海南省海南中学2024-2025学年高三上学期开学考试（第0次月考）数学试题

2025届高三数学第 0次月考（试题卷）第 1 页 共 4 页 2025 届高三年级第 0 次月考 数学试题 时间：120 分钟 满分：150 分 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 复数 z满足 iiz 43)2(  ，则复数 z的虚部是（ ） A． 2i B．2 C．- i D．-1 2. 已知命题 3: 0,p x x x   ，命题 2: 0, 1 0q x x    ，则（ ） A． p和q均为真命题 B． p 和q均为真命题 C． p和 q 均为真命题 D． p 和 q 均为真命题 3. 已知向量 ,a b   满足 (1, 2),| | 3,| 2 | 3a b a b        ，则a b    （ ） A． 2 B． 1 C．1 D．2 4. 已知数据 1 2 3 10, , , ,x x x x ，满足：  1 1 2 10i ix x i    ，若去掉 1x ， 10x 后组成一组新数 据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（ ） A．中位数不变 B．若 1 1x  ，则数据 1 2 3 10, , , ,x x x x 的第 75百分位数为7.5 C．平均数不变 D．方差变小 5. 已知 π0 2     ，   4sin 5    ， tan tan 2   ，则 tan tan  （ ） A． 2 3 B. 1 5 C． 1 3 D． 1 2 6. 已知正三棱台的体积为14 3 3 ,其上、下底面的边长分别为2,4 ,则该正三棱台的侧面上的 高为（ ） A． 39 3 B． 3 C． 2 3 3 D．2 7. 函数 ( ) 1 lnf x x  与函数 1( ) xg x e  公切线的纵截距为（ ） A．1或 0 B． 1 或 0 C．1或 e D． 1 或 e 8. 类比数列，我们把一系列向量按照一定的顺序排列，可得到向量列.已知向量列 na  满足 2025届高三数学第 0次月考（试题卷）第 2 页 共 4 页 1 2n na a d      ，且满足 1 | | 1a d d      ，则 na d   的值为（ ） A． 12n B．2n C．2 1n  D． 12 4n  二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 数列 na 的前n项和为 nS ，已知 2 7nS n n   ，则下列说法正确的是（ ） A． na 是递减数列 B． 10 14a   C．当 4n  时， 0na  D．当且仅当 3n  时， nS 取得最大值 10. 已知函数  3 21 1( ) 1 3 2 f x ax x a R    ，则（ ） A． 0x  是函数 ( )f x 的极小值点 B．存在 3个不同的 a值，使得函数 ( )f x 有 2个零点 C．有且仅有一个 a值，使得曲线 ( )f x 有对称轴 D．存在无数多个 a值，使得曲线 ( )f x 有对称中心 11. 已知线段 AB是圆    2 2: 1 3 4C x y    的一条动弦，G为弦 AB的中点，| | 2 3AB  ， 直线 1 : 3 1 0l mx y m   与直线 2 : 3 1 0l x my m   相交于点 P，下列说法正确的是（ ） A．弦 AB的中点轨迹是圆 B．直线 1 2,l l 的交点 P 在定圆 2 2 4 2 0x y x y    上 C．线段PG的最小值为 4 5 D． PA PB   的最大值为38 512 三．填空题：本题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知直线 3y x 是双曲线   2 2 2 2 1 0, 0 y x a b a b     的一条渐近线，则此双曲线的离心率 为_______． 13. 已知函数    2c 0, 2 osf x x            的 部分 2025届高三数学第 0次月考（试题卷）第 3 页 共 4 页 图像如图所示，其中 0 3 f       ， 13 2 12 f       ，则 11 11 4 6 f f              _______． 14. 已知 0a b  且 6 2 1 a b a b     ，则 2a b 的最小值为_______． 四．