3.1.1函数的值域（6个题型）讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2025年暑假新高一数学常考题型归纳 【3.1.1函数的值域】 总览 题型梳理 【知识点总览】 函数的值域概念 值域的定义：对于函数 ，其定义域为 ，当 取遍 中所有值时，对应的函数值 的全体组成的集合称为函数的值域。 求函数值域的常用方法 1. 观察法（直接法） 适用范围：简单初等函数（如一次函数、正比例函数、反比例函数等）。 方法要点：通过函数的解析式直接分析 的取值范围。 例： 一次函数 ，定义域为 ，值域为 。 反比例函数 ，定义域为 ，值域为 。 2. 配方法 适用范围：二次函数 。 方法要点：将二次函数配方为顶点式 ，结合开口方向和定义域求值域。 例：求 的值域。 配方得：，由于 ，故 ，值域为 。 3. 分离常数法 适用范围：形如 的分式函数。 方法要点：将分子拆分为含分母的项，分离出常数，再分析剩余部分的取值范围。 例：求 的值域。 分离常数：，由于 ，故 ，值域为 。 4. 换元法 适用范围：含根号（如 ）或复合函数（如指数、对数函数与多项式复合）。 方法要点：通过换元将复杂函数转化为简单函数，注意新变量的取值范围。 例：求 的值域。 令 ，则 ，函数化为 。 由 ，当 时，，故值域为 。 5. 判别式法（Δ法） 适用范围：形如 （分子分母为二次式，且分母无零点）。 方法要点：将函数化为关于 的二次方程，利用判别式 求 的范围。 例：求 的值域。 整理得：。 当 时， 有解；当 时，，解得 。 故值域为 。 注意事项 求值域时需先明确函数的定义域，定义域不同可能导致值域不同。 不同方法可能适用于同一函数，需选择最简便的方法（如二次函数优先用配方法）。 分式函数用判别式法时，需检验分母是否为零的情况，避免遗漏或多解。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：常见函数的值域】 例题精选 【例题1】多选题（24-25高一上·四川攀枝花·阶段练习）下列函数中值域为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】求出各选项中的函数值域，即可判断得解． 【详解】对于A，函数的定义域为，值域也为，A正确； 对于B，函数，值域为，B正确； 对于C，函数的定义域为，值域为，C错误； 对于D，函数的定义域为R，值域为，D错误． 故选：AB． 【例题2】多选题（24-25高一上·安徽·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先求出集合A和B，再根据集合的交集、并集和补集的定义即可直接计算判断各选项. 【详解】要使函数有意义，则， 所以，即， 因为，所以，即， 所以，，， 故ABD正确，C错误. 故选：ABD 【例题3】（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）函数的值域 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质求解即可. 【详解】函数的对称轴为，开口向下， 且时，；时，；时，， 则函数的最小值为0，最大值为4， 所以的值域为. 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·四川南充·期中）函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据函数的单调性即可求解. 【详解】由于在单调递减，故， 故答案为： 【相似题2】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数的定义域为 ，其最大值是 ． 【答案】 ； /. 【分析】根据根式的意义求定义域即可；利用二次函数的性质可求最大值. 【详解】易知，解之得，所以函数的定义域为； 而， 当时取得最大值. 故答案为：；. 【相似题3】（24-25高一上·上海·假期作业）求值域： (1)， (2)， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过配方，由二次函数的值域即可求解； （2）根据题意，由二次函数的性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为， 所以函数的值域为. （2）因为，其中对称轴为，且， 则时，函数有最小值为， 当时，函数有最大值为， 所以函数值域为. 【题型2：分离常数法求函数的值域（+对勾函数）】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的值域（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分离常数法求解. 【详解】因为函数的定义域为， ， 所以函数的值域为. 故选：D. 【例题2】函数的值域是 . 【答案】且 【分析】求出给定函数的定义域，再利用分离常数法求出函数的值域. 【详解】函数中，，则且， 于是，由，得；由，得， 所以原函数的值域为且. 故答案为：且 【例题3】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）函数的值域为 【答案】 【分析】求出函数的定义域，分离常数，结合反比例函数的值域即可得解. 【详解】函数的定义域为，， 而，则， 所以函数的值域是. 故答案为： 相似练习 【相似题1】函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由换元法，结合对勾函数的单调性，代入计算，即可得到结果. 【详解】， 令，则时，， ，函数在上单调递减， 若，则， 若，则， 故函数值域为． 故答案为：. 【相似题2】（24-25高一上·河南郑州·期中）设函数，求函数的定义域和值域． 【答案】定义域为，值域为． 