精品解析：2024年广东省深圳市 中考适应性数学试卷

2023-2024学年深圳市中考适应性数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图是路边电线杆在一天中不同时刻的影长图，按其天中发生的先后顺序排列正确的是（ ） A. ①③④② B. ①②③④ C. ④③②① D. ④①③② 2. 某厂现有1300t煤，这些煤能烧的时间y（天）与平均每天烧的吨数x（t）之间的函数关系式是（　） A. B. C. D. 3. 如图是一个空心圆柱，它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 5. 如图，正方形的边长为1，点E，F分别是对角线上的两点，，，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于（　） A. B. C. D. 6. 小小同学利用6张形状、大小，材质完全相同的卡片进行数字卡片游戏．卡片上分别标有等6个数字．小小每次随机抽取两张卡片，两张卡片上所标数字之和为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（    ） A. 两地在地图上的距离为7cm，地图上的比例尺为，则两地实际距离为35m B. 若cm，点是线段的黄金分割点，且，则cm C. 任意两个菱形都相似 D. 有一个角相等的两个等腰三角形相似 8. 如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度(      ) A. 增大1.5米        B. 减小1.5米     C. 增大3.5米  D. 减小3.5米 9. 已知关于x的一元二次方程有两个大于2的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形的边长，，E为的中点，F在线段上，且，分别与、交于点M、N，则＝（　　） A. B. C. D. 二．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 11. 如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，，DE=6，则EF=_____． 12. 若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为_____． 13. 如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，过点作轴于，连接，与相交于点，若，则的值为__________． 14. 如图，P为正方形ABCD的边BC的中点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG＝GE，若正方形的边长为2，则CE＝____． 15. 如图，在中，，把沿斜边折叠，得到，过点D作交的延长线于点E，过点C作，分别交，于点M，N，若，，则______． 四、解答题：本题共7小题，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解下列方程 （1）； （2）． 17. 在一个不透明的口袋里装有四张卡片，四张卡片上分别标有数字1、2、3、4，它们除了所标数字不同之外没有其它区别． （1）若随机地从口袋里抽取一张卡片，正面所标数字不小于3的概率是为 ； （2）若一次性从口袋里随机地抽取其中的两张卡片．请你用画树状图或列表的方法求出两张卡片的数字之积为奇数的概率． 18. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）如图1，以点为位似中心画，使得与位似，且相似比为，，为格点． （2）如图2，在边上找一点，使得． 19. 2023年11月中国新能源汽车市场火爆。其中问界汽车以一万五千多台的销量与零跑汽车并列新势力第二，仅次于理想汽车，超越了小鹏和蔚来，引起了社会各界的广大关注，在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升． （1）某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%．求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率； （2）某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0．5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 20. 如图，在中，两条对角线交于点O，且平分． （1）求证：四边形是菱形： （2）作于H，交于E．若，，求菱形的边长及面积． 21. 【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即、分别是图形和图形上任意一点，当的长最小时，称这个最小值为图形与图形之间的距离． 例如，如图1，，线段的长度称为点与直线之间的距离．当时，线段的长度也是与之间的距离． （1）如图2，在等腰直角三角形中，，，点为边上一点，过点作交于点．若，，则与之间的距离是__________； （2）如图3，已知直线：与双曲线：交于与两点，点与点之间的距离是__________，点与双曲线之间的距离是__________； 【拓展】 （3）按规定，住宅小区的外延到高架路的距离不超过时，需要在高架路旁修建与高架路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南一西北”走向的笔直高架路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于．现以高架路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的平面直角坐标系，此时高架路所在直线的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高架路旁修建隔音屏障的长度是多少？ 22. 【模型发现】如图1，在正方形中，E为边上一点（不与点B、C重合），过点D作垂直于的一条直线，垂足为G，交于点F．小明发现可以通过证明：得（不需证明） 【模型探究】（1）如图2，在正方形中，P为边上一点（不与点B、C重合），M为线段上一点（不与C、D重合），过点M作，垂足为G，交于点N，请直接写出与及线段、、之间的数量关系． （2）如图3，在（1）的条件下，若垂足G恰好为的中点，连接，交于点H，连接并延长交边于点I，再连接，请探究线段、的数量关系； 【拓展应用】（3）如图4，若正方形的边长为8，点M、N分别为边、上的点，过A作，已知，将正方形沿着翻折，的对应边恰好经过点A，连接交于点Q.过点Q作，垂足为R，求线段的长．