即可； （2）根据题意画出即可； （3）利用特殊角的三角函数值，求出正切值即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 平行四边形的面积为：， ∴平行四边形即为所求； 【小问2详解】 解：如图： 由勾股定理得：， ∴， ∴为直角三角形， ∴即为所求； 【小问3详解】 解：如图可知：为小正方形的对角线， ∴， ∴的正切值为：； 故答案为：1． 【点睛】本题考查格点作图，中心对称图形，勾股定理及其逆定理，锐角三角函数．熟练掌握平行四边形是中心对称图形，利用勾股定理逆定理证明三角形是直角三角形，以及特殊角的三角函数值，是解题的关键． 20. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上． （1）试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标； （2）在抛物线上是否存在一点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的对称轴是y轴，顶点C的坐标为 （2）不存在．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查抛物线的图象和性质，全等三角形的性质等： （1）抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为； （2）假设存在一点M，使，则点M和O关于直线对称， 求出点M的坐标，再判断点M是否在抛物线上即可． 【小问1详解】 解：该抛物线的对称轴是y轴，顶点C的坐标为． 【小问2详解】 解：不存在．理由如下： 对于，令，则， 解得，， 点A的坐标为，点B的坐标为． 则， 是等腰直角三角形． 假设存一点M，使， 为公共边，， 点M和O关于直线对称， 四边形是正方形， 点M的坐标为． 当时，， 即点M不在抛物线上， 在抛物线上不存在一点M，使． 21. 为进一步增强中小学生“知危险会避险”的意识，某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图： b．这30名学生两次知识竞赛获奖情况相关统计表： 参与奖 优秀奖 卓越奖 第一次竞赛 人数 10 10 10 平均分 82 87 95 第二次竞赛 人数 2 12 16 平均分 84 87 93 （规定：分数，获卓越奖；分数，获优秀奖；分数，获参与奖） c．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下： 90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98 d．两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 第一次竞赛 m 87.5 88 第二次竞赛 90 n 91 根据以上信息，回答下列问题： （1）小段同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“”圈出代表小段同学的点； （2）________，________ （3）以第二次竞赛成绩为依据，若该校初三年级共有学生840人，请你估计该校初三年级学生交通安全知识竞赛成绩在90分以上（含90分）的人数． 【答案】（1）图见解析； （2）88，90 （3）448人 【解析】 【分析】本题考查了统计图分析，平均数，中位数，以及由样本所占百分比估计总体数量，掌握统计图分析方法，平均数，中位数的概念，和由样本所占百分比估计总体数量的方法是解题的关键． （1）根据30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图可得，横坐标为89，纵坐标为91，即可获得答案； （2）根据平均数和中位数的定义求解即可； （3）要求当参加考试总人数840人时，竞赛成绩在90分以上（含90分）的人数，只需要总人数840乘以参加的学生中成绩超过90分的比例即可． 【小问1详解】 解： 小段同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，所以图中代表的点如图所示， 【小问2详解】 解：， 第二次竞赛获得参与奖2人，优秀奖12人；获卓越奖的学生有16人，成绩从小到大排列为：90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98， 30名学生成绩的中位数是第15和第16个数的平均数， ， ，． 【小问3详解】 解：根据第二次竞赛成绩，参加学生为30人，竞赛成绩在90分以上（含90分），即获得卓越奖的人数为16人， 若参加人数840，估计竞赛成绩在90分以上（含90分）的人数为：． 答: 该年级学生都参加测试，估计竞赛成绩在90分以上（含90分）的人数为人． 22. 如图是金溪二中教学用的电子白板．教室高，投影仪P发出的光线夹角，固定投影仪的吊杆，，且，．（以下结果精确到） （1）如图1，求投到白板上的影子高和白板下沿离地面的高度． （2）如图2，由于螺丝松动，吊杆顶点P向下偏移，，若、的大小无变化，求投影仪投到墙上的影子有多长？（参考数据：，，，） 【答案】（1） （2）投影仪投到墙上的影子有． 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，理解题意，作出辅助线构建直角三角形是解本题的关键； （1）利用锐角的正切先求解，再利用线段的和差可得答案； （2）如图，过作于，先求解，，，再求解，可得，再利用线段的和差可得答案． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 如图，过作于， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴投影仪投到墙上的影子有． 23. 如图1，公路上依次有A、B、C三个汽车站，，，一辆汽车从离A站的P地出发，向C站匀速行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当到达B站时接到通知，要求中午准时到达C站，设汽车出发小时后离A站，图2中折线表示按到通知前y与x之间的函数关系． （1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为______千米/时； （2）求线段所表示的y与x之间的函数关系式； （3）接到通知后，汽车仍按原速行驶，能否准时到达？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，一次函数解析式，一次函数的应用，从图象中获取正确的信息是解题的关键 （1）由图象可知，休息前汽车行驶的速度为，计算求解即可； （2）由题意知，休息后按原速继续前进的时间为小时，，，待定系数法求线段所表示的y与x之间的函数关系式即可； （3）由题意知，接到通知后，汽车仍按原速行驶，则全程总时间为小时，由，判断作答即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，休息前汽车行驶的速度为（千米/时）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意知，休息后按原速继续前进的时间为（小时），， ∴， 设线段所表示的y与x之间的函数关系式为， 将，代入得，， 解得，， ∴线段所表示的y与x之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：不能准时到达，理由如下： 由题意知，接到通知后，汽车仍按原速行驶，则全程总时间为（小时）， ∵， ∴不能准时到达． 24. 定义：在等腰三角形的外部，以一条腰为斜边作直角三角形，那么等腰三角形和直角三角形组成一个四边形，我们就称这个四边形是“等对邻直角四边形”． 概念理解 如图，在四边形中，若，，则四边形______“等对邻直角四边形”； A．是 B．不是 问题探究 （1）如图，在“等对邻直角四边形”中，，，是的中点，是的中点．则与的数量关系是______； （2）如图，在（）的条件下，平分，，问四边形为何种特殊四边形，并说明理由； 拓展探究： （3）在中，，是的中点，是的中点．，，以为直角边作等腰直角，且，求以为顶点的四边形的面积． 【答案】（1）； （2）四边形为菱形，理由见解析； （3）或． 【解析】 【分析】（）根据定义及三角形中位线的性质和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求解； （）先证四边形为平行四边形，再证为菱形即可； （）分情况讨论，在由面积和差计算即可； 本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 根据定义可得：四边形是“等对邻直角四边形”， ∵“等对邻直角四边形”中，，，是中点，是的中点， ∴，， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 四边形为菱形，理由如下： 由（）得， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵等对邻直角四边形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形； 【小问3详解】 ∵，是的中点， ∴，， ∵为中点， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 如图， ∴以为顶点的四边形的面积为； 如图， 以为顶点的四边形的面积为． 25. 已知是的直径，且，点是上一点，过点作的切线，与的延长线交于点，连接． （1）如图①，若，求的大小和的长； （2）如图②，若，过点作交于点，连接交于点，求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了本题考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，垂径定理及勾股定理等知识， （1）连接，根据切于点得，由是的直径，得，根据得，即，在中，根据勾股定理即可求解； （2）连接，根据，得是等边三角形，由，得，根据是等边三角形，，得，根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：连接． 切于点， ，即． 是的直径，， ． ． ． ． ． ． 在中，． 【小问2详解】 解：连接． ，， 是等边三角形． ． 同（1）可得， ， ． ， ．即， 又是的直径， ． 是等边三角形，， ． 在中，． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$