3.1.2函数的表示法15题型分类（讲+练）-2025-2026学年高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 3.1.2函数的表示法15题型分类 课程标准 学习目标 ①了解函数的三种表示方法及特点； ②掌握求函数解析式的常用方法 ③了解与认识分段函数及其定义域 ④会用分析法与图象法表示分段函数，并能掌握分段函数的相关性质. 通过本节课的学习，熟练掌握函数的三种表示方法，会求函数的解析式，掌握分段函数的解析法与图象法的表示方法与性质. 一、函数的表示法 (1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. (2)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. (3)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 二、描点法作函数图象的三个步骤 (1)列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，再计算出与这些自变量x相对应的函数值f(x)，并用表格的形式表示出来． (2)描点：把第(1)步表格中的点(x，f(x))一一在平面直角坐标系中描出来． (3)连线：用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大(或由大到小)的顺序连接起来． 三、函数三种表示法的几点说明 (1)解析法：变量间的对应关系明确，且要注意函数的定义域． (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．比如我们生活中经常遇到的列车时刻表、银行的利率表等．其优点是不需要计算就可以直接看出与自变量相对应的函数值．这种表示法常常被应用到实际生产和生活中去． (3)图象法：函数图象的形状不一定是一条或几条无限长的平滑曲线，也可能是一些点、一些线段、一段曲线等，但不是任何一个图形都是函数图象． 四、分段函数的概念 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，那么称这样的函数为分段函数. 五、应用函数知识解决实际问题的一般步骤 (1)阅读材料、理解题意； (2)把实际问题抽象为函数问题，并建立相应的函数模型； (3)利用函数知识对函数模型进行分析、研究，得出数学结论； (4)把数学结论(结果)应用到实际问题中，解决实际问题． 六、分段函数的特点 (1)分段函数是一个函数，并非几个函数． (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集． (3)分段函数的值域是各段值域的并集． (4)分段函数的图象要分段来画． 七、应用函数知识解决实际问题 关键是如何根据题意将实际问题抽象、转化成数学问题，然后通过求解数学问题，最后解决实际问题，这也是数学建模思想在实际问题中的具体应用． （一） 函数表示法 函数的三种表示法的选择和应用的注意点 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少． 题型1：函数的三种表示法的应用 1．（2025高一·全国月考）根据列表中的数据选择合适的模型，则函数 ． 2．（2025高一·全国月考）一个游泳池的底面是一个正方形，边长为，泳池正常使用时水面高度为，现在为了清洗游泳池，需要把泳池的水全部排掉，已知水流速度是，求泳池内水面高度与时间之间的函数解析式． 3．（2025高一·安徽宿州月考）某学校为了美化校园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度相等且为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植三种不同的花（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示下图中的，并写出的取值范围： (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积是多少？ 4．（25-26高一·全国月考）已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如下图的曲线，其中，则（   ） x 1 2 3 2 3 0 A．3 B．2 C．1 D．0 （二） 函数图象的作法及应用 1、画函数图象的两种常用方法 (1)描点法 一般步骤：①列表——先找出一些(有代表性的)自变量x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来； ②描点——从表中得到一系列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点； ③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来． (2)变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等． 2、画函数图象的关注点 ①画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图； ②图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； ③要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点． 题型2：函数图象的作法 5．（2025高一·内蒙古包头·期末）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学.下列哪一个图象与这件事吻合得最好？（    ） A． B． C． D． 6．（2025高一·全国·课前预习）已知函数，分别由下表给出 x 1 2 3 2 3 1 3 2 1 （1）则当时， ． （2）则 ． 7．（2025高一·北京·期中）设已知函数如下表所示：则不等式的解集为（   ） x 0 1 2 2 1 0 A． B． C． D． 8．（2025高一·吉林长春月考）已知二次函数的图象过点，，. (1)求函数的解析式； (2)画出函数在上图象. 9．（2025高一·江苏月考）作出下列函数图象： (1)且； (2)． 10．（2025高一·全国月考）画出下列函数图象，并写出单调区间： (1)； (2). 题型3：函数图象识别 11．（2025高二·贵州月考）函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 12．（2024高三·全国月考）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   13.（2025高一·天津南开·期中）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 14．（2024高三·全国月考）已知函数，如果且，则它的图象可能是（   ） A．  B．   C．D．   题型4：根据实际问题做出函数图象 15．（2025高二·宁夏·学业考试）某同学离家去学校，刚开始跑步前进，跑了一段路程后，又放慢速度步行．图中轴表示该学生离家的距离，轴表示所用的时间，下列图象中，与该同学走法相吻合的是（   ） A．   B．   C． D．   16．（2025·山东模拟预测）如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（    ）． A． B． C． D． 17．（2025高二·安徽·期中）向如图放置的空容器中匀速注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系的是（    ）      A．   B．   C．   D．   18．（2025高一·全国月考）某天0时，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常（正常体温为37 ℃），但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了.