（直接写出结论即可） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年深圳市中考适应性数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图是路边电线杆在一天中不同时刻的影长图，按其天中发生的先后顺序排列正确的是（ ） A. ①③④② B. ①②③④ C. ④③②① D. ④①③② 【答案】D 【解析】 【分析】从早晨到傍晚影子的指向是：西−西北−北−东北−东，影长由长变短，再变长． 【详解】解：根据题意，太阳是从东方升起，故影子指向的方向为西方．然后依次为西北−北−东北−东， 即④①③② 故选：D． 【点睛】本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，从早晨到傍晚影子的指向是：西−西北−北−东北−东，影长由长变短，再变长． 2. 某厂现有1300t煤，这些煤能烧的时间y（天）与平均每天烧的吨数x（t）之间的函数关系式是（　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】这些煤能用的天数=煤的总吨数÷平均每天用煤的吨数，把相关数值代入即可． 【详解】解：∵煤的总吨数为1300t，平均每天用煤的吨数为x t， ∴这些煤能用的天数为， 故选：A． 【点睛】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，掌握基本数量关系是解决本题的关键． 3. 如图是一个空心圆柱，它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到从上面面看所得到的图形即可． 【详解】解：从上面观察物体可以发现：它的俯视图应为矩形，又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在俯视图中应为虚线． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线． 4. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可． 【详解】解：一元二次方程， ∵， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根；是解本题的关键． 5. 如图，正方形的边长为1，点E，F分别是对角线上的两点，，，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于（　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，根据轴对称图形的性质，解决问题即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，正方形的边长为1， ∴直线是正方形的对称轴， ∵，垂足分别为G，I，H，J． ∴根据对称性可知：四边形的面积与四边形的面积相等， ∴， 故选A． 6. 小小同学利用6张形状、大小，材质完全相同的卡片进行数字卡片游戏．卡片上分别标有等6个数字．小小每次随机抽取两张卡片，两张卡片上所标数字之和为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出树状图，然后根据概率的公式进行计算即可． 【详解】画树状图如图： ∵共有30个等可能的结果，两张卡片上所标数字之和为偶数的结果有12个， 两张卡片上所标数字之和为偶数的概率为：，． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了画树状图或列表求概率，准确画出树状图或，列出表格是解题的关键． 7. 下列说法正确的是（    ） A. 两地在地图上的距离为7cm，地图上的比例尺为，则两地实际距离为35m B. 若cm，点是线段的黄金分割点，且，则cm C. 任意两个菱形都相似 D. 有一个角相等的两个等腰三角形相似 【答案】B 【解析】 【分析】根据比例的性质和图形相似的判定求解即可． 【详解】解：A. m，故A说法错误，不符合题意； B. 点是线段的黄金分割点, 且，则， 设，则，解得或（舍去），故B说法正确，符合题意； C.当两个菱形的角度不等时，不相似，故C说法错误，不符合题意； D.若两个等腰三角形一个是顶角，一个是底角，则不是相似的，故D说法错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了图形的相似，比例的性质，理解图形相似的性质以及比例的性质是解题的关键． 8. 如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度(      ) A. 增大1.5米        B. 减小1.5米     C. 增大3.5米  D. 减小3.5米 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：设小明在A处时影长为x，B处时影长为y． ∵AC∥OP，BD∥OP，∴△ACM∽△OPM，△BDN∽△OPN，∴，，则，∴x=5；，∴y=1.5，∴x﹣y=3.5，故变短了3.5米．故选D． 考点：中心投影． 9. 已知关于x的一元二次方程有两个大于2的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程有两个实数根，得到，根据根与系数的关系，得到，进行求解即可． 【详解】解：设方程的两个根为，则， ∴， ∴解得， 又方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】本题考查根与判别式以及根与系数的关系．熟练掌握相关知识点，列出不等式，是解题的关键． 10. 如图，矩形的边长，，E为的中点，F在线段上，且，分别与、交于点M、N，则＝（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，比例的性质，先作辅助线，然后根据勾股定理求出的值，然后根据三角形相似可求得线段之间的比例，进而求得结果，准确作出辅助线，求出与的长是解题的关键． 【详解】解：过F作于H，交于O，如图所示： ， ∵，E为的中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 11. 如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，，DE=6，则EF=_____． 【答案】9 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例可得，带值求解即可． 【详解】解：∵AD∥BE∥CF， ∴，即， ∴EF=9． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，找准对应线段的比是解题的关键． 12. 若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为_____． 【答案】 【解析】 【分析】把所求一元二次方程变形，再与原一元二次方程比较即可求出答案． 【详解】解：∵有一根为， 将一元二次方程变形得， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的变形，掌握一元二次方程未知数的变化规律是解题的关键． 13. 如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，过点作轴于，连接，与相交于点，若，则的值为__________． 【答案】18 【解析】 【分析】过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F，得出四边形AFOD是矩形，四边形OEBF是矩形，得出S矩形AFOD=6，S矩形OEBF=k，根据平行线分线段成比例定理证得AB=2OD，即OE=3OD，即可求得矩形OEBF的面积，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值． 【详解】解：过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F， ∵AB∥x轴， ∴AF⊥y轴， ∴四边形AFOD是矩形，四边形OEBF是矩形， ∴AF=OD，BF=OE， ∴AB=DE， ∵点A在双曲线y=上， ∴S矩形AFOD=6， 同理S矩形OEBF=k， ∵AB∥OD， ∴OD:AB=CD:AC=1:2， ∴AB=2OD， ∴DE=2OD， ∴OE=3OD， ∴S矩形OEBF=3S矩形AFOD=18， ∴k=18． 故答案是：18． 【点睛】本题主要考查反比例函数．解题的关键在于要利用反比例函数的比例系数k的几何意义表示矩形的面积． 14. 如图，P为正方形ABCD的边BC的中点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG＝GE，若正方形的边长为2，则CE＝____． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作CH⊥AE于H，先证明，得到，继而证得，得到是等腰直角三角形，再由勾股定理解得，最后由三角形面积公式解题即可． 【详解】解：如图，过点C作CH⊥AE于H， ， P为正方形ABCD的边BC的中点， 在与中， 在正方形ABCD中，AB=BC， ，由勾股定理得 在中， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 15. 如图，在中，，把沿斜边折叠，得到，过点D作交的延长线于点E，过点C作，分别交，于点M，N，若，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了折叠问题，全等三角形和相似三角形的性质和判定方法，连接，根据题意可得为等腰三角形，进而证明全等，然后根据相似即可求得的值．解题的关键是能够根据题意构造出相应的辅助线． 【详解】解：连接，如图， 由对称的性质可知，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴在中，． 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 四、解答题：本题共7小题，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据配方法得到，解之即可； （2）根据因式分解法得到，解之即可． 【小问1详解】 解： 解得，． 【小问2详解】 解： 或 解得，． 17. 在一个不透明的口袋里装有四张卡片，四张卡片上分别标有数字1、2、3、4，它们除了所标数字不同之外没有其它区别． （1）若随机地从口袋里抽取一张卡片，正面所标数字不小于3的概率是为 ； （2）若一次性从口袋里随机地抽取其中的两张卡片．请你用画树状图或列表的方法求出两张卡片的数字之积为奇数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）公式计算简单概率． （2）画树状图法计算概率． 本题考查了公式计算简单概率，画树状图法计算概率，熟练掌握解答方法是解题的关键． 【小问1详解】 ∵不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四张卡片，卡片的数字大于等于3的为3与4， ∴从中任取一卡片，卡片的数字不小于3的概率为： 故答案为：． 【小问2详解】 列表如下： ∵由上表可知，所有等可能结果共有12种，两张卡片上的数字之积为奇数的结果共2种， ∴P（数字之积为奇数）． 18. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）如图1，以点为位似中心画，使得与位似，且相似比为，，为格点． （2）如图2，在边上找一点，使得． 【答案】（1） 即为所求； （2） 点F即为所求作． 【解析】 【分析】（1）在延长线上取格点D，在延长线上取格点E，使，，连接，，，根据位似图形的判定和性质可知即为所求作； （2）在点A的下方取格点G，使，，连接交于点F，根据相似三角形的判定和性质可知F即为所求． 本题主要考查了网格作图——位似变换，相似变换，熟练掌握位似三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，是解题的关键． 【小问1详解】 如图所示，在延长线上取格点D，在延长线上取格点E，使，，连接，，， 则， ∵， ∴， 故即为所求； 【小问2详解】 如图所示，在点A的下方取格点G，使，，连接交于点F， 则， ∵， ∴， 故点F即为所求作． 19. 2023年11月中国新能源汽车市场火爆。其中问界汽车以一万五千多台的销量与零跑汽车并列新势力第二，仅次于理想汽车，超越了小鹏和蔚来，引起了社会各界的广大关注，在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升． （1）某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%．求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率； （2）某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0．5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】（1）这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为． （2）下调后每辆汽车的售价为21万元． 【解析】 【分析】（1）本题主要考查了一元二次方程的应用，设汽车2020的产量为a台，这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，根据增长率列出方程求解即可，根题意列出方程是解题的关键； （2）本题主要考查了一元二次方程的应用，设下调后每辆汽车的售价y万元，每辆汽车的销售利润为万元时，利润洽为96万元，再根据题意列二元一次方程求解即可，根题意列出方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设汽车2020的产量为a台，这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x， 由题意可得：，解得：或（不合题意，舍去）． 