1.培优专题1：代数法解决线段、面积问题&2.培优专题2：二次函数与几何图形的结合-【卓文中考】2024年陕西中考数学精准巧练

培优专题1代数法解决线段、面积问题 [北师九下P必改编]如图，在△ABC中，AB一AC 学法点拨 10,BC=12.在△ABC中截出一个矩形 (1)线段问题：当两，点位置关 DEFG,其中D,G分别在AB和AC边上，EF 系确定，且所在直线与坐标轴平行 在BC边上.过点D作DM⊥AB,DM交BC 或垂直时，可直接利用横（纵）坐标 边于点M.设EF=x,矩形DEFG的面积为y. 作差表示所求线段：若两条线段相 (1)段向题①用含x的代数式填空： 等，则令表示这两条线段的代数式 a.BE= DE= :AD= ,四边形 相等，解方程可求得对应坐标： DEFG的周长为 (2)面积问题：当，点的变化情 b.DM= .CM= 况在一条线段上运动，求相应的图 ②当点M与点F重合时，x .DM= 形面积时，可直接利用(1)中方法 ③当四边形DEFG为正方形时，x 表示出相关线段长直接计算：若图 (2)面积阿题①当点D在AB边上运动时，y三 当x 时，矩形DEFG的面积最大，最大面积为 形的顶点在不同线段上运动，则需 ②记△DBM与矩形DEFG的重合部分的面积为S,求S的函数表 分类讨论，然后进行面积的计算 达式 加速度碧 23培优专题1代数法解决线段、面积问题 ®帶罗®号 ②0-号r+8r624 @由D@可知，当曾<<12时，△DBM与矩形DEFG 的重合部分为△DEM. 'cos B=- 3 BD AB=方=B· BM-号BD-号AB-AD)=-+ 25 六Sam=DE.(BM-BE) 27 64128 3 如答图，当点M与点C重合时 BM=C=12=一器+碧解得器 84 记GF与DM交于点H. :DG/MFi△DGHO△MFH,8- GF∥DE.∠MHF=∠MDE. 又'∠MDE+∠BDE=∠B+∠BDE,∴∠MHF=∠B, ian∠MHF=m∠DHG=amB-合8品 GH=5m=DG6H=g 度碧 六S=S心一S=一票十8x,综上所述，S的数 票+8（< 表达式为$= 27、 8 +1(9≤r<12) 答图 7培优专题2二次函数与几何图形的结合 [同类题型解题方法见《精准讲解P27一P31门 [2必西工大邪中十模效如图，抛物线W,与x轴交 学法点拨 于A(一3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点 (1)已知抛物线与x轴的两个 C(0,3),点D为抛物线W的顶点 交点，设交点式求解表达式 (1)求表达式求抛物线W,的函数表达式及点D (2)a.用t分别表示出，点P,Q 坐标； 的坐标，结合两点位置关系得到线 段PQ的表达式，利用函数的增减 性求得PQ的最大值： b.用含t的代数式分别表示出 线段PQ与QH的长，利用已知条 (2)线段间丽如图①，点P在直线AC上方的抛物线上运动.连接 件建立方程求解.注意最后需结合 AC,过点P作PH⊥x轴于点H,P日交直线AC于点Q.设点P 自变量的取值范国合去不满足条 件的值： 的横坐标为t. 图① a践段最值请用含t的代数式表示出线段PQ的长，并求出线段PQ 的最大值： b.倍分关系当PQ=2QH时，请求出点Q的坐标： 24 C.线段和最佰如图①，点M为抛物线W的对称轴上一点，连接CM, 学法点拨 BM,求CM+BM的最小值： c结合抛物线的对称性，可利 用对称转化线段位置，然后进行下 一步的求解； d.分别表示出PH与PN的 长，利用矩形周长公式表示出矩形 钢结构框架的周长，利用抛物线的 增减性求出最值， d.实际应用[223陕西第五题政编如图②，现有一形 (3)a,观察等量关系可知两三 状与图①抛物线相同的拱门框架，将其放入 角形有公共边，则公共边上对应的 平面直角坐标系xOy中，其中AO=3m.