下面能大致反映出小鹏这一天（0时至24时）体温变化情况的图像是（　　） A．   B．   C．   D．   题型5：根据图象选择解析式 19．（2025高一·四川雅安月考）函数的大致图象如图所示，则可能是（    ） A． B． C． D． 20．（2025高三·广西桂林月考）已知函数的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 21．（2025高一·全国月考）已知如图对应的函数为，则右图对应的函数为 （    ） A． B． C． D． （三） 函数解析式的求法 函数解析式的求法 求函数解析式，关键是对基本方法的掌握，常用方法有配凑法、换元法、待定系数法、解方程(组)法、赋值法等． (1)配凑法：将形如f(g(x))的函数的表达式配凑为关于g(x)的表达式，并整体将g(x)用x代换，即可求出函数f(x)的解析式．如由f(x＋1)＝(x＋1)2可得f(x)＝x2. (2)换元法：将函数f(g(x))中的g(x)用t表示，则可求得x关于t的表达式，并将最终结果中的t用x代换，即可求得函数f(x)的解析式． (3)待定系数法：将已知类型的函数以确定的形式表达，并利用已知条件求出其中的参数，从而得到函数的解析式． 一次函数解析式为y＝ax＋b(a≠0)，二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (4)解方程(组)法：采用解方程或方程组的方法，消去不需要的函数式子，得到f(x)的表达式，这种方法也称为消去法． (5)赋值法：利用恒等式将特殊值代入，求出特定函数的解析式．这种方法灵活性强，必须针对不同的类型选取不同的特殊值． 题型6：待定系数法 22．（2025高一·全国月考）若是一次函数，，，则（   ） A． B． C． D． 23．（2025高一·全国·随堂练习）已知反比例函数的图象过点，则 ． 24．（2025高一·上海·随堂练习）已知是二次函数，且，，则 ． 25．（2024高三·全国月考）已知为二次函数且，，则 ． 题型7：配凑法 26．（2025高一·全国·假期作业）若函数，则（    ） A． B． C． D． 27．（2025高一·甘肃月考）已知函数满足，则（   ） A． B． C． D． 题型8：换元法 28．（2025高一·江西上饶月考）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 29．（2025高二·云南昆明·期中）已知函数，若，则 ． 30．（2025高一·四川·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 31．（2024高三·全国月考）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 题型9：方程组法 32．（2025高一·黑龙江哈尔滨月考）已知函数的定义域为R，且满足，则的解析式是 ． 33．（2024高一·全国月考）已知，求的表达式 34．（2025高一·黑龙江牡丹江月考）已知函数对于任意的都有，则 . 35．（2025高一·上海月考）定义在R上的函数满足：，求的解析式. 题型10：赋值法 36．（2025高三·江苏扬州月考）写出满足的函数的解析式 ． 37．（2025高一·全国月考）设是上的函数，且满足，并且对任意实数，，有，求的解析式 38．（2025·重庆模拟预测）设定义域为R的函数满足：，都有且（a为常数），则函数 ． 39．（2025高三·全国月考）已知函数的定义域为，且满足，，若，则函数的解析式为 . （四） 分段函数的定义域、值域 分段函数定义域、值域的求法 (1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集； (2)分段函数的值域是各段函数值域的并集． 题型11：求分段函数的定义域 40．（2025高一·全国·课前预习）函数 则的定义域为 ． 41．（2024高三·全国月考）如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为 ． 42．（2024高三·全国月考）函数的定义域为 ． 43．（2024高三·全国月考）函数的定义域为 ． 44．（2025高一·四川宜宾·期中）已知 (1)求，的值； (2)求满足的实数a的值； (3)求的定义域和值域． 题型12：求分段函数的值域 45．（2025高二·江苏徐州·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 46．（2025高二·上海杨浦·期末）设，不等式对一切恒成立，则的取值范围为 ． 47．（2025高一·全国·课前预习）若定义运算，则函数的值域为 ． 48．（2025·上海松江模拟预测）已知函数，则的值域为 . 49．（25-26高一·全国月考）设函数，．若则函数的最大值为（   ） A． B． C． D． （五） 分段函数求值问题 1、求分段函数函数值的步骤 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止． 2、已知分段函数值求字母取值的步骤 (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入到不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值． (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内． 题型13：分段函数求值问题 50．（2025高一·四川绵阳月考）若函数，则 . 51．（2025高三·四川绵阳月考）已知函数，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 52．（2025高一·四川绵阳月考）已知函数 (1)求 (2)若，求实数的值 题型14：分段函数与不等式的综合 53．（2025高一·浙江绍兴·期中）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 54．（2025高三·上海月考）设，已知，若，则的取值范围为 ． 55．（2025高三·全国月考）已知函数则 ；若，则 ；不等式的解集为 ． 56．（2025高三·浙江月考）已知函数若，则m的取值范围是 ． 57．（2025高一·内蒙古包头·期末）已知函数，若，则的取值范围是 . （六） 分段函数图象的画法 作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． 注：(1)判断分段函数的图 象，分段判断，宏观把握. (2)画分段函数的图象，首先确定函数是否已经确为分段函数，然后再分段画出，分点处的虚实情况用空心点和实心点标出. 题型15：分段函数图象及应用 58．（2025高一·江西景德镇·期中）已知函数 (1)求，； (2)作出函数在区间内的图象. 59．（2025高一·黑龙江牡丹江月考）已知， (1)若，求a的值； (2)若其图象与有三个交点，求的取值范围. 60．（2025高一·福建莆田·期末）已知函数的解析式为. (1)画出这个函数的图象； (2)求函数的最大值. 61．（2025高二·江苏徐州月考）已知函数当时，函数的最大值、最小值分别为，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2025高一·新疆塔城月考）已知函数,求的值（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一·云南德宏·期中）函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（2025高二·陕西西安·期末）已知函数，其中是x的正比例函数，是x的反比例函数，且，则（    ） A．3 B．8 C．9 D．16 4．（2025高一·河南郑州月考）已知实数，函数，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三·四川成都月考）已知函数若，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 6．