小升初应用题专项训练：比与比例（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学北师大版

小升初应用题专项训练：比与比例-数学六年级下册北师大版 典型例题解析 1．某学校食堂买来900千克大米，6天吃了360千克，照这样计算，剩下的大米还能吃多少天？（用比例解） 【答案】9天 【分析】根据题意可知，吃大米的质量∶吃的天数＝每天吃大米的质量（一定），比值一定，则吃大米的质量与吃的天数成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。 【详解】解：设剩下的大米还能吃天。 （900－360）∶＝360∶6 540∶＝360∶6 360＝6×540 360＝3240 ＝3240÷360 ＝9 答：剩下的大米还能吃9天。 2．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，相遇时甲、乙两车所行驶的路程比是6∶5，相遇后乙车每小时比相遇前多行驶33千米，甲车按原速前进，结果两车同时到达对方的出发站。已知甲车一共行驶了5小时，A、B两地一共相距多少千米？ 【答案】450千米 【分析】 相遇时甲、乙两车所行驶的路程比是6∶5，如图，相遇后，两车同时到达对方的出发站，说明相遇后甲、乙两车所行驶的路程比是5∶6，路程比＝速度比，甲车速度没变，将甲车速度看作单位“1”，相遇前乙车速度是甲车速度的，相遇后乙车速度是甲车速度的，乙车相遇前后的速度差占甲车速度的（－），乙车相遇前后的速度差÷对应分率＝甲车速度，甲车速度×总时间＝总路程，据此即可求出A、B两地距离。 【详解】33÷（－） ＝33÷ ＝33× ＝90（千米） 90×5＝450（千米） 答：A、B两地一共相距450千米。 【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，通过甲车速度不变，确定相遇前后乙车速度的对应分率，求出甲车速度，进行求出总路程。 3．王伯伯批发来一筐大苹果和一筐小苹果，大苹果与小苹果的单价比是5∶4，质量比是2∶3。王伯伯将两筐苹果混合在一起正好重100千克。按成本价的25%加价零售，每千克苹果卖5.5元。大、小苹果的进价各是多少元？ 【答案】5元；4元 【分析】根据“大、小两筐苹果的质量比是2∶3”知道大小两筐苹果的质量各占总质量的几分之几； 再由两筐苹果混合在一起是100千克，可以求出混合后的大、小苹果的总价； 再由“大苹果与小苹果单价的比是5∶4”及混合后的总价与已知的百分率，即可求出大、小两筐苹果原来的进价。 【详解】大苹果质量：（千克） 小苹果质量：（千克） 大小苹果总售价：（元）   大小苹果售价：（5×2）∶（4×3）＝5∶6 大：550×÷40÷（1＋25％） ＝250÷40÷1.25 ＝6.25÷1.25 ＝5（元） 小：550×÷60÷（1＋25％） ＝300÷60÷1.25 ＝5÷1.25 ＝4（元） 答：大苹果的进价是5元，小苹果的进价是4元。 【点睛】这道题考查的是比的知识，解答此题的关键是将比转化成分率，找出对应量。 强化训练 1．两杯同样质量的糖水，第一杯糖与水的比是1：7，第二杯糖与水的比是1：5，现将两杯糖水混合，糖与水的比为多少？ 2．淘气和笑笑都存了一些零用钱，他们存的钱的比是。在献爱心活动中，淘气捐了58元，笑笑捐了30元，这时他们剩下的钱数相等。淘气原来有多少钱？ 3．小明读一本书，第一天读了全书的 ，第二天比第一天多读了6页，这时读的页数与剩下的页数的比是5∶6，小明再读多少页就能读完这本书？ 4．三个运输队运完一批货物得运输费13330元，按运货量进行分配．已知甲乙运货量的比6：5，丙甲队运货量的比是3：4，三个队各分到运输费多少元？ 5．某工厂有140名职工，分成三个车间，第一车间与第二车间的人数之比是2∶3，第二车间与第三车间的人数之比是4∶5，这三个车间各有职工多少人？（按一、二、三车间的顺序填写） 6．用96厘米的铁丝做一个长方体框架，长、宽、高的比是5∶4∶3，长方体的体积是多少？ 7．一种饮料是由鲜橙汁和纯净水配制而成的，鲜橙汁和纯净水的体积比是1∶4。 （1）用500毫升的鲜橙汁配制这种饮料，需要加纯净水多少毫升？ （2）如果要配制2000毫升的饮料，需要鲜橙汁和纯净水各多少毫升？ 8．一条路，修了4天后，已修部分与剩下部分的比是2：3，如果再修75米，就能到达终点，这条路全长多少米？ 9．王师傅指挥45个机器人炼钢．用占总数的的机器人加料,剩下的机器人按2∶7分别去做检验和运料．加料、做检验和运料的机器人各有多少个? 10．张红家有一块地，已经种了西红柿（如图所示），剩下的地按2∶1种黄瓜和茄子。黄瓜和茄子分别要种多大的面积？ 11．某服装厂要做612套校服，前5天做了170套。照这样计算，要做完这批校服还需要多少天？（用比例解） 12．古时候人们常常以物换物，据《九章算术》记载“粟率五十，粝米三十”，“今有粟一斗，欲为粝米，问得几何？”