答：这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为． 【小问2详解】 解：设下调后每辆汽车的售价y万元，每辆汽车的销售利润为万元时， , 整理可得：，解得：， 因为要尽量让利顾客，所以． 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 20. 如图，在中，两条对角线交于点O，且平分． （1）求证：四边形是菱形： （2）作于H，交于E．若，，求菱形的边长及面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）边长为，面积为． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，由平分，得，则，所以，即可证明四边形是菱形； （2）由菱形的性质得，，，则，，所以，则，即可证明，得，求得，所以，，进而可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵菱形的两条对角线交于点O， ∴，，， ∴，， ∵于H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴菱形的面积为：， ∴菱形的边长为，面积为． 【点睛】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的面积公式等知识，证明，是解题的关键． 21. 【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即、分别是图形和图形上任意一点，当的长最小时，称这个最小值为图形与图形之间的距离． 例如，如图1，，线段的长度称为点与直线之间的距离．当时，线段的长度也是与之间的距离． （1）如图2，在等腰直角三角形中，，，点为边上一点，过点作交于点．若，，则与之间的距离是__________； （2）如图3，已知直线：与双曲线：交于与两点，点与点之间的距离是__________，点与双曲线之间的距离是__________； 【拓展】 （3）按规定，住宅小区的外延到高架路的距离不超过时，需要在高架路旁修建与高架路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南一西北”走向的笔直高架路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于．现以高架路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的平面直角坐标系，此时高架路所在直线的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高架路旁修建隔音屏障的长度是多少？ 【答案】（1） （2）， （3）40米 【解析】 【分析】（1）过点作于点，得出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出结果即可； （2）先根据一次函数解析式求出点，然后再求出反比例函数解析式，再求出点的坐标，根据两点点距离公式求出的值即可；作，且与双曲线只有一个交点，设直线的解析式为，求出一次函数解析式，再求出交点坐标，最后求出的值即可； （3）作直线，设的解析式为，与双曲线交于点、，过点作于点，过点作轴于点，过点、分别作直线的垂线、，垂足为、，先求出直线的解析式，然后求出点、的坐标，根据两点之间距离公式求出的长，进而即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：把代入中，得：， ， 把代入，得：， ， 双曲线的解析式为， 联立，得：， 即， 解得：，， ， ； 如图，作，且与双曲线只有一个交点，设直线的解析式为， 则， 整理得：， ， 或（不符合题意，舍去）， 直线的解析式为， 由， 解得：， ， ； 故答案为：，； 【小问3详解】 解：如图，作直线，设的解析式为，与双曲线交于点、，过点作于点，过点作轴于点，过点、分别作直线的垂线、，垂足为、， 则， 直线平分第二、四象限角， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 代入，得， 解得：， ， 联立得：， 解得：或， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是40米． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，两点之间距离公式，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握两点之间距离公式，准确计算． 22. 【模型发现】如图1，在正方形中，E为边上一点（不与点B、C重合），过点D作垂直于的一条直线，垂足为G，交于点F．小明发现可以通过证明：得（不需证明） 【模型探究】（1）如图2，在正方形中，P为边上一点（不与点B、C重合），M为线段上一点（不与C、D重合），过点M作，垂足为G，交于点N，请直接写出与及线段、、之间的数量关系． （2）如图3，在（1）的条件下，若垂足G恰好为的中点，连接，交于点H，连接并延长交边于点I，再连接，请探究线段、的数量关系； 【拓展应用】（3）如图4，若正方形的边长为8，点M、N分别为边、上的点，过A作，已知，将正方形沿着翻折，的对应边恰好经过点A，连接交于点Q.过点Q作，垂足为R，求线段的长．（直接写出结论即可） 【答案】（1），， 理由：四边形是正方形，， ，，， 过点作交于点，如图1所示：   四边形为平行四边形， ，，, ． ， ， 在和中， ， ， ，, ， ， ，， 故，； （2）解：，理由如下： 过点作于点， 在正方形中，， ． 恰好为的中点，， ， ， ， ， 即， ； （3） 【解析】 【分析】（1）过点作交于点，证明，即可得出结论； （2）过点作于点，先根据直角三角形的性质，得 再证明即可得到结论； （3）延长交于点，延长交于点，连接，设，则，先证明，得，再证明 ，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：延长交于点，延长交于点，连接， 由折叠性质知：，，垂直平分， ，， 在中， 设，则， 在中，，即 解得：，即，，， 由（1）中结论，， ， ， 同理可证：， ， ， ， ， ， ， ， 且， ， ， ，， 故线段的长为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、折叠的性质、垂直平分线的性质、勾股定理、平行线的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $