3.1.2 函数的表示法（6大题型）-2024-2025学年高一数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第一册）

3.1.2 函数的表示法 知识点1 函数的三种表示方法 1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。 优点：（1）简明、全面概括了变量间的关系；（2）利用解析式可求任意函数值。 缺点：不够形象、只管，而且并不是所有函数都有解析式。 2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。 优点：不需要计算可以直接看出与自变量对应的函数值； 缺点：仅能表示自变量取较少的有限值时的对应关系。 3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系。 优点：能形象直观地表示函数的变化情况； 缺点：只能近似求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大。 知识点2 分段函数 1、分段函数的定义 在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 【概念辨析】 （1）分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪一个范围，从而选择相应的对应关系； （2）分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集，各段定义域的交集是空集； （3）分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集． 2、分段函数的常见的几种类型 （1）取整函数：（表示不大于的最大整数）． （2） （3）含绝对值符号的函数，如 （4）自定义函数，如 3、分段函数图象的画法 （1）作分段函数图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． （2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后作出函数的图象． 知识点3 函数的图象 1、描点法作函数图象 （1）列表：先找出一些有代表性的自变量的值，并计算出与这些值相对应的函数值，用表格的形式表示； （2）描点：从表中得到一些列的点，在坐标平面上描出这些点； （3）连线：用光滑的曲线把这些点按自变量的值由小到大的顺序连接起来． 2、函数图象的变换 （1）函数图象的平移变换 左加右减：函数的图象沿轴方向向左()或向右()平移个单位长度得到函数; 上加下减：函数的图象沿轴方向向上()或向下()平移个单位长度得到函数 （2）函数图象的对称变换 ① ② ③ （3）函数图象的翻折变换 ① ② 1、 函数解析式的求法 1、直接代入法：已知的解析式，求的解析式时常用此法．用替换解析式中的所有自变量法．例如，求的解析式时，由． 2、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决． 3、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数解析式的问题． （1）先令，注意分析的取值范围； （2）反解出x，即用含的代数式表示x； （3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得． 4、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以x替代g(x)，便得的解析式． 5、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式． 例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件， 可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出． 6、特殊值法：所给函数方程含有两个变量时,可对这两个变量交替使用特殊值代入,或使这两个变量相等再代入,最后利用已知条件求出未知的函数.至于取什么特殊值,根据题目特征而定. 二、分段函数常见问题的解题方法 （1）求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一个区间段，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内往外以此求值． （2）求自变量的值：先假设所求的值在分段函数的定义域区间的各段上，然后求出相应的自变量的值，切记要代入验证． （3）在分段函数的前提下，求某条件下的自变量的取值范围：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应各段定义域上自变量的取值范围，再求它们的并集即可． 题型一 函数的表示方法 【例1】（23-24高一上·广东佛山·月考）已知函数的部分与的对应关系如下表：则（    ） 0 1 2 3 4 3 2 1 0 0 A． B． C． D．3 【变式1-1】（23-24高一上·广东东莞·月考）设已知函数如下表所示： 0 1 2 2 1 0 则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一上·广西南宁·月考）函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（    ） 1 2 3 2023 0 A．2023 B．0 C． D． 【变式1-3】（23-24高一上·山西·期中）如图，四边形是矩形，是等腰直角三角形．点从点出发，沿着边运动到点，点在边上运动，直线．设点运动的路程为的左侧部分的多边形的周长（含线段的长度）为．当点在线段上运动时，的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【变式1-4】（23-24高一上·重庆·月考）游泳池原有一定量的水．打开进水阀进水，过了一段时间关闭进水阀．再过一段时间打开排水阀排水，直到水排完．已知进水时的流量、排水时的流量各保持不变．用表示游泳池的水深，表示时间．下列各函数图象中能反映所述情况的是（    ） A． B． C． D． 题型二 求函数解析式的一般方法 【例2】（22-23高一上·广东东莞·期中）已知，则（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一上·吉林通化·月考）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知，求函数的解析式． 【变式2-2】（23-24高一上·重庆南岸·月考）(1)已知，求的解析式． (2)已知是一次函数，且满足，求的解析式． 【变式2-3】（23-24高一上·广东佛山·期中）根据下列条件，求的解析式． (1)已知满足； (2)已知是二次函数，且满足，； (3)已知满足． 题型三 分段函数求值问题 【例3】（22-23高一上·辽宁沈阳·期中）设函数，则（    ） A． B． C．10 D． 【变式3-1】（23-24高一上·山东临沂·期中）已知，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【变式3-2】（23-24高一上·辽宁·月考）已知函数，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【变式3-3】（23-24高一上·四川成都·期中）设函数，则的值（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（23-24高一上·广东惠州·月考）已知函数，，当时，，的值分别为（    ） A．1，0 B．0，0 C．1，1 D．0，1 题型四 分段函数求参数问题 【例4】（23-24高一上·重庆云阳·月考）已知函数若，则（    ） A．2 B．4 C． D．4或 【变式4-1】（22-23高一上·江苏连云港·期中）已知函数，若，实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-2】（22-23高一上·福建福州·期中）已知函数，若.则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高一上·浙江·期中）函数当时，实数 . 题型五 分段函数解不等式问题 【例5】（23-24高一上·福建三明·期中）已知函数，则满足的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一上·湖南永州·月考）已知，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（22-23高一上·河北石家庄·月考）已知，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一上·天津·期中）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型六 函数图象的识别与判断 【例6】（23-24高一上·海南海口·期末）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高一上·重庆·期中）函数的图象可能是（    ） A．    B．   C． D．   【变式6-2】（23-24高一上·福建三明·期中）我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象的形状大致是（    ） A．   B．     C．   D．   【变式6-3】（23-24高一上·江苏南京·月考）设为函数图象上的动点，若此函数图象与x轴，直线及围成图形（如图阴影部分）的面积为，则的图象可表示为（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.2 函数的表示法 知识点1 函数的三种表示方法 1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。 优点：（1）简明、全面概括了变量间的关系；（2）利用解析式可求任意函数值。 缺点：不够形象、只管，而且并不是所有函数都有解析式。 2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。 优点：不需要计算可以直接看出与自变量对应的函数值； 缺点：仅能表示自变量取较少的有限值时的对应关系。 3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系。 优点：能形象直观地表示函数的变化情况； 缺点：只能近似求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大。 知识点2 分段函数 1、分段函数的定义 在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 【概念辨析】 （1）分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪一个范围，从而选择相应的对应关系； （2）分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集，各段定义域的交集是空集； （3）分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集． 2、分段函数的常见的几种类型 （1）取整函数：（表示不大于的最大整数）． （2） （3）含绝对值符号的函数，如 （4）自定义函数，如 3、分段函数图象的画法 （1）作分段函数图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． （2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后作出函数的图象． 知识点3 函数的图象 1、描点法作函数图象 （1）列表：先找出一些有代表性的自变量的值，并计算出与这些值相对应的函数值，用表格的形式表示； （2）描点：从表中得到一些列的点，在坐标平面上描出这些点； （3）连线：用光滑的曲线把这些点按自变量的值由小到大的顺序连接起来． 2、函数图象的变换 （1）函数图象的平移变换 左加右减：函数的图象沿轴方向向左()或向右()平移个单位长度得到函数; 上加下减：函数的图象沿轴方向向上()或向下()平移个单位长度得到函数 （2）函数图象的对称变换 ① ② ③ （3）函数图象的翻折变换 ① ② 1、 函数解析式的求法 1、直接代入法：已知的解析式，求的解析式时常用此法．用替换解析式中的所有自变量法．例如，求的解析式时，由． 2、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决． 3、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数解析式的问题． （1）先令，注意分析的取值范围； （2）反解出x，即用含的代数式表示x； （3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得． 4、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以x替代g(x)，便得的解析式． 5、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式． 例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件， 可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出． 6、特殊值法：所给函数方程含有两个变量时,可对这两个变量交替使用特殊值代入,或使这两个变量相等再代入,最后利用已知条件求出未知的函数.至于取什么特殊值,根据题目特征而定. 二、分段函数常见问题的解题方法 （1）求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一个区间段，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内往外以此求值． （2）求自变量的值：先假设所求的值在分段函数的定义域区间的各段上，然后求出相应的自变量的值，切记要代入验证． （3）在分段函数的前提下，求某条件下的自变量的取值范围：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应各段定义域上自变量的取值范围，再求它们的并集即可． 题型一 函数的表示方法 【例1】（23-24高一上·广东佛山·月考）已知函数的部分与的对应关系如下表：则（    ） 0 1 2 3 4 3 2 1 0 0 A． B． C． D．3 【答案】D 【解析】由图表可知，，所以，故选：D 【变式1-1】（23-24高一上·广东东莞·月考）设已知函数如下表所示： 0 1 2 2 1 0 则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得，或或，解得或或， 所以解集为，故选:A. 【变式1-2】（23-24高一上·广西南宁·月考）函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（    ） 1 2 3 2023 0 A．2023 B．0 C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，可得，则，故选：A. 【变式1-3】（23-24高一上·山西·期中）如图，四边形是矩形，是等腰直角三角形．点从点出发，沿着边运动到点，点在边上运动，直线．设点运动的路程为的左侧部分的多边形的周长（含线段的长度）为．当点在线段上运动时，的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是等腰直角三角形，， 所以．当点在线段上运动时， ．故选：A. 【变式1-4】（23-24高一上·重庆·月考）游泳池原有一定量的水．打开进水阀进水，过了一段时间关闭进水阀．再过一段时间打开排水阀排水，直到水排完．已知进水时的流量、排水时的流量各保持不变．用表示游泳池的水深，表示时间．下列各函数图象中能反映所述情况的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】游泳池原有一定量的水，故函数图像不过原点，排除AC； 再过一段时间打开排水阀排水，故函数值有一段时间不变，排除B.故选：D 题型二 求函数解析式的一般方法 【例2】（22-23高一上·广东东莞·期中）已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令则 则, 所以.故选：A 【变式2-1】（23-24高一上·吉林通化·月考）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知，求函数的解析式． 【答案】（1）或；（2） 【解析】（1）设，则， 因为，所以， 所以，解得或，所以或． （2）①②， ②－①得，． 【变式2-2】（23-24高一上·重庆南岸·月考）(1)已知，求的解析式． (2)已知是一次函数，且满足，求的解析式． 【答案】(1)（且）;(2) 【解析】（1）设，则()， 代入中，得， 所以的解析式为，(且)． （2）由于函数为一次函数，设， 又，整理得， 故，解得，， 故的解析式为． 【变式2-3】（23-24高一上·广东佛山·期中）根据下列条件，求的解析式． (1)已知满足； (2)已知是二次函数，且满足，； (3)已知满足． 【答案】(1);(2);(3) 【解析】（1），所以. （2）设， 因为，所以， 因为，所以， 整理得， 所以，解得， 所以. （3）在①中，令替换得②， 由②得③， 将③代入①得， 所以./ 题型三 分段函数求值问题 【例3】（22-23高一上·辽宁沈阳·期中）设函数，则（    ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【解析】函数，因为，所以.故选：A 【变式3-1】（23-24高一上·山东临沂·期中）已知，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【解析】，.故选：A 【变式3-2】（23-24高一上·辽宁·月考）已知函数，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】B 【解析】，则.故选：B. 【变式3-3】（23-24高一上·四川成都·期中）设函数，则的值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由解析式可知， 所以，故选：D 【变式3-4】（23-24高一上·广东惠州·月考）已知函数，，当时，，的值分别为（    ） A．1，0 B．0，0 C．1，1 D．0，1 【答案】A 【解析】当x为有理数时，，, , 当x为无理数时，，， ，，故选：D 题型四 分段函数求参数问题 【例4】（23-24高一上·重庆云阳·月考）已知函数若，则（    ） A．2 B．4 C． D．4或 【答案】B 【解析】若，则，解得，舍去； 若，则，解得，符合题意； 故.故选：B. 【变式4-1】（22-23高一上·江苏连云港·期中）已知函数，若，实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以，解得.故选：C 【变式4-2】（22-23高一上·福建福州·期中）已知函数，若.则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知，且在上单调递减，作出函数图象如下： 所以， 所以.故选：B 【变式4-3】（23-24高一上·浙江·期中）函数当时，实数 . 【答案】 【解析】令，则， 当时，有，解得或（舍去）， 即， 当时，有即， 因为，此时无实数解， 当，有满足题意， 当时，，不满足题意，故实数. 题型五 分段函数解不等式问题 【例5】（23-24高一上·福建三明·期中）已知函数，则满足的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以当时，原不等式可化为，解得或； 当时，原不等式可化为，解得. 综上，不等式的解集为.故选：A 【变式5-1】（23-24高一上·湖南永州·月考）已知，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，， 所以，即，解得， 当时，， 所以，即，解得， 所以，的取值范围是故选：D 【变式5-2】（22-23高一上·河北石家庄·月考）已知，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数，当时，， 不等式化为：恒成立，则， 当时，，不等式化为：恒成立，则， 当时，，不等式化为：，解得， 则， 所以的取值范围是.故选：C 【变式5-3】（23-24高一上·天津·期中）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】原不等式等价于或，解得，故选：C 题型六 函数图象的识别与判断 【例6】（23-24高一上·海南海口·期末）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，结合图形可知C适合题意.故选：C. 【变式6-1】（23-24高一上·重庆·期中）函数的图象可能是（    ） A．    B．   C． D．   【答案】C 【解析】由于，得，所以的定义域是， 由此排除ABD选项，所以正确的选项为C.故选：C. 【变式6-2】（23-24高一上·福建三明·期中）我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象的形状大致是（    ） A．   B．     C．   D．   【答案】C 【解析】对于， 当时，，由二次函数的性质可知其单调递增，排除AB； 当时，，由二次函数的性质可知其单调递增，排除D； 而C选项满足上述条件.故选：C. 【变式6-3】（23-24高一上·江苏南京·月考）设为函数图象上的动点，若此函数图象与x轴，直线及围成图形（如图阴影部分）的面积为，则的图象可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知 当时，，且过程中增速变慢， 当时，，且过程中增速变快， 所以的图象可表示为选项B，故选：B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$