精品解析：2024年湖南省长沙市长郡教育集团九年级毕业会考模拟练习卷数学试题（四）

2024年春季九年级毕业会考模拟练习卷（四） 数学 命题、审题学校：长沙市长郡梅溪湖中学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2024 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值的定义，掌握正数的绝对值为其本身成为解题的关键． 根据正数的绝对值为其本身即可解答． 【详解】解：的绝对值是． 故选A． 2. 平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了关于x轴对称的点的特点，掌握关于x轴对称的点横坐标相等、纵坐标互为相反数是解题的关键． 根据关于x轴对称的点横坐标相等、纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：点关于x轴的对称点的坐标为． 故选：B． 3. 将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角之间的关系，根据题意得，，可得，则，即可得；掌握角之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4. “交通文明，让长沙与我一起白头偕老”．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到红灯的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的应用．掌握事件的所有情况的概率之和为1成为解题的关键． 根据事件的所有情况的概率之和为1解答即可． 【详解】解：∵他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为， ∴他遇到绿灯的概率是：． 故选：C． 5. 如图，点P是反比例函数图象上的一点，过点P向x轴作垂线，垂足为M，连接，则的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，该知识点是中考的重要考点．根据反比例函数系数k的几何意义可知，的面积． 【详解】解：依据比例系数k的几何意义可得， 面积等于， 故选：D． 6. 如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则应为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、折叠问题等知识点，掌握平行的性质是解题的关键． 根据平行线的性质和翻折的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴． 故选：A． 7. 如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—做一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作图的方法和步骤是关键，根据全等三角形的判定方法，以及全等三角形对应角相等，即可解答． 【详解】解：由作图可知， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：D． 8. 如图，在中，分别交，于点M，N．若，，，则的长为（ ）． A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证得成为解题的关键． 先证明，由相似三角形的性质列比例式可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴． 故选A． 9. 一个圆的半径为1，则该圆的内接正六边形的周长为（ ） A. 1 B. 6 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要正六边形外接圆、等边三角形的性质等知识点，说明为等边三角形是解题的关键． 首先求出,进而证明为等边三角形，即可求得正六边形的边长为1，进而求得周长． 【详解】解：如图： ∵， ∴为等边三角形， ∴正六边形的边长为， ∴该圆的内接正六边形的周长为6． 故选：B． 10. 天干地支纪年法是指中国传统纪年历法，自上古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．2078年是改革开放100周年，使用天干地支纪年法（天干地支纪年法对应的规律如下表），已知2024年是甲辰年，可以推知2078年是什么年（ ） 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 … 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 … 干支纪年 甲乙年 乙丑年 丙寅年 丁卯年 戊辰年 己巳年 庚午年 辛未年 壬申年 癸酉年 甲戌年 乙亥年 丙子年 … A. 戊辰 B. 丁卯 C. 己巳 D. 戊戌 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确发现规律是解题关键．根据表格得出天干是以10年为一个周期，地支是以12年为一个周期，据此求解即可得． 【详解】解：由题意得：天干是以10年为一个周期，地支是以12年为一个周期， ∵2078年和2024年相差54年，，，且2024年是甲辰年， ∴2078年对应的天干是戊，地支是戌，即2078年是戊戌年， 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分式方程的解是，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解，理解分式方程的解是解答的关键． 将代入分式方程中求解即可． 【详解】解：∵分式方程的解是， ∴，即：，解得：． 故答案为：6． 12. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式直接进行因式分解即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，常用的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法． 13. 若m，n是方程的两根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，掌握有成为解题的关键． 直接运用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两根， ∴． 故答案为：． 14. 三角形的周长为，它的三条中位线围成的三角形的周长是__________． 【答案】##9厘米 【解析】 【分析】根据三角形的中位线得出，再根据的周长是求出即可． 【详解】解：如图， ∵中，D、E、F分别为的中点， ∴， ∵的周长是，即， ∴的周长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中位线，能熟记三角形的中位线的内容是解此题的关键，注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 15. 如图，从一块边长为6的等边三角形卡纸上剪下一个面积最大的扇形，并将其围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键． 如图：连接，根据等边三角形的性质可求，进一步求得弧长，即底面圆的周长，再根据圆的周长公式求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵是边长为6的等边三角形， ∴， ∴扇形的弧长为， ∴圆锥的底面圆的半径是． 故答案为：． 16. 从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了200次，其中有50次揽到黑球，已知口袋中仅有黑球10个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有______个白球． 【答案】30 【解析】 【分析】本题主要考查了运用频率估计概率，掌握大量反复试验下频率稳定值即概率成为解题的关键． 先求出摸到黑球的频率，再由题意列出方程求解即可． 【详解】解：∵摸了200次，其中有50次摸到黑球， ∴摸到黑球的频率是 设口袋中大约有x个白球，则，解得：． 经检验符合题意， 故答案为：30． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值、零次幂等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先根据完全平方公式、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、乘方化简，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再计算：，其中a是满足条件的合适的非负整数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的运算，化简求值，先通分计算分式的加减，再将除法变为乘法计算并化为最简，最后选择适合的数值代入计算即可． 【详解】解： ． 根据题意可知， ∴a的取值2，将代入，原式． 19. 李老师在课堂上提出一个问题： 如图（1），在直角三角形纸片中，，，．四边形是正方形，求图中阴影部分的面积． 下面是某个数学小组的讨论片段． 小明：先证明，再根据相似三角形的对应边的比例关系，列出方程，求得正方形的边长，即可求得阴影部分的面积． 小芳：小明的方法比较麻烦，只要将绕点E逆时针旋转一定的角度至的位置，如图（2），就能将阴影部分转化到一个三角形里，从而轻松解决问题． （1）根据小芳的方法，旋转角的度数为______； （2）请选择小芳的方法，写出详细的求解过程． 【答案】（1） （2）30 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、正方形的性质等知识点，掌握旋转的性质成为解题的关键． （1）由题意可得旋转后线段的对应边与重合，然后结合正方形的性质即可解答； （2）由旋转的性质得、、，再说明旋转后，C，，B共线，即阴影部分的面积；再证明，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得旋转后线段的对应边与重合， ∵四边形是正方形， ∴,即, ∴小芳的方法，旋转角的度数为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：由旋转的性质得：，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴旋转后，C，，B共线， ∴阴影部分的面积， ∵， ∴， ∴， ∴图1中阴影部分的面积为30． 20. 某中学为了了解学生最喜欢的课外活动，以便更好开展课后服务．随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下： 调查问题 在下列课外活动中，你最喜欢的是（ ）（单选） A．文学；B．科技；C．艺术；D．体育 填完后，请将问卷交给教务处． 