8.培优专题8：辅助圆问题&9.培优专题9：线段的最值问题-【卓文中考】2024年陕西中考数学精准巧练

培优专题8辅助圆问题 [与辑助圆相关的辅助线作法见《箭准讲解P62] 1.定角定高如图，在△ABC中，∠BAC=30°，AH⊥ CD,连接OD,则OD的最大值为 BC于点H,AH=6,则△ABC的最小面积6.最大张角如图，在正方形ABCD中，AB=4,M是 为 AD的中点，点P是CD上一个动点，当∠APM 的度数最大时，CP的长为 第1题图 第2题图 2.点圆最值如图，等边三角形ABC和等边三角形 第6题图 第7题图 ADE,N,M分别为BC,DE的中点，AB=6, 7.对角互补构造助圆如图，在四边形ABCD中， AD=4,△ADE绕点A旋转过程中，MN的最 ∠BAD=∠BCD=90°，∠ACD=30°，AD= 大值为 2,E是AC的中点，连接DE,则线段DE长度 3.对称+点圆显正如图，矩形ABD 的最小值为 的边AB=8,AD=6,M 8.定边定角如图，在△ABC中，∠C=120°，AB=10, 为BC的中点，P是矩形 试判断△ABC的面积是否存在最大值？若存 内部一动点，且满足 D 在，求出这个最大值：若不存在，请说明理由. ∠ADP=∠PAB,N为边 第3题图 CD上的一个动点，连接PN,MN,则PN MN的最小值为 第8题图 4.阿氏圆如图，在Rt△ABC中，∠C=90,AC=9, BC=4,以点C为圆心，3为半径作⊙C,分别 交AC,BC于D,E两点，点P是⊙C上一个动 点，则。PA十PB的最小值为 第4题图 第5题图 5.瓜豆圆如图，⊙O的直径AB=2,C为⊙O上动 点，连接CB,将CB绕，点C逆时针旋转90得到 59培优专题8辅助圆问题 1.652.55 5.区+1【解析】如答图，以(OB为边在AB的下方作等腰 3.7【解析】四边形ABCD是矩形，∴.∠BAD=90 直角三角形OBE,连接CE,BD.由旋转的性质得BC= ·∠ADP=∠PAB,∴.∠ADP+∠PAD=∠PAB+ CD,∠DCB=90°，∴.∠DBC=45°，BD=2BC. ∠PAD=∠BAD=90°，∴.点P的运动路线为以AD为 :△OBE是等腰直角三角形，.OE=BE,∠OBE=45°， 直径的国.如答图，作以AD为直径的⊙O,作点M关于 OB=2BE=1,÷BE=OE号.∠DBC=∠OBE】 直线DC的对称点M',连接OM交⊙O于点P',连接 MN.OP,则OP=OP'=3.MN=MN.∴.PN+MN= ÷∠0BD=∠CBE又：8器-2=区.i△DBO PN+M'N-PN+M'N+OP-OP'OM'-OP'-OM' 一3，.PN十MN的最小值为OM-3.连接OM,,四 △CBE器帶-E0ECE多CE取得 边形ABCD是矩形，O是AD的中点，M为BC的中，点， 最大值时，OD取得最大值.当C,O,E三点共线时，CE ∴OD=AD=专BC=CM=3.OD∥CM,∠0DC= 取得最大值为1十号OD的流大位为E+1 90°，，四边形OMCD是矩形，.OM=DC=AB=8. 点M关于真线DC的对称点为M',∴.MM=2MC 6.由勾股定理得OM=√Of七M=10,∴.PN MN的最小值为OM'-3=7 第5题答图 6.4一22【解析】如答图，过点A,M作⊙O与CD相初于 点P.记PM与⊙O变于点Q,连接AP,MP.OM,OP, AQ.则∠APM=∠AQM>∠APM.∠OPD=90°，当 点P运动到点P'时，∠APM的度数最大.作ON⊥AD 第3题答图 4.√7【解析】如答图，在AC上战取CQ=1.连接CP, 于在N:期MN=AN-号AM.:回边形ABD是正方 3CP-3.CQ- PQ,B0.:AC=9,CP=3.=3 形，.∠D=90,.四边形OPDN是矩形.AB=4,M 是AD的中点，AM=DM=2,MN=1,∴.OM=OP'= 1.