大致意思是：50份粟米可换30份粝米，今有粟米一斗，要换成粝米，问能换多少升粝米？注：粟：小米；粝米：粗米；1斗＝10升。 13．纸的发明是对人类文明的伟大贡献。造纸的原材料主要是树皮等植物的纤维，据统计：少浪费1500张纸，就可保留1棵树；节约6吨纸，则相当于拯救了120棵树。学校打印室新购一批白纸，计划每天用90张，可以用20天。由于注意了节约用纸，实际每天只用60张，这批白纸实际用了多少天？ 14．在一幅比例尺为1∶21000000的地图上，量得甲、乙两城之间的距离是2厘米，一辆汽车和一辆货车同时从甲、乙两城开出，相向而行，4时后相遇。已知客车与货车的速度比是4∶3，客车每时行驶多少千米？ 15．如图，点A所在的位置是（5，5）。 （1）那么点C所在的位置是（ ， ），将A、B、C三点依次连接形成封闭图形，记作图①； （2）将图①绕A点逆时针旋转90°，得到图②； （3）将图①按2∶1放大，画在右边空的方格里。 16．一辆汽车上午8时从甲地出发开往乙地，路程和时间关系如图所示。 （1）汽车每小时行多少千米？ （2）在比例尺的地图上，甲、乙两地的距离是多少厘米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．答：糖与水的比为7：41 【详解】试题分析：把每杯糖水的重量看作单位“1”，则2杯中的糖的重量分别为和，混合后糖水的总重量为2，水的总重量是2﹣（+），然后根据糖：水，代入数据化简，解答即可． 解：（+）：[2﹣（+）] =：（2﹣） =： =7：41 答：糖与水的比为7：41． 点评：解答此题的关键是把每杯糖水的重量看作单位“1”，然后根据比的意义进行解答即可． 2．63元 【分析】已知淘气和笑笑存的钱的比是9∶5，则淘气原来的钱看作9份，笑笑原来的钱看作5份，则它们相差（9－5）份，已知两个数减去同样的数部分，它们的差不变，所以淘气和笑笑原来的钱数相差（58－30）元，用（58－30）÷（9－5）即可求出每份是多少，进而求出9份。 【详解】（58－30）÷（9－5）×9 ＝28÷4×9 ＝7×9 ＝63（元） 答：淘气原来有63元。 【点睛】本题考查了比的应用，关键是明确两个量的差不变。 3．60页 【分析】根据读的页数与剩下的页数的比是5∶6，求出总份数为：（5＋6）份，又知前两天读了这本书的多6页，占这本书总页数的，这样就可以求出6页占这本书总页数的几分之几，再根据已知比一个数少几分之几的数是多少求这个数，求出总页数，再根据一个数乘分数的意义列式用解答。 【详解】总份数：5＋6＝11（份），两天读的占总页数的； 6÷（2）× ＝6÷（）× ＝6×× ＝60（页） 答：小明再读60页就能读完这本书。 【点睛】此题解答关键是把比转化为分数，求出6页所对应的分率，根据已知比一个数少几分之几的数是多少求这个数，和一个乘分数的意义解答。 4．甲乙运货量的比6：5，丙甲队运货量的比是3：4得：甲：乙：丙=12：10：9 总份数=12+10+9=31   甲：13330×=5160（元）乙：13330×=4300（元）丙：13330×=3870（元） 【详解】略 5．32人；48人；60人 【分析】以第二车间为标准，先将三个车间人数比进行统一，用总人数分别×三个车间人数对应分率即可。 【详解】第一车间的人数∶第二车间的人数∶第三车间的人数＝8∶12∶15 第一车间为：140×＝32（人） 第二车间为：140×＝48（人） 第三车间为：140×＝60（人） 答：第一车间32人，第二车间48人数，第三车间60人。 【点睛】关键是根据比的基本性质将三个车间人数比进行统一。 6．480立方厘米 【分析】铁丝的总长度相当于长方体的棱长之和，长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4，先求出长、宽、高的和，长占长、宽、高和的，宽占长、宽、高和的，高占长、宽、高和的，利用分数乘法求出长、宽、高各是多少，最后根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出这个长方体的体积，据此解答。 【详解】96÷4＝24（厘米） 长：24× ＝24× ＝10（厘米） 宽：24× ＝24× ＝8（厘米） 高：24× ＝24× ＝6（厘米） 体积：10×8×6 ＝80×6 ＝480（立方厘米） 答：长方体的体积是480立方厘米。 【点睛】根据比的应用求出长方体的长、宽、高，并掌握长方体的棱长之和与体积计算公式是解答题目的关键。 7．（1）2000毫升 （2）400毫升；1600毫升 【分析】（1）由题意可知，这种饮料是按鲜橙汁和纯净水的体积比是1∶4的配制成的，即鲜橙汁为1份，纯净水为4份，鲜橙汁1份为500毫升，进而求出需要加纯净水多少毫升； （2）鲜橙汁和纯净水的体积比是1∶4，即鲜橙汁占饮料的体积的，纯净水的体积占饮料体积的，然后根据分数乘法的意义，分别求出需要鲜橙汁和纯净水各多少毫升。 