根据统计得到的数据，绘制成下面的两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息，解答下面的问题： （1）本次调查采用的调查方式为 （填写“普查”或“抽样调查”）； （2）在这次调查中，抽取的学生一共有 人；扇形统计图中的值为 ； （3）已知选择“科技”类课外活动的50名学生中有30名男生和20名女生．若从这50名学生中随机抽取1名学生座谈，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到女生的概率是 ； （4）若该校共有1000名学生参加课外活动，则估计选择“文学”类课外活动的学生有 人． 【答案】（1）抽样调查 （2）200，22 （3） （4）350 【解析】 【分析】（1）根据抽样调查的定义即可得出答案； （2）根据喜欢文学的人数除以其所占的百分比可得总人数，用喜欢体育的人数除以总人数可求出的值； （3）根据概率公式求解即可； （4）用1000乘以选择“文学”类的百分比即可． 【小问1详解】 解：根据题意得： 本次调查采用的调查方式为：抽样调查， 故答案为：抽样调查； 【小问2详解】 解：根据题意得： 在这次调查中，抽取的学生一共有：（人）， 扇形统计图中的值为：， 故答案为：200，22； 【小问3详解】 解：恰好抽到女生的概率是：， 故答案为：； 【小问4详解】 解：根据题意得： 选择“文学”类课外活动的学生有：（人）， 故答案为：350． 【点睛】本题考查了全面调查与抽样调查、条形统计图与扇形统计图的信息关联、根据概率公式求概率、由样本估计总体，正确利用条形统计图和扇形统计图得出正确信息是解题的关键． 21. 如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在BD上． （1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由； （2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 解：直线AD与圆O相切，理由如下： 如图，连接OA， ∵， ∴∠D=∠DBC， ∵AB=AD， ∴∠D=∠ABD， ∵， ∴∠DBC=∠ABD=∠D=30°， ∴∠BAD=120°， ∵OA=OB， ∴∠BAO=∠ABD=30°， ∴∠OAD=90°， ∴OA⊥AD， ∵OA是圆的半径， ∴直线AD与园O相切， （2） 【解析】 【分析】（1）连接OA，根据和AB=AD，可得∠DBC=∠ABD=∠D=30°，从而得到∠BAD=120°，再由OA=OB，可得∠BAO=∠ABD=30°，从而得到∠OAD=90°，即可求解； （2）连接OC，作OH⊥BC于H，根据垂径定理可得，进而得到，再根据阴影部分的面积为，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接OC，作OH⊥BC于H， ∵OB=OC=6， ∴∠OCB=∠OBC=30°， ∴∠BOC=120°， ∴， ∴， ∴， ∴扇形BOC的面积为， ∵， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，求扇形面积，垂径定理，熟练掌握切线的判定定理，并根据题意得到阴影部分的面积为是解题的关键． 22. 近年来，长沙深入挖掘消费潜力，以网红品牌激活夜经济，进一步提升城市“烟火气”．某网红餐饮品牌斩获喜人业绩，据调查，该品牌某门店2023年1月的营业额为500万元，3月的营业额为720万元． （1）求该店2023年1月至3月营业额的月平均增长率： （2）若4月保持前两月营业额的月平均增长率不变，预计该店4月的营业额能否超过850万元？ 【答案】（1）该店2023年1月至3月营业额的月平均增长率为20% （2）预计该店4月的营业额能超过850万元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出一元二次方程成为解题的关键． （1）设该店2023年1月至3月营业额的月平均增长率为x，然后根据增长率问题列出方程求解即可； （2）根据（1）求得的增长率计算出4月份的营业额，然后与850万元比较即可． 【小问1详解】 解：设该店2023年1月至3月营业额的月平均增长率为x， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该店2023年1月至3月营业额的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：预计该店4月的营业额：（万元）． ∵， ∴预计该店4月的营业额能超过850万元． 23. 湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上。已知B在C的正西方向，A在C的北偏西60°方向，B在A的东南方向米处． （1）求湖岸A与码头C的距离； （2）救援船的平均速度为200米/分钟，快艇的平均速度为450米/分钟，在接到通知后，快艇能否在8分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）（参考数据：） 【答案】（1）米 （2）解：在中，， ∴，米， 假设救援船和快艇行驶8分钟，则总路程， 故快艇能在8分钟内将该游客送上救援船． 【解析】 【分析】（1）如图：作延长线于点D，在中解直角三角形可得，然后根据含的直角三角形的性质即可解答； （2）在中，解直角三角形可得，进而得到、米，假设救援船和快艇行驶8分钟并求得总路程，最后比较即可解答． 【小问1详解】 解：如图：作延长线于点D， 在中： ∵，， ∴． 在中： ∵，． ∴（米）． 【小问2详解】 略 24. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：图形M上任意两点之间的距离的最大值，称为该图形的“郡园长”，点P为图形M上任意一点，如果点P到直线l的距离恰好等于图形M的“郡园长”，那么点P称为直线l的“郡园点”． 