解答题：本题共 5小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （13分）已知 a，b，c分别为 ABC 内角 A、B、C的对边，且 AbBa cos3sin  . (1)求角 A； (2)若 21a  ， 4b  ，求边 c. 16. （15分）设函数    lnf x x ax a R   ． (1)讨论函数  f x 的单调性； (2)当函数  f x 有最大值，且最大值小于 2a- 时，求 a的取值范围． 17. （15分）如图（1），在 ABC 中，CD AB ， 2 2 6BD CD AD   ，点 E为 AC的中 点．将 ACD 沿CD折起到 PCD△ 的位置，使DE BC ，如图（2）． (1)求证：PB PC ． (2)在线段 BC上是否存在点F ，使得CP DF ？若存在，求二面角 P DF E  的正弦值； 若不存在，请说明理由． 2025届高三数学第 0次月考（试题卷）第 4 页 共 4 页 18. （17分）已知椭圆 C的中心在原点，焦点在 x轴上，离心率为 1 2 ，且椭圆过点 ），（ 320  . （1）求椭圆 C的标准方程； （2）直线 2x  与椭圆 C交于 P、Q两点，A，B是椭圆 C上位于直线 PQ两侧的动点，且直 线 AB的斜率为 1 2 .①求四边形 APBQ的面积的最大值； ②设直线 PA的斜率为 1k ，直线 PB的斜率为 2k ，判断 1 2k k 的值是否为常数，并说明理由. 19. （17分）从 2024年开始，新高考数学试卷中为了提高试卷考点的覆盖面和提高试卷的区 分度，对多项选择题的命题进行了改革.新高考数学试卷中的多项选择题，给出的 4个选项中 有 2个以上选项是正确的.每一道题考生全部选对得 6分，选项中有错误得 0分，对而不全得 部分分.对而不全得部分分的规则如下：若多选题中有 2个选项正确，则只选对 1个得 3分； 若多选题中有 3个选项正确，则只选对 1个得 2分，只选对 2个得 4分.设一套数学试卷的多 选题中有 2个选项正确的概率为 (0 1)p p  ，有 3个选项正确的概率为1 p ，没有 4个选 项都正确的（在本问题中认为其概率为 0）.在一次模拟考试中： (1)小明可以确认一道多选题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择 2个作为 答案，若小明该题得 6分的概率为 1 15 ，求 p的值； (2)小明可以确认另一道多选题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择.小明有三种 方案：①只选A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择 1个，共选 2个；③从 另外三个选项中再随机选择 2个，共选 3个.若 5 12 p  ，以最后得分的数学期望为决策依据， 小明应该选择哪个方案？ 考试时间2024.8.14 2025届高三年级第0次月考 数学参考答案 一，选择题 1 2 3 4 5 6 4 8 9 10 11 D A D 6 D A B AC BCD ABD 二.填空题 12. 6 13.1 14.12 四.解答题 15.(13分) 【详解】(1)因为asin B=√3 bcosA, 所以由正弦定理得sin4sinB=5 sin BcosA，l 因为sinB≠0，所以sinA=√5cosA, 3 所以tanA=√5， 4 因为Ae(0,),所以A= 写牙+…6 (2)在△4BC中，a=2i,b=4,A= 3 所以由余弦定理得a2=b2+c2-2 be cosA,8 21=16+2-8c×2 整理得c2-4c-5=0,… .11 解得C=-1(舍去)，或C=513 16.(15分) 【解】(1)由f()=lh-a,知f()=a,定义域为(0，+)，2 当a≤0时，f(x)>0恒成立，所以f(x)在(0，+o)上单调递增：4 当a>0时，令f>0,则0<<士，f)在(0月上单调递增： 令r<0,则>，在日上单调递减： 46 2025届高三数学第0次月考（答案卷）第1页共5页 考试时间2024.8.14 综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，+o)上单调递增： .7 当a>0时，)在0)上单调递增，在日+树上单调递减。 (2)由()知，若f()有最大值，则a>0,且f)=f月-lna-1, 因为f(x)的最大值小于a-2, 8 所以-lna-1<a-2,即a+lna-1>0在ae(0,+o)上恒成立， 设g(a)=a+lna-1,问题转化为g(a)>0在a∈(0，+o)上恒成立，l0 因为g(a)=1+>0恒成立，所以g(c)在a∈(0，+o)上单调递增，12 又g(0)=0,所以g(a）>0=g0),所以a>1,14 故“的取值范围为(1，+∞). …15 17.(15分) 【解】(1)依题意可知点E为PC的中点，PD=CD=3,所以DE⊥PC, 又DE⊥BC,BCOPC=C,BC,PCC平面PCB 所以DE⊥平面PCB,又PBC平面PCB,所以DE⊥PB3 依题意可知CD⊥PD,CD⊥BD,BD∩PD=D,BD,PDC平面PDB, 所以CD⊥平面PDB,又PBc平面PDB,所以CD⊥PB.5 因为CD∩DE=D,CD,DEc平面PCD,所以PB⊥平面PCD 又PCC平面PCD,所以上6 (2)由题意，得PC=AC=√3+32=32，BC=32+6=35,由(1)PB1PC, 所以PB=35-（32=337 以点D为坐标原点，DP,DC所在直线分别为x轴、z轴， 过点D且平行于PB的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图， 则Daa0.Paao0,caa),E} B3,35,0 所以C乎=(3,0，-3)，DP=(3,0,0), -引8 设F=1BC(0s1≤1)，即BF=BC-(-3-3√33， 则F3-3弘，35-33,3，DF=3-313W5-33,3刘，…9 2025届高三数学第0次月考（答案卷）第2页共5页 考试时间2024.8.14 若存在点F,使得CP⊥DF,则CP.DF=9-181=0, 解得1=，则D示- 33W33 222 所以当F为线段BC中点时，使得CP上DF11 设平面PCF的法向量为=（1,1，)， mDF=0 3 35,3 则 m·DP=0 2+ =0,令=1，得x=0,2=5, 3x1=0 所以m=(0,1,-5), .12 设平面DEF的法向量为=(2,2,2)， i·DE=0 x2+3=0 则 DF=0' 3 号5*=0令5山，得为=0， 35.3. 所以方=(1,0，-1)， 4,4, 所以cos<m,i>= |m动√5√6 同2×√24’， 4 由图可知二面角P-DF-E为锐角， 所以二面角P-DF-E的正弦值为 …15 18.(17分) 【解1)设椭图C的方程为号+后=a6>0)。 [b=2W5 [a=4 由题意可得{ a 2 ,解得b=25, a2=b2+c2 c=2 所以椭圆C的标准方程为亡+ 1612 =1；5 (2)①由(1)可求得点P、Q的坐标为P(23),Q(2,-3),则PQ=6, 设直线AB的方程为y=2+,设点4（小B(少， 2025届高三数学第0次月考（答案卷）第3页共5页 考试时间2024.8.14 y=-x+t 联立〈 整理得：x2+x+2-12=0,由△=1-4(2-12)=48-32>0，可得4<1<4. (1621 由韦达定理知：+x3=-,1=-12,7 又A,B是椭圆C上位于直线PQ两侧 (:-2x-2)=x2-2x+)+4=+21-8<0,解得-4<1<28 四边形AP80的面积s=P阳--6-3×+4%=487，…l0 故当1=0时，S=123: ②由题意知，直线A的斜率(=二，直线8的斜率=上 3-2 则+k3+二22-2+5-2、 13 -2+1-2-习+1-2 ￥-2 52-2 4-2-2司亿-2(5+5-到15 x-2x2-2 xx2-4x+习+4 -24-4)-1 =1+ 2-12+21+4 -2-21+81-1=0 2+21-8 所以k+k的值为常数0. 17 19.(17分) 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解】(1)根据题意可知，不妨记一道多选题“有2个选项正确”为事件A, “有3个选项正确”为事件A2, “小明该题得6分”为事件B, 则P)=Pa)=4P84)-p名点，解得P 54 (2)若小明选择方案①， 记小明该题得分为X,则X的可能取值为2,3，对应概率为：5 PX-2P)PX-列-H4)音放E(X)-2x3 1212361 8 若小明选择方案②， 记小明该题得分为Y,则Y的可能取值为0,4,6，对应概率为：9 2025届高三数学第0次月考（答案卷）第4页共5页 考试时间2024.8.14 -0-风哈4婚音品号v=代4到 72147 =1233618 N=0-4是-音高 故Ey)=0x+4x4+6×5-86-=8 36 36 363618 12 若小明选择方案③， 记小明该题得分为Z,则Z的可能取值为0,6，对应概率为：13 唱号音昌号多P-P得时多” 故2列=0器6 7427 3636616 E(Z)<E(Y)<E(X), 故以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择方案①.17 2025届高三数学第0次月考（答案卷）第5页共5页