四川省宁南中学2024-2025学年高三上学期数学第一次周测试题

四川省宁南中学2025届高三上期数学第一次周测试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每题5分，每题只有一个正确选项，共40分） 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．设等差数列的公差为，前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．已知向量，若，则（    ） A．2 B．3 C． D． 5．已知数列的前项和为（    ） A．276 B．272 C．268 D．266 6．已知随机变量，正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．9 7．已知圆的半径为2，弦的长为，若，则（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 8．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于A，B两点，点在第一象限，点为坐标原点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D．-1 二、多选题（每题6分，每道题有多个正确选项，如果全部选正确则给6分。如果部分选正确则给部分分，其中若有2个正确选项的每选对1个得3分，若有3个正确选项的每选对1个得2分。若有错选或多选的给0分。） 9．在中，角的对边为若，则的面积可以是（    ） A． B．3 C． D． 10．如图，已知正方体中，分别为棱、的中点，则下列说法正确的是（    ） A．四点共面 B．与异面 C． D．RS与所成角为 11．已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题（每题5分，共15分。两个空的题第1空2分，第2空3分） 12．小明上班的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为，则他在上班的路上恰好遇到2次绿灯的概率为 . 13．若实数，满足，则的最大值为 ，的最小值为 14．如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的．，，，…为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为， ；令，为数列的前n项和，则 ． 四、解答题（15题13分， 16~17题每题15分， 18~19题每题17分， 共77分） 15．（13分）已知是各项均为正数的数列的前项和，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，是正三角形，已知，，. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离. 17．（15分）红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数（个）和温度（）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值： 25 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中；；； (1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？ (2)根据（1）中所选择的模型，求出关于的回归方程． 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，， 18．（17分）已知椭圆C：经过点，其右顶点为. (1)求椭圆C的方程； (2)若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为.求面积的最大值. 19．（17分）已知函数． (1)证明曲线在处的切线过原点； (2)讨论的单调性； (3)若，求实数的取值范围． 试卷第4页，共4页 四川省宁南中学2025届高三上期数学第一次周测试题 参考答案： 1．C 【详解】根据函数解析式可得，解得； 所以该函数的定义域为. 故选：C 2．D 【详解】， 则，所以. 故选：D 3．C 【详解】， 故。 故选：C 4．C 【详解】因为， 所以，，故， 所以. 故选：C. 5．A 【详解】，又， 当时，，解得； 当时，，作差得， . 故选：A 6．B 【详解】由，可得正态曲线的对称轴为， 又， ∴． ∴（当且仅当，时，等号成立）． 所以的最小值为 故选：B． 7．B 【详解】如图，设的中点为，连接，则.由， ，得，所以，，所以， 所以，所以， 所以. 故选：B.        8．A 【详解】如图：设直线倾斜角为，抛物线的准线： 作于，根据抛物线的定义，， 所以，类似的. 由知，得，故. 故选：A 9．AC 【详解】由余弦定理得:， 即或4，故面积或. 故选：AC. 10．AC 【详解】以D为坐标原点，分别以所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系： 设正方体的棱长为2， 则， 因为分别为棱、的中点， 所以， 对于A，因为，所以， 所以，所以四点共面，正确； 对于B，因为，所以， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以，错误； 对于C，因为，所以， 所以，即，正确； 对于D，因为， 所以，， 所以， 设RS与所成角为，，则，所以， 即与所成角为，错误. 11．ABD 【详解】因为， 令得：，又因为，所以，故A正确； 因为是定义域为的奇函数，所以，且为偶函数. 令，可得：① 再用代替可得： ② ①②得： 所以：， 所以是周期为3的周期函数，所以：，故B正确. 因为：，，所以：， 所以：，故C错误； 又因为亦为周期为3的周期函数，且为偶函数，所以 令，可得：， 所以. 所以：.故D正确. 12． 【详解】恰好遇到2次绿灯的概率为. 13． 【详解】因为，所以，当且仅当时等号成立； 因为，所以， 又因为，所以， 解得， 所以的最小值为，当且仅当时等号成立. 14． 12 【详解】由题意得， 则，，，， ， ， 前项和， 故， 15．【详解】（1），． ， ，， 数列是公比为3的等比数列． ， ，． （2）由（1）知，， ，① ，② ①②得 ， ． 16．【详解】（1）证明：分别作的中点，连接， 因为分别为的中点，且四边形为等腰梯形， 可得，所以， 在等腰梯形中，因为，， 可得，所以， 因为是正三角形，是中点，所以，又由，可知 又因为，所以，所以， 因为，，且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）解：由（1）知，，且为的中点，可得， 过作于，因为，则为的中点， 且，所以， 又由，所以， 设点到平面的距离为，则，解得， 所以点到平面的距离为. 17．【详解】（1）模型①更合适． 模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄， 所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适． （2）令与温度x可以用线性回归方程来拟合，则． ， 则关于的线性回归方程为，即， 产卵数y关于温度x的回归方程为． 18．【详解】（1）解：依题可得，，解得，所以椭圆C的方程为． （2）解：易知直线AP与AQ的斜率同号，所以直线不垂直于轴， 故可设，，， 由可得，， 所以，，， 而，即，化简可得，①， 因为， 所以，令可得，②， 令可得，③， 把②③代入①得，，化简得， 所以，或， 所以直线或， 因为直线不经过点，所以直线经过定点． 设定点， 所以，， 因为，所以， 设， 所以， 当且仅当即时取等号，即△APQ面积的最大值为． 19．【详解】（1）由题设得，所以， 又因为，所以切点为，斜率， 所以切线方程为，即恒过原点． （2）由（1）得， ①时，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减； 令，则 ②且时，即时，，在上单调递增， 时，， ，则，或，得 所以在上单调递增，在上单调递增； ，则，则， 所以在上单调递减， ③时，， 则，则，所以在上单调递减； ，则，所以在上单调递增， 综上：时，在上单调递增；在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递增；在上单调递减， 时，在上单调递减；在上单调递增， （3）当时，，即， 下面证明当时，，，即证， 令，因为，所以，只需证， 即证，令，，， 令，， 令，，与在上单调递减， 所以在上单调递减，，， 所以存在，使得，即， 所以，，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，，， 令，时， 所以在上单调递增，所以， 所以，，所以在上单调递减， ，，，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，综上所述． 答案第6页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $$