精品解析：安徽省合肥市部分学校2023-2024学年九年级下学期期中模拟数学试题

数学试题卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出，，，四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各数中，与实数2024互为相反数的是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行求解即可． 【详解】解：根据相反数的定义可知，四个数中只有 与实数2024互为相反数， 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂乘除法计算和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 3. 如图是一个长方体和一个四棱台的组合体，那么它的俯视图可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，正确认识俯视图是解题的关键．俯视图是从物体的上面看得到的视图，画三视图时注意看得见的轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线． 【详解】从上面看俯视图是一个大长方形里面有一个小长方形，顶点之间对应连接， 再利用看得见的轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线， 可得选项A符合题意， 故选：A． 4. 中国汽车工业协会发布数据显示，年 月份，我国汽车产销量分别为万辆和万辆，同比分别增长和，其中数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了大数的科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中， 为整数．确定大数的 的方法为：先确定大数的位数 ，则 ． 【详解】解：万， ， 故选：C． 5. 若实数，满足，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，关键是运用整体代入法解决．将变形为，再利用整体代入法即可求值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 6. 已知某电路的电流与电阻的函数关系如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 当电流为时，该电路电阻为 B. 当电流为时，该电路电压为 C. 当电阻为时，该电路电流为 D. 该电路的电流随着电阻的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，由欧姆定律可知，则可求出，逐一判断即可得到答案． 【详解】解：由欧姆定律可知， 把代入中得：， ∴， ∴， ∴该电路的电流随着电阻的增大而减小，故D说法正确，不符合题意； 当时，，解得，故A说法正确，不符合题意； 电路中的电压恒为，故B说法错误，符合题意； 当时，，故C说法正确，不符合题意； 故选：B． 7. 如图，在中，，，D，E分别为边 上的点，沿将进行翻折．若正好为边的中点时，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，等腰直角三角形的性质与判定，先证明，得到，设，则，则，设，由折叠的性质可得，在中，根据勾股定理，得，解得，则，，据此可得答案． 【详解】解：如图，过点作于点G， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵点为的中点， ∴， ∴， 设， ∴由折叠的性质可得， 在中，根据勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， ∴ ∴． 故选：D． 8. 随着城市化进程的加速和人们对环保出行的需求增加，共享电瓶的发展趋势日益明显．如图，某共享电瓶柜中装有4块“ ”、6块“”以及6块“ ”三种型号的电瓶，匆忙的小王从中随机取出一块，恰好为“ ”的电瓶的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用“ ”的电瓶数除以电瓶总数即可得到答案． 【详解】解：∵一共有块电瓶，其中“ ”的电瓶有6块，且每块电瓶被去除的概率相同， ∴小王从中随机取出一块，恰好为“ ”的电瓶的概率为， 故选：C． 9. 若一次函数的图象在 内的一段都在 轴的上方，则函数一定不经过的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与其系数之间的关系，一次函数图象的增减性，求一次函数值，先求出当 时，，再根据一次函数的增减性可得，则，据此可得答案． 【详解】解：当 时，， ∵一次函数的图象在 内的一段都在 轴的上方，且y随x增大而增大， ∴， ∴， ∴函数一定经过第一、三、四，不经过第二象限， 故选：B． 10. 如图，在正方形中， ，M为边上一动点，连接 ，将线段绕点M顺时针旋转得到线段 ，连接．当的长最小时，的长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，将 绕点M顺时针旋转 得到 ，连接 并延长交于G，连接，由正方形的性质可得 ，，由旋转的性质可得，证明得到，；证明，得到 ；如图所示，延长 到T，使得，连接 ，则四边形是平行四边形，可得，，则点E在射线 上运动，故当时， 有最小值；如图所示，过点G作于K，求出，则，根据，得到，则，，解直角三角形得到，；再证明，得到，则，解直角三角形得到，，则；如图所示，过点M作于H，则，解直角三角形求出即可得到答案． 【详解】解：如图所示，将 绕点M顺时针旋转 得到 ，连接 并延长交于G，连接， 由正方形的性质可得 ，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 如图所示，延长 到T，使得，连接 ，则四边形是平行四边形， ∴，， ∴点E在射线 上运动， ∴当时， 有最小值； 如图所示，过点G作于K， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ； ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴； 如图所示，过点M作于H， ∴， 在中， ， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，旋转的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质等等，正确作出辅助线确定点E的运动轨迹是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，掌握步骤是解题的关键．根据移项，合并同类项，系数化为1，求出解集即可，注意：不等式两边同除以一个负数时，不等号的方向改变． 【详解】解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得 ， 故答案为： ． 12. 如图，，点A在直线b上，点B在直线a上，已知 ，．若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，解题关键是熟练掌握相关知识．在中，根据“等边对等角”求出的度数，再根据平行线的性质，有，从而求出的度数． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，A，B，C，D，E分别为上的点，连接和．若的度数为，则的度数为______． 【答案】##160度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角的度数与所对弧度数之间的关系，熟练掌握圆周角的度数等于所对弧度数的一半是解题的关键． 根据整个圆弧的度数为360度，计算出的度数与的度数之和，根据圆周角的度数等于所对弧度数的一半，计算即可． 【详解】解：∵的度数为40°， ∴的度数与的度数之和为， ∵的度数为的度数与的度数之和的一半， ∴， 故答案为： 14. 已知抛物线：的顶点坐标为，与 轴正半轴交于点，与轴交于点． （1）点的坐标为______； （2）将抛物线沿 轴向右平移个单位长度，平移后的抛物线与抛物线相交于点，且点在第四象限内，当的面积最大时， 的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查求二次函数解析式及二次函数的最值，了解二次函数顶点式和用含 的式子表示的面积是解题关键． （1）把二次函数解析式表示为顶点式，即可得顶点坐标求解； （2）先表示出的解析式，联立得出点坐标，再表示出的面积，最后利用二次函数最值求解． 【详解】解：（1）∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，得， 解得，， ∴， 故答案为； （2）抛物线： ， ∵将抛物线沿 轴向右平移个单位长度得抛物线， ∴抛物线的解析式为：， ∴， 解得， 即点坐标为， ∵点在第四象限内， ∴，再结合 ， 得， ∵，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴如图，过点作 轴，交直线于点 ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，算术平方根和零指数幂，先计算特殊角三角函数值，算术平方根和零指数幂，再计算加减法即可． 【详解】解：原式 ． 16. 某网购平台决定将进价共500元的甲、乙两款老年手机同时上架销售，其中将甲款手机按的利润定价，乙款手机按的利润定价．在实际销售过程中，平台将两款手机均按九折出售，这样仍可获利157元，求甲、乙两款手机的进价各分别为多少元？ 【答案】甲、乙两款手机的进价分别为300元和200元． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设甲、乙两款手机的进价分别为x元，y元，根据进价共为500元且共获利157元列出方程组求解即可． 【详解】解：设甲、乙两款手机的进价分别为x元，y元． 根据题意，得， 解得． 答：甲、乙两款手机的进价分别为300元和200元． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在如图所示的方格纸中，的三个顶点均在格点（网格线的交点）上，O为格点． （1）把以点O为中心顺时针旋转，请在图中画出旋转后的； （2）在网格内画出以点O为位似中心的位似图形，使得与的位似比为． 【答案】（1） 如图所示． （2） 如图所示． 【解析】 【分析】本题主要考查了画旋转图形和画位似图形： （1）根据所给旋转方式和网格的特点找到A、B、C对应点的位置，再顺次连接即可； （2）先根据位似图形的延长分别把延长2倍得到A、B、C对应点的位置，再顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 观察下列算式，并解答下列问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… （1）按以上规律写出第4个等式：______； （2）用含有 的代数式表示第 个等式，并证明其正确性． 【答案】（1） （2），证明： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ……， 以此类推，第n个式子为． 证明：左边 右边， ∴等式成立． 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，分式的混合计算： （1）根据题意写出对应的式子即可； （2）先根据题意找到规律第n个式子为，再根据分式的混合计算法则证明等式左边等于多少右边即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 故答案为：； 【小问2详解】 略 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图是某物理兴趣小组利用矩形模块设计的一个感光元件，平行光线从区域射入，线段为感光区域，已知，，，，则感光区域的长度之和为多少？（结果精确到 ，参考数据：， ， ， ） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的实际应用，构造直角三角形解三角形是解题的关键．