【分析】由分母不为零可得定义域，利用分离常数可求值域. 【详解】由题意可得，定义域为： 可得 因此，值域为． 因此，定义域为，值域为． 【相似题3】求函数的最小值. 【答案】10 【分析】利用基本不等式结合计算可得结果. 【详解】易知. 因为，可得，因此可得， 当且仅当，即时，等号成立. 故， 所以当时，有最小值10. 【题型3：换元法求函数的值域】 例题精选 【例题1】函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法设，可得，结合二次函数性质可得值域. 【详解】设，，则， 所以， 所以当时，取最大值为， 即函数的值域为. 故选：D. 【例题2】（24-25高一上·重庆·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法转化为二次函数求解值域即可． 【详解】根据题意知函数定义域为，令， 所以， 当时，，所以函数的值域为. 故选：C. 【例题3】（24-25高一上·江西南昌·期中）函数的值域为 【答案】 【分析】根据换元法得到有关的函数，根据取值可得到值域. 【详解】令，则，，则在上是减函数， 所以， 所以，故的值域为， 故答案为：. 相似练习 【相似题1】已知函数的值域为，则实数的值为 ． 【答案】13 【分析】令，则，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得可得， 令，则，， ∴当时取得最大值， 但由于，故当即时，，解得． 故答案为：13． 【相似题2】函数的值域为 ． 【答案】 【分析】可以通过换元法转换为求二次函数在某区间上的值域即可求解. 【详解】令，因为，所以，则， 所以原函数可化为，其对称轴为， 所以函数在上单调递增，所以， 所以函数的值域为. 故答案为：. 【相似题3】（2022高一上·全国·专题练习）求函数的值域． 【答案】 【分析】借助换元法可将原函数化为二次函数，结合二次函数的性质计算即可得. 【详解】设，则， 函数可化为，对称轴为， 所以该函数在上单调递减，所以当时，， 所以原函数的值域为. 【题型4：判别式法求函数的值域】 例题精选 【例题1】函数的最大值为 ． 【答案】/0.25 【分析】利用判别式法求函数值域即可. 【详解】原函数可以化简为在时有解， 当时，， 当不等于0时，， 解得且不等于0， 故所求最大值为. 故答案为：. 【例题2】（24-25高一上·四川成都·期中）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】将函数式转化为方程，即该方程在上有解，讨论和，结合判别式法即可求值域. 【详解】由解析式知：函数的定义域为R，且， 整理可得，即该方程在上有解， 当时，，显然成立； 当时，有，整理得，即， 综上，原函数值域为. 故答案为：. 相似练习 【相似题1】求函数的最大值、最小值. 【答案】最大值为，最小值为 【分析】将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出的取值范围，即得函数的最大值和最小值． 【详解】设恒成立，所以定义域为R， 则， 当时，； 当时，视其为关于x的一元二次方程，且方程有根， 则判别式，解得且， 所以函数的最大值为，最小值为. 【相似题2】（2023高一·全国·专题练习）求函数的值域． 【答案】 【分析】根据分式函数的特点，因定义域为，可将其化成关于的一元二次方程恒有实根的情况，通过根的判别式即可求得函数的值域. 【详解】因为恒成立，故， 则由可得，， 当时，，适合题意； 当时，由于，故恒有实数根， 故，解得且， 综上可得，的值域为. 【题型5：函数的定义域和值域综合题型】 例题精选 【例题1】（22-23高一上·安徽芜湖·期中）定义：称为区间的长度，若函数的定义域与值域区间长度相等，则的值为（    ） A． B． C．4或 D．与的取值有关 【答案】A 【分析】由值域结合题设条件确定定义域，从而得出的值. 【详解】函数的值域为，所以区间的长度为. 设的解集为，所以. 因为，且， 所以，解得. 故选：A 【例题2】多选题（22-23高一上·山西太原·阶段练习）一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（    ） A．若为的跟随区间，则 B．函数不存在跟随区间 C．是函数的一个跟随区间 D．二次函数存在“倍跟随区间” 【答案】BCD 【分析】A选项中，由二次函数单调性可知值域为，由跟随区间定义可构造方程求得，知A错误；B选项中，假设存在跟随区间，由单调性可知为的两根，根据方程无解可知B正确；C选项中，根据在上的值域为可知C正确；D选项中，在时，根据单调性可知是方程的两根，解方程求得，知D正确. 【详解】对于A，在上单调递增，的值域为， ，解得：（舍）或，A错误； 对于B，在，上单调递增， 若存在跟随区间，则，即为方程的两根， 即，无解，不存在跟随区间，B正确； 对于C，， 当时，；又，，， 在上的值域为，即是的一个跟随区间，C正确； 对于D，若存在“倍跟随区间”，则其值域为； 当时，在上单调递增，， 则是方程的两根，解得：或，即，， 是的一个“倍跟随区间”，D正确. 故选：BCD. 相似练习 【相似题1】多选题（23-24高一上·四川眉山·期中）若函数的定义域为，值域为，则可以取（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】画出二次函数图象，结合对称轴和值域可判断取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】的对称轴为，当时，， 令，解得或， 要使定义域为时，值域为，故. 故选：ABC. 【相似题2】（23-24高一·江苏·假期作业）已知函数y＝的定义域为（－∞,＋∞），值域为[1，9]，则m的值为 ，n的值为 ． 【答案】 5 5 【分析】可将整理为,因为,由，则，即，则关于y的一元二次方程的两根为1和9，利用韦达定理求解；同时,时也成立. 【详解】由,得, 由，得若，则, 即, 由知，关于y的一元二次方程的两根为1和9, 故有，解得. 当时,也符合题意, ∴. 故答案为：5；5. 【题型6：由函数的值域求参数】 例题精选 【例题1】若函数的定义域和值域均为，则b的值为 ． 【答案】3 【分析】根据二次函数的性质，结合定义域和值域均为，列出相应方程组，求出，的值即可. 【详解】由函数，可得对称轴为， 故函数在上是增函数. 函数的定义域和值域均为， ，即. 解得，或.，. 故答案为：3. 【例题2】已知函数的值域是，则 ． 【答案】 【分析】配方后，结合二次函数的值域，列出方程，求出答案. 【详解】， 故，解得． 故答案为： 相似练习 【相似题1】若函数的值域为，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，再根据二次函数的性质计算可得. 【详解】解：依题意要使的值域为，必有．于是， 所以，则的值域为． 故答案为： 【相似题2】已知函数的值域为，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】问题等价于函数的值域包含，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】函数的值域为，则函数的值域包含， ∴，且，解得． 故答案为：． 【课后强化提升】 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏苏州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·北京·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·贵州黔东南·阶段练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高一上·广西玉林·阶段练习）下列函数中值域为的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高一上·上海·阶段练习）函数的值域为 8．函数的值域为 . 9．若函数的值域为，则实数a的值为 ． 四、解答题 10．（24-25高一上·广东中山·阶段练习）求下列函数的值域： (1) (2) 11．（23-24高一上·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 12．（23-24高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C A D D AB 1．C 【分析】化简集合A和集合B,再利用交补运算求解. 【详解】因为， ， 所以，所以， 故选:C． 2．C 【分析】令，，可得，利用函数单调性求值域. 【详解】令，，则， 所以函数，函数在上单调递增， 时，有最小值， 所以函数的值域为. 故选：C 3．A 【分析】根据二次函数的性质即可得到值域. 【详解】， 因为，所以的值域为，即， 故选：A. 4．D 【分析】根据反比例函数的性质即可求出函数的值域. 【详解】因为， 所以， 故函数的值域为， 故选： 5．D 【分析】根据，可得答案. 【详解】， ，， 从而可知函数的值域为. 故选：D. 6．AB 【分析】求出各选项中的函数值域，即可判断得解. 【详解】对于A，函数的定义域为，值域也为，A是； 对于B，函数定义域为R，值域为，B是； 对于C，函数的定义域为，值域为，C不是； 对于D，函数的定义域为R，值域为，D不是. 故选：AB 7． 【分析】设，求出新函数的定义域即可求出值域. 【详解】设，，所以， 由图象易知值域为. 故答案为：. 8． 【分析】根据题意可得，可求出结果. 【详解】令，则， 所以. 故答案为：. 9．2 【分析】分离常数得出，根据，即可得出该函数值域为，从而得出a的值． 【详解】由， ∵，∴， 又该函数的值域为， ∴． 故答案为：2． 10．(1) (2) 【分析】（1）由基本不等式求出即可； （2）设，结合二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）， 当且仅当时取等号， 所以函数的值域为， （2）设，则， 所以， 所以值域为. 11．(1) (2) (3) 【分析】（1）（3）根据题意结合基本不等式求值域； （2）换元令，结合二次函数求值域. 【详解】（1）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. （2）令，则， 可得， 当时，等号成立， 所以函数的值域为. （3）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 即，所以函数的值域为. 12．(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）利用观察法求值域； （2）利用配方法求值域； （3）利用换元法求值域； （4）利用分离常数法求值域； （5）利用基本不等式法求值域； 【详解】（1）因为，所以．故值域为． （2）因为，且，所以，所以，故函数的值域为． （3）令，则，且， 所以（）．故函数的值域． （4），其中，， 当时，． 又因为，所以． 故函数的值域为． （5）因为，所以，所以， 当且仅当，即时，取等号，即取得最小值8． 故函数的值域为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年暑假新高一数学常考题型归纳 【3.1.1函数的值域】 总览 题型梳理 【知识点总览】 函数的值域概念 值域的定义：对于函数 ，其定义域为 ，当 取遍 中所有值时，对应的函数值 的全体组成的集合称为函数的值域。 求函数值域的常用方法 1. 观察法（直接法） 适用范围：简单初等函数（如一次函数、正比例函数、反比例函数等）。 方法要点：通过函数的解析式直接分析 的取值范围。 例： 一次函数 ，定义域为 ，值域为 。 反比例函数 ，定义域为 ，值域为 。 2. 配方法 适用范围：二次函数 。 方法要点：将二次函数配方为顶点式 ，结合开口方向和定义域求值域。 例：求 的值域。 配方得：，由于 ，故 ，值域为 。 3. 分离常数法 适用范围：形如 的分式函数。 方法要点：将分子拆分为含分母的项，分离出常数，再分析剩余部分的取值范围。 例：求 的值域。 分离常数：，由于 ，故 ，值域为 。 4. 换元法 适用范围：含根号（如 ）或复合函数（如指数、对数函数与多项式复合）。 方法要点：通过换元将复杂函数转化为简单函数，注意新变量的取值范围。 例：求 的值域。 令 ，则 ，函数化为 。 由 ，当 时，，故值域为 。 5. 判别式法（Δ法） 适用范围：形如 （分子分母为二次式，且分母无零点）。 方法要点：将函数化为关于 的二次方程，利用判别式 求 的范围。 例：求 的值域。 整理得：。 当 时， 有解；当 时，，解得 。 故值域为 。 注意事项 求值域时需先明确函数的定义域，定义域不同可能导致值域不同。 不同方法可能适用于同一函数，需选择最简便的方法（如二次函数优先用配方法）。 分式函数用判别式法时，需检验分母是否为零的情况，避免遗漏或多解。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：常见函数的值域】 例题精选 【例题1】多选题（24-25高一上·四川攀枝花·阶段练习）下列函数中值域为的是（　　） A． B． C． D． 【例题2】多选题（24-25高一上·安徽·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）函数的值域 ． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·四川南充·期中）函数的值域为 . 【相似题2】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数的定义域为 ，其最大值是 ． 【相似题3】（24-25高一上·上海·假期作业）求值域： (1)， (2)， 【题型2：分离常数法求函数的值域（+对勾函数）】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的值域（    ） A． B． C． D． 【例题2】函数的值域是 . 【例题3】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）函数的值域为 相似练习 【相似题1】函数的值域为 ． 【相似题2】（24-25高一上·河南郑州·期中）设函数，求函数的定义域和值域． 【相似题3】求函数的最小值. 【题型3：换元法求函数的值域】 例题精选 【例题1】函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高一上·重庆·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高一上·江西南昌·期中）函数的值域为 相似练习 【相似题1】已知函数的值域为，则实数的值为 ． 【相似题2】函数的值域为 ． 【相似题3】（2022高一上·全国·专题练习）求函数的值域． 【题型4：判别式法求函数的值域】 例题精选 【例题1】函数的最大值为 ． 【例题2】（24-25高一上·四川成都·期中）函数的值域为 ． 相似练习 【相似题1】求函数的最大值、最小值. 【相似题2】（2023高一·全国·专题练习）求函数的值域． 【题型5：函数的定义域和值域综合题型】 例题精选 【例题1】（22-23高一上·安徽芜湖·期中）定义：称为区间的长度，若函数的定义域与值域区间长度相等，则的值为（    ） A． B． C．4或 D．与的取值有关 【例题2】多选题（22-23高一上·山西太原·阶段练习）一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（    ） A．若为的跟随区间，则 B．函数不存在跟随区间 C．是函数的一个跟随区间 D．二次函数存在“倍跟随区间” 相似练习 【相似题1】多选题（23-24高一上·四川眉山·期中）若函数的定义域为，值域为，则可以取（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（23-24高一·江苏·假期作业）已知函数y＝的定义域为（－∞,＋∞），值域为[1，9]，则m的值为 ，n的值为 ． 【题型6：由函数的值域求参数】 例题精选 【例题1】若函数的定义域和值域均为，则b的值为 ． 【例题2】已知函数的值域是，则 ． 相似练习 【相似题1】若函数的值域为，则函数的值域为 ． 【相似题2】已知函数的值域为，则k的取值范围是 ． 【课后强化提升】 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏苏州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·北京·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·贵州黔东南·阶段练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高一上·广西玉林·阶段练习）下列函数中值域为的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高一上·上海·阶段练习）函数的值域为 8．函数的值域为 . 9．若函数的值域为，则实数a的值为 ． 四、解答题 10．（24-25高一上·广东中山·阶段练习）求下列函数的值域： (1) (2) 11．（23-24高一上·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 12．（23-24高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$