规律探究专题强化练习 2024-2025学年人教版八年级数学上册

规律探究专题强化 专题一 规律探究(1) ——数式规律 01.对于正数x, 规定 例如： 则 的值为( ) A. 2021 B. 2020 C. 2019.5 D. 2020.5 02. 观察下面的式子: 可以发现它们的计算规律是 (n为正整数) .若一容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第一次倒出 ，水，第二次倒出的水量是： 水的 ，第三次倒出的水量是 水的 ，第四次倒出的水量是 ，水 ₅，…，第n次倒出的水量 水的 …按这种倒水方式，前n次倒出水的总量为 L. 03.对于二次三项式 (m, n为常数) , 下列结论: ①若 且 则a=6; ②若 ，则无论x为何值时， 都是正数； ③若 则3m-n=9; ④若 且 其中a, b为整数，则m可能取值有10个. 其中正确的有 .(请填写序号) 专题二 规律探究 (2)——数形规律 01.如图, 在第 1 个. 中， ，在边 上任取一点D，延长CA₁到A₂,使. 得到第2个 在边 上任取一点E，延长. 到 使 得到第3 个△A₂A₃E；……按此做法继续下去，则第2021个三角形中以A₂₀₂₁为顶点的内角度数是( ) 02等腰△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A为原点， 把等腰 沿x轴正半轴作无滑动顺时针翻转，第一次翻转到位置①，第二次翻转到位置②，…，依此规律，第23次翻转后点C的横坐标是 ( ) A. 123 B. 125 C. 126 D. 131 03如图, 已知. 点 …在射线ON上，点 …在射线OM上, …均为等边三角形，若( 则 的边长为 ( ) A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 第五模块 最值问题 专题一 最值问题 ( 1) ——将军饮马问题 01 如图, P为∠AOB 内一定点, M, N分别是射线OA, OB上的点, 当△PMN的周长最小时, ∠MPN=100°, 则∠AOB= . 02.如图, 在四边形 ABCD中, ∠A=∠C=90°, ∠ABC=α, 在AB, BC上分别找一点E,F, 使△DEF的周长最小, 此时∠EDF= ( ) A. α B. 90°-α C. α2 D. 180°-2α 03.如图, 正方形ABCD的面积为6, △CDE 是等边三角形, 点E在正方形 ABCD 内,在对角线BD上有一动点K，则KA+KE的最小值为 . 04.如图, 锐角∠AOB=x, M, N分别是边OA, OB上的定点, P, Q分别是边OB, OA上的动点, 记∠OPM=α, ∠QNO=β, 当MP+PQ+QN最小时, 则关于α, β, x之间的数量关系正确的是 ( ) A. α-β=2x B. 2β+α=90°+2x C. β+α=90°+x D. β+2α=180°-2x 专题二 最值问题 (1) ——将军饮马拓展 核心考点一 将军饮马与垂线段最短结合 01.如图, 在△ABC中, AC=8, AB=10, △ABC的面积为30, AD平分∠BAC, F, E分别为AC, AD上两动点, 连接CE, EF, 则CE+EF的最小值为 . 02.如图, , 在OA上找一点M, 在OB上找一点N, 则 的最小值是 ( ) A. 20 B. 16 C. 12 D. 10 核心考点二 动点轨迹为对称轴 03. 如图, 在△ABC中, AD⊥BC于点D, 且AD=BC, BC上方有一动点P满足 则点P 到B，C两点距离之和最小时， 的度数为 ( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 核心考点三 多次轴对称 04. 在 中，若 , 点E, F分别为AC和AB上的动点, BE与CF相交于 G点,当 的值最小时，则 专题三 最值问题(2)——垂线段最短(1)——斜大于垂(新热点) 01.如图, 在△ABC中, AB=3, BC=4, AC=5, AB⊥BC, 点P, Q分别是边BC, AC上的动点，则AP+PQ的最小值等于 . 02如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, ∠B=30°, AC=2, D 点为BC上一动点, EF垂直平分AD分别交AC于点E，交AB于点F，则BF的最大值为 . 03如图, 在锐角△ABC中, 的面积是( , D, E, F分别是三边上的动点，则△DEF周长的最小值是 . 04. 如图, 在 中， 于点D，点E是AC上一点，且 若点F是AE的中点，则图中两个阴影部分面积差的最大值是 ( ) A. 3 B. 4.5 C. 6 D. 9 专题四 最值问题(3)——垂线段最短(2)——折线化直与胡不归 方法：利用特殊角构造加权线段长(含系数的线段长) ，然后化折为直 01.如图, 在△ABC中, ∠CAB=30°, ∠ACB=90°, AC=3, D为AB的中点, E为线段AC上任意一点(不与端点重合)，当E点在线段AC上运动时，则 的最小值为 . 02.如图, 在△ABC中, ∠B=45°, AB=4, 点P为直线BC上一点, 当BP+2AP有最小值时, ∠BAP的度数为 . 03如图, 在长方形ABCD 中, 对角线BD=6, ∠ABD=60°. 将长方形 ABCD 沿对角线BD折叠得△BED, 点M是线段BD上一点, 则 的最小值为 . 04. 如图, 在△ABC中, ∠A=90°, ∠B=60°, AB=2, 若D是BC边上的动点,则 的最小值为 . 专题五 最值问题 (4)——垂线段最短(3) ——利用全等确定点的直线运动轨迹(新热点) 核心考点一 直接利用手拉手全等导角确定轨迹 01.如图, AD是等边三角形ABC的BC边上的高, 点E是AD上的一个动点(点E不与点A重合) ，连接CE，将线段CE绕点E顺时针旋转( 得到EF, 连接DF, CF, 若 则线段DF长度的最小值是 ( ) A. 3 B. C. 1.5 D. 1 核心考点二 构造手拉手全等导角确定轨迹 02. 如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, ∠ABC=30°, AB=6, CB= ₃，M为直线BC上的一个动点将线段AM绕点A顺时针旋转60°得到线段AN，则CN的最小值是 ( ) A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1.5 03. 如图, 在平面直角坐标系中, C(0, 4) , A(1, 0), K为x轴上一动点, 连接AC, 将AC绕A点顺时针旋转90°得到AB，当点K在x轴上运动时，BK的最小值为 . 核心考点三 构造弦图全等得特殊角确定轨迹 04. 如图, 在△ABC中, , D为边BC上一动点, 连接AD. 以AD为底边，在AD的左侧作等腰直角三角形 , 点F是边AC上的定点, 连接FE, 当 取最小值时, 若∠AFE=α, 则∠AEF为( ) (用含α的式子表示) A. α C. 90°+α 专题六 最值问题(5)——构造手拉手转化为动态三边关系 问题背景: 如图1, 点C为线段AB外一动点, 且AB=AC=2, 若 BC=CD, ∠BCD=60°, 连接AD, 求AD 的最大值. 解决方法:以AC为边作等边△ACE, 连接BE, 推出BE=AD, 当点E在BA的延长线上时, 线段AD取得最大值4. 01. 如图, 四边形ABCD中, AB=2, BC=4, △ACD为等边三角形, 则BD的最大值为 . 02.如图，点C为线段AB的中点，点E为直线AB上方的一点，且满足( 连接AE, 在直线AB上方作△ADE, 使 , 连接 CD, 当 CD 最大时,∠DEC= . 03.如图，点C为线段AB的中点，点E为直线AB上方的一点，且满足( 连接AE，以AE为腰，A为顶角顶点作等腰 连接CD, 当CD最大时, 专题七 最值问题(6)——线段的拼接与费马点问题 核心考点一 构造全等拼接两个线段，转化为两点之间，线段最短 01如图, AD 为等边 的高, 点E, F分别为线段AD, AC上的动点, 且 当BF+CE取最小值时, ∠AFB的度数为 ( ) A. 112.5° B. 105° C. 90° D. 75° 02.如图, 等腰Rt△ABC中, , D为BC中点, P为AB上一个动点，当P点运动时，PC+PD的最小值为 . 核心考点二 对称型全等转化为：两点之间，线段最短 03. 小华的作业中有一道数学题：“如图，AC，BD在AB的同侧， , 点E为AB的中点. 若∠CED=120°, 求CD的最大值. ”哥哥看见了, 提示他将 和 分别沿CE，DE 翻折得到△A'CE 和△B'DE, 连接. 最后小华求解正确，得到 CD的最大值是 · 核心考点三 通过构造手拉手全等转化为：两点之间，线段最短(费马点问题) 04. 如图, △ABC中, , 点P是 内一点. 当. 最小时， 核心考点四 通过面积法将多线段的和转化为一个定线段长 05. 如图, 长方形ABCD中, 点 P为BC上的任意一点 (可与B, C重合) , 分别过B, C, D作射线AP的垂线, 垂足分别为B', C', D', 则. 的最小值为 . 核心考点五 通过平移将多线段拼接 (建桥选址问题) 06. 如图, 在 和 中， DF在直线BC上, 连接AD, AE, 当. 最小时， 的值为 . 核心考点六 将军饮马问题延伸 07. 如图, 在正方形ABCD中, ，P，Q分别是线段BC，线段CD上的动点，当四边形AEPQ的周长最小时，四边形AEPQ的面积为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$