图1 图2 （1）已知图形M为线段，其中，，则该图形M的“郡园长”为______； （2）如图1，x轴上方有一个等腰直角三角形，，轴，顶点A在y轴上，且在上方，，点P是线段上一点，且点P是x轴的“郡园点”，求的面积； （3）如图2，以，，，为顶点的正方形上始终存在点P，使得点P是直线的“郡园点”．请直接写出b的取值范围． 【答案】（1） （2）1 （3）或 【解析】 【分析】（1）直接运用两点间的距离公式求解即可； （2）先说明线段的“郡园长”为线段的长度，即；点P到x轴的距离与到线段的距离相等，设与y轴的交点为D，再说明点P到x轴的距离等于，即；在中，运用勾股定理可得，进而求得，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）如图：连接：，由正方形的性质可得正方形中的对角线最大，即为，即点P到直线l的距离为；当点P在点A处时，即，过作于Q， ，然后求得；将向上平移至，使过作且，求得，再结合直线l不能经过正方形内部以及平移的性质即可解答． 【小问1详解】 解：由于线段两点间的距离最大，即线段的长度为“郡园长”， 所以为“郡园长”． 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵点P是线段上一点， ∴线段的“郡园长”为线段的长度，即， ∵点P到x轴的距离与到线段的距离相等， 设与y轴的交点为D， ∵轴， ∴， ∴， ∵点P是线段上一点， ∴点P到x轴的距离等于， ∴， 在中，， ∴，解得：(舍去负值)， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图：连接：， ∵正方形中的对角线最大， ∴“郡园长”为对角线， ∴点P到直线l的距离为 当点P在点A处时，即，过作于Q， ， 设l与x轴交于M，与y轴交于N，则时，；时，； ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 连接，， ∴Q在y轴上与N重合，即， ∴， ∴，即， ∴， 将向上平移至，使过作且， 则在与之间时，正方形上始终存在点P使得P到的距离为，即点P是l的“郡园点”； ∵， ∴， ∴C，A，Q共线， ∴， ∵， ∴共线， ∴， 过作轴于K，则， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即，解得：(舍弃负值)， ∴， ∴， 将点代入可得：， ∴， ∵l由向上平移， ∴，即， ∵l由向上平移， ∴，即， ∵与点A重合，与点C重合， ∴时，直线l经过正方形内部，不符合题意； ∴b的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了两点间距离公式、正方形的性质、三角形的性质、求一次函数解析式、一次函数图像的平移等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． 25. 已知在平面直角坐标系中，点，以线段为直径作圆，圆心为，直线交于点，连接. （1）求证：直线是的切线； （2）点为轴上任意一动点，连接交于点，连接： ①当时，求所有点的坐标 （直接写出）； ②求的最大值. 【答案】 （1）证明：连接，则： ∵为直径 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 即： ∵轴 ∴ ∴ ∴直线为的切线. （2）①，；② 的最大值为. 【解析】 【分析】（1）连接，证明∠EDO=90°即可； （2）①分“位于上”和“位于的延长线上”结合相似三角形进行求解即可； ②作于点，证明，得，从而得解. 【详解】（1）略 （2）①如图1，当位于上时： ∵ ∴ ∴设，则 ∴ ∴，解得： ∴ 即 如图2，当位于的延长线上时： ∵ ∴设，则 ∴ ∴ 解得： ∴ 即 ②如图，作于点， ∵是直径 ∴ ∴ ∴ ∵半径 ∴ ∴的最大值为. 【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形；相似三角形的判定和性质和相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年春季九年级毕业会考模拟练习卷（四） 数学 命题、审题学校：长沙市长郡梅溪湖中学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2024 2. 平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若，则（ ） A. B. C. D. 4. “交通文明，让长沙与我一起白头偕老”．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到红灯的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点P是反比例函数图象上的一点，过点P向x轴作垂线，垂足为M，连接，则的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 6. 如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则应为（ ） A. B. C. D. 不能确定 7. 如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，分别交，于点M，N．若，，，则的长为（ ）． A. 2 B. C. 3 D. 9. 一个圆的半径为1，则该圆的内接正六边形的周长为（ ） A. 1 B. 6 C. D. 4 10. 天干地支纪年法是指中国传统纪年历法，自上古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．