7.培优专题7：三角形、四边形中的面积等分问题-【卓文中考】2024年陕西中考数学精准巧练

培优专题7三角形、四边形中的面积等分问题 [面积等分的富见辅助线作法见《箭准讲解P巧月 一、规则图形的面积等分问题探究 平的边分别相交于点P,Q,求PQ长的最大值： 1.如图，已知四边形ABCD为正方形，请用无刻 b.该L图形ABCDEF的面积平分线与边 度的直尺在边AD上找一点F,使得直线EF AB,CD分别相交于点G,H,当GH的长取最 将正方形ABCD分成面积相等的两部分。 小值时，BG的长为 E D G 第1题图 图① 图② 2.阻合图形如图①，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E N O F ∠F=90°，AB,FE,DC为竖直方向的边，AF ED,BC为水平方向的边，点E在AB,CD之 间，且在AF,BC之间，我们称这样的图形为1 /P M 图形，记作L图形ABCDEF,若直线将L图形 图③ 图④ 分成面积相等的两个图形，则称这样的直线为 第2题图 该L图形的面积平分线， 【活动】 小华同学给出了图①的面积平分线的一个作 图方案：如图②，将这个L图形分成矩形 AGEF,矩形GBCD.这两个矩形的对称中心 O,O2所在直线是该L图形的面积平分线. 请用无刻度的直尺在图①中作出其他的面积平 分线（不写作法，保留作图痕迹，作出一种即可）. 【思考】 如图③，直线O,O,是小华作的面积平分线，它 与边BC,AF分别交于点M,N,过MN的中 点O的直线分别交边BC,AF于点P,Q,直线 PQ (填“是”或“不是”)L图形ABCDEF 的面积平分线. 【应用】 在L图形ABCDEF中，已知AB=4,BC=6. 如图④，CD=AF=1. a,该L图形ABCDEF的面积平分线与两条水 50 二、不规则图形的面积等分问题探究 3.我们规定：在一个平面图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周 长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线” (1)如图①，在△ABC中，AC≠BC,过点C能否画出△ABC的一条“等分积周线”？若能，说出你 的画法：若不能，说明理由： (2)如图②，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，EF垂直平分AD,垂足为F,交BC于点E,AB=3, BC=8,CD=5.判断直线EF是否为四边形ABCD的“等分积周线”，并说明理由. 图① 图@ 第3题图 加速度碧 51培优专题7三角形、四边形中的面积等分问题 设BG=r,鲫MG=1一x, L.解：如答图，直线EF即为所求」 根据上下两部分面积相等可得 6x=(4-1)×1+(1-x)×6, 解得x=是，即BG=是. E 第1题答图 BP 2.解：【活动】如答图①，直线OO是该L图形ABCDEF 的面积平分线。 图① 图② (另解：延长DE交AB于点M,过矩形AFEM与BCDM 的中心的直线也平分该L图形ABCDEF的面积) 【思考】是 D 【解法提示】，∠A=∠B=90°. .AF∥BC.∠NQO=∠MPO 图③ :O是MN的中点，∴ON=(OM. 第2题答图 ∠NQ)=∠MPO, 3.解：(1)不能.理由如下： 在△OQN和△OPM中.∠N(OQ=∠MOP 如答图①，若直线CD平分△ABC的面积， ON=OM. 则S6m=S8m.AD=BD, .△OQN2△OPM(AAS)..Saox=Saw: :AC≠BC..AD+AC≠BD+BC. SAAINN SANVPEIC S46NI -SeM SNVID 二过点C不能画出一条“等分积周线”， S2eov,即SAnN=SaroM+ (2)直线EF为四边形ACD的“等分积周线”，理由如下： SABPON +SAON SEPOO+SAorM 如答图②，连接AE,DE.设BE=x. 即Se形wO=ScwEFOr, EF垂直平分AD.∴.AE=DE,AF=DF,SA=SA· ∴直线PQ是L图形ABCDEF的面积平分线. 在R△ABE和R1△DCE中，AB=3,BC=8,CD=5, 【应用】品，如答图②，当点P与B重合时，PQ最大.过点 由勾股定理得AB+BE=CE+DC,即3十x= Q作QH⊥BC于点H, (8-x)2+5, L图形ABCDEF的面积为4×6一(4一1)×(6一1)=9. 解得x=5,.BE=5,CE=3,∴AB+BE=CE+DC, ,PQ是L图形ABCDEF的面积平分线， ∴.SE=SaE 5ao=(DQ+B0)·GD=号 又'Sgmg=Sa十Sa证，Sg地sm=Sam十Sa: SnE=SCAF+AB+BE=DF+EC+DC. 即(DQ+6)=号，解得DQ=3, ∴.直线EF为四边形ABCD的“等分积周线” .CH=DQ=3,∴.PH=3. 由勾股定理得PQ=√P开+QH=√10， 即PQ长的最大值是√10. 图① 图② 【解法提示】如答图③，当GH⊥AB时GH最短. 第3题答图 过点E作EM⊥AB于点M. 23