精品解析：2024年浙江省杭州市九年级中考数学学业水平考试模拟B试题

2024年杭州市初中学业水平考试模拟卷B 数学 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效，答题方式详见答题纸上的说明． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 5．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交． 试题卷 一、选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 中国是最早采用正负数表示相反意义，并进行负数运算的国家．若把气温为零上记作，则表示气温为（ ） A. 零上 B. 零下 C. 零上 D. 零下 2. 中国海关总署于2024年1月12日发布消息称：2023年我国汽车出口量为522万辆，同比增加．数据“522万”用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，被直线所截，且,平分，过点G作，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 运用等式性质进行的下列变形，不正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C 如果，那么 D. 如果，那么 5. 在一次数学实践活动课上，老师指导学生进行折纸活动，下图是小睿、小志、小芳三位同学的折纸示意图（的对应点是），分析他们折纸情况说法正确的是（ ） A. 小睿折出的是中的平分线 B. 小志折出的是边上的中线 C. 小芳折出是中边上的高 D. 上述说法都错误 6. 小明从地到地（两地相距40千米）的骑车速度为10千米/小时，则小明离地的距离（千米）与骑车时间（小时）之间的函数解析式（不写自变量的取值范围）为（ ） A. B. C. D. 7. 某地区2017年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2019年底贫困人口减少至1万人．设2017年底至2019年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（　　） A. B. C. D. 8. 如图，平面直角坐标系中，等腰的顶点在轴上，直角顶点，将以点为旋转中心，顺时针每秒旋转45°，77秒后，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 方程有两个不相等的实数根； B. 不等式的最大整数解是2； C. 顺次连接对角线相等的四边形各边中点得到的四边形是矩形； D. 直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的外接圆的半径为5． 10. 如图，在中，，，，为的角平分线，点为上一动点，点为的中点，连接，则的最小值是（ ） A 2 B. C. 4 D. 二、填空题：（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：______． 12. 在一个不透明袋子中，装有2个红球和一些白球，这些球除颜色外其他都一样，如果从袋中随机摸出一个球是红球的概率为，那么白球的个数是________． 13. 如图，函数和的图象交于点，则关于x的不等式的解集为___________． 14. 如图，一座水库大坝的横断面为梯形，斜坡，现将坡度为的斜坡改为坡度为的斜坡．则新坡面________．（结果保留根号） 15. 某商场购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售价为45元时，每天可售出100盒．每盒的售价每降低1元，每天的销量增加10盒．要使该款大礼包每天的销售额达到6000元，每盒的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价x元，则可列方程为__________________． 16. 如图，已知的弦，以为一边作正方形，边与相切，切点为E，则半径为__________ 三、解答题：（本大题有7个小题，共66分） 17. 计算：． 18. 为落实“双减”政策，某校随机调查了50名学生平均每天完成书面作业所需时间的情况，根据调查数据绘制了如下不完整的统计图表： 分组 时间x（时） 人数 A 5 B 16 C a E 4 （1）分别写出a、b的值并补全条形统计图； （2）若该校有学生1000人，估计每天完成书面作业的时间不足小时的学生约有多少人? （3）学校需要深入了解影响作业时间因素，现从E组的4人中随机抽取2人进行谈话，已知E组中七、八年级各1人，九年级2人，则抽取的2人都是九年级学生的概率为多少? 19. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 20. 已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数图象交于点和点，与轴交于点． （1）求，及点坐标； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）若是轴上一点，且满足的面积等于，求点坐标． 21. 在中，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 22. 如图，抛物线的对称轴l与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求点A、B的坐标； （2）C为该抛物线上的一个动点，点D为点C关于直线l的对称点（点D在点C的左侧），点M在坐标平面内，请问是否存在这样的点C，使得四边形是正方形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 如图，内接于，是的直径，交于点E，交于点F，且． （1）求证：是切线； （2）若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年杭州市初中学业水平考试模拟卷B 数学 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效，答题方式详见答题纸上的说明． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 5．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交． 试题卷 一、选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 中国是最早采用正负数表示相反意义，并进行负数运算的国家．若把气温为零上记作，则表示气温为（ ） A. 零上 B. 零下 C. 零上 D. 零下 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，零上为正，则零下为负，进行作答即可． 【详解】解：∵把气温为零上记作， ∴表示气温为零下． 故选：B 2. 中国海关总署于2024年1月12日发布消息称：2023年我国汽车出口量为522万辆，同比增加．数据“522万”用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：522万． 故选：B． 3. 如图，，被直线所截，且,平分，过点G作，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理以及角平分线的性质，正确熟练运用知识点进行角度计算是解答本题的关键． 先在中通过三角形内角和定理得出度数，再由平行线的性质求出的度数，最后由角平分线的性质即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 故选：B． 4. 