器=寸△AP△PQ,PQ=青Ap DN=DM+MN=3.ON=VOM-MN=22. “号PA+PB=PQ+PB≥BQ,当B,Q,P三点共线时， ∴.DP=ON=2√2，.Cp=DC-DP=4-22,.当 ∠APM的度数最大时，CP的长为4一2√2. 号PA+PB的值最小.在R△BCQ中，BC=4,CQ=1, QB=VT号PA+PB的最小值为7. 第6题答图 7.3-1【解析】∠BAD=∠BCD=90°，.A,B,C,D 四点共圆，且BD为这个间的直经，如答图，记圆心为O, 连接AO,CO,取AO中点F,连接EF,DF.,∠ACD= 26 第4题答图 30.∴.∠A(0D=60°.：(OA=(OD.∴.△OAD为等边三角形. OC=OA=OD=AD=2,∴∠AFD=90,则DF=√3. :EF是△AOC的中位线EF=2OC=L,在△DEF 中，DF-EF≤DE,当D,E,F三点共线时，DE取得最 小值，最小值为一1 第7题答图 8.解：存在.如容图，作△ABC的外接圆. :AB=10,∠ACB=120都是定值，∴.点C在AB上 作OM⊥AB于点N,交AB于点M,CH⊥AB于点H,则 AN-BN-TAB-5. 当点C与点M重合时，CH取得最大值，最大值为AN 45的最大值为号×10×5_253 tan30=53 33 B 第8题答因 唐度考 27△培优专题9线段的最值问题 [最值问题常见图形的分析梳理见《精准讲解》P71门 L.在平面直角坐标系xOy中，点P在由直线y=6.已知在△ABC中，AB-AC=6.5,AD⊥BC于 一x+3,直线y=4和直线x=1所围成的区域 点D,AD=6,BD=2.5,P为AD边上的动 内或其边界上，点Q在x轴上，若点R的坐标 点，E为AB边上的动点，则PE+PB的最小 为R(2,2),则QP+QR的最小值为( 值是 A17 B.5+2 C.35 D.4 2.如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是 边AB的中点，点P是对角线BD上的动点， 则AP十PE的最小值是 ( 第6题图 A.25 B.23 C.32 D.3、5 7.如图，在正方形ABCD中，AB=4,AC与BD 0 交于点O,N是AO的中点，点M在BC边上， 且BM=3,P为对角线BD上一点，则PM PN的最大值为 第2题图 第3题图 3.如图，在平面直角坐标系中，点A(一2,2) B(2,1),点P(x,0)是x轴上的一个动点.结合 图形得出式子/(x+2)+4+√(2一x)+1 第7题图 的最小值是 8.如图，∠AOB=30°，点M,N分别是射线OA, A.3 B.17 (OB上的动点，P为∠AOB内一点，且OP=6, C.5 D.22+5 当△PMN的周长取最小值时，MN的长 为 4.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°， AB=4,若D是BC边上的动点，则2AD+DC 的最小值是 ( A.6 B.8 C.10 D.12 第8题图 9.如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠D=120°，E 是对角线AC上的任意一点，则与CE+BE的 D 最小值为 第4题图 第5题图 5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3, AC=4,P为边BC上一动点，过点P作PE⊥ AB于点E,PF⊥AC于点F,连接EF,则EF B 的最小值是 第9题图 67 10.如图，在等边三角形ABC中，D为AC的中 交HM的延长线于点G.若AC=8,AB=6, 点，点P,Q分别为AB,AD上的点，且BP 则四边形ACGH周长的最小值是 AQ=4,QD=3,在BD上有一动点E,则 PE十QE的最小值为 D 第14题图 15.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,E为 第10题图 CD边的中点，P,Q为BC边上的两个动点 11.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=a,∠B= 且PQ=1,当BP= 时，四边形APQE ∠D=90°，在BC,CD上分别找一点M,V,当 的周长最小。 △AMN周长最小时，则∠MAN的度数 为 第15题图 16.在平面直角坐标系中，直角梯形AOBC的位 置如图所示，∠OAC=90°，AC∥OB.OA=4, 第11题图 AC=5,OB=6.点M,N分别在线段AC,线 12.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,G是 段BC上运动，当△MOV的面积达到最大 AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动. 时，存在一种使得△MOV周长最小的情况， 若EF=1,则GE+CF的最小值为 则此时点M的坐标为 第12题图 13.如图，AC是⊙O的直径，AC=4,∠ACB= 第16题图 60°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD十 17.2必百工大附中期如图，点A,B在直线EF的同 BD的最小值为 一侧，AC⊥EF于点C,BD⊥EF于点D, AC=2,BD=CD=4.点Q是直线EF上的一 个动点，AQ+BQ的最小值为a,|AQ-BQ 的最大值为b,则a2+b的值为 第13题图 14.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，M为BC的 D P 中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB, 第17题图 68培优专题9 线段的最值问题 边形∴EH=CF.:点G关于AB的对称点是点G',G 1.A2.A3.C4.D 为边AD的中点，∴.AB垂直平分GG,∴GE=GE, 524687.18125-189.2g AG-AG-AD-1..GH-E+EH-EG+CF. .DC=4.AD=2...DG'=AD+AG'=3,DH=DC- 10.10【解析】，△ABC是等边三角形，，BA=BC.,D 是AC的中点，AQ=4,QD=3,.DC=AD=AQ+QD= CH=3.由勾殿定理得HG=√DG十DH=3√2，即 7.如答图，作，点Q关于BD的对称，点Q',连接PQ交 GE+CF的最小值为32. BD于点E,连接QE,此时PE十EQ的值最小，最小值 D PE+QE=PE+EQ=PQ'.AQ=4.AD=DC= G 7...QD=DQ=3...CQ'=BP=4,..AP=AQ'=10. E F "∠A=60∴△APQ是等边三角形，∴PQ=PA G 10..PE+QE的最小值为10 第12题答图 13.√3【解析】如答图，作BK∥CA,DE⊥BK于点E.OM BK于点M,连楼OB:AC是⊙O的直径，∴，∠ABC 90:∠ACB=60,∴.∠A=30°.BK∥CA 第10题答图 ∠DBE=∠A=30,在R△DBE中.DE=BD, 11.2a-180°【解析】如答园，是长AB到点A.使得BA ∴OD+之BD=OD+DE,由垂线段最短可知，当点E AB,延长AD到点A”,使得DA“=AD,连楼AA”与 BC,CD分别交于点M.N.∠ABC=∠ADC=90 与M重合时，OD+立BD的值最小，最小值为OM 点A,A'关于BC对称，点A,A”关于CD对称，此时 ∠A=∠AB)=30°.∴∠(OBM=∠OBA+∠ABM=60. △AMN的周长最小.：BA=BA',MB⊥AB,∴.MA :AC=4,∴.OB=2.在Rt△OBM中，∠OBM=60°， MA',同理可得NA=NA".