精品解析：2024年四川省成都市数学中考模拟卷B试题

2024年中考数学模拟卷B （成都专用） 注意事项：全套试卷分为A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分，考试时间120分钟． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每题4分，共32分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定） 1. －6的绝对值是（ ） A. -6 B. 6 C. - D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C D. 3. 如图是甲、乙两人次射击成绩（环）的条形统计图，则（　　） A. 甲的平均成绩比乙好 B. 乙的平均成绩比甲好 C. 甲、乙两人的平均成绩一样 D. 无法确定谁的平均成绩好 4. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（　　） A. B. 且 C. 且 D. 且 5. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，弦交于点，连接．若，则（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中，不正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 D. 两组对边相等的四边形是平行四边形 8. 函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ） ① ；②； ③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点． A. ①② B. ①③ C. ②③④ D. ①③④ 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 分解因式＝________． 10. 华为一部分Mate40手机将会搭载麒麟9000处理器，这是手机行业首批采用工艺制式的芯片，，其中用科学记数法表示为_______m． 11. 如图，直线与双曲线相交于两点．当时，不等式解集为______． 12. 若方程的两根满足，则a的值为_____________． 13. 如图，在中，．在、上分别截取、，使．再分别以点P，Q为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．已知，．若点M、N分别是线段和线段上的动点，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）化简 ； （2）解不等式组：． 15. 九（1）班体育课代表小明对本班同学进行了一次关于“我最喜爱的体育项目”调查，根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： （1）m的值为______，“乒乓球”部分所对应的圆心角的度数为______． （2）补全条形统计图． （3）学校将举办运动会，九（1）班推选出2名男同学（A，B）和2名女同学（C，D）参加乒乓球比赛，现从中随机选取2名同学组成双打组合，用画树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打概率． 16. 如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面平行于地面，斜坡的坡比为， 且米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡． （参考数据：，，，）．   （1）求改造前坡顶与地面的距离的长． （2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡改造成（如图所示），那么至少是多少米？（结果精确到米） 17. 如图，在中，，以为直径的交于点D，点Q为延长线上一点，延长交于点P，连接，． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，求的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点．   （1）已知点的坐标为，求： 一次函数和反比例函数的解析式； 在轴上取一点，当的面积为时，求点的坐标； （2）过点作轴于点，点为中点，线段交轴于点，连结．若的面积为，求的值． B卷（共50分） 一．填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 19. 已知，，且，则值是_______． 20. 如图，在矩形纸片中，，．点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处，若平分交于，则点到直线的距离为__________． 21. 如图，在中，，，，将绕点顺时针方向旋转后得到，点经过的路径为弧，点经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积为____________.（结果保留） 22. 漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱可近似看做抛物线.如图是其中一个桥拱的示意图，拱跨，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，通过测量得，且，则桥拱最高点到桥面的距离为_______m． 23. 如图，在菱形中，点P为对角线上的动点（不与端点重合）．过点P作于点M，于点N，连接，已知，，则的最小值等于 _____． 二．解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 为了缓解大气污染，贵阳市公交公司决定将某一条线路上的柴油公交车替换为新能源公交车，计划购买A型和B型两种新能源公交车共10辆．若购买A型公交车3辆，B型公交车 2辆，共需180万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需195 万元． （1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元； （2）预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100 万人次，若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过 360万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于 680 万人次，则该公司有哪几种购车方案，哪种购车方案总费用最少?