运用等式性质进行的下列变形，不正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等式的性质，熟记性质内容，结合题意准确判断是解题关键．直接根据等式的性质判断即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，故A不符合题意； ∵， ∴，故B不符合题意； ∵，， ∴，故C符合题意； ∵， ∴，故D不符合题意； 故选：C． 5. 在一次数学实践活动课上，老师指导学生进行折纸活动，下图是小睿、小志、小芳三位同学的折纸示意图（的对应点是），分析他们折纸情况说法正确的是（ ） A. 小睿折出的是中的平分线 B. 小志折出的是边上的中线 C. 小芳折出的是中边上的高 D. 上述说法都错误 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、中线、高以及角平分线，可根据折叠的性质：折叠前后两个图形全等，对应边相等，对应角相等，进行作答． 【详解】A、根据折叠后对应角相等可知：，是的平分线，选项说法正确，符合题意； B、根据折叠后对应边相等可知：且，并非边中线，选项说法错误，不符合题意； C、根据折叠后对应角相等可知：且，，，但并不是的高，因此选项说法错误，不符合题意； D、由于选项A说法正确，因此该选项说法错误，不符合题意． 故选：A． 6. 小明从地到地（两地相距40千米）的骑车速度为10千米/小时，则小明离地的距离（千米）与骑车时间（小时）之间的函数解析式（不写自变量的取值范围）为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合路程=速度时间列方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 故选：C． 【点睛】本题考查利用函数的表示解实际问题，读懂题意，准确利用表达式表示函数关系是解决问题的关键． 7. 某地区2017年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2019年底贫困人口减少至1万人．设2017年底至2019年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键． 等量关系为：2017年贫困人口（1−下降率）＝2019年贫困人口，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得： ， 故选：B． 8. 如图，平面直角坐标系中，等腰的顶点在轴上，直角顶点，将以点为旋转中心，顺时针每秒旋转45°，77秒后，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形，点的坐标规律，根据题意知，每隔8秒点B回到原来的位置，由此得到规律，求解即可 【详解】解：旋转一周为360°，每秒旋转45°， （一个周期）. ， 如图所示，为以点为旋转中心，顺时针旋转5次后的图形. ∵ ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得， 由旋转的性质得， ， 可得所求点的坐标为， 故选：B 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 方程有两个不相等的实数根； B. 不等式最大整数解是2； C. 顺次连接对角线相等的四边形各边中点得到的四边形是矩形； D. 直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的外接圆的半径为5． 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查真假命题，根据一元二次方程的判别式、解不等式、菱形的判定理、直角三角形外接圆的直径逐一判断． 【详解】解：A、方程，，无实数根，原说法错误； B、不等式的解集为，最大整数解是1，原说法错误； C、顺次连接对角线相等的四边形各边中点得到的四边形是菱形，原说法错误； D、直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的外接圆的半径为5，原说法正确； 故选：D． 10. 如图，在中，，，，为的角平分线，点为上一动点，点为的中点，连接，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】当点与点重合时，点在点处，此时，当点与点重合时，点在点处，此时，由三角形中位线定理得出点在上运动，当时，的值最小，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，求出得出的最小值为，求出的长即可得解． 【详解】解：如图所示： 当点与点重合时，点在点处，此时， 当点与点重合时，点在点处，此时， 为的中位线， ，且， 点为的中点， 为的中位线， ，， 点在上运动，当时，的值最小， 在中，，，， ，， ，， ， 为的角平分线， ， ， ，即， 的最小值为， ， ， ，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂线段最短，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，解直角三角形的应用，正确运用相关知识点是解题关键． 二、填空题：（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的化简，运用绝对值垢性质进行化简即可． 【详解】解：． 故答案：． 12. 在一个不透明袋子中，装有2个红球和一些白球，这些球除颜色外其他都一样，如果从袋中随机摸出一个球是红球的概率为，那么白球的个数是________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了概率的定义．解题的关键与难点在于理解概率的定义，求出球的总数．随机摸出一个球是红球的概率是，可以得到球的总个数，进而得出白球的个数． 【详解】解：设红、白球总共n个，记摸出一个球是红球为事件A， ， 白球有个 故答案为：． 13. 如图，函数和的图象交于点，则关于x的不等式的解集为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到函数的图象在函数的图象上方时，自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，当函数的图象在函数的图象上方时，自变量的取值范围为， ∴关于x的不等式的解集为， 故答案为：． 14. 如图，一座水库大坝的横断面为梯形，斜坡，现将坡度为的斜坡改为坡度为的斜坡．则新坡面________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求线段长，涉及坡度概念、勾股定理等知识，先由坡度，设，，在中，由勾股定理列方程解得，求出，进一步在中，由坡度求出，由勾股定理求解即可得到答案，熟记坡度定义及勾股定理求线段长是解决问题的关键． 【详解】解：在梯形中，斜坡，坡度为， ， 设，，则在中，，解得， ， 在中，，解得，则， 故答案为：． 15. 某商场购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售价为45元时，每天可售出100盒．每盒的售价每降低1元，每天的销量增加10盒．要使该款大礼包每天的销售额达到6000元，每盒的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价x元，则可列方程为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设该款大礼包每盒降价元，根据该款大礼包每天的销售额达到6000元，列出方程即可． 【详解】解：设该款大礼包每盒降价元，根据题意得： ， 故答案为：． 16. 