【详解】（1）500÷1×4 ＝500×4 ＝2000（毫升） 答：需要加纯净水2000毫升。 （2）2000× ＝2000× ＝400（毫升） 2000× ＝2000× ＝1600（毫升） 答：需要鲜橙汁400毫升，纯净水1600毫升。 8．125 【详解】试题分析：已修部分与剩下部分的比是2：3，根据比与分数的关系知，没修的就是全长的，就是75对应的分率．据此解答． 解：75， =75， =125（米）． 答：这条路全长125米． 点评：本题的关键是根据比与分数的关系，求出没修的占全长的几分之几，然后再根据分数除法的意义列式解答． 9．加料的9个,做检验的8个,运料的28个 【详解】加料:45×=9(个) 做检验:(45-9)×=8(个) 运料:(45-9)×=28(个) 答:加料的机器人有9个,做检验的机器人有8个,运料的机器人有28个． 10．黄瓜20平方米；茄子10平方米 【分析】因为种黄瓜和茄子的菜地面积是这块地的（1－），所以用长方形菜地的总面积乘（1－）可以求出种黄瓜和茄子的菜地面积。根据种黄瓜与茄子的比，可知黄瓜地面积是剩下菜地的，茄子地面积是剩下菜地的，据此解答。 【详解】5×10×（1－） ＝50× ＝30（平方米） 30×＝30×＝20（平方米） 30－20＝10（平方米） 答：黄瓜和茄子分别要种20平方米和10平方米。 11．13天 【分析】我们已知前 5 天做了170套校服。因为工作效率不变，所以每天制作校服的数量是一定的。我们设做完这批校服还需要天。那么已经做的校服数量与花费的时间的比值，应该等于剩余校服数量与还需要时间的比值，即:（612－170）∶x＝170∶5，计算出结果即可。 【详解】解：设做完这批校服还需要x天。 （612－170）∶x＝170∶5 解：170x＝（612－170）×5 170x＝442×5 170x＝2210 x＝2210÷170 x＝13 答：要做完这批校服还需要13天。 12．6升 【分析】已知50份粟米可换30份粝米，所以粟米∶粝米＝50∶30，可以设能换x升粝米，则10升的粟米∶x升粝米＝50∶30，据此解比例即可。 【详解】1斗＝10升 解：设能换x升粝米。 10∶x＝50∶30 50x＝10×30 50x＝300 50x÷50＝300÷50 x＝6 答：能换6升粝米。 13．30天 【分析】根据题意，每天用纸的张数×用的天数＝这批纸的总张数（一定），乘积一定，则每天用纸的张数和用的天数成反比例关系。设实际用了x天，实际每天用纸的张数×实际用的天数＝计划每天用纸的张数×计划用的天数，据此用比例解答。 【详解】解：设这批白纸实际用了x天。 60x＝90×20 60x＝1800 60x÷60＝1800÷60 x＝30 答：这批白纸实际用了30天。 14．60千米 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，换算出甲乙两城之间的距离，根据总路程÷相遇时间＝速度和，求出客车与货车的速度和，将比的前后项看成份数，速度和÷总份数，求出一份数，一份数×客车对应份数＝客车速度，据此列式解答。 【详解】2÷＝2×21000000＝42000000（厘米）＝420（千米） 420÷4＝105（千米） 105÷（4＋3）×4 ＝105÷7×4 ＝60（千米） 答：客车每时行驶60千米。 15．（1）（9，5）；作图见详解 （2）（3）见详解 【分析】（1）数对的第一个数表示列，第二个数表示行，点C与点A同行，列数在点A右侧第4列，据此确定点C的列数，用数对表示出点C的位置即可；根据要求依次连接A、B、C三点，标记图①即可； （2）作旋转一定角度后的图形步骤：根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；分析所作图形，找出构成图形的关键点；找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；作出新图形，顺次连接作出的各点即可； （3）把图形按照n∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n∶1。 【详解】（1）5＋4＝9，点C所在的位置是（9，5），作图如下： （2）（3） 16．（1）80千米 （2）9厘米 【分析】（1）正比例图像是一条经过原点的直线，看图可知，路程与时间成正比例关系；根据终点时间－起点时间＝经过时间，求出行驶时间，根据路程÷时间＝速度，列式解答即可。 （2）观察图像可知，甲乙两地的实际距离是360千米，观察线段比例尺，图上1厘米表示实际40千米，实际距离÷图上1厘米表示的实际距离＝图上厘米数，据此列式解答。 【详解】（1）80÷（9－8） ＝80÷1 ＝80（千米/小时） 答：汽车每小时行80千米。 （2）360÷40＝9（厘米） 答：甲、乙两地的距离是9厘米。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$