为 高相等： 了制作拱门时防止其变形，决定在拱门框架 内焊接矩形钢结构框架PHMN来固定拱 OM 门，求所需钢材的最大长度： 图② (3)面积向题如图③，P为抛物线上一动点，连接AC,BC,PA,PB 图③ a.面积相等若S=S。uc(点P不与点C重合)，请求出点P的坐标： 25 b.面积最佰连接PC.当点P在AC上方运动时，请求出S△Pc的最大 学法点拨 值，并求出此时点P的坐标： b.过点P作y轴的平行线.作 AC的垂线，由(2)a得出PF的最 大值，利用特殊角得到相关线段的 数量关系，再利用面积公式表示出 S△Pw,即可求出面积的最大值，由 (2)a.可求出此时，点P的坐标. (4).等腰三角形的一条腰已 知，利用分类讨论思想，分别令其 等于其他边长，利用两点间距离公 式求出对应边长，解方程即可： h.斜边已知，则另外两条边为 (4)黠殊三角形如图④，点P为抛物线对称轴上一点，连接BC,直角边，利用两点间距离公式分别 PC.PB. 得到两条边的平方，利用勾股定理 建立方程求解 (5)两条抛物线关于一点对 称，则二次项系数互为相反数，两 条抛物线的顶点关于这一点对称， 根据以上性质可直接得到函数表 达式 图④ a.若△PBC是以BC为一腰的等腰三角形，请求出点P的坐标： 速度碧 b.若△PBC是以BC为斜边的直角三角形，请求出点P的坐标： (5)曲物线的几何变化将抛物线W1关于点B对称后的抛物线记为W2, 则W的函数表达式为 T26 (6)图形的全等如图⑤，W,与x轴的另一个交点为K,连接AC,在抛 学法点拨 物线W2上是否存在一点S,使得以点B,K,S围成的三角形与 (6)利用抛物线W1与W的对 △ABC全等？若存在，求出点S的坐标：若不存在，请说明理由： 称关系及抛物线W:自身的对称性 解决。 (7)图形的相似如图⑤，抛物线W2的对称轴与x轴交于点J,点H为 抛物线W2的对称轴上一点，是否存在点H,使得△BJH与△BOC 相似？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由： 图⑤ (7)已知△BC为直角三角形， 分别讨论另一个三角形与Rt△BOC 直角边的对应情况，利用相似三角 形的对应边成比例计算。 (8)a.已知平行四边形的一条 边，利用对应边平行且相等得到对 应点的纵坐标之间的数量关系，将 其代入抛物线的函数表达式，得到 相应，点坐标： (8)特殊四边形a.点P是x轴上一点，请问在W,上是否存在一点Q, 使得以B,C,P,Q为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若 存在，请求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由 27 b.如图⑤，在平面直角坐标系内，是否存在一点R,使得以B,C,H, 学法点拨 R为顶点的四边形是以BC为边的矩形？若存在，请求出点R的坐 b.已知矩形的一条边，分别讨 标；若不存在，请说明理由。 论对称轴上的动，点与已知边的顶 点连线为矩形另一条边时的两种 情况.结合矩形的四个角都为直 角，可构造一线三等角，利用相似 三角形的对应边成比例计算相 关量 加速度碧 28培优专题2 二次函数与几何图形的结合 x.=-2...P(-2.3); 解:(1)设抛物线W.的函数表达式为y=a(x+3)(x-1). 当yr--3时,-(r+1)+4--3, 将C(0,3)代入y-a(x+3)(x-1),解得a=-1. 解得r= 7-1.r=-/7-1. ·.抛物线W.的函数表达式为y=-(x十3)(x-1)=-(-十 '点P的坐标为(/7-1,-3)或(-/7-1.-3). 1+4. 综上所述,点P的坐标为(一2,3),(7一1,一3)或(-7 '.顶点D(-1,4). 1.-3). (2)a.由题意得P(t,-?-2t+3). b.如答图②,过点P作PF/y轴,交AC于点F,则 PFC 由A(一3,0),C(0,3)得直线AC的函数表达式为y-十 乙AC0-45”. 3..Qt.t十3). .PQ--7-24+3-(4+3)-6-3-(+)+. 当(二一 当PH最大,即PF最大时.Swc最大. 解得1--2,1--3. 由(2)a.得此时点P的坐标为(-3,15). .点P在直线AC上方的题物线上运动; -30..1--2.0(-2.1) 1 c.如答图①,连接AM.由拉物线的对称性得AM-BM. ..CM+BM-CM+AMAC .A(-3,0).C(0,3).AO-0C-3.AC-3/. 0 ..CM+BM的最小值为3/② 答图② (4)a.若点C为项角的项点,则CP-CB一10 (+()-10,解得y=0或6 'P(-1.0)或P(-16). 若点B为顶角的顶点,则BP-BC一10, 答图① '(-x)(二y)-10,解得y=或- d.由(1)得拱门的函数表达式为=一(x十1)+4. *P(-1.)或P(-1.-6). .拱门的对称轴为直线x一一1. 综上所述,点P的坐标为(一1,0).(-1,6).(-1.)或 设点P的横坐标为q,则PH-NM--^-2a+3,PN= (一1,一). HM-2(-1-)--2-2q. b..BC为直角三角形的斜边..'.PB+PC一BC,即 心.矩形钢结构框架所需钢材的长度为 [(1-1)+y*]+[(-1)+(y -3):]=10,解得y= $ $PH+2PN--2-8a+2--2(q+2)+10 1或2..,点P的坐标为(一1,1)或(-1,2) .一2<0.,当一一2时,矩形框架所需钢材的长度取得 (5)y-:-6x+5 最大值..'.所需钢材的最大长度为10m (6)存在. (3)a..S-Suc..△PAB与△CAB是一对同底等 .抛物线W:由抛物线W.关于点B对称得到, 高三角形.y-y-3. &.点C关于点B的对称点(2,一3)在抛物线W:上,且这一 当y=3时,-(x+1)+4-3,解得x-0(舍去). 点与点B,K构成的三角形与△ABC全等 在抛物线W.中,点(2.一3)关于抛物线的对称轴对称的点 也在抛物线W。上,且这一点与点B.K构成的三角形与 .H-B-..H(3.)A.R(2.). △ABC全等. 综上所述,点S的坐标为(2.-3)或(4.一3). 当CH:为矩形的边时,同理可得H.(3,4)...R。(4,1). (7)存在. 综上所述,点R的坐标为(2.)或(4.1). 点H的坐标为(3)或(3.-). o .点H的坐标为(3,6)或(3,一6). 1A 1 作点H表示-轴的对称点H,此时△B/H.与△BOC也 相似,此时点H的坐标为(3.,-). 答图④ 综上所述,点H的坐标为(3.).(3.一).(3.6)或 (3,-6). (8)a.存在. 由题意得点K的坐标为(5,0). 如答图③,当点Q在x轴上方时,w-3.则-6r+5-3. 解得x=3十/7或3-v7。 '.点Q的坐标为(3+7,3)或(3一v7,3) 当点Q在x轴下方时,y。--3,则-6x+5=-3。 解得x-2(此时点Q在直线BC上,舍去)或4. .点Q的坐标为(4.-3). 综上所述,点Q的坐标为(3+7,3).(3-,3或(4.-3). 答图③ b.存在。 由y=-6x十5得抛物线W。的对称轴为直线x-3. .1(3.0).B/-3-1-2. 如答图④,当BH.为矩形的边时,CBO+JBH= BH J+ JBH =90. CBO= BH1$$ 又.COB- B1H-90{