精品解析：北京市中国人民大学附属中学丰台学校2023-2024学年七年级下学期数学限时练习试题（一）

2023-2024学年度初一年级第二学期数学限时练习1 一、判断题（每小题1分，共10分） 1. 对顶角相等（ ） 2. 相等的角是对顶角.（ ） 3. 锐角的补角一定是钝角（ ） 4. 在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种（ ） 5 过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直（ ） 6 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（ ） 7. 平行于同一直线的两条直线互相平行（ ） 8. 判断题：若，，则（ ） 9. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离（ ） 10 两条直线被第三条直线所截，同位角相等．（ ） 二、选择题（每小题3分，共15分） 11. 如图图形中和是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 12. 下列各图中，和不是同位角的是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，，，则点到的距离是线段（ ）的长度 A. B. C. D. 14. 如图，直线相交于点，，垂足为，，的大小是（    ） A. B. C. D. 15. 甲、乙、丙、丁四个人参加一个比赛，有两个人获奖．在比赛结果揭晓之前，四个人做了如下猜测： 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中． 乙：我没有获奖，丙获奖了． 丙：甲、乙两个人中有且只有一个人获奖． 丁：乙说得对． 已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，则两名获奖者为（ ）． A. 甲 丁 B. 乙 丙 C. 乙 丁 D. 以上都不正确 三、填空题（每小题2分，共10分） 16. 如图，直线a，b相交于点O，将半圆形量角器的圆心与点О重合，发现表示的刻度与直线a重合，表示的刻度与直线b重合，则∠1=_________°． 17. 某街道要修建一条管道，如图，管道从A站沿北偏东方向到B站，从B站沿北偏西方向到C站，为了保持水管与方向一致，则为______°． 18. 如图，对于下列条件：①；②；③；④；其中一定能判定的条件有______（填写所有正确条件的序号）． 19. 已知，，则的度数为__________． 20. 如图是一盏可调节台灯，如图为示意图．固定支撑杆底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则_____． 四、解答题 21. 如图，直线，被直线所截． （1）请利用，，，，，这6个角（不能出现其它角），写出能够证明的条件；（最多写7个）； （2）已知：，求证：． 22. 如图，是上一点，是上一点，是延长线上一点．完成以下推理． （1） ________（） （2） ________（） （3） ________（） （4） ____（） （5） ________（） ____（） 23. 如图，所有小正方形的边长都为1个单位，A、B、C均在格点上．按下述要求画图，并回答问题： （1）画射线． （2）过点C画线段的平行线． （3）过点A画线段的垂线，垂足为E． （4）线段的大小关系是__________．理由是____________________． 24. 如图，在四边形中，平分交线段于点E，，．求的度数． 25. 完成下面的证明： 如图，已知：，垂足分别为D、G，且， 求证：． 证明：（已知）， ，（ ① ）， （ ② ）， （ ③ ）， ④ （ ⑤ ）． 又（已知）， ⑥ （ ⑦ ）， （ ⑧ ）， （ ⑨ ） 26. 数学课上，老师提出问题：如果两个角的两边分别平行，则这两个角有怎样的数量关系？ 小颍认为角的两边是射线，因此要分如下三种情况讨论．请按她的思路完成探究： 问题 已知与，，，探究与的数量关系 情况 ①两边方向均相同，射线与交于点． ②一边方向相同，一边方向相反，射线与交于点． ③两边方向均相反，点在外部．反向延长射线交射线于点． 图示 结论 说理 ∵， ∴（依据）． ∵， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 结论 如果两个角两边分别平行，则这两个角的数量关系为：_________． （1）情况①说理过程中的“依据”是： ； （2）请补全情况②的说理过程； （3）请补全小颖发现的结论． 27. 如图，被所截，于点D．E为直线上一点，过点E作的垂线，垂足为F，过点D作交于点G． （1）若点E在线段上， ①根据题意补全图形； ②判断与的数量关系，并证明； （2）若点E不在线段上，直接写出与的数量关系为______； （3）通过本题前两问的解决，观察与的位置关系和数量关系，归纳出一个你发现的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度初一年级第二学期数学限时练习1 一、判断题（每小题1分，共10分） 1. 对顶角相等（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据对顶角性质解答即可． 本题考查了对顶角相等，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得对顶角相等正确， 故答案为：正确． 2. 相等的角是对顶角.（ ） 【答案】× 【解析】 【分析】根据对顶角定义判断即可 【详解】对顶角必须满足：有公共顶点且两条边都互为反向延长线 . 对顶角一定相等，但是相等的角不一定是对顶角，如两直线平行，内错角相等.故填× 3. 锐角的补角一定是钝角（ ） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角的分类，求一个角的补角，根据和为180度的两个角互为补角，进行判断即可． 【详解】解：锐角的补角一定是钝角，正确； 故答案为：√． 4. 在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种（ ） 【答案】× 【解析】 【分析】本题主要考查了两条直线位置关系，直接根据两条直线的位置关系判断即可． 【详解】在同一平面内，两条直线的位置关系有平行，相交． 故答案为：×． 5. 过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直（ ） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂线的有关定义，根据垂线的定义即可求解，正确理解垂线的有关定义是解题的关键． 【详解】解：在同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故答案为：． 6. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（ ） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行公理，根据平行公理进行判断即可． 【详解】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确； 故答案为：． 7. 平行于同一直线的两条直线互相平行（ ） 【答案】√ 【解析】 【分析】本题考查了平行公理的推论，解题的关键是了解平行公理的推论．利用平行公理的推论可确定正确与否． 【详解】解：平行于同一直线的两条直线互相平行，所以原说法正确， 故答案为：√ 8. 判断题：若，，则（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】本题考查的是平面内两直线的位置关系，平行线的判定，根据在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行解答即可． 【详解】解：在同一平面内，，， ∴， ∴原说法错误； 9. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离解答即可． 本题考查了点到直线的距离，正确定义是解题的关键． 【详解】解：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，得原题是错误的， 故答案为：错误． 10. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等．（ ） 【答案】× 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两条平行线被第三条直线所截，同位角相等判断即可； 【详解】两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 故本题答案为“×”． 二、选择题（每小题3分，共15分） 11. 如图图形中和是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角．根据对顶角的定义逐项识别即可． 【详解】解： A、B、D中∠1与∠2的两边不是互为反向延长线，故A、B、D错误； C、∠1与∠2符合对顶角的定义； 故选：C． 12. 下列各图中，和不是同位角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同位角的特征逐一判断即可． 【详解】解：A．与有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意 B. 与有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意； C. 与有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意； D. 与的一边不在同一条直线上，不是同位角，符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了同位角，内错角，同旁内角，熟练掌握它们的特征是解题的关键． 13. 如图，，，则点到的距离是线段（ ）的长度 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点到直线的距离“直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”．根据点到直线的距离的定义即可得． 【详解】解：， ∴点到的距离是线段的长度， 故选：A． 14. 如图，直线相交于点，，垂足为，，的大小是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的定义，邻补角互补，先由垂线的定义得到，进而求出，则由邻补角互补可得．正确求出是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：D． 15. 甲、乙、丙、丁四个人参加一个比赛，有两个人获奖．在比赛结果揭晓之前，四个人做了如下猜测： 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中． 乙：我没有获奖，丙获奖了． 丙：甲、乙两个人中有且只有一个人获奖． 丁：乙说得对． 已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，则两名获奖者为（ ）． A 甲 丁 B. 乙 丙 C. 乙 丁 D. 以上都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要抓住乙、丁的预测是一样的这一特点，则乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．先假设乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，可推出矛盾，故乙、丁的预测不成立，则甲、丙的预测成立，再分析可得出获奖的是乙和丁． 【详解】解：由题意，可知： ∵乙、丁预测是一样的， ∴乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符． ①假设乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立， 根据乙、丁的预测，丙获奖，甲、丁中必有一人获奖； 这与丙的预测不成立相矛盾． 故乙、丁的预测不成立， ②乙、丁的预测不成立，则甲、丙的预测成立， ∵甲、丙的预测成立， ∴丁必获奖． ∵乙、丁的预测不成立，甲的预测成立， ∴丙不获奖，乙获奖． 从而获奖的是乙和丁． 故选：C． 【点睛】本题主要考查合情推理能力，主要抓住共同点及矛盾点去探索结果．本题属中档题． 三、填空题（每小题2分，共10分） 16. 如图，直线a，b相交于点O，将半圆形量角器的圆心与点О重合，发现表示的刻度与直线a重合，表示的刻度与直线b重合，则∠1=_________°． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题主要考查角度的计算，对顶角相等，熟练掌握对顶角相等是解题的关键．如图，根据量角器及题意得到，然后根据对顶角相等求解即可． 【详解】解：如图所示： 由量角器及题意可得：， ∴； 故答案为：． 17. 某街道要修建一条管道，如图，管道从A站沿北偏东方向到B站，从B站沿北偏西方向到C站，为了保持水管与方向一致，则为______°． 【答案】100 【解析】 【分析】为了保持水管与方向一致，则，依据平行线的性质，即可得到的度数，再根据平行线的性质，即可得到的度数． 【详解】解：如图所示， 为了保持水管与方向一致，则， 由题可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：100． 【点睛】此题主要考查了方向角以及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 18. 如图，对于下列条件：①；②；③；④；其中一定能判定的条件有______（填写所有正确条件的序号）． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，准确识图是解题的关键． 根据平行线的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：①， ，符合题意； ②， ，故本选项错误； ③， ，故本选项正确； ④； ，故本选项错误； 故选答案为：①③． 19. 已知，，则的度数为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查垂线，角的计算，通过图形直观得到角的和差关系是解决问题的关键．分两种情况进行解答，即在的内部和外部，设未知数列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由于，设，则， 当在的内部时，如图所示： ∵， ∴， 解得， ∴， 当在的外部时，如图所示： ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：或． 20. 如图是一盏可调节台灯，如图为示意图．固定支撑杆底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则_____． 【答案】##68度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，如图所示，过点A作，过点B作，则，由得到，则，进而得到，再根据平行线的性质得到，由此即可得到．正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点A作，过点B作， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 四、解答题 21 如图，直线，被直线所截． （1）请利用，，，，，这6个角（不能出现其它角），写出能够证明的条件；（最多写7个）； （2）已知：，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定， 对于（1），根据平行线的判定解答即可； 对于（2），先根据对顶角相等得，再根据“同位角相等，两直线平行”得出答案． 【小问1详解】 ，，，，，，，； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴． 22. 如图，是上一点，是上一点，是延长线上一点．完成以下推理． （1） ________（） （2） ________（） （3） ________（） （4） ____（） （5） ________（） ____（） 【答案】（1）；同位角相等，两直线平行 （2）；内错角相等，两直线平行 （3）；同旁内角互补，两直线平行 （4）；两直线平行，同旁内角互补 （5）；平行于同一直线的两条直线平行；；两直线平行，同位角相等 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，平行公理的推论，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质是：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．据此解答即可． 【小问1详解】 ， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：；同位角相等，两直线平行； 【小问2详解】 ， （内错角相等，两直线平行）， 故答案为：；内错角相等，两直线平行； 【小问3详解】 ， （同旁内角互补，两直线平行）， 故答案为：；同旁内角互补，两直线平行； 【小问4详解】 ， （两直线平行，同旁内角互补）， 故答案为：；两直线平行，同旁内角互补； 【小问5详解】 ， （平行于同一直线的两条直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， 故答案为：；平行于同一直线的两条直线平行；；两直线平行，同位角相等； 23. 如图，所有小正方形的边长都为1个单位，A、B、C均在格点上．按下述要求画图，并回答问题： （1）画射线． （2）过点C画线段的平行线． （3）过点A画线段的垂线，垂足为E． （4）线段的大小关系是__________．理由是____________________． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析； （4），垂线段最短 【解析】 【分析】本题考查了平行线、垂线、线段长的比较，熟练掌握有关垂线的性质和基本作图是解题的关键，（1）根据射线的定义直接可做出射线；（2）（3）根据网格的特点直接作出平行线和垂线即可；（4）利用垂线段最短即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据射线的定义，即可得到射线，如下图： 【小问2详解】 根据小正方形网格图的特征，每个小正方形边长为1，画出的平行线，如图所示： 【小问3详解】 延长，过点向做垂线，为垂足，如图所示： 【小问4详解】 根据题意可得：，垂线段最短． 24. 如图，在四边形中，平分交线段于点E，，．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，掌握平行线之间角的相互关系解答的关键． 利用平行线的判定与性质就能求出的度数． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ． 25. 完成下面的证明： 如图，已知：，垂足分别为D、G，且， 求证：． 证明：（已知）， ，（ ① ）， （ ② ）， （ ③ ）， ④ （ ⑤ ）． 又（已知）， ⑥ （ ⑦ ）， （ ⑧ ）， （ ⑨ ） 【答案】①垂直的定义；②等量代换；③同位角相等，两直线平行；④；⑤两直线平行，同位角相等；⑥；⑦等量代换；⑧内错角相等，两直线平行；⑨两直线平行，同位角相等 【解析】 【分析】本题考查垂线的定义，平行线的判定和性质．熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题关键．由题意可得出，即可证，得出，结合题意可得出，即可证，进而可证． 【详解】证明：（已知）， ，（垂直的定义）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）． 又（已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）． 故答案为：①垂直的定义；②等量代换；③同位角相等，两直线平行；④；⑤两直线平行，同位角相等；⑥；⑦等量代换；⑧内错角相等，两直线平行；⑨两直线平行，同位角相等． 26. 数学课上，老师提出问题：如果两个角的两边分别平行，则这两个角有怎样的数量关系？ 小颍认为角的两边是射线，因此要分如下三种情况讨论．请按她的思路完成探究： 问题 已知与，，，探究与的数量关系 情况 ①两边方向均相同，射线与交于点． ②一边方向相同，一边方向相反，射线与交于点． ③两边方向均相反，点在的外部．反向延长射线交射线于点． 图示 结论 说理 ∵， ∴（依据）． ∵， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 结论 如果两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为：_________． （1）情况①说理过程中的“依据”是： ； （2）请补全情况②的说理过程； （3）请补全小颖发现的结论． 【答案】（1）两直线平行，同位角相等 （2）见解析 （3）相等或互补 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质即可得解； （2）根据平行线的性质即可得解； （3）综合①②③的证明，即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵， ∴， ∴， 即． 故答案为：两直线平行，同位角相等； 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 即． 【小问3详解】 解∶由①③可得，如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等，由由②可得，如果两个角的两边分别平行，则这两个角互补． 故答案为：相等或互补． 27. 如图，被所截，于点D．E为直线上一点，过点E作的垂线，垂足为F，过点D作交于点G． （1）若点E在线段上， ①根据题意补全图形； ②判断与的数量关系，并证明； （2）若点E不在线段上，直接写出与的数量关系为______； （3）通过本题前两问的解决，观察与的位置关系和数量关系，归纳出一个你发现的结论． 【答案】（1）①见解析；②，证明见解析 （2）相等 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）①根据题意补全图形即可； ②根据平行线的性质求解即可； （2）根据题意分两种情况讨论：点E在的延长线上和点E在的延长线上，分别根据平行线的性质求解即可； （3）根据（2）中的证明求解即可． 小问1详解】 ①如图所示，补全图形如下： ②∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； 【小问2详解】 如图所示，当点E在的延长线上时， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； 如图所示，当点E在的延长线上时， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； 故答案为：相等； 【小问3详解】 由（2）可得， 当在内部时，即点E在线段上时，； 当在外部时，即点E在线段延长线或延长线上时，． 【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$