∠-∠MAB.∠A “∠BOM=30BM-0B=,由勾段定现得OM- ∠NAD.'∠AMN=∠A'+∠MAB=2∠A,∠ANM ∠A+∠NAD=2∠A".∴∠AMN+∠ANM-2(∠A'4 3.∴OD十 BD的兼小值为后 ∠A").:∠BAD=a,∠A'∠A=180-4 EM ∴.∠AMN+∠ANM=360-2a,.∠MAN=180° (360°-2a)=2a-180 第13题答图 14.22【解析】：CG∥AB,.∠B=∠MCG.:M是BC 的中点，.BM=CM.又：∠BMH=∠CMG, 第11题答图 .△BMH≌△CMG(ASA),.HM=GM,BH=CG. 12.32【解析】如答图，作点G美于AB的对称点G.在 AB=6,AC=8,∴.四边形ACGH的周长为AC+ CD上戴取CH=1,然后连接HG交AB于点E,在EB CG+AH+GH=AB+AC+GH=14+GH...GH 上藏取EF=1,此时GE十CF的值最小，，四边形 最小，即MH⊥AB时，四边形ACGH的周长取得最小 ABCD是矩形，∴.AB∥CD,AD=BC=2,CD=AB=4, 值.∠A=90,MH⊥AB,GH∥AC,.四边形 :CH=EF=1.CH∥EF,.四边形EFCH是平行四 ACGH为矩形，.GH=8,.四边形ACGH周长的最 31么 小值为14十8=22. AQ+QB,,AQ+QB取得最小值，最小值a为线段AB 15.2【解析】如答图，在AD上戴取线段AF=PQ=1,作 的长度.过点A作直线A'M⊥BD交BD的廷长线于点 点F关于BC的对称点G,连接EG与BC交于点Q,连 M.:AA'⊥EF,BDLEF,A'MLBD,∴.四边形AMDC 接FQ,过点A作FQ的平行线交BC于点P,过点G作 为矩形，.A'C=DM=2,A'M=CD=4,∴.BM=BD+ BC的平行线交DC的延长线于点H.,GH=DF=3, DM=6.在Rt△A'MB中，A'M=4,BM=6,由勾股定 EH=3,∠H=90°，∴.∠GEH=45°，.∠CEQ=45°.设 理得A'B=V√AM+BM=213,.a=213.如答 BP=x,则CQ=BC-BP-PQ=4-x-1=3-x.在 图②，连接BM并延长交克线EF于点Q.,AQ一BQ= △CQE中.，∠QCE=90°，∠CEQ=45°，∴.CQ=EC, AB.AB≥|OA-OB|,∴.|AQ-BQ1≥|OA-OB1, .3-x=1,解得r=2.即当BP=2时，四边形APQE .最大值b为线段AB的长，过点A作AN⊥BD于点 的周长最小. N,'ACL EF,BD⊥EF,AN L BD,,.四边形CDNA 为矩形，，.AN=CD=4,DN=AC=2,.BN=BD- DV=2在Rt△ABN中，AN=4.BN=2.由勾段定理 得AB=√/AN+BN7=25,∴.b=25,.a2+6= (21B)+(25)=72 第15题答国 16.(3,4)【解析】如答图，过点M作MP∥OA,交ON于 点P,连点N作NQ∥OB,分别交OA,MP于Q,G两 O D 点，尉Sam=Saw+Saw=Mp,QGc+吉p 图D 图② NG=2MP·QN.MP<OA.QN≤OB,·当点N与 第17题答图 点B重合时，QN取得最大值(OB,△M)N的面积最大 值为号OA·OB,记点0关于AC的时称点为点D,连 接DB交AC于点M,此时△MON的面积最大，周长最 短：AM/OB“品-错即号=鲜释AM 度碧 3,.M(3,4). 14 D B 第16题答图 17.72【解析】如答图①，是长AC到，点A'.使A'C=AC 连接A'B变EF于点Q,连接OA'.QA,AB.:AC⊥ EF,AC=A'C,.点A,A'美于EF对称，OA=OA', AQ=A'Q.A'C=AC=2...AB=A'Q+BQ=AQ+QB. OA十OB=OA'+OB.:OA'+OB≥A'B,∴.OA+OB≥ 32