最少总费用是多少? 25. 综合与探究 如图，二次函数的图象与轴相交于点，，与轴交于点，对称轴是直线，交轴于点． （1）求该二次函数及所在直线的解析式； （2）如图1，在线段上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接分别交，轴于点，，连接．若和的面积分别为，，请直接写出的最大值． 26. 的所对边分别是a，b，c，若满足，则称为类勾股三角形，边c称为该三角形的勾股边． 【特例感知】如图1，若是类勾股三角形，为勾股边，且，是中线，求的长； 【深入探究】如图2，是的中线，若是以为勾股边的类勾股三角形，①分别过A，B作的垂线，垂足分别为E，F，求证 ②试判断与的数量关系并证明； 【结论应用】如图3，在四边形中，与都是以为勾股边的类勾股三角形，M，N分别为的中点，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年中考数学模拟卷B （成都专用） 注意事项：全套试卷分为A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分，考试时间120分钟． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每题4分，共32分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定） 1. －6的绝对值是（ ） A. -6 B. 6 C. - D. 【答案】B 【解析】 【分析】在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． 【详解】负数的绝对值等于它的相反数，所以-6的绝对值是6． 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了合并同类项、平方差公式、完全平方公式、去括号法则，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A．，不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意； B．，故选项正确，符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 3. 如图是甲、乙两人次射击成绩（环）的条形统计图，则（　　） A. 甲的平均成绩比乙好 B. 乙的平均成绩比甲好 C. 甲、乙两人的平均成绩一样 D. 无法确定谁的平均成绩好 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是利用平均数做决策、由条形统计图推断结论，解题关键是结合条形统计图计算甲、乙对应的平均数． 先根据条形统计图计算甲、乙对应的平均数，比较后即可求解． 【详解】解：依题得：甲的平均成绩为， 乙的平均成绩为， ， 甲、乙两人的平均成绩一样， 故选：． 4. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（　　） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程的根的情况求参数的取值范围．根据方程是一元二次方程，得到，根据方程有实数根，得到，进行求解即可．熟练掌握一元二次方程有实数根，其根的判别式，是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， ∴． ∵方程有实数根， ∴，整理，得：， 解得：， 综上：且； 故选：C． 5. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键．根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木头剩余1尺”，即可得出方程组即可． 【详解】解：∵用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺， ∴； ∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺， ∴． ∴所列方程组为． 故选：B． 6. 如图，是的直径，弦交于点，连接．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同弧或等弧所对的圆周角相等，半圆（直径）所对的圆周角是直角，解题的关键是熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等．连接，证明，求出，可得结论． 【详解】连接， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选C． 7. 下列命题中，不正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 D. 两组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行四边形，矩形，菱形的判定定理．根据平行四边形，矩形，菱形的判定逐项判断即可求解． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A错误，符合题意； B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B正确，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C正确，不符合题意； D、两组对边相等的四边形是平行四边形，故D正确，不符合题意； 故选：A． 8. 函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ） ① ；②； ③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点． A ①② B. ①③ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为，进而可得，故①正确；由函数图象与y轴的交点坐标为（0，3），的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成可知c＝-3，故②错误；根据对称轴求出b＜0，进而可得，故③正确；求出翻折前的二次函数的顶点坐标，然后根据平移的性质可得④正确． 【详解】解：由函数图象可得：与x轴交点的横坐标为－1和3， ∴对称轴为，即， ∴整理得：，故①正确； ∵与y轴的交点坐标为（0，3）， 可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿轴向上翻折而成， ∴c＝-3，故②错误； ∵中a＞0，， ∴b＜0， 又∵c＝-3＜0， ∴，故③正确； 设抛物线的解析式为， 代入（0，3）得：， 解得：a＝－1， ∴， ∴顶点坐标为（1，4）， ∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5）， ∴将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 分解因式＝________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式．先将原式变形为，再提取公因式即可求解． 【详解】解： ． 10. 华为一部分Mate40手机将会搭载麒麟9000处理器，这是手机行业首批采用工艺制式的芯片，，其中用科学记数法表示为_______m． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数；关键是确定 n与a的值，，等于原数中左起第一个非零数前零的个数．先把转化为用米作单位，再用科学记数法表示即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 11. 如图，直线与双曲线相交于两点．当时，不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，先求得点的横坐标，然后观察函数图象当时，得到时，一次函数图象在反比例函数图象上方，即． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 则两函数图象的交点A的横坐标为1 当时由函数图象可得，当时，一次函数图象在反比例函数图象上方， 所以不等式的解集为， 故答案为：． 12. 若方程的两根满足，则a的值为_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了根与系数关系，解题的关键是理解若是一元二次方程的两根时，，． 根据根与系数的关系得出，，再把转化为，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵方程的两根满足， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得：， 经检验，是原方程的解． 故答案为：2． 13. 如图，在中，．在、上分别截取、，使．再分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．已知，．若点M、N分别是线段和线段上的动点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，角平分线的定义，等腰三角形的性质等知识，解题关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．过点作于点，交于点，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出，然后根据，可得．作点关于的对称点交于点，连接，可得，进而可以解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， 由作图可知，平分， ， ， ， ． ， ， ， ． ，， 作点关于的对称点交于点，连接，当M与重合时，此时最小， ， ， 则的最小值为． 故答案为： 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）化简 ； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解不等式组，熟练掌握分式混合运算法则及解一元一次不等式组的步骤是解题关键． （1）先通分计算括号内的，同时将除法变为乘法，再因式分解，并约分； （2）先分别求出两个不等式的解集，再确定答案即可． 小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 解不等式①，得； 解不等式②，得， 不等式的解集为． 15. 九（1）班体育课代表小明对本班同学进行了一次关于“我最喜爱的体育项目”调查，根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： （1）m的值为______，“乒乓球”部分所对应的圆心角的度数为______． （2）补全条形统计图． （3）学校将举办运动会，九（1）班推选出2名男同学（A，B）和2名女同学（C，D）参加乒乓球比赛，现从中随机选取2名同学组成双打组合，用画树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打的概率． 【答案】（1）6， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图和条形统计图以及概率，掌握扇形统计图和条形统计图的特征以及画树状图，是解题的关键． （1）根据统计图数据，用足球的数据对应所占的比例可求得调查学生的总数；然后根据调查学生的总数与乒乓球的人数可求得乒乓球所占的比例，最后可求得其他所占的比例，以及“乒乓球”部分所对应的圆心角的度数； （2）求出“篮球”部分人数以及其他部分的人数，并补全条形统计图； （3）先画出树状图，再根据概率公式，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵由条形统计图数据可知，喜爱足球运动的有15人，足球占总调查人数总数的， ∴所调查学生的总数是：（人）． ∵由条形统计图数据可知，乒乓球人数为20人，则乒乓球占调查学生的总数的比例是：． ∴， “乒乓球”部分所对应的圆心角的度数为． 故答案为：6；． 【小问2详解】 解：“篮球”部分的人数为人， 其他部分的人数为人， 补全统计图如图所示： 【小问3详解】 根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选出一男一女组成混合双打的情况有8种， 恰好选出一男一女组成混合双打的概率为． 16. 如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面平行于地面，斜坡的坡比为， 且米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡． （参考数据：，，，）．   （1）求改造前坡顶与地面的距离的长． （2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡改造成（如图所示），那么至少是多少米？（结果精确到米） 【答案】（1）改造前坡顶与地面的距离的长为米； （2）至少是米； 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，理解坡度的含义是解本题的关键； （1）根据坡度的概念得到，根据勾股定理计算列式即可； （2）作于，根据正切的概念求出，结合图形计算即可． 【小问1详解】 解：斜坡的坡比为， ， 设，则， 由勾股定理得，  ， 即， 解得，， 则， 答：改造前坡顶与地面的距离的长为米； 【小问2详解】 作于，则，， ∴， ∴， 答：至少是米． 17. 如图，在中，，以为直径的交于点D，点Q为延长线上一点，延长交于点P，连接，． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、平行线分线段成比例定理、切线长定理，熟练掌握以上知识点，正确作出辅助线是解此题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得出，从而得出，根据余角的性质得出，即可得出结论； （2）先得出是的切线，根据切线长定理得出，从而得出，根据平行线分线段成比例定理得出，求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， ， 是直径， ， ， ， ∵， ∴， ， ， 是半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接， ，为半径， 是的切线， 又是的切线， ，， ， ∵， ， ， ， ， ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点．   （1）已知点的坐标为，求： 一次函数和反比例函数的解析式； 在轴上取一点，当的面积为时，求点的坐标； （2）过点作轴于点，点为中点，线段交轴于点，连结．若的面积为，求的值． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为； 的坐标为或； （2）． 【解析】 【分析】（）把代入一次函数的图象与反比例函数即可求解； 根据三角形面积求得的长，然后由直线的解析式求得的坐标，即可求得的坐标； （）由一次函数，可得，，得出是等腰直角三角形，设，则，进一步得出是等腰直角三角形，则，由的面积为，即可求解； 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积求法，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【小问1详解】 ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于， ∴，， ∴，， ∴一次函数解析式为，反比例函数解析式为； ∵，的面积为， ∴， ∴， ∴， 由直线得，， ∴的坐标为或； 【小问2详解】 ∵一次函数， ∴，， ∵轴于点， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于， ∴设，则， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵的面积为， ∴ 即， ∴． B卷（共50分） 一．填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 19. 已知，，且，则的值是_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法及其逆用、幂的乘方；由，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：1． 20. 如图，在矩形纸片中，，．点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处，若平分交于，则点到直线的距离为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】过作于，于，利用的面积，即可得到的长；进而得出的长，再根据等腰直角，即可得到的长，进而得出结论． 【详解】解：如图所示，过作于，于， 平分，，， ， 中，，， ， 设，则， ， ， 解得， ， 中，， 由折叠可得，平分， 又平分， ， 中，， 即点到直线的距离为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠问题、勾股定理以及角平分线的性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 21. 如图，在中，，，，将绕点顺时针方向旋转后得到，点经过的路径为弧，点经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积为____________.（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】设与相交于点，过点作，垂足为点，根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，根据三边关系可得，根据题意及等角对等边得出，在中，利用正弦函数可得，结合图形，利用扇形面积公式及三角形面积公式求解即可得． 【详解】解：设与相交于点，过点作，垂足为点， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∵绕点B顺时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查勾股定理逆定理，旋转的性质，等角对等边的性质，正切函数，扇形面积等，理解题意，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键． 22. 漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱可近似看做抛物线.如图是其中一个桥拱的示意图，拱跨，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，通过测量得，且，则桥拱最高点到桥面的距离为_______m． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数与坐标轴交点，根据题意得到、、的坐标，设抛物线解析式为，将的坐标代入解析式求出抛物线解析式，再算出抛物线与轴交点，即可得到桥拱最高点到桥面的距离． 【详解】解：拱跨，以的中点为坐标原点， ， 的坐标为，的坐标为， 设抛物线解析式为， ，且， ， 的坐标为， ， 解得， 抛物线解析式为， 当时，， 桥拱最高点到桥面的距离为． 故答案为：． 23. 如图，在菱形中，点P为对角线上的动点（不与端点重合）．过点P作于点M，于点N，连接，已知，，则的最小值等于 _____． 【答案】## 【解析】 【分析】过点P作，垂足为，过点D作，垂足为，交于点，连接，交于点，连接，根据菱形的性质，得到，，由，，结合，推出点三点共线，即是定值，当点三点共线时，即点G，M重合，有最小值，最小值为的长，进而得到有最小，最小值为，根据，，求出，利用菱形的面积公式即可求出，由菱形的性质，易证，利用三角形的性质得到，即可求解． 