延长，相交于点，在利用矩形性质和平行线的性质确定边和角，利用勾股定理和三角函数求解即可． 【详解】解：如图，延长，相交于点， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ，， 在 中，， 在中，， 在中，， ∴，， ∴． 答：感光区域的长度之和约为． 20. 如图，是的直径，为外一点，，都为的切线，连接，． （1）求证： ； （2）若 ，，求劣弧的长度．（结果保留） 【答案】（1） 证明：如图，连接 ， ∵，都为的切线， ∴ ， ，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆的相关性质、圆的切线的性质以及求扇形的弧长，熟练掌握与圆有关的性质与公式是解题的关键． （1）连接 ，利用切线性质证明，，再利用圆中角度的转换即可证明； （2）连接，利用，证明，得 为等边三角形，求出即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接， ∵为的直径， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴ 为等边三角形， ∴， ∴劣弧的长为：． 六、（本题满分12分） 21. 为了提高学生的消防安全意识，某校对七、八年级的学生进行了消防安全知识测试，并分别从各年级随机抽取名学生的成绩进行整理、分析，得到如下部分信息： 七、八年级测试成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 七年级测试成绩统计图 七年级学生的成绩在范围内具体为，，，， ，，，，. 根据以上信息，回答下列问题： （1）______； （2）学校将成绩高于所在年级抽取成绩的平均分的学生评为优秀，请判断这次抽取的学生中，哪个年级的优秀学生多，并说明理由： （3）若该校七年级有名学生，八年级有 名学生，请通过计算，估计本次七、八年级消防安全知识测试的平均成绩． 【答案】（1） （2）八年级的优秀学生多，理由： ∵七年级学生的成绩的平均数为，中位数是， ∴七年级学生多于一半的学生成绩低于平均数， 即七年级学生的成绩优秀的人数少于人， ∵八年级学生的成绩的平均数为，中位数是， ∴八年级学生多于一半的学生成绩高于平均数， 即八年级学生的成绩优秀的人数多于人， ∴八年级的优秀学生多； （3） 【解析】 【分析】本题考查了统计图、数据的分析和样本估计总体，从统计图得出信息并熟练的分析数据是解题关键． （1）从图中得出的人数，即可知中位数是第多少人，再结合的成绩即可得出； （2）分别结合各个年级的平均数和中位数分析每个年级优秀的人数即可； （3）利用样本估计总体计算即可． 【小问1详解】 解：∵七年级抽取总人数为， ∴七年级成绩的中位数是成绩从小到大排列后的第和个数的平均数， ∵由图可知七年级成绩在范围内的有人， ∴成绩从小到大排列后的第和个数是从小到大排列后的第 和个数， 即为和， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵该校七年级有名学生，八年级有 名学生， ∴， ∴估计本次七、八年级消防安全知识测试的平均成绩为． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在中，，D为边上一点，过点D作于点E，连接 相交于点F，已知 ． （1）求证： ； （2）求证： ； （3）若 ，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ； （2） 证明：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 四点共圆， ∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形等等： （1）先证明 ，再由 ，即可证明 ； （2）证明 ，得到 四点共圆，则 ，设 ，则 ，进而得到 ， ，则 ，即可证明 ； （3）先证明 ，求出，则，利用勾股定理得到，解直角三角形得到，再解 得到，则，即可求出；设 ，则 ，证明 ，求出 ，则，即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∴ ， ∴ 四点共圆， ∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ； 解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴，即， ∴或（舍去）； ∴， ∴， ∴， 在 中，， ∴， ∴； 设 ，则 ， ∵ ， ∴ ， ∴，即， ∴ ， ∴， 解得， ∴． 八、（本题满分14分） 23. 体育课上，同学们在老师的带领下，设计了一种抛小球入箱的游戏．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，小球从点P处抛出，小球的运动轨迹为抛物线L： ．无盖木箱的截面图为矩形，其中 ， ，且在x轴上， ．已知当小球到达最高点时，高度为，与起点的水平距离为． （1）求抛物线L的表达式． （2）请通过计算说明该同学抛出的小球能否投入箱内． （3）若该小球投入箱内后立即向右上方弹起，沿与抛物线L形状相同的抛物线M运动，且最大高度可达 ，则该小球能否弹出箱子？请说明理由． 【答案】（1） （2）能 （3） 该小球能弹出箱子，理由如下： 令，则 解得， ∴抛物线L与x正半轴交于点 设抛物线M的解析式为： ∴将代入抛物线M的解析式，得 解得 ， ∵该小球投入箱内后立即向右上方弹起 ∴ ∴抛物线M的解析式为： 令 ，则 ∵ ∴该小球能弹出箱子． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）由题意得点，点，令 ，求出 ， ，再根据 判断即可； （3）令，则 ，求出抛物线L与x正半轴交于点，设抛物线M的解析式为 ，再将代入抛物线M的解析式，进而求出抛物线M的解析式，令 ，计算出y值与0.5进行比较即可． 【小问1详解】 解：∵小球到达最高点时，高度为，与起点的水平距离为 ∴， 即 ∵小球从点P处抛出， ∴将点代入抛物线解析式，得 解得： ∴ 【小问2详解】 ∵ ， ， ∴点，点 令 ，则 解得 ， ∵ ∴该同学抛出的小球能投入箱内． 