（2025高一·河北邢台月考）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025高一·北京丰台·期中）下列图象中，表示定义域和值域均为的函数是（    ） A．    B．    C．    D．    8．（2025·湖北模拟预测）已知函数，则函数的图像是（    ） A． B． C． D． 9．（2025高一·浙江月考）函数与的图像如下图，则函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 10．（2025高一·河南郑州·期中）如图，为直角梯形，，，记梯形位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   11．（2025高一·全国月考）图象是以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 12．（2025高三·全国月考）已知，则满足的关系有（    ） A． B． C． D． 13．（2025高一·全国月考）(多选)设函数，若，则（    ） A． B．3 C． D．1 14．（2025高一·全国月考）如图所示的图象表示的函数的解析式为（    ） A． B． C． D． E． 三、填空题 15．（2025高一·浙江·期中）已知，函数，且，则 ． 16．（2025高一·广东广州月考）设函数，若则实数= 17．（2025高一·全国月考）已知f（x）＝，则的值等于 . 18．（2025高一·湖北荆州月考）已知函数和分别由下表给出，则 ，若，则实数的取值集合为 . 1 2 3 4 5 1 4 9 16 25 2 3 4 5 6 1 3 2 4 5 19．（2025高一·全国月考）（1）已知为二次函数，且，则 ． （2）已知，则 ． 20．（2025高三·全国月考）已知函数，若，则实数 ． 21．（2025高一·全国月考）已知是二次函数．且．则 ． 22．（2025高一·上海月考）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间（分钟）与相应话费（元）之间的函数图像如图所示，则与之间的函数关系式为 ． 23．（2025高一·全国月考）分段函数可以表示为，分段函数可表示为.仿此，分段函数可以表示为 ． 四、解答题 24．（2025高一·全国月考）下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事. （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学； （2）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进. A．  B． C．    D． 25．（2024高三·广东·学业考试）某城市为了鼓励居民节约用电采用阶梯电价的收费方式，即每户用电量不超过的部分按0.6元收费，超过的部分，按1.2元收费.设某用户的用电量为，对应电费为元. (1)请写出关于的函数解析式； (2)某居民本月的用电量为，求此用户本月应缴纳的电费. 26．（2025高一·江西宜春·期中）华为为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完 (1)求出2023年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数解析式（利润=销售额-成本） (2)2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 27．（2025高一·全国月考）函数，若，求的值. 28．（2025高一·安徽芜湖月考）某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值与这种新材料的含量（单位：克）的关系：当时，是的二次函数；当时，测得数据如下表所示（部分）： （单位：克） 0 1 2 9 0 3 (1)求关于的函数关系式 (2)求函数的最大值. 29．（2025高二·辽宁大连·期末）已知二次函数满足条件，且. (1)求函数的解析式； (2)在区间上，的图象恒在的图象上方，求实数的取值范围. 30．（2025高一·山西太原·期中）某城市规划部门为改善早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度v（单位：千米/小时）和车流密度x（单位：辆/千米）所满足的关系式（k单位：辆/小时）.研究发现：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米小时. (1)若车流密度为50辆/千米.求此时的车流速度； (2)若车流速度v不小于40千米/小时.求车流密度x的取值范围. （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2025-2026学年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 3.1.2函数的表示法15题型分类 课程标准 学习目标 ①了解函数的三种表示方法及特点； ②掌握求函数解析式的常用方法 ③了解与认识分段函数及其定义域 ④会用分析法与图象法表示分段函数，并能掌握分段函数的相关性质. 通过本节课的学习，熟练掌握函数的三种表示方法，会求函数的解析式，掌握分段函数的解析法与图象法的表示方法与性质. 一、函数的表示法 (1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. (2)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. (3)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 二、描点法作函数图象的三个步骤 (1)列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，再计算出与这些自变量x相对应的函数值f(x)，并用表格的形式表示出来． (2)描点：把第(1)步表格中的点(x，f(x))一一在平面直角坐标系中描出来． (3)连线：用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大(或由大到小)的顺序连接起来． 三、函数三种表示法的几点说明 (1)解析法：变量间的对应关系明确，且要注意函数的定义域． (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．比如我们生活中经常遇到的列车时刻表、银行的利率表等．其优点是不需要计算就可以直接看出与自变量相对应的函数值．这种表示法常常被应用到实际生产和生活中去． (3)图象法：函数图象的形状不一定是一条或几条无限长的平滑曲线，也可能是一些点、一些线段、一段曲线等，但不是任何一个图形都是函数图象． 四、分段函数的概念 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，那么称这样的函数为分段函数. 五、应用函数知识解决实际问题的一般步骤 (1)阅读材料、理解题意； (2)把实际问题抽象为函数问题，并建立相应的函数模型； (3)利用函数知识对函数模型进行分析、研究，得出数学结论； (4)把数学结论(结果)应用到实际问题中，解决实际问题． 六、分段函数的特点 (1)分段函数是一个函数，并非几个函数． (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集． (3)分段函数的值域是各段值域的并集． (4)分段函数的图象要分段来画． 七、应用函数知识解决实际问题 关键是如何根据题意将实际问题抽象、转化成数学问题，然后通过求解数学问题，最后解决实际问题，这也是数学建模思想在实际问题中的具体应用． （一） 函数表示法 函数的三种表示法的选择和应用的注意点 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少． 题型1：函数的三种表示法的应用 1．（2025高一·全国月考）根据列表中的数据选择合适的模型，则函数 ． 【答案】 【分析】根据定义域和值域直接构造函数即可. 【解析】的定义域包含数集，值域包含数集， 对于每一组数据，都有， 可令，代入均满足题意． 故答案为：. 2．（2025高一·全国月考）一个游泳池的底面是一个正方形，边长为，泳池正常使用时水面高度为，现在为了清洗游泳池，需要把泳池的水全部排掉，已知水流速度是，求泳池内水面高度与时间之间的函数解析式． 【答案】 【分析】求出泳池正常使用时的总水量和随时间变化排出的水量，即可求出与之间的函数解析式. 【解析】由题，泳池正常使用时总的水量为，随时间的推移排出的水量为， 又因为泳池排完所有水总共用时为， 故泳池内水面高度与时间之间的函数解析式为． 3．（2025高一·安徽宿州月考）某学校为了美化校园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度相等且为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植三种不同的花（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示下图中的，并写出的取值范围： (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)的值为20，最大面积是 【分析】（1）根据面积表达出，并根据和得到的取值范围； （2）表达出，利用基本不等式求出最大值及此时的值. 【解析】（1）设矩形花园的一条边长为，面积为，则另一边为， ，即， ，，即， 又，， ； （2） ， 当且仅当，即时，等号成立， 当的值为20时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积是. 4．（25-26高一·全国月考）已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如下图的曲线，其中，则（   ） x 1 2 3 2 3 0 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【解析】由的图象与的对应法则表可知，所以． （二） 函数图象的作法及应用 1、画函数图象的两种常用方法 (1)描点法 一般步骤：①列表——先找出一些(有代表性的)自变量x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来； ②描点——从表中得到一系列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点； ③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来． (2)变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等． 2、画函数图象的关注点 ①画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图； ②图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； ③要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点． 题型2：函数图象的作法 5．（2025高一·内蒙古包头·期末）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学.下列哪一个图象与这件事吻合得最好？（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，由实际背景出发确定图象的特征即可得解. 【解析】中途返回家中，则离开家的距离先增大，后减小至0，到家找作业本，再离开家到学校，选项D吻合最好. 故选：D 6．（2025高一·全国·课前预习）已知函数，分别由下表给出 x 1 2 3 2 3 1 3 2 1 （1）则当时， ． （2）则 ． 【答案】 1 3 【分析】根据函数和表格中的数据中的对应关系，即可求解. 【解析】根据函数和表格中的数据，可得： 由和，可得，所以； 又由，所以. 故答案为：；. 7．（2025高一·北京·期中）设已知函数如下表所示：则不等式的解集为（   ） x 0 1 2 2 1 0 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的概念求解即可. 【解析】由，得或或， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，不等式的解集为. 故选：A. 8．（2025高一·吉林长春月考）已知二次函数的图象过点，，. (1)求函数的解析式； (2)画出函数在上图象. 【答案】(1) (2)图象见解析 【分析】（1）设，将点的坐标代入，即可得到方程组，解得、、，即可求出函数解析式； （2）根据函数解析式画出函数图象. 【解析】（1）设，依题意可得，解得， 所以； （2）因为的对称轴为，，， 所以函数在图象如下所示： 9．（2025高一·江苏月考）作出下列函数图象： (1)且； (2)． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）分析函数特征，再描点作出图象. （2）分析函数特征，描出几何特殊点，借助二次函数作出图象. 【解析】（1）由于且，则， 所以函数且的图象为直线上的5个孤立点，如图： （2）函数，则当时，；当时，；当时，， 所以函数的图象是抛物线在的部分，如图： 10．（2025高一·全国月考）画出下列函数图象，并写出单调区间： (1)； (2). 【答案】(1)图象见解析，单调递增区间为，单调递减区间为 (2)图象见解析，无单调递增区间，单调递减区间为和 【分析】作出二次函数和反比例函数的图象，结合图象可得单调区间. 【解析】（1）函数图象如下图所示：    由图象可知：的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）函数图象如下图所示：    由图象可知：的无单调递增区间，单调递减区间为和. 题型3：函数图象识别 11．（2025高二·贵州月考）函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象可直接得到结果. 【解析】根据反比例函数的图象知，时，的图象在一象限单调递减， 故选：A. 12．（2024高三·全国月考）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】利用当时必有的性质即可排除选项A，B，D，从而得到答案. 【解析】由于，故当时必有，由此可排除选项A，B，D. 故选：C. 13.（2025高一·天津南开·期中）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排除法可得结论. 【解析】由，可得，解得， 所以当时，，排除BD； 由，解得或， 所以时，，排除C. 故选：A. 14．（2024高三·全国月考）已知函数，如果且，则它的图象可能是（   ） A．  B．   C．D．   【答案】A 【分析】根据二次函数的对称轴，与轴交点位置，开口方向以及最值可判断图象位置. 【解析】由题意，函数， 因为，令，可得，即函数图象过点． 又由，可得，，所以抛物线的开口向上，可排除D项， 令，可得，可排除B、C项． 故选：A． 题型4：根据实际问题做出函数图象 15．（2025高二·宁夏·学业考试）某同学离家去学校，刚开始跑步前进，跑了一段路程后，又放慢速度步行．图中轴表示该学生离家的距离，轴表示所用的时间，下列图象中，与该同学走法相吻合的是（   ） A．   B．   C． D．   【答案】A 【分析】根据函数图象呈上升趋势以及上升速度分析可得答案. 【解析】依题意可知，关于的函数图象呈上升趋势，故B和D都错误； 由于该同学是先跑后走，所以关于的函数图象上升速度是先快后慢，故A正确，C错误. 故选：A． 16．（2025·山东模拟预测）如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分，，求出解析式，然后可知图象. 