专题2.3 绝对值的综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（北师大版2024）

专题2.3 绝对值的综合 · 思想方法 数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合。 分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则： 1. 不重（互斥性）不漏（完备性）； 2. 按同一标准划分（同一性）； 3. 逐级分类（逐级性）。 · 知识点总结 一、绝对值 1．定义：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作． 2．性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 3．化简：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么． 4．非负性：根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． · 典例分析 【典例1】请利用绝对值的性质，解决下面问题： （1）已知a，b是有理数，当时，则 ；当时，则 ； （2）已知a，b，c是有理数，，，求的值； （3）已知a，b，c是有理数，当时，求的值． 【思路点拨】 本题考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法： （1）直接根据绝对值的性质求解即可； （2）可知三个数中必需有两个正数，一个负数，可设，，解答； （3）分a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数四种情况讨论即可． 【解题过程】 （1）解：∵, ∴； ∵， ∴, ∴． 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设 ∴，，， ∴原式； （3）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数． ①当a，b，c都是正数，即时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设， 则：； ③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，设， 则： ； ④当a，b，c三个数都为负数时， 则： ； 综上所述：的值为3或或1或． · 学霸必刷 1．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）p、q、r、s在数轴上的位置如图所示，若，，，则等于 （     ）     A．7 B．9 C．11 D．13 2．（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）已知与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数，已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5或-5 D．3或5 3．（2024七年级·全国·竞赛）使成立的条件是（    ）． A．为任意数 B． C． D． 4．（23-24七年级上·江西抚州·期末）适合的整数a的值有（    ） A．5个 B．7个 C．8个 D．9个 5．（2024七年级上·江苏·专题练习）若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（22-23七年级上·重庆江北·阶段练习）已知有理数a，c，若，且，则所有满足条件的数c的和是（　　） A．﹣6 B．2 C．8 D．9 7．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）在多项式（其中）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作” 例如，，……则所有“绝对操作”共有（    ）种不同运算结果 A．7 B．6 C．5 D．4 8．（23-24七年级上·广东东莞·阶段练习）如图，已知数轴上点、、所对应的数、、都不为0，且是的中点，如果，则原点的大致位置在（    ）    A．的左边 B．与之间 C．与之间 D．的右边 9．（2024七年级·全国·竞赛）为互不相等的有理数，且最小，最大，若，则从小到大排列的顺序为 ． 10．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）已知，那么 ． 11．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）在，，，，，，，中，每个字母的值恰好是，0，1这三个数值中的一个，若，则 ． 12．（2024七年级·全国·竞赛）已知a，b，c都为整数，且，则方程的解为 ． 13．（2024七年级·全国·竞赛）若关于的方有三个不同的解，则有理数 ． 14．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知，则的最大值是 ，最小值是 ． 15．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）规定：，，例如，，则式子的最小值是 ． 16．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）a、b、c都是质数，且满足，则 ． 17．（22-23七年级上·江苏南京·阶段练习）若，则x的值为 ． 18．（23-24七年级上·四川达州·期中）若a、b、c是整数，且，则 ． 19．（22-23七年级上·浙江丽水·期中）已知：，且，，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则 ． 20．（22-23七年级上·浙江温州·阶段练习）式子的最小值是 ． 21．（23-24七年级上·吉林长春·期末）“数形结合”是一种非常重要的数学思想，它可以把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来解决问题． 探究：方程，可以用两种方法求解，将探究过程补充完整． 方法一、当时，； 当时， ___________． 方法二、的意义是数轴上表示x的点与表示___________的点之间的距离是2． 上述两种方法，都可以求得方程的解是___________． 应用：根据探究中的方法，求得方程的解是__________． 拓展：方程的解是___________． 22．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）华罗庚先生说；“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】 点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为． 【初步运用】 （1）数轴上表示3与的两点之间的距离为______； （2）已知数轴上某个点表示的数为． ①若，则______； ②若，则______； 【深入探究】 （3）如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点A、B、C表示的数分别为a、b、c． ①______； ②若，则点表示的数为______； ③若该数轴上另有两个点、，它们分别表示有理数p、q，其中点在线段上，当且最小时，、两点之间的距离为______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 绝对值的综合 · 思想方法 数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合。 分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则： 1. 不重（互斥性）不漏（完备性）； 2. 按同一标准划分（同一性）； 3. 逐级分类（逐级性）。 · 知识点总结 一、绝对值 1．定义：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作． 2．性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 3．化简：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么． 4．非负性：根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． · 典例分析 【典例1】请利用绝对值的性质，解决下面问题： （1）已知a，b是有理数，当时，则 ；当时，则 ； （2）已知a，b，c是有理数，，，求的值； （3）已知a，b，c是有理数，当时，求的值． 【思路点拨】 本题考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法： （1）直接根据绝对值的性质求解即可； （2）可知三个数中必需有两个正数，一个负数，可设，，解答； （3）分a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数四种情况讨论即可． 【解题过程】 （1）解：∵, ∴； ∵， ∴, ∴． 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设 ∴，，， ∴原式； （3）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数． ①当a，b，c都是正数，即时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设， 则：； ③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，设， 则： ； ④当a，b，c三个数都为负数时， 则： ； 综上所述：的值为3或或1或． · 学霸必刷 1．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）p、q、r、s在数轴上的位置如图所示，若，，，则等于 （     ）     A．7 B．9 C．11 D．13 【思路点拨】 先根据数轴判断p、q、r、s四个数的大小，再去绝对值得出等式，然后整体代入计算即可． 【解题过程】 解：由数轴可知： ∵，，， ∴， ∴． 故选：A． 2．（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）已知与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数，已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5或-5 D．3或5 【思路点拨】 先根据相反数的定义以及绝对值的定义求得a、b的值，再根据非负数的性质求得m、n的值，然后计算即可．掌握几个非负数的和为零，则每个非负数均为零是解题的关键． 【解题过程】 解：∵与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数， ∴， ∵， ∴或， 又∵，或，， ∴或， ∴或， ∴或， ∴的值为3或5． 故选：D． 3．（2024七年级·全国·竞赛）使成立的条件是（    ）． A．为任意数 B． C． D． 【思路点拨】 分，，三种情况，结合绝对值的意义化简绝对值，看等号是否恒成立，从而得出答案． 本题主要考查了含绝对值符号的等式．解决问题的关键是熟练掌握绝对值的化简，分类讨论． 【解题过程】 解：当时， ，， 等式化为：， 成立； 当时， ，， 等式化为：， 解得：， 不符合题意； 当时， ，， 等式化为：， 矛盾． 故使成立的条件是：． 故选：D． 4．（23-24七年级上·江西抚州·期末）适合的整数a的值有（    ） A．5个 B．7个 C．8个 D．9个 【思路点拨】 本题主要考查数轴，绝对值的几何意义，此方程可理解为数轴上a到和3的距离的和，由此可得出a的值，进而可得出答案． 【解题过程】 解： ， 可理解为数轴上a到和3的距离的和， 和3之间的距离为8， 当时，均满足， a为整数， 可以为，，，，，0，1，2，3，共9个， 故选D． 5．（2024七年级上·江苏·专题练习）若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】 先根据、、均为整数，且，可得，或，，然后分两种情况分别求出的值即可． 【解题过程】 解：，，均为整数，且， ，或，， ①当，时，，， ； ②当，时，， ； 综上，的值为2． 故选：B． 6．（22-23七年级上·重庆江北·阶段练习）已知有理数a，c，若，且，则所有满足条件的数c的和是（　　） A．﹣6 B．2 C．8 D．9 【思路点拨】 根据绝对值的代数意义对进行化简，或，解得或有两个解，分两种情况再对进行化简，继而有两个不同的绝对值等式，和，每个等式同样利用绝对值的代数意义化简，分别得到c的值有两个，故共有四个值，再进行相加，得到所有满足条件的数的和． 【解题过程】 解： ， 或， 或， 当时，等价于，即， 或， 或； 当时，等价于，即， 或， 或， 故或或或， 所有满足条件的数的和为：． 故答案为：D 7．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）在多项式（其中）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作” 例如，，……则所有“绝对操作”共有（    ）种不同运算结果 A．7 B．6 C．5 D．4 【思路点拨】 根据给定的定义对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出结果，理解题意，熟练掌握绝对值的化简是解题关键． 【解题过程】 解： 当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是； ； ； ． 当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是；； ． 共有7种情况； 故选：A． 8．（23-24七年级上·广东东莞·阶段练习）如图，已知数轴上点、、所对应的数、、都不为0，且是的中点，如果，则原点的大致位置在（    ）    A．的左边 B．与之间 C．与之间 D．的右边 【思路点拨】 可得，从而可得 ；然后根据选项判断，，的符号，进行化简即可求解． 【解题过程】 解： 是的中点， ， ； A． 在的左边，，，， ， 故此项不符合题意； B． 在与之间时，，，， ， 故此项符合题意； C．在与之间时，，，， ， 故此项不符合题意； D．在的右边时，，，， ， 故此项不符合题意； 故选：B． 9．（2024七年级·全国·竞赛）为互不相等的有理数，且最小，最大，若，则从小到大排列的顺序为 ． 【思路点拨】 本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数比较大小法则是解题的关键； 作差法比较大小时，先求出两个代数式的差，然后通过判断差与0的大小关系来确定原代数式的大小关系． 【解题过程】 解： 为互不相等的有理数，且最小，最大， 、、， 化简得： 即 ，即 从小到大排列顺序为， 故答案为： 10．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）已知，那么 ． 【思路点拨】 本题考查了绝对值的意义和代数式求值，根据绝对值的意义进行讨论得出，得值，代入即可求解，解题的关键是正确理解绝对值的意义． 【解题过程】 解：由， ∵，， ∴，即， 要使成立， 则，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 11．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）在，，，，，，，中，每个字母的值恰好是，0，1这三个数值中的一个，若，则 ． 【思路点拨】 本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是分析判断5个字母的值的和为0时，这5个字母可能是什么数．根据已知条件中，每个字母的值恰好是，，这三个数值中的一个，，求出其中个字母的值的和为，进行推导即可． 【解题过程】 解：中，每个字母的值恰好是，，这三个数值中的一个，，， 有个字母的值分别为，，，另个字母的值的和为， 这个字母的值分别为：，，，，或，，，，， 这个字母的值分别为，，，，，，，或，，，0，0，0，0，， ， ， ； 或 ， ； 故答案为：或4． 12．（2024七年级·全国·竞赛）已知a，b，c都为整数，且，则方程的解为 ． 【思路点拨】 本题考查了绝对值的性质，代数式求值，绝对值方程，根据题意得到 ， 或，，分了讨论的值，再代入中求解绝对值方程即可． 【解题过程】 解：由题意， ， 或，， 当 ，时，则， ，即 ， 当，时，则， ，即， ， ， 解得． 13．（2024七年级·全国·竞赛）若关于的方有三个不同的解，则有理数 ． 【思路点拨】 本题考查了绝对值的性质和解绝对值方程等知识，根据绝对值的性质得，再根据绝对值性质可得或，根据绝对值性质即可求解． 【解题过程】 解：， ， 或， 当时，即时，方程无解，此时方程最多只有两个不同的解，不符合题意； 当时，即时，方程有一个解，此时方程有两个不同的解，即此时方程由三个不同的解，符合题意； 当时，即时，方程有两个不同的解，此时方程有两个不同的解，即方程此时有4个不同的解，不符合题意； 综上所述，， 故答案为：5． 14．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知，则的最大值是 ，最小值是 ． 【思路点拨】 表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和，得．同理，，，可得，，．于是． 【解题过程】 解：表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和， ∴． 同理，，， 而， ∴，，． ∴． ∴． 故答案为：15， 15．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）规定：，，例如，，则式子的最小值是 ． 【思路点拨】 本题考查求代数式的最值问题及绝对值的几何意义，根据题意将和表示出来，然后利用绝对值得几何意义求解即可，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∵可以看作数轴上表示数的点与表示数和之间的距离之和， 当位于点左侧时，即时， ， 当位于点与点之间时，即时， ， 当位于点右侧时，即时， ， 综上可知：， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：． 16．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）a、b、c都是质数，且满足，则 ． 【思路点拨】 本题考查了质数，奇数与偶数，绝对值，掌握所有的质数中只有2是偶数是解题关键．先假设a、b、c都是奇数，判断出与已知矛盾，得出a、b、c中必有两个偶数，从而令，求出的值，代入计算即可． 【解题过程】 解：若a、b、c都是奇数，则也是奇数， 那么为偶数，与已知矛盾， a、b、c中必有一个偶数， a、b、c都是质数， 中必有一个偶数2， 令，则， 若b、c都是奇数，则也是奇数， 那么偶数，与已知矛盾， b、c中必有一个偶数2， 令，则， ， ， 故答案为： 17．（22-23七年级上·江苏南京·阶段练习）若，则x的值为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了绝对值和数轴上两点间的距离．根据绝对值的意义及数轴上两点间的距离即可求解． 【解题过程】 解：表示数轴上数表示的数到的距离，表示数轴上数表示的数到1的距离，表示数轴上数表示的数到2的距离， ， ①当时：，，， ， 化简得：（不符合题意，舍去）； ②当时，，，， ， 解得：（不符合题意，舍去）； ③当时，，，， ， 解得：（符合题意）； ④当时，，，， ， 解得：（不符合题意，舍去）； ⑤当时，，，， ， 解得：（不符合题意，舍去）； ⑥当时，，，， ， 解得：（不符合题意，舍去）； ⑦当时，，，， ， 解得：（符合题意）； 或， 故答案为：或． 18．（23-24七年级上·四川达州·期中）若a、b、c是整数，且，则 ． 【思路点拨】 本题考查了绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，以及采用分类讨论的思想，根据绝对值的非负性以及题意，可知当时，则，当时，则，分类讨论计算即可． 【解题过程】 解：a、b、c是整数， ，是整数， ， 又， 时，则或时，则， 当时， 则， ； 当时， 则， ； 当时， 则， 当时， 则， ， 综上可得：， 故答案为：1． 19．（22-23七年级上·浙江丽水·期中）已知：，且，，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则 ． 【思路点拨】 根据绝对值的性质进行化简求出x、y的值，然后代入即可解答． 【解题过程】 解：，， ，，， ，，三个数中有两负一正， 当，为负，为正数时， ； 当，为负，为正数时， ； 当，为负，为正数时， ； 共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为， ，， ． 故答案为：7． 20．（22-23七年级上·浙江温州·阶段练习）式子的最小值是 ． 【思路点拨】 本题主要考查了绝对值．熟练掌握绝对值的化简，分类讨论，是解决问题的关键． 分，，，，，讨论，求出各股的最小值，再比较即得． 【解题过程】 解：设， 当时， ， ∴，最小值为：18； 当时， ， ∴，最小值为：11； 当时， ， ∴，最小值为：8； 当时， ， ∴，最小值为：8； 当时， ， ∴，最小值为：11； 当时， ， ∴，最小值为：18． 综上，原式的最小值为：8． 故答案为：8． 21．（23-24七年级上·吉林长春·期末）“数形结合”是一种非常重要的数学思想，它可以把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来解决问题． 探究：方程，可以用两种方法求解，将探究过程补充完整． 方法一、当时，； 当时， ___________． 方法二、的意义是数轴上表示x的点与表示___________的点之间的距离是2． 上述两种方法，都可以求得方程的解是___________． 应用：根据探究中的方法，求得方程的解是__________． 拓展：方程的解是___________． 【思路点拨】 本题考查了绝对值的意义，解绝对值方程，数轴上两点之间的距离．熟练掌握绝对值的意义，解绝对值方程，数轴上两点之间的距离是解题的关键． 探究：根据题意化简绝对值，利用绝对值的意义进行作答即可； 应用：由的意义是数轴上表示x的点与表示和两点之间的距离和为9，表示和两点之间的距离为4，可知表示x的点在左侧，或在1右侧；分当时，当时，解绝对值方程即可； 拓展：由题意知，，整理得，分当时，当时，当时，三种情况解绝对值方程即可． 【解题过程】 探究：解：由题意知，当时，， 解得，； 当时，， 解得，； 的意义是数轴上表示x的点与表示1的点之间的距离是2， 上述两种方法，都可以求得方程的解是或； 故答案为：、1、或． 应用：解：的意义是数轴上表示x的点与表示和两点之间的距离和为9， ∵表示和两点之间的距离为4， ∴表示x的点在左侧，或在1右侧； 当时，， 解得，； 当时，， 解得，； 综上所述，或； 拓展：解：， ∴， 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，， 解得，； 故答案为：． 22．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）华罗庚先生说；“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】 点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为． 【初步运用】 （1）数轴上表示3与的两点之间的距离为______； （2）已知数轴上某个点表示的数为． ①若，则______； ②若，则______； 【深入探究】 （3）如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点A、B、C表示的数分别为a、b、c． ①______； ②若，则点表示的数为______； ③若该数轴上另有两个点、，它们分别表示有理数p、q，其中点在线段上，当且最小时，、两点之间的距离为______． 【思路点拨】 （1）根据两点之间的距离公式列式计算即可求解； （2）①②根据两点之间的距离公式列出方程即可求解； （3）①由数轴知，，去绝对值符号即可求解； ②由数轴知，，结合，求得或，据此求解即可； ③分情况讨论，求得，或，据此求解即可． 【解题过程】 解：（1）数轴上表示3与的两点之间的距离为， 故答案为：7； （2）①若，则或， 解得或， 故答案为：或； ②若，则（舍去）或， 解得， 故答案为：1； （3）①由数轴知，，∴，，∴； 故答案为：6； ②由数轴知，，即，结合，即，∴，∴或，解得或；根据数轴知，，∴点表示的数为4或12；故答案为：4或12； ③由题意可知，点在线段上，可得，则，，∴，，当时，，∴， 故， 当时，，则，故， ∵最小，故时，取值最小； 当时，，，∴，即； 当时，，，∴（不成立，舍去）； 当时，，，∴，即， 综上，，或， 当时，、两点之间的距离为； 当时，、两点之间的距离为； ∴、两点之间的距离为3或5． 故答案为：3或5． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$