【小问3详解】 略 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数图象的平移等知识，解题的关键是学会寻找特殊点解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出，，，四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各数中，与实数2024互为相反数的是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一个长方体和一个四棱台的组合体，那么它的俯视图可能是（ ） A. B. C. D. 4. 中国汽车工业协会发布数据显示，年 月份，我国汽车产销量分别为万辆和万辆，同比分别增长和，其中数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 若实数 ，满足，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 已知某电路的电流与电阻的函数关系如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 当电流为时，该电路电阻为 B. 当电流为时，该电路电压为 C. 当电阻为时，该电路电流为 D. 该电路的电流随着电阻的增大而减小 7. 如图，在中，，，D，E分别为边 上的点，沿将 进行翻折．若正好为边的中点时，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 随着城市化进程的加速和人们对环保出行的需求增加，共享电瓶的发展趋势日益明显．如图，某共享电瓶柜中装有4块“ ”、6块“”以及6块“ ”三种型号的电瓶，匆忙的小王从中随机取出一块，恰好为“ ”的电瓶的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 若一次函数的图象在 内的一段都在轴的上方，则函数一定不经过的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 如图，在正方形中， ，M为边上一动点，连接 ，将线段绕点M顺时针旋转得到线段 ，连接．当的长最小时，的长为（ ） A. 1 B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 不等式的解集是______． 12. 如图，，点A在直线b上，点B在直线a上，已知，．若，则的度数为______． 13. 如图，A，B，C，D，E分别为上的点，连接和．若的度数为，则的度数为______． 14. 已知抛物线：的顶点坐标为，与轴正半轴交于点，与轴交于点． （1）点的坐标为______； （2）将抛物线沿轴向右平移个单位长度，平移后的抛物线与抛物线相交于点，且点在第四象限内，当的面积最大时，的值为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 某网购平台决定将进价共500元的甲、乙两款老年手机同时上架销售，其中将甲款手机按的利润定价，乙款手机按的利润定价．在实际销售过程中，平台将两款手机均按九折出售，这样仍可获利157元，求甲、乙两款手机的进价各分别为多少元？ 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在如图所示的方格纸中，的三个顶点均在格点（网格线的交点）上，O为格点． （1）把以点O为中心顺时针旋转，请在图中画出旋转后的； （2）在网格内画出以点O为位似中心的位似图形，使得与的位似比为． 18. 观察下列算式，并解答下列问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… （1）按以上规律写出第4个等式：______； （2）用含有的代数式表示第个等式，并证明其正确性． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图是某物理兴趣小组利用矩形模块设计的一个感光元件，平行光线从区域射入，线段为感光区域，已知，，，，则感光区域的长度之和为多少？（结果精确到 ，参考数据：， ， ， ） 20. 如图，是的直径，为外一点，， 都为的切线，连接，． （1）求证： ； （2）若 ，，求劣弧的长度．（结果保留） 六、（本题满分12分） 21. 为了提高学生的消防安全意识，某校对七、八年级的学生进行了消防安全知识测试，并分别从各年级随机抽取名学生的成绩进行整理、分析，得到如下部分信息： 七、八年级测试成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 七年级测试成绩统计图 七年级学生的成绩在范围内具体为，，，， ，，，，. 根据以上信息，回答下列问题： （1）______； （2）学校将成绩高于所在年级抽取成绩的平均分的学生评为优秀，请判断这次抽取的学生中，哪个年级的优秀学生多，并说明理由： （3）若该校七年级有名学生，八年级有 名学生，请通过计算，估计本次七、八年级消防安全知识测试的平均成绩． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在中，，D为边上一点，过点D作于点E，连接 相交于点F，已知 ． （1）求证： ； （2）求证： ； （3）若 ，求的长度． 八、（本题满分14分） 23. 体育课上，同学们在老师的带领下，设计了一种抛小球入箱的游戏．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，小球从点P处抛出，小球的运动轨迹为抛物线L： ．无盖木箱的截面图为矩形，其中 ， ，且在x轴上， ．已知当小球到达最高点时，高度为 ，与起点的水平距离为． （1）求抛物线L的表达式． （2）请通过计算说明该同学抛出的小球能否投入箱内． （3）若该小球投入箱内后立即向右上方弹起，沿与抛物线L形状相同的抛物线M运动，且最大高度可达 ，则该小球能否弹出箱子？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $