专题4 二次函数与几何综合题-【卓文中考】2024年陕西中考数学精准巧练

专题4 二次函数与几何综合题 [针对解答题中的二次函数几何综合题,2018一2021年考查] 类型1 二次函数与线段、面积问题 2.[2018西2]已知抛物线L:v=x{}十x-6与x轴 1.[223铁一中八模]如图,在平面直角坐标系中,抛物 相交于A,B两点(点A在点B的左侧),并与 线y=一r^*十bx十c与x轴交于A,B两点,与 y轴相交于点C. y轴交于点C.已知A(一2.0),该抛物线的对 (1)求A,B,C三点的坐标,并求△ABC的 面积; (2)将抛物线L向左或向右平移,得到抛物线 (1)求该抛物线的函数表 )V L'.且L'与t轴相交于A,B两点(点A在点 达式; B的左侧),并与y轴相交于点C,要使/ABC (2)假设将线段AC平移,使 和△ABC的面积相等,求所有满足条件的抛 得平移后线段的一个端点在 物线的函数表达式. 这条抛物线上,另一个端点 在x轴上,若将点A.C平移 第1题图 后的对应点分别记为点A,C,当点C在点C 右侧时,求以A.C.A.C为顶点的四边形周长 的最大值. 103 3.[223交大酣中三模]如图,已知抛物线v一x十bx十c 4.[23黄石节选]如图,在平面直角坐标系中,抛物线 经过△ABC的三个顶点,其中点A(0,1),点 y=ax{+bx十c与x轴交于两点A(-3,0). B(一4.5),AC/x轴;点P是直线AC下方抛 B(4,0),与y轴交于点C(0,4). 物线上的动点,(1)求抛物线的解析式; (1)求此抛物线的解析式; (2)过点P且与y轴平行的直线/与直线AB. (2)若点D,E分别是线段AC,AB上的动点 且AE-2CD,求CE十2BD的最小值. AC分别交于点E,F,当四边形AECP的面积 最大时,求点P的坐标 ##__ 第4题图 P2 1-3 第3题图 ■霞 104 类型2 二次函数与三角形全等、相似 6.[20映西20如图,抛物线y=x十bx十c经过点 5.[221陕西2]已知抛物线y=-x2+2x+8与x轴 (3,12)和(一2,一3),与两坐标轴的交点分别 交于点A,B(点A在点B的左侧),与v轴交 为A,B,C,它的对称轴为直线/ 于点C. (1)求该抛物线的表达式; (1)求点B.C的坐标; (2)P是该抛物线上的点,过点P作/的垂线 (2)设点C与点C关于该抛物线的对称轴对 垂足为D,E是/上的点,要使以P,D,E为顶 称,在y轴上是否存在点P,使△PCC与 点的三角形与入AOC全等,求满足条件的点 △POB相似,且PC与PO是对应边?若存 P,点E的坐标 在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由; 第6题图 105 类型3 二次函数与特殊三角形 8. [223交大册中四模]已知抛物线y=x-6x十c与x 7.[223随州节选]如图,在平面直角坐标系xOy中,抛 轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴 物线y=ar+br+c过点A(-1,0),B(2,0 交于点C(0,5). 和C(0.2),连接BC.点P(m,n)(m>0)为抛 (1)求抛物线的表达式及顶点坐标; 物线上一动点,过点P作PN x轴交直线 (2)将抛物线沿y轴方向向上平移个单位长 BC于点M,交x轴于点N 度(>0),平移后抛物线的顶点为点P,且点 (1)直接写出抛物线和直线BC的解析式 P在x轴下方,是否存在点P,使得以B,C,P 为顶点的三角形为直角三角形?若存在,求出 (2)连接OM,当△OCM为等腰三角形时,求n 的值;若不存在,请说明理由。 的值. ) 47O NB 第7题图 106 A在点B的左侧,与y轴交于点C (1)求抛物线L的函数表达式; (2)将抛物线L平移,得到抛物线L',目点A经过平移后得到的对应点为点A,要使ABC是以 BC为斜边的等腰直角三角形,求满足条件的抛物线L的函数表达式 1071 类型4 二次函数与特殊四边形 11.