10.1 分式（要点系统练+提升整合练+探究创新练）-2024-2025学年八年级数学上册核心要点同步题型精练（北京专用，京改版）

好题精选·同步精练10.1分式 知识点1 分式的概念 1．一般地，如果A，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做 ．分式中，A 叫做 ，B 叫做 ． 2．（北京市海淀区清华附中2022-2023月考）下列式子是分式的是（    ） A． B． C． D． 3．（北京市延庆区2023-2024期中）在，，，，中，分式的个数是（   ） A． B． C． D． 4．当x取何值时，下列分式有意义以及无意义？ （1）；（2）；（3）；（4）． 5．下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？ ，，，，，，，，，，． 6．（北京市房山区2023~2024期中）已知公式，其中．用，，表示，那么 ． 7．乐乐通常上学时走上坡路，途中平均速度为千米/时，放学回家时，沿原路返回，通常的速度为千米/时，则乐乐上学和放学路上的平均速度为 千米/时． 知识点2 分式无意义的条件 8．（北京海淀区2020-2021期中）使分式无意义的的取值是（    ） A． B． C． D． 9．（北京市门头沟区大峪中学2021-2022期中）若分式无意义，则x的值是（　　） A．x＝±1 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝0 10．（北京市陈经纶中学2022-2023期末模拟）若分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．若分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（北京市昌平区2020-2021期末）根据下列表格信息，y可能为（    ） x 0 1 2 y 0 无意义 A． B． C． D． 13．（北京市海淀期末）已知分式满足条件“只含有字母x，且当x＝1时无意义”，请写出一个这样的分式： ． 14．（2024年北京市海淀区中考二模）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 15．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 . 16．（2024年北京市西城区中考二模）若分式有意义，则的取值范围是 ． 知识点1 分式的值为零的条件 17．（23-24八年级下·北京·期末）当时，下列各式的值为0的是（    ） A． B． C． D． 18．若分式的值为零，则的值是（   ） A． B． C． D． 19．若分式的值为0，则的值是（    ） A． B．0 C．2 D．4 20．当x 时，分式值为0． 21．若分式的值为零，则x的取值为 ． 22．若分式的值为零，则 ． 23．当 时，分式的值等于零． 24．当取何值时，下列分式的值为0？ (1)； (2)； (3)； (4)． 25．若，则的值为（    ） A． B．3 C． D．4 26．已知．则（    ） A． B．1 C．2 D．3 27．已知分式的值是非负数，那么x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 28．已知，则代数式的值是 ． 29．若分式的值为负数，则的取值范围 ． 30．若使分式的值是整数，则所有符合条件的整数m的和为 ． 31．若分式的值是整数，则满足条件的整数m的个数有 个． 32．已知分式． (1)当时，求分式的值； (2)当为何值时，分式有意义？ (3)当为何值时，分式的值为0？ 33．（23-24八年级下·全国·假期作业）当的取值范围是多少时： (1)分式的值为负数？ (2)分式的值为正数？ (3)分式的值为负数？ 34．已知，求的值． 35．观察下面一列分式：，，，，…（其中）． (1)根据上述分式的规律写出第6个分式； (2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由． 36．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴4即 ∴，∴ 根据材料回答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求x的值． (3)若，，，，且，求的值． 37．阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务： 材料1：为了研究分式与分母的关系，小明制作了表格，并得到如下数据． … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 0.5 0.25 … 从表格数据观察，当时，随着的值的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的值的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式． 如：． 任务： (1)当时，随着的值的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）；当时，随着的值的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）． (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 好题精选·同步精练10.1分式 知识点1 分式的概念 1．一般地，如果A，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做 ．分式中，A 叫做 ，B 叫做 ． 【答案】 分式 分子 分母 【解析】略 2．（北京市清华附中2022-2023学月考）下列式子是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据分式的定义逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A.分母中不含有字母，故不是分式，不符合题意； B.分母中不含有字母，故不是分式，不符合题意； C.分母中含有字母，故是分式，符合题意； D.没有分母，故不是分式，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的定义，一般地，如果（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，熟练掌握此定义是解题的关键． 3．（北京市延庆区2023-2024期中）在，，，，中，分式的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分式的概念进行判断即可． 【详解】解：由，，，，可知， 分式有：，共个， 故选：． 【点睛】此题考查了分式的定义，解题的关键是正确理解：一般地，如果，表示两个整式，且中含有字母（），那么式子就叫分式． 4．当x取何值时，下列分式有意义以及无意义？ （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）分式有意义，且；分式无意义，或；（2）分式有意义，；分式无意义，；（3）为任意实数时，分式有意义；（4）分式有意义，；分式无意义，． 【分析】（1）根据分式有意义的条件是分母不为0；列出不等式，求得x的取值范围即可； （2）根据分式有意义的条件是分母不为0；列出不等式，求得x的取值范围即可； （3）根据分式有意义的条件是分母不为0；列出不等式，求得x的取值范围即可； （4）根据分式有意义的条件是分母不为0；列出不等式，求得x的取值范围即可． 【详解】（1）当时，分式有意义，解得且；当时，分式无意义，解得或． （2）当时，分式有意义，解得；当时，分式无意义，解得． （3）为任意实数时，，为任意实数时，分式有意义． （4）当时，分式有意义，解得；当时，分式无意义，解得． 【点睛】本题考查分式有无意义的条件，解答本题的关键是明确分式有无意义的条件是什么． 5．下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？ ，，，，，，，，，，． 【答案】整式：，，，，，，；分式：，，， 【分析】本题考查分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．整式的定义：单项式和多项式统称为整式．根据分式的定义、整式的定义逐一判断即可． 【详解】解：整式有：，，，，，，； 分式有：，，，． 6．（北京市房山区2023~2024期中）已知公式，其中．用，，表示，那么 ． 【答案】 【分析】根据等式的性质，等式的两边同时乘2，再除以，据此即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 7．乐乐通常上学时走上坡路，途中平均速度为千米/时，放学回家时，沿原路返回，通常的速度为千米/时，则乐乐上学和放学路上的平均速度为 千米/时． 【答案】 【分析】设去学校的路程为s，由上学时平均速度为千米/时，可求出上学时所用时间t1=， 根据回来的平均速度可求出回来的时间t2=，再利用平均速度=总路程除以总时间即可求出． 【详解】设去学校的路程为s，∵上学时平均速度为千米/时， ∴上学时所用时间t1=， ∵返回的速度为千米/时 ∴回来的时间t2= ∵总时间为+，总路程为2s， ∴乐乐上学和放学路上的平均速度为=． 【点睛】此题主要考查分式的应用，解题的关键是根据题意列出式子进行计算． 知识点2 分式无意义的条件 8．（北京海淀区2020-2021期中）使分式无意义的的取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式无意义，分母等于0列方程求解即可． 【详解】解：由题意，得：x－1＝0， 解得：x＝1． 故选B． 【点睛】本题考查了分式无意义的条件，熟知分式无意义，即分母为零是解决问题的关键． 9．（北京市门头沟区大峪中学2021-2022期中）若分式无意义，则x的值是（　　） A．x＝±1 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝0 【答案】B 【分析】根据分式无意义，分母等于零求解即可． 【详解】解：由题意得 x-1=0， ∴x=1． 故选B． 【点睛】本题考查了分式无意义的条件．掌握分式无意义条件是分式的分母的值为零，解一元一次方程是解题关键． 10．（北京市陈经纶中学2022-2023期末模拟）若分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义条件（分式分母不为零）建立不等式求解，即可解题． 【详解】解：分式有意义， ，解得， 故选：B． 11．若分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件“分母不为零”可得，进行计算即可得，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：分式有意义，则， ， 故选：A． 12．（北京市昌平区2020-2021期末）根据下列表格信息，y可能为（    ） x 0 1 2 y 0 无意义 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求代数式的值，然后判断即可． 【详解】由表格信息可知： ∵当x= 1时，y无意义， ∴排除B、C两个选项， 又∵当x=-2时，y=0， ∴代入A、D两个选项中只有A选项=0， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式无意义的条件，理解题意是解题的关键． 13．（北京市海淀区期末）已知分式满足条件“只含有字母x，且当x＝1时无意义”，请写出一个这样的分式： ． 【答案】 【详解】由分式满足条件“只含有字母x，且当x=1时无意义”，可知分式的分母中含有因式x-1， 所以这样的分式可以是（答案不唯一）， 故答案为. 14．（2024年北京市海淀区中考二模）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解不等式，理解并掌握分式的分母不能为零是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， ∴， 故答案为： ． 15．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 . 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式要有意义，分母不等于零，列出式子，求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 16．（2024年北京市西城区中考二模）若分式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件．根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 知识点1 分式的值为零的条件 17．（23-24八年级下·北京·期末）当时，下列各式的值为0的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式值为0的条件，解题的关键是掌握分式值为0的条件：分子为0，分母不为0． 根据分式值为0的条件，逐个判断即可． 【详解】解：A、，当时，该分式无意义，不符合题意； B、，当时，该分式无意义，不符合题意； C、，当时，分式值为0，符合题意； D、，当时，原式，不符合题意； 故选：C． 18．若分式的值为零，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的值为0的条件：分子等于0，分母不等于0；解题的关键是掌握运算法则进行解题． 根据分式的值为0的条件进行计算，即可得到答案． 【详解】解：∵分式的值是0， ， ， 故选：D． 19．若分式的值为0，则的值是（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，分式值为0的条件是分母不为0分子为0，据此求解即可. 【详解】解：∵分式的值为0 ∴， ∴， 故选：A 20．当x 时，分式值为0． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可． 【详解】解：∵分式值为0， ∴且， 解得． 故答案为：． 21．若分式的值为零，则x的取值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式为0的条件，掌握分式值为零的条件是解题的关键．特别注意分母不为零． 根据分式值为零的条件列式计算即可．分式值为零的条件是分子为零且分母不为零，这两个条件缺一不可． 【详解】∵分式的值为零 ∴ ∴． 故答案为：． 22．若分式的值为零，则 ． 【答案】 【分析】直接利用分式的值为零则分子等于零且分母不等于零，进而得出答案．此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， ∴． 故答案为：． 23．当 时，分式的值等于零． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，根据当分式的分子等于零，分母不等于零时，分式的值为零，计算即可得出答案． 【详解】解：∵分式的值等于零， ∴，， 解得：， 故答案为：． 24．当取何值时，下列分式的值为0？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)无解 (4) 【分析】本题考查了分式为0的条件，即分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零， 关键是熟练掌握分式值为零的条件是解题的关键； （1）根据分式值为零即分子为零且分母不为零进行解答即可； （2）根据分式值为零即分子为零且分母不为零进行解答即可； （3）根据任何非零的数的平方都是非负数，当时，，分式无意义，故无解； （4）根据分式值为零即分子为零且分母不为零进行解答即可； 【详解】（1）由，得． 当时，分式的值为0． （2）， 又， 即． 当时，分式的值为0． （3）时，， 分式无意义， 没有使分式的值为0的值． （4）由 ， 得 当时，分式的值为0． 25．若，则的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】考查分式的化简． 先用a表示b，然后代入比例式进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴ ， ∴ 故选C． 26．已知．则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是条件分式的求值，由条件可得，再整体代入求值即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故选C 27．已知分式的值是非负数，那么x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查分式值的正负性问题，也考查了解一元一次不等式．根据的值是非负数得到且，进而能求出x的取值范围． 【详解】解：∵， ∴且， ∴且． 故选：D． 28．已知，则代数式的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的化简求值，本题主要利用整体思想，难度较大，找出与的关系是解题关键.将化简得到，，再代入代数式，即可解答. 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为： 29．若分式的值为负数，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的值，涉及的知识有：非负数的性质，以及解一元一次不等式，列出关于x的不等式是解本题的关键． 【详解】解：∵， 要使分式的值为负数，则， 解得， 故答案为：． 30．若使分式的值是整数，则所有符合条件的整数m的和为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的值，把握分母是4的因数是解题的关键；由题意，是4的因数，且为奇数，由此可求得m的值，进而求得所有整数m的和． 【详解】解：要使分式的值是整数，则是4的因数， 故， 但是奇数，则， 所以或0 ； 所以； 故答案为：1． 31．若分式的值是整数，则满足条件的整数m的个数有 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查分式，熟练掌握，即可解题.首先根据题意判断出分式的整数值，然后求出m的值即可. 【详解】解：分式的值是整数， 或， 解得或或或， ∴满足条件的整数m的个数有4个， 故答案为：4. 32．已知分式． (1)当时，求分式的值； (2)当为何值时，分式有意义？ (3)当为何值时，分式的值为0？ 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】本题考查的是分式的求值，分式有意义的条件，分式的值为0的条件，掌握分式的基础概念是解本题的关键； （1）直接把代入计算即可； （2）由分母不为0建立不等式求解即可； （3）由分子为0，分母不为0，再求解即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）∵有意义， ∴且， 解得：且； （3）∵的值为0， ∴， 解得：， ∵且， ∴且； ∴； 33．当的取值范围是多少时： (1)分式的值为负数？ (2)分式的值为正数？ (3)分式的值为负数？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是分式的值为正数或负数时，字母的取值范围，一元一次不等式组的应用，理解题意是关键； （1）由分式的值为负数可得，再解不等式即可； （2）由分式的值为正数可得或，再解不等式组即可； （3）结合（2）的结论可得分式的值为负数时的范围． 【详解】（1）解：，， ， ， 时，分式值为负数． （2）∵分式的值为正数， ∴或， 当时， 解得：， 当时， 不等式组无解， 综上：当时；分式的值为正数， （3）∵由（2）得：当时；分式的值为正数， ∴分式的值为负数时，则或； 34．已知，求的值． 【答案】 【分析】题目主要考查分式的化简求值，根据题意得出是解题关键． 根据题意得出，然后利用完全平方公式代入求解即可． 【详解】解：将两边同时除以x，得， ∴ ． 35．观察下面一列分式：，，，，…（其中）． (1)根据上述分式的规律写出第6个分式； (2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】此题主要考查了分式的规律性问题以及数字规律的探索问题，得出分子与分母的变化规律即可解题． （1）根据已知分式的分子与分母的次数与系数关系进而得出答案； （2）利用（1）中数据变化规律，进而得出答案． 【详解】（1）解：观察各分式的规律可得第6个分式为． （2）解：根据题意得：第n（n为正整数）个分式为．理由： ∵分母的底数为y，次数是连续的正整数，分子的底数是x，次数是连续的奇数，且第偶数个分式的系数为负， ∴第n（n为正整数）个分式为． 36．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴4即 ∴，∴ 根据材料回答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求x的值． (3)若，，，，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是利用倒数法求解分式的值，灵活的运用倒数法是解本题的关键． （1）由，可得，从而可得答案； （2）由，可得，再进一步可得答案； （3）由条件结合题干信息可得，，再代入，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 代入， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴； 37．阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务： 材料1：为了研究分式与分母的关系，小明制作了表格，并得到如下数据． … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 0.5 0.25 … 从表格数据观察，当时，随着的值的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的值的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式． 如：． 任务： (1)当时，随着的值的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）；当时，随着的值的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）． (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 【答案】(1)减小；减小 (2)3 【分析】（1）根据题中材料所给变化情况即可得到变化情况； （2）按照材料中的恒等变形方式将表示为，令，则，根据题中材料所给变化情况即可得到答案． 【详解】（1）解：由题中材料可知，对于： 当时，随着的值的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的值的增大，的值也随之减小； 中值的变化只与值的变化有关， 当时，随着的值的增大，的值随之减小；当时，随着的值的增大，的值随之减小； 故答案为：减小；减小； （2）解：， 令，则， 当时，即，随着的值的增大，值也增大，则值随之减小，并无限接近0，则的值随之减小，并无限接近0， 的值无限接近3． 【点睛】本题考查规律探究，涉及阅读理解、分式定义、分式的化简等知识，读懂材料中的方法是解决问题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$