【详解】解：过点P作，垂足为，过点作，垂足为，交于点，，连接，交于点， 是菱形，，， ，， ，，， 三点共线，即是定值， 当点三点共线时，即点G，M重合，有最小值，最小值为的长， 有最小，最小值为， ，， ，， ，， ， 菱形的面积为：， ， ，， ， ， ， ， ，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，对称的性质，正确做出辅助线证明三角形相似是解题的关键． 二．解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 为了缓解大气污染，贵阳市公交公司决定将某一条线路上的柴油公交车替换为新能源公交车，计划购买A型和B型两种新能源公交车共10辆．若购买A型公交车3辆，B型公交车 2辆，共需180万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需195 万元． （1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元； （2）预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100 万人次，若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过 360万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于 680 万人次，则该公司有哪几种购车方案，哪种购车方案总费用最少?最少总费用是多少? 【答案】（1）购买每辆A型公交车需要30万元，每辆B型公交车需要45万元 （2）三种购买方案，购进8辆A型公交车，2辆B型公交车时总费用最少，最少费用为330万元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组． （1）根据题意列方程组求解； （2）根据题意列不等式组．再求其整数解，再根据题意列一次函数，求其最值． 【小问1详解】 设购买每辆A型公交车需要x万元，每辆B型公交车需要y万元， 依题意，得： ，解得： 答：购买每辆A型公交车需要30万元，每辆B型公交车需要45万元． 【小问2详解】 设购进A型公交车m辆，则购进B型公交车辆， 依题意，得：， 解得：，因为m为整数，所有， 所以，该公司有三种购车方案， 方案1：购进6辆A型公交车，4辆B型公交车； 方案2：购进7辆A型公交车，3辆B型公交车； 方案3：购进8辆A型公交车，2辆B型公交车． 该公司购买这10辆公交车的总费用为w元，则 ， 因为，，w随m的增大而减小，当时，w取得最小值，最小值为330， 答：购进8辆A型公交车，2辆B型公交车时总费用最少，最少费用为330万元． 25. 综合与探究 如图，二次函数的图象与轴相交于点，，与轴交于点，对称轴是直线，交轴于点． （1）求该二次函数及所在直线的解析式； （2）如图1，在线段上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接分别交，轴于点，，连接．若和的面积分别为，，请直接写出的最大值． 【答案】（1），． （2）存在，或． （3） 【解析】 【分析】（1）由，的坐标，对称轴是直线，利用待定系数法可求得二次函数及所在直线的解析式； （2）由题意可得，，，，，，分两种情况：当时，，当时，，利用相似三角形的性质得到，过点作轴于点，求得，代入所在直线解析式为，即可求出点的坐标； （3）可设出点坐标，表示出，利用可表示成关于点坐标的二次函数，利用二次函数的性质可求得其最大值． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，，对称轴是直线， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， 设所在的直线解析式为，将点，代入， 得，解得， ∴所在直线解析式为． 【小问2详解】 解：存在． ∵对称轴是直线，点的坐标为， ∴点的坐标为 ∵点，，， ∴，，，，， ∴， 分两种情况：①如图所示，当时，， ∴，即，解得， 过点作轴于点 ∵轴， ∴， ∴，解得， 把代入，得， ∴此时，点的坐标为； ②如图所示，当时，， ∴，即，得． 过点作轴于点． ∵轴， ∴． ∴，即，解得． 把代入，得． ∴此时，点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【小问3详解】 解：设点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， 当时，有最大值，最大值为． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法，勾股定理，三角形面积，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，函数图象的交点，方程思想及分类讨论思想，熟练掌握表达式求法，二次函数的图象性质等知识是解题的关键． 26. 的所对边分别是a，b，c，若满足，则称为类勾股三角形，边c称为该三角形的勾股边． 【特例感知】如图1，若是类勾股三角形，为勾股边，且，是中线，求的长； 【深入探究】如图2，是的中线，若是以为勾股边的类勾股三角形，①分别过A，B作的垂线，垂足分别为E，F，求证 ②试判断与的数量关系并证明； 【结论应用】如图3，在四边形中，与都是以为勾股边的类勾股三角形，M，N分别为的中点，求线段的长． 【答案】【特例感知】CM的长为6；【深入探究】①证明见解析；②AB与CM相等，理由见解析；【结论应用】MN的长为5． 【解析】 【分析】（1）根据是类勾股三角形，为勾股边，有，得到，根据，是中线，可得，即可求解； （2）①根据，得到，再根据即可求证；②根据，可得，，再根据，可得，进而得到，最后根据，，可得； （3）连接，由【深入探究】可得：，进而得到，根据为的中点，可得，进而求解. 【详解】（1）解：是类勾股三角形，为勾股边， ， ， ， ， ，是中线， ， （2）①证明：， ， ， ． ②与相等，理由如下， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （3）解：连接， 与都是以为勾股边的类勾股三角形， 为的中点， 由【深入探究】可得：， ， 为的中点， ， ， 【点睛】本题考查的是类勾股三角形的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理的应用，正确理解类勾股三角形的定义，灵活运用勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$