如图，已知的弦，以为一边作正方形，边与相切，切点为E，则半径为__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，垂径定理和勾股定理，连接并延长，交于F，连接，设的半径为r，则，，由勾股定理列式可求出． 【详解】解：连接并延长，交于F，连接，如图， 设的半径为r，则， 边与相切， ， 四边形为正方形， ， ， 在中，，即 解得：， 即圆的半径为， 故答案为： 三、解答题：（本大题有7个小题，共66分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根和立方根的混合运算，掌握实数的运算法则是解题的关键，先求算术平方根、负分数的幂、立方根，再根据实数的运算法则即可求解． 详解】解： 18. 为落实“双减”政策，某校随机调查了50名学生平均每天完成书面作业所需时间的情况，根据调查数据绘制了如下不完整的统计图表： 分组 时间x（时） 人数 A 5 B 16 C a E 4 （1）分别写出a、b的值并补全条形统计图； （2）若该校有学生1000人，估计每天完成书面作业的时间不足小时的学生约有多少人? （3）学校需要深入了解影响作业时间因素，现从E组的4人中随机抽取2人进行谈话，已知E组中七、八年级各1人，九年级2人，则抽取的2人都是九年级学生的概率为多少? 【答案】（1），，见解析 （2）人 （3） 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，列表法或树状图法求随机事件的概率，用样本估计总体，理解频数之和等于样本容量以及列举出所有可能出现的结果情况是正确解答的前提． （1）直接由表格中的数据求得a、b的值，据此可补全条形统计图； （2）根据样本估计总体即可求解； （3）结合题意画出树形图，可得共有12种等可能情况，其中抽取的两名学生都来自九年级的有2种情况，由此结合概率定义，便可以得到概率． 【小问1详解】 解：由图形知， 则， 补全图形如下： 【小问2详解】 解：（人）； 【小问3详解】 解：将七、八、九年级的学生分别记作、、、，画树形图如图所示： 共有12种等可能情况，其中抽取的两名学生都来自九年级的有2种情况， ∴抽取的两名学生都来自九年级的概率为． 19. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）OE=2． 【解析】 【分析】（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可． （2）根据菱形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）证明：∵AB//CD， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵∥， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是菱形． （2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点， ∴，，， ∴， 在Rt△AOB中，， ∴， ∵， ∴， 在Rt△AEC中，，为中点， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 20. 已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点． （1）求，及点坐标； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）若是轴上一点，且满足的面积等于，求点坐标． 【答案】（1），， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题是一次函数与反比例函数图象的交点问题，主要考查了待定系数法，求一次函数图象与反比例函数图象的交点，第（3）关键是根据面积列出方程，利用了数形结合思想． （1）把点代入即可求得m的值，然后根据待定系数法即可求得a，解析式联立，解方程组即可求得B的坐标； （2）观察图象即可求得； （3）设点P的坐标为，根据的面积是5，列出m的方程解答便可． 【小问1详解】 解：一次函数经过点， ， ， 点A在反比例函数 的图象上， ， 反比例函数为 ， 由题意得 ， 解得 或 ， 的坐标为； 【小问2详解】 解：由图象可知：或； 【小问3详解】 解：设点P的坐标为， 在中， 令， 得， 点D的坐标为， ， 或， 点P的坐标为或. 21. 在中，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长是 【解析】 【分析】（1）先利用“中点+平行模型”证明，得，再根据是的中点，可得，从而可证四边形是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得，从而利用菱形的判定定理即可解答； （2）根据四边形是菱形，可得和都是等边三角形，作交的延长线于点，，求出，，再在中由勾股定理即可求解． 本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：是的中点，是的中点， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 是的中点， ， 四边形是菱形． 【小问2详解】 解：作交的延长线于点，则， 四边形是菱形， ， 和都是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， 的长是． 22. 如图，抛物线的对称轴l与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求点A、B的坐标； （2）C为该抛物线上的一个动点，点D为点C关于直线l的对称点（点D在点C的左侧），点M在坐标平面内，请问是否存在这样的点C，使得四边形是正方形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）存在这样的点C，使得四边形是正方形，点C的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将二次函数化为顶点式，然后求出点A的坐标；把代入抛物线的解析式，求出，得出点B的坐标即可； （2）分两种情况进行讨论，当在x轴下方时，当M在x轴上方时，分别画出图形，求出结果即可． 【小问1详解】 解：， ， 当时，， ． 【小问2详解】 解：存在，理由如下： 由题意四边形是正方形，则是以点A为直角顶点的等婹直角三角形． 设， ①当在x轴下方时，如图1，过点C作轴于E，此时等腰直角三角形， ， ， （舍去），， 此时． ②当M在x轴上方时，如图2，过点C作轴于F， 同理可得：， ， ，（舍去）， 此时． 综上所述，存在这样的点C，使得四边形是正方形，此时点C的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，正方形的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 23. 如图，内接于，是的直径，交于点E，交于点F，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，只要证明，即可证明是的切线； （2）作于G，证明，求得，，在中，利用勾股定理求得，据此求解即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：作于G，则， ∵， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设， 在中，， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，切线的判定，圆周角定理，三角形中位线定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$