【解析】当时，，是一条过原点的线段； 当时，，是一段平行于轴的线段； 当时，，图象为一条线段. 故选：A． 17．（2025高二·安徽·期中）向如图放置的空容器中匀速注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系的是（    ）      A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】分析容器的形状，结合匀速注水的条件可以直接得到答案. 【解析】由于容器上粗下细，所以匀速注水的过程中，高度的增长会越来越慢，只有C选项的图象符合条件， 故选：C. 18．（2025高一·全国月考）某天0时，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常（正常体温为37 ℃），但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了.下面能大致反映出小鹏这一天（0时至24时）体温变化情况的图像是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据体温变化过程结合图像可得答案. 【解析】选项A反映，体温逐渐降低，不符合题意 ；选项B不能反映下午体温又开始上升的过程；选项D不能反映下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫这一过程. 故选：C 题型5：根据图象选择解析式 19．（2025高一·四川雅安月考）函数的大致图象如图所示，则可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象，易得函数的定义域和对称性，奇偶性，再逐一判断各选项即得. 【解析】由图象可知，为奇函数且定义域为. 对于A,函数的定义域为关于原点对称，但，是偶函数，故A错误； 对于B，函数定义域为，与图象不符，故B错误； 对于C，函数定义域为关于原点对称，且，是奇函数，与图象符合，故C正确； 对于D，函数定义域为，与图象不符，故D错误； 故选：C. 20．（2025高三·广西桂林月考）已知函数的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性和特殊区间的函数值的正负，数形结合即可判断和选择. 【解析】根据图像可得：所求函数为奇函数，且当时，； 对CD：定义域关于原点对称，且都有，均为偶函数，故错误； 对A：当时，，故错误； 故选：B. 21．（2025高一·全国月考）已知如图对应的函数为，则右图对应的函数为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分别根据选项中函数图象特点与题干中图象比较可得正确答案. 【解析】，则可知当时的函数图象与原函数图象相同，可判断不符合， ，则可知当时的函数图象与原函数图象关于轴对称，可判断不符合， 与的图象关于轴对称，可判断不符合题意 ，则当时，函数的图象与原函数图象相同，当时，函数的图象与原图象时的函数图象相同，可判断正确 故选：． 【点睛】本题考查函数图象的识别，属于基础题. （三） 函数解析式的求法 函数解析式的求法 求函数解析式，关键是对基本方法的掌握，常用方法有配凑法、换元法、待定系数法、解方程(组)法、赋值法等． (1)配凑法：将形如f(g(x))的函数的表达式配凑为关于g(x)的表达式，并整体将g(x)用x代换，即可求出函数f(x)的解析式．如由f(x＋1)＝(x＋1)2可得f(x)＝x2. (2)换元法：将函数f(g(x))中的g(x)用t表示，则可求得x关于t的表达式，并将最终结果中的t用x代换，即可求得函数f(x)的解析式． (3)待定系数法：将已知类型的函数以确定的形式表达，并利用已知条件求出其中的参数，从而得到函数的解析式． 一次函数解析式为y＝ax＋b(a≠0)，二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (4)解方程(组)法：采用解方程或方程组的方法，消去不需要的函数式子，得到f(x)的表达式，这种方法也称为消去法． (5)赋值法：利用恒等式将特殊值代入，求出特定函数的解析式．这种方法灵活性强，必须针对不同的类型选取不同的特殊值． 题型6：待定系数法 22．（2025高一·全国月考）若是一次函数，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出函数的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答. 【解析】设，由题设有， 解得，所以． 故选：B． 23．（2025高一·全国·随堂练习）已知反比例函数的图象过点，则 ． 【答案】 【分析】根据题意利用待定系数法求得，即可得结果. 【解析】设反比例函数， 由题意可得：，解得， 可得，所以. 故答案为：. 24．（2025高一·上海·随堂练习）已知是二次函数，且，，则 ． 【答案】 【分析】由题意设，通过待定系数法得出关于的方程组即可求解. 【解析】因为，是二次函数，所以设， 又因为， 所以， 所以，解得. 故答案为：. 25．（2024高三·全国月考）已知为二次函数且，，则 ． 【答案】 【分析】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可． 【解析】设， ， ， ． 又， . 故答案为： 题型7：配凑法 26．（2025高一·全国·假期作业）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用整体法求函数的解析式. 【解析】依题意，，而， 所以． 故选：D. 27．（2025高一·甘肃月考）已知函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知结合配凑法即可求解函数解析式. 【解析】由，可得. 故选：D. 题型8：换元法 28．（2025高一·江西上饶月考）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法令，求解析式即可． 【解析】令，则，且，则， 可得， 所以. 故选：B. 29．（2025高二·云南昆明·期中）已知函数，若，则 ． 【答案】1   【分析】换元法令，，求出的解析式，进而解方程即可. 【解析】令，，则，， 故，得． 故答案为：1． 30．（2025高一·四川·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法求解即可. 【解析】令，则， 可得， 所以. 故选：B. 31．（2024高三·全国月考）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法求解析式即可. 【解析】令，则，且，则， 可得， 所以. 故选：B. 题型9：方程组法 32．（2025高一·黑龙江哈尔滨月考）已知函数的定义域为R，且满足，则的解析式是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，用换建立方程组求解. 【解析】由，得， 联立两式消去，得，解得， 所以的解析式是. 故答案为： 33．（2024高一·全国月考）已知，求的表达式 【答案】 【分析】在原式中用替换，得，与原式联立方程组，求解即可. 【解析】在原式中用替换，得， 于是有， 消去，得． ∴所求函数的表达式为. 34．（2025高一·黑龙江牡丹江月考）已知函数对于任意的都有，则 . 【答案】 【分析】由可得，联立消去整理求解. 【解析】∵，则 联立，消去整理得： 故答案为：. 35．（2025高一·上海月考）定义在R上的函数满足：，求的解析式. 【答案】 【分析】利用方程组法求出解析式. 【解析】，① ∴，即，② 由①②联立解得：． 题型10：赋值法 36．（2025高三·江苏扬州月考）写出满足的函数的解析式 ． 【答案】 【分析】利用赋值法可得函数解析式. 【解析】中，令，得； 令得，故， 则． 故答案为：． 37．（2025高一·全国月考）设是上的函数，且满足，并且对任意实数，，有，求的解析式 【答案】 【分析】对进行赋值，解方程求得的解析式. 【解析】对任意实数，，，令，得，即又，∴ 【点睛】本小题主要考查函数关系式求函数解析式，考查方程的思想，属于基础题. 38．（2025·重庆模拟预测）设定义域为R的函数满足：，都有且（a为常数），则函数 ． 【答案】 【分析】运用赋值法可求解. 【解析】由①， 在①中，令可得②， 在②中，令，则③， 由②可得，④， 由①可得，⑤， 由②可得，⑥， 则由③④⑤⑥可得，，即， 因，则. 故答案为： 39．（2025高三·全国月考）已知函数的定义域为，且满足，，若，则函数的解析式为 . 【答案】 【分析】根据，令，得，依次可得，，，累加可得函数解析式. 【解析】函数的定义域为，且满足， 取，得，所以， ，，， 以上各式相加得． 故答案为：. （四） 分段函数的定义域、值域 分段函数定义域、值域的求法 (1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集； (2)分段函数的值域是各段函数值域的并集． 题型11：求分段函数的定义域 40．（2025高一·全国·课前预习）函数 则的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合分段函数的性质，即可求解. 【解析】由函数，可得函数的定义域为， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 41．（2024高三·全国月考）如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据图象分段求出定义域，然后求并集可得结果． 【解析】由图象可知，第一段的定义域为； 第二段的定义域为， ∴该分段函数的定义域为． 故答案为：． 42．（2024高三·全国月考）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由分段函数的各段的定义域求并集可得分段函数的定义域． 【解析】因为函数， 所以的定义域为 ，即函数定义域为， 故答案为： 43．（2024高三·全国月考）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由分段函数的定义域为各段的并集进行求解． 【解析】分段函数定义域为各段定义域的并集，即． 故答案为：． 44．（2025高一·四川宜宾·期中）已知 (1)求，的值； (2)求满足的实数a的值； (3)求的定义域和值域． 【答案】(1)， (2) (3)定义域为，值域为 【分析】根据自变量所属范围，求分段函数求函数值；根据函数值，求自变量值；确定分段函数的定义域值域. 【解析】（1）， . （2）由或，解得. （3）   的定义域为，值域为 题型12：求分段函数的值域 45．（2025高二·江苏徐州·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出各段上的函数值的范围后可得正确的选项. 【解析】当时，， 而当时，，当且仅当时等号成立， 故函数的值域为， 故选：D. 46．（2025高二·上海杨浦·期末）设，不等式对一切恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】解法一：分，两种情况去绝对值讨论求解即可；解法二：由绝对值几何意义求解即可. 【解析】解法一：令，当时， 则， , 要使对一切恒成立， 则，解得， 当时，，, 要使对一切恒成立， 则，解得， 综上：的取值范围为. 解法二：表示数轴上实数到的距离之和大于等于2， 当时，要使距离之和大于等于2，则， 当时，要使距离之和大于等于2，则， 综上：的取值范围为. 故答案为： 47．（2025高一·全国·课前预习）若定义运算，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据题意，分段写出函数解析式并求出相应的值域，再取并集即可得解. 【解析】根据题意，当时，即时，，则； 当时，即时，，则. 所以，函数的值域为. 故答案为：. 48．（2025·上海松江模拟预测）已知函数，则的值域为 . 【答案】 【分析】根据二次函数性质求出时的值域，再根据对勾函数的单调性求出时的值域，然后利用分段函数的性质即可求解． 【解析】因为， 当时，， 当时，函数单调递减，故， 综上，函数的值域为． 故答案为：． 49．（25-26高一·全国月考）设函数，．若则函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，即，解得或，作出的图象（实线）如图，由图象可知． （五） 分段函数求值问题 1、求分段函数函数值的步骤 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止． 2、已知分段函数值求字母取值的步骤 (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入到不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值． (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内． 题型13：分段函数求值问题 50．（2025高一·四川绵阳月考）若函数，则 . 【答案】/0.25 【分析】直接代入求值即可. 【解析】由题意. 故答案为：. 51．（2025高三·四川绵阳月考）已知函数，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据分段函数的解析式可求. 【解析】由分段函数的解析式可得： ， 故选：A. 52．（2025高一·四川绵阳月考）已知函数 (1)求 (2)若，求实数的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据定义域求值即可； （2）分、令，解方程可得答案. 【解析】（1）因为，所以， 所以， ； （2）当时，，解得（舍）； 当时，，解得，又因，所以. 综上：实数. 题型14：分段函数与不等式的综合 53．（2025高一·浙江绍兴·期中）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况讨论，结合一元二次不等式的解法即可得解. 【解析】由题意可得或， 解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 54．（2025高三·上海月考）设，已知，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，按、分段不等式即可.. 【解析】若时，，解得，因此； 若时，，解得，无解， 所以的取值范围为. 故答案为： 55．（2025高三·全国月考）已知函数则 ；若，则 ；不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】解法一：根据分段函数的特点求值和分情况解不等式即可求解，解法二：结合函数图像求值与分情况解不等式即可 【解析】解法一 ：由题意得，所以． 当时，，得（舍去）， 当时，，得， 所以若，则． 当时，由，得， 当时，由，得， 故不等式的解集为． 解法二：由题意得，所以． 作出的大致图象，如图所示， 结合图象可知在时无解，当时，，解得． 所以若，则． 当时，由，解得， （舍去）， 当时，由，解得， 结合图象得不等式的解集为． 故答案为：，， 56．（2025高三·浙江月考）已知函数若，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】讨论的取值范围，解不等式可得结果. 【解析】当，即时，由得，解得， 当，即时，由得，无解， ∴m的取值范围是. 故答案为：. 57．（2025高一·内蒙古包头·期末）已知函数，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，根据分段函数的解析式，求出时，的取值范围，进而再分类讨论求出的范围即可. 【解析】令，则，原不等式化为， 当时，，解得，即； 当时，，解得，即， ①， 当时，，解得；当时，，无解， 因此， ②， 当时，，解得；当时，，解得， 因此或， 所以a的取值范围是：. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：设，分类讨论求出t的范围是求解的关键. （六） 分段函数图象的画法 作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． 注：(1)判断分段函数的图 象，分段判断，宏观把握. (2)画分段函数的图象，首先确定函数是否已经确为分段函数，然后再分段画出，分点处的虚实情况用空心点和实心点标出. 题型15：分段函数图象及应用 58．（2025高一·江西景德镇·期中）已知函数 (1)求，； (2)作出函数在区间内的图象. 【答案】(1)， (2)图象见解析 【分析】（1）根据分段函数的解析式代入求解即可；（2）分段画出函数图象即可. 【解析】（1）. ， 又，. （2）函数在区间内的图象如下： 59．（2025高一·黑龙江牡丹江月考）已知， (1)若，求a的值； (2)若其图象与有三个交点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分段函数可分类求出的值； （2）画出函数的图象后可得参数的取值范围. 【解析】（1）当时，， 当时，，解得， 综上， （2）作出的图象，如图， 由图象可知，当时，函数的图象与有三个不同的交点. 60．（2025高一·福建莆田·期末）已知函数的解析式为. (1)画出这个函数的图象； (2)求函数的最大值. 【答案】(1)作图见解析； (2)6. 【分析】（1）根据一次函数的图象作图即可； （2）根据函数图象即可求出函数的最大值. 【解析】（1）函数的图象由三段构成，每段都为一次函数图象的一部分，其图象如图：    （2）由函数图象，数形结合可知当时，函数取得最大值6， ∴函数的最大值为6. 61．（2025高二·江苏徐州月考）已知函数当时，函数的最大值、最小值分别为，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出时，的范围，进而可知的范围为，再进行分类讨论求出的取值即可． 【解析】函数的图象如图所示， 当时，，此时， 当时，或；时，或 而由题意得函数的值域为， 当，即时，需满足，此时满足不等式； 当，即时，需满足，此时满足不等式； 综上所述：实数的取值集合为， 故选：B． 一、单选题 1．（2025高一·新疆塔城月考）已知函数,求的值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分段函数直接有里及外求出函数的值 【解析】∵， ∴，∴. 故选：A 2．（2025高一·云南德宏·期中）函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】法一：根据时的函数值即可得解. 法二：根据函数的图象是由函数先向右平移个单位长度，再向上平移一个单位长度得到的，即可得解. 【解析】法一：当时，，只有B选项符合. 法二：， 则函数的图象是由函数先向右平移个单位长度， 再向上平移一个单位长度得到的，只有B选项符合. 故选：B. 3．（2025高二·陕西西安·期末）已知函数，其中是x的正比例函数，是x的反比例函数，且，则（    ） A．3 B．8 C．9 D．16 【答案】C 【分析】根据题意设，则，然后由列方程组求出的值，从而可得的解析式，进而可求出 【解析】根据题意设，则， 因为， 所以，解得， 所以， 所以， 故选：C 4．（2025高一·河南郑州月考）已知实数，函数，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，，代入相应的函数解析式，利用可得答案. 【解析】因为，所以，， 所以，， 因为，所以， 解得. 故选：A. 5．（2025高三·四川成都月考）已知函数若，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据函数的解析式求出，结合即可求出，进而得出结果. 【解析】由题意知， ， 又，所以， 所以， 解得. 故选：C 6．（2025高一·河北邢台月考）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据解析式求函数值即可. 【解析】，所以. 故选：C. 7．（2025高一·北京丰台·期中）下列图象中，表示定义域和值域均为的函数是（    ） A．    B．    C．    D．    【答案】C 【分析】根据函数的定义以及定义域和值域的概念分析即可. 【解析】选项A：定义域为，但是值域不是故错误； 选项B：定义域不是，值域为，故错误； 选项C：定义域和值域均为，故正确； 选项D：不满足函数的定义，故错误； 故选：C. 8．（2025·湖北模拟预测）已知函数，则函数的图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可知 图像与的图像关于轴对称，由 的图像即可得出结果. 【解析】因为，所以 图像与的图像关于轴对称， 由解析式，作出的图像如图 . 从而可得图像为D选项. 故选：D. 9．（2025高一·浙江月考）函数与的图像如下图，则函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】带入特殊点，用排除法找出符合题意得图像. 【解析】定义域为，所以函数在是断开的，故排除C，D； 当x为很小的正数时，，排除A． 故选：B． 10．（2025高一·河南郑州·期中）如图，为直角梯形，，，记梯形位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】直线l的运动位置分析面积的表达形式，进而得到分段函数，判断图象即可． 【解析】所在直线方程为， 当时，梯形位于直线左侧的图形是直角三角形， 底边长为，高为，则； 当时，梯形位于直线左侧的图形是直角梯形， 上底长为，下底长为，高为2，则； 所以，由一次函数和二次函数的性质和图象可知， 函数的图象大致为选项C. 故选：C. 11．（2025高一·全国月考）图象是以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由待定系数法求函数解析式问题，根据题意可以设二次函数的顶点式，然后根据函数过原点，将代入即可. 【解析】设图象是以为顶点的二次函数（）． 因为图象过原点，所以，，所以． 故选：A 二、多选题 12．（2025高三·全国月考）已知，则满足的关系有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数的解析式，对四个选项逐个分析可得答案. 【解析】因为， 所以==，即不满足A选项； ==，=，即满足B选项，不满足C选项， ，，即满足D选项． 故选：BD 13．（2025高一·全国月考）(多选)设函数，若，则（    ） A． B．3 C． D．1 【答案】CD 【分析】根据分段函数解析式，对进行分类讨论计算即可求得结果. 【解析】因为，又 所以； (1)当时，，解得. (2)当时，，所以； 综上可知或. 故选：CD 14．（2025高一·全国月考）如图所示的图象表示的函数的解析式为（    ） A． B． C． D． E． 【答案】BD 【分析】分别计算和两部分的解析式，综合得到答案. 【解析】当时，；当时，.所以 对于： 故选BD. 【点睛】本题考查了分段函数的解析式，意在考查学生对于函数图像的理解. 三、填空题 15．（2025高一·浙江·期中）已知，函数，且，则 ． 【答案】1 【分析】根据解析式直接计算即可得出. 【解析】因为， 所以， 则，解得. 故答案为：1. 16．（2025高一·广东广州月考）设函数，若则实数= 【答案】或1． 【分析】根据分段函数定义分类讨论求解． 【解析】时，，， 时，，（负数舍去）， 综上或1． 故答案为：或1． 17．（2025高一·全国月考）已知f（x）＝，则的值等于 . 【答案】4 【分析】根据分段函数的定义计算． 【解析】解析：∵>0，∴＝2×＝；∵－≤0，∴＝＝； ∵－≤0，∴＝＝； ∵>0，∴＝2×＝，∴＋＝＋＝4. 故答案为：4． 18．（2025高一·湖北荆州月考）已知函数和分别由下表给出，则 ，若，则实数的取值集合为 . 1 2 3 4 5 1 4 9 16 25 2 3 4 5 6 1 3 2 4 5 【答案】 【分析】先根据表格求出，代入即可得出答案；先根据表格得出的值，再根据表格，即可得出的取值. 【解析】根据表格可得，， 所以，. 根据表格可得， 当时，满足，此时； 当时，满足，此时； 当时，满足，此时. 综上可得，实数的取值集合为. 故答案为：；. 19．（2025高一·全国月考）（1）已知为二次函数，且，则 ． （2）已知，则 ． 【答案】 【分析】（1）设，由已知等式可构造方程组求得的值，进而得到； （2）采用换元法，设，可求得，进而得到. 【解析】（1）设， ， ，解得：，； （2）令，则，， ，. 故答案为：；. 20．（2025高三·全国月考）已知函数，若，则实数 ． 【答案】或 【分析】分、、三种情况解方程，即可解得实数的值. 【解析】当时，由，可得，合乎题意； 当时，由，解得，合乎题意； 当时，由，解得，不合乎题意. 综上所述，或. 故答案为：或. 21．（2025高一·全国月考）已知是二次函数．且．则 ． 【答案】 【分析】设,化简整理对应系数得到，解方程组即可求出结果. 【解析】设， 则， ， 所以，又， 因此，解得，所以， 故答案为：. 22．（2025高一·上海月考）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间（分钟）与相应话费（元）之间的函数图像如图所示，则与之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】根据函数图象利用待定系数法求解即可. 【解析】由图知，当时，设函数为，则 ，得，所以， 当时，设函数为，则 ，解得， 所以， 综上与之间的函数关系式为. 故答案为： 23．（2025高一·全国月考）分段函数可以表示为，分段函数可表示为.仿此，分段函数可以表示为 ． 【答案】 【分析】由题意知，可以表示为：；可表示为，类比上述两个式子，并结合分界点讨论即可写出. 【解析】因为分段函数可表示为. 其分界点为3.从而式子中含有与， 并通过前面的“－”达到需要的结果的形式． 仿此，对于分段函数其分界点为6. 故式子中应含有与， 又时，. 故的前面应取“＋”． 因此. 故答案为:. 四、解答题 24．（2025高一·全国月考）下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事. （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学； （2）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进. A．  B． C．    D． 【答案】见解析. 【解析】根据时间和离开家距离的关系逐一进行判断. 【解析】解：（1）根据回家后，离家的距离又变为0，对应（D）； （2）由途中遇到一次交通堵塞，可判断中间有一段函数值没有发生变化，对应（A）； （3）由为了赶时间开始加速，可判断函数的图象上升速度越来越快，对应（B）. 剩下的图象（C）为：我出发后越走越累，所以速度越来越慢. 【点睛】本题主要考查函数的图象的识别和判断，通过分析实际情况中离家距离随时间变化的趋势，找出关键的图象特征，对3个图象进行分析，即可得到答案. 25．（2024高三·广东·学业考试）某城市为了鼓励居民节约用电采用阶梯电价的收费方式，即每户用电量不超过的部分按0.6元收费，超过的部分，按1.2元收费.设某用户的用电量为，对应电费为元. (1)请写出关于的函数解析式； (2)某居民本月的用电量为，求此用户本月应缴纳的电费. 【答案】(1) (2)156元 【分析】（1）根据题意分和两种情况讨论即可； （2）结合（1）将代入函数解析式即可. 【解析】（1）由题意得，当时，， 当时，， 综上所述，； （2）当用电为时，由（1）知， 所以元， 所以此用户本月应交156元. 26．（2025高一·江西宜春·期中）华为为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完 (1)求出2023年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数解析式（利润=销售额-成本） (2)2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)2023年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润为9000万元 【分析】（1）由题意得到，从而根据求出（万元）关于年产量（千部）的函数关系式； （2）时，配方求出的最大值，时，利用基本不等式求出的最大值，比较后得到结论. 【解析】（1）由题意得：， 故当时，， 当时，， 故（万元）关于年产量（千部）的函数关系式为： . （2）当时，， 故当时，取得最大值，最大值为万元； 当时，由基本不等式得： （万元）， 当且仅当，时，等号成立， 因为，所以2023年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润为9000万元. 27．（2025高一·全国月考）函数，若，求的值. 【答案】 【分析】先求出的可能取值，再结合函数的解析式可求得实数的值. 【解析】因为函数，，令，则， 所以当时，，解得或（舍）； 当时，，解得，不合题意. 所以. 所以，又，所以只能，解得，符合， 故. 28．（2025高一·安徽芜湖月考）某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值与这种新材料的含量（单位：克）的关系：当时，是的二次函数；当时，测得数据如下表所示（部分）： （单位：克） 0 1 2 9 0 3 (1)求关于的函数关系式 (2)求函数的最大值. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）待定系数法，设出函数解析式，代入表格中的数据计算即可； （2）由函数解析式，根据函数性质，分段求最大值，得函数的最大值. 【解析】（1）当时，设， 由表格数据可得， 解得，即． 当时，，由表格数据可得，解得， 所以当时，． 综上， （2）当时，， 所以当时，函数的最大值为4； 当时，单调递减，所以的最大值为． 因为，所以函数的最大值为4． 29．（2025高二·辽宁大连·期末）已知二次函数满足条件，且. (1)求函数的解析式； (2)在区间上，的图象恒在的图象上方，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出二次函数，利用题目条件列式求解即可； （2）由题意在上恒成立，构造函数，利用单调性求解最值即可求解范围. 【解析】（1）由题意设，，因为，所以， 又因为，所以， 即，所以，解得，所以. （2）由（1）得，，因为的图象恒在的图象上方， 所以在上恒成立，所以在上恒成立， 令，则.又因为在上单调递减， 所以，即，所以实数的取值范围是. 30．（2025高一·山西太原·期中）某城市规划部门为改善早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度v（单位：千米/小时）和车流密度x（单位：辆/千米）所满足的关系式（k单位：辆/小时）.研究发现：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米小时. (1)若车流密度为50辆/千米.求此时的车流速度； (2)若车流速度v不小于40千米/小时.求车流密度x的取值范围. 【答案】(1)56千米/小时 (2) 【分析】（1）将，代入函数第二段，得到，解出值，再代入，得到值； （2）根据（1）中得到的分段函数解析式，在各自范围内解不等式即可，最后取并集. 【解析】（1）由题意知当(辆/千米)时,(千米小时), 代入,得，解得,所以, 当时， 故当车流密度为50辆/千米时，此时车流速度为56千米/小时. （2）, 当时,,符合题意;当时,令,解得,所以. 所以,若车流速度不小于40千米/小时,则车流密度的取值范围是. （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$