[223兴安盟节]如图,在平面直角坐标系中,抛物 10.[2023自贡节选]如图,抛物线y一一 线y=一x*十bx十c与x轴的交点分别为A 和B(1,0)(点A在点B的左侧),与y轴交于 x轴交于A(-3,0),B两点,与v轴交于点C 点C(0,3),点P是直线AC上方抛物线上一 (1)求抛物线的解析式及B,C两点坐标; 动点. (2)若以A.B.C,D为顶点的四边形是平行四 (1)求抛物线的解析式; 边形,求点D坐标 (2)点M为抛物线对称轴上一动点,当点P 点M运动时,在坐标轴上确定点N,使四边 形PMCN为矩形,求出所有符合条件的点N 的坐标. 第10题图 第11题图 ■霞 108专题4二次函数与几何综合题 :n-m=5,∴.(m十n)-4mn=25, 1.解：1)：抛物线的对称轴为直线x=是，且过点A(一2。 .B-4×6=25,解得6=7,6=-7， .抛物线1，的函数表达式为y=x十7x十6或y=x 7x+6. 0), 2 2· b=1, 解得 c=6, 综上所述，所有满足条件的抛物线L,'的函数表达式为 -4-2b十c=0, y-r-6或y=x+7x+6或y=x-7x十6. ,.该抛物线的函数表达式为y=一x十x十6. 3.解：(1)：抛物线y=x+hr+c经过△ABC的三个顶 (2)令x=0,得y=6,.C(0,6), 令y=0,得-2+x+6=0, 点，其中点A(0,1),点B(-4.5). 「c=1, 1b=3. 解得1=3,2=一2， 16-4b+c=5,1c■1. A(-2,0),B(3,0). ∴.抛物线的解析式为y=2十3x+1, 由平移的性质得AC∥A'C且AC=A'C”, ,四边形ACCA'为平行四边形 2)心抛物线的解新式为y=7+3x+1=(+2)广-年， :点C在点C右侧时，只有两种情况， 线段A'C在点B的左右两侧，其中A'C在点B右侧时， 抛物线的对称轴为直线一一是 四边形周长最大 AC∥x轴，且点C在抛物线上，∴.C(一3,1). 令y=-6,则-x十x+6=-6, 由A(0,1),B(-4,5)得直线AB的解析式为y=一x+1. 解得x1■4，x■一3（舍去）. 设P(4,+31+1),则E(4,一1+1)， A'(4,-6), .PE--441-2-31-1=-2-4. .AA'=62,AC=V2+6=2/10 ,56en=Sr十Sm, .四边形周长最大值为2(6√2+2√1ō)=12反+110 Sa=PECF+PEA 2.解：(1)当y=0时，x2十x一6=0，解得=一3，x:=2. PE.AC A(-3.0,B(2.0). 当x=0时，y=-6,.C(0,一6)， ∴5am=合AB,0C=15 +2)+6, 2 (2):抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L, A'B'=AB=5, -是<0，-3<1<0 :△AB'C'和△ABC的面积相等， 当1=一2时，Saa形最大， ∴.0C=OC=6,即C(0,-6)或(0,6)， 此时点P的坐标为（一2，一1）. 设抛物线L的解析式为y=x+br一6或y=x+br十6， 4.解：(1)设此抛物线的解析式为y=a(x+3)(x一4)= 设A'(m,0),B(n.0), a(x2-x-12), 当m,n为方程x2十bx一6=0的两根时. 抛物线过点C(0,0..-12a=4.a=-号， 3· m十n=一b,n=一6， :|n-m=5,.(m十)2-4m=25, “此抛物线的解析式为y=一专？十号十4 .6一4×(-6)=25，解得b=1(舍去)，b=一1， (2)如答图，作∠EAG=∠BCD,使AG=2BC=8,2. .抛物线L'的函数表达式为y=x一r一6. ,AE=2CD,,△BCD△GAE,且相似比为1：2， 当m,n为方程x十bx十6=0的两根时， .GE=2BD. 则m十n=一b,mn=6. 当C,E,G三点共线时，CE+2BD=CE+EG=CG,此时 54 CE+2BD取得最小值. A(-3.0).B1.0).C(0,-3). 在△ABC中，设AC边上的高为h, .0A=(C=3. 则Sm-号AC·A-2ABC0.即5h=4X7。 ∠PDE=∠AOC=90°. ∴.当PD=DE=3时，以P,D,E为顶点的三角形与△AOC 解得=号 全等。 期n∠ACB瓷- 设点P(m,n),当点P在抛物线对称轴右侧时，m =sin∠EAG,则tan∠EAG-7. (一1)=3，解得m=2, 过点G作GNLr轴于点心则G-G·m∠EG-管。 .n=2+2×2-3=5,.P(2,5), ∴点G的织坐标为一碧 ∴点E(-1,2)或（一1.8）. 当点P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可 同理可得点G的横坐标为一 6(-子-)· 得点P(一4,5)，此时点E的坐标同上. 综上所述，满足条件的点P的坐标为(2,5)或（一4,5）， 由点C,G的坐标得C℃= √(0+)+(4+ 点E的坐标为（一1,2）或(-1,8). √233，即CE+2BD的最小值为√233 7.解：(1)：抛物线y=a+r+c过点A(-1,0),B(2,0) :抛物线的解析式为y=a(x十1)(x一2). 将点C(0,2)代人，得2=u×1×(-2),解得a=-1, .抛物线的解析式为y=一(x十1)(x一2)， 即y=一x十x十2 由点B(2,0),C(0,2)得直线BC的解析式为y=一x+2. (2):点M在直线BC上，且P(m,n), G 点M的坐标为(m,一m十2)： 第4题答困 ∴.CM=(m-0)2十(-m十2-2)2=2m2,OM=m2+ 5,解：(1)令x=0,得y=8,∴.C(0,8), (-m+2)2=2m2-4m+4, 令y=0,得-r2+2x+8=0, 由C(0.2)得OC=2,当CM=OM时，CM=Of, 解得x1=-2,=4,.B(4,0) 即2m=2n一4m十4，解得m=1: (2)存在.设P(0,y), 当CM=OC时，Cf=(OC ,CC∥OB,且PC与PO是对应边， 即2m=1,解得m=2,m■一√反（舍去）： 瓷-品用8-1解得=16-号 当OM=OC时，Of=OC, 2 即2n一4m十4=4，解得m,=2,m,=0(舍去). P0,16或P0,9). 综上所述，m的值为1，√2或2. 6.解：(1)将点(3,12)和（一2，一3）代入抛物线表达式得 8.解：(1)抛物线y=r2一6x+c与y轴交于点C(0.5) 12=9+3b+c, b=2, 解得 .c=5, -3=4-2b+e, c=-3, .抛物线的表达式为y=x2一6.x十5=(x一3)2-4， 抛物线的表达式为y=x2十2x-3. 顶点坐标为(3.-4). (2)抛物线的对称轴为直线x (2)·将抛物线沿y轴方向向上平移k个单位长度(> -1, 0),'.平移后抛物线的顶点为P(3,k一4). 令y=0,解得x=一3，x=1, 点P在x轴下方，k一4<0,0<k<4, 令x=0,得y=-3, 令y=0,得x-6.r+5=0,解得=1，x=5. 55 :点A在点B的左侧.∴A(1,0),B(5,0). :△A'BC是以BC为斜边的等腰直角三角形. 如答图①，当∠CBP=90时，记直线x=3交x轴于点 ..A'C=A'B. D.D(3.0)...BD=OB-OD=2. I∠PCA'=∠QA'B. ,C(0,5),,C0=0B=5,.∠OBC=45 在△CPA'和△A'QB中，∠CPA'=∠A'QB, ∴.∠DBP=∠CBP-∠OBC=45°，∴.DP=BD=2, A'C=BA'. P(3,一2)，即k-4=-2,k=2. ∴.△CPA'2△A'QB(AAS). 如答图②，当∠CPB=90时， 设点A'(m,m)∴A'P=BQ=OP=m,m=m B(5.0).C(0.5).P(3.k-4)..BC=5+52=50. :CP=A'Q=2+n.PA'+AQ=m+2+n=4. CP=(0-3)2+[5-(k-4)]=32+(9-k)2, 1m=1 BP=(5-3)+[0-(k-4)F=2+(4-)2, 解得{ A'(1,1), (m十2十刀=4， n=1, 在R1△BCP中，BP+CP=B, 抛物线1向上平移1个单位长度，向右平移2个单位 .2十(4-k)2+3+(9-)2=50, 长度得到抛物线L' 解得k,=3.k=10(舍去). 综上所述，当以B,C,P为顶点的三角形为直角三角形 “抛物线L的函数表达式为y=立2-是x-2= 时，k的值为2或3. ()- 抛物线的数表达式为y=之（一子）广-是 如答图②，当点A'在B下方时，设点A'(m,n), A'P=BQ=OP=m..m=-n. CP=A'Q=-2-n,PA'+A'Q=m-2-n=4, 1m=3, 图① 国② 解得 A'(3,-3), m一2一月=4， n=一3， 第8题答图 ,抛物线L向下平移3个单位长度，向右平移4个单位 9.解：(1)把点(-2,3)和(6,7)代人y=)士+b厅十， 长度得到抛物线'， 3=2-26+c, 3 六抛物线的丽数表达式为y=专（红一号）广-想 得 解得 2 7=18+6b+c, =-2 综上所述，抛物线1上的函数表达式为y=之（一子） 六抛物线L的函数表达式为y=令-是x一2 号或y=(-号)广-9 （2)令y=7女-受一2=0，解得=-16=4 :点A在点B的左侧，∴A(一1,0)，B(4,0). 把x=0代人得y=-2,.C(0,2). 如答图①，当点A'在BC上方时，过点A'作x轴的平行 线交y轴于点P,过点B作y轴的平行线，交PA'的延 长线于点Q. A'O PQ∥r轴，BQ∥y轴，∠POB=90, 图① 图② 四边形POBQ为矩形. 第9题答图 :∠PCA'+∠PA'C=∠PA'C+∠BA'Q=90, ∴∠PCA'-∠QA'B. 10,解：1)把点A的坐标代入解析式，得-冬×(-3)P A56 36十4=0，解得仁-号， .∠PNH+∠CNO=90°.∠PNH+∠HPN=90°， .∠CNO=∠NPH,∴.△PHN△NC, .抛物线的解析式为y=一 3x、8 4 x+4, 胎牛 一1-1 3 点C的坐标为(0,4). 令y=0,解得x=一3，=1， 解得1=二5土5 6 .点B的坐标为(1,0). :点P在直线AC上方，∴一3<t<0, (2)设点D的坐标为(a,b).若AC为平行四边形的对角 =-5压N=压o 线，则对角线的交点坐标为（一号，2）， 综上所述，点N的坐标为(04)或（二西，0） 3 2 2 /4■一4， 解得 .D(-4,4): 0+b=2, b=4, 2 若AB为平行四边形的对角线，则对角线的交点坐标为 (-1,0). (0十4=-1， 2 1=-2. 解得 .p-2,=4) 第11题答图 4+b=0, b=一4. 2 若BC为平行四边形的对角线，则对角线的交点坐标 为（受2 -3+4= 2 2 解得 ∴.D(1.4). 0+b=2: b=4. 2 综上所述，点D的坐标为（一4,4）或（一2，一4）或(4,4). 11.解：(1)把B(1,0),C(0,3)代入y=-乙+x+c得 度 -1+b+c=0, =-2, 解得{ e=3, =3. .抛物线的解析式为y=一x-2x十3， (2)设M(-1,m),P(1,--21+3), 设矩形的对角线交点为K(侵，一之-1十3)小： 则V(1+1,-t一21+6一m), :点V在坐标轴上，∴1+1=0或-产一21十6一m=0, 当1=一1时，此时PM∥y轴，P(一1,4). 四边形PMCN是矩形，.PMLMC,.M(一1,3)， N(0,4); 如答图，当一+24十6一m=0时，点V在x轴上. 过点P作PH⊥x轴交于点H, :∠PNC=90°， 57△