2078年是改革开放100周年，使用天干地支纪年法（天干地支纪年法对应的规律如下表），已知2024年是甲辰年，可以推知2078年是什么年（ ） 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 … 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 … 干支纪年 甲乙年 乙丑年 丙寅年 丁卯年 戊辰年 己巳年 庚午年 辛未年 壬申年 癸酉年 甲戌年 乙亥年 丙子年 … A. 戊辰 B. 丁卯 C. 己巳 D. 戊戌 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分式方程的解是，则______． 12. 因式分解：__________． 13. 若m，n是方程的两根，则______． 14. 三角形的周长为，它的三条中位线围成的三角形的周长是__________． 15. 如图，从一块边长为6的等边三角形卡纸上剪下一个面积最大的扇形，并将其围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是______． 16. 从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了200次，其中有50次揽到黑球，已知口袋中仅有黑球10个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有______个白球． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再计算：，其中a是满足条件的合适的非负整数． 19. 李老师在课堂上提出一个问题： 如图（1），在直角三角形纸片中，，，．四边形是正方形，求图中阴影部分的面积． 下面是某个数学小组的讨论片段． 小明：先证明，再根据相似三角形的对应边的比例关系，列出方程，求得正方形的边长，即可求得阴影部分的面积． 小芳：小明的方法比较麻烦，只要将绕点E逆时针旋转一定的角度至的位置，如图（2），就能将阴影部分转化到一个三角形里，从而轻松解决问题． （1）根据小芳的方法，旋转角的度数为______； （2）请选择小芳的方法，写出详细的求解过程． 20. 某中学为了了解学生最喜欢的课外活动，以便更好开展课后服务．随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下： 调查问题 在下列课外活动中，你最喜欢的是（ ）（单选） A．文学；B．科技；C．艺术；D．体育 填完后，请将问卷交给教务处． 根据统计得到的数据，绘制成下面的两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息，解答下面的问题： （1）本次调查采用的调查方式为 （填写“普查”或“抽样调查”）； （2）在这次调查中，抽取的学生一共有 人；扇形统计图中的值为 ； （3）已知选择“科技”类课外活动的50名学生中有30名男生和20名女生．若从这50名学生中随机抽取1名学生座谈，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到女生的概率是 ； （4）若该校共有1000名学生参加课外活动，则估计选择“文学”类课外活动的学生有 人． 21. 如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在BD上． （1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由； （2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积． 22. 近年来，长沙深入挖掘消费潜力，以网红品牌激活夜经济，进一步提升城市“烟火气”．某网红餐饮品牌斩获喜人业绩，据调查，该品牌某门店2023年1月的营业额为500万元，3月的营业额为720万元． （1）求该店2023年1月至3月营业额的月平均增长率： （2）若4月保持前两月营业额的月平均增长率不变，预计该店4月的营业额能否超过850万元？ 23. 湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上。已知B在C的正西方向，A在C的北偏西60°方向，B在A的东南方向米处． （1）求湖岸A与码头C的距离； （2）救援船的平均速度为200米/分钟，快艇的平均速度为450米/分钟，在接到通知后，快艇能否在8分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）（参考数据：） 24. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：图形M上任意两点之间的距离的最大值，称为该图形的“郡园长”，点P为图形M上任意一点，如果点P到直线l的距离恰好等于图形M的“郡园长”，那么点P称为直线l的“郡园点”． 图1 图2 （1）已知图形M为线段，其中，，则该图形M的“郡园长”为______； （2）如图1，x轴上方有一个等腰直角三角形，，轴，顶点A在y轴上，且在上方，，点P是线段上一点，且点P是x轴的“郡园点”，求的面积； （3）如图2，以，，，为顶点的正方形上始终存在点P，使得点P是直线的“郡园点”．请直接写出b的取值范围． 25. 已知在平面直角坐标系中，点，以线段为直径作圆，圆心为，直线交于点，连接. （1）求证：直线是的切线； （2）点为轴上任意一动点，连接交于点，连接： ①当时，求所有点的坐标 （直接写出）； ②求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $