第二章《有理数及其运算》期末单元复习卷 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 北师大版七年级数学 第二章 有理数及其运算 期末复习卷 考试时间:120分钟 满分150分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 卷I（选择题） 一、选择题（本题共计 10 小题 ，每题 4分 ，共计40分） 1.有理数，，，，，，中正数的个数有（    ） A.个 B.个 C.个 D.个 2.《九章算术》中有注：“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：“今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”如果收入元记作元．那么支出元应记为（   ） A.元 B.元 C.元 D.元  3.若与互为相反数，且的倒数是，则的值为 A. B. C. D. 4.数轴上的点表示，将点向右平移个单位后，再向右平移个单位到点，那么点表示的数是（   ） 5.北京与莫斯科的时差为小时，例如，北京时间，同一时刻的莫斯科时间是，小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（      ） A. B. C. D. 6.下列变形不正确的是（      ） A. B. C. D. 7.下列说法正确的是（    ） A.表示个相加 B.表示个相乘 C.的底数是 D.与意义相同 8.在如图所示的星形图案中，每条“直线”上的四个数字之和都相等，则图中数字，，，的和是（    ） A. B. C. D. 9.某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（    ） A.先打九五折，再打九五折 B.先提价，再打六折 C.先提价，再降价 D.先提价，再降价 10.下列说法中： ①若，则； ②若，则有； ③，，三点在数轴上对应的数分别是，，，若相邻两点间的距离相等，则； ④若代数式的值与无关，则该代数式的值为； ⑤若，，则的值为． 正确的判断是（   ） A.①④⑤ B.②③④ C.②④⑤ D.②③⑤ 卷II（非选择题） 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）   11.一年天有秒．数用科学记数法表示应为_______. 12.若与互为相反数，则的值为__________． 13.已知两数互为相反数，互为倒数，的绝对值是，求的值是___________． 14.云巴是现代化智能低运量轨道交通系统，跨界融合了汽车和轨道交通技术．若某云巴线路途经站后车上有名乘客，再依次经过，，站后到达终点站，各站上、下车乘客人数情况（上车记为正，下车记为负）如下：，，，，则的值是__________． 15.观察下列等式，发现规律，并解决问题． ； 现有一列数：（为正整数），规定，则的值为_____________． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ） 16.(8分) 计算下列各题： （1）； （2）． 17.(8分) 计算： （1） （2） 18.(6分) 回答下列问题： （1）过，两点画一条数轴，使点表示，点表示．将表示在所画的数轴上． （2）将下列各数填入下图相应的圈内，并将这些数用“”连接起来． ，，，，， 19.(8分) 已知、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是． （1）求出，，的值． （2）求的值． 20.(8分) 有理数在数轴上的位置如图： （1）用“”或“”填空：_______，______，_____． （2）化简：． 21.(10分) 已知． （1）若求的值； （2）若，求的值． 22.(10分) 随着手机的普及，微信的兴起，许多人抓住这种机会，做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售，珠海市斗门区的王先生把自家的荔枝产品也放到了网上，他原计划每天卖斤荔枝，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 （1）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售_____斤； （2）本周实际销售总量达到了计划数量没有？请说明理由． （3）若每卖出一斤荔枝，王先生需支付元运费，当荔枝每斤按元出售时，王先生本周一共收入多少元？ 23.(10分) 数学老师布置了一道思考题“计算”：． 小华的解法： ． 大白的解法： 原式的倒数为  第一步，   第二步，   第三步，   第四步． 所以． 分析两位同学的解法，请你回答下列问题： （1）两位同学的解法中，_____同学的解答正确； （2）大白解法中，第二步到第三步的运算依据是_______； （3）用一种你喜欢的方法计算：． 24.(10分) 小帆同学利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表： 输入 …… 输出 …… 输出 …… 输出 …… （1）那么当输入的数据是时，输出的______，____． （2）用式子表示与的关系____. （3）当输入的数据是（为正整数）时，求输出的和．（用含的代数式表示） 25.(12分) 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 已知表示和两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的 距离等于 （1）如果，那么___________； （2）利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是___________； （3）当__________时，的值最小，求出最小值． （4）若有理数、、满足，，求． 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 北师大版七年级数学 第二章 有理数及其运算 期末复习卷 考试时间:120分钟 满分150分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 卷I（选择题） 一、选择题（本题共计 10 小题 ，每题 4分 ，共计40分） 1.有理数，，，，，，中正数的个数有（    ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】B 【解析】根据有理数的乘方法则、绝对值的性质计算，判断即可． 【解答】解：，，，，既不是正数，也不是负数，，， 所以正数的个数有个 故选：． 2.《九章算术》中有注：“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：“今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”如果收入元记作元．那么支出元应记为（   ） A.元 B.元 C.元 D.元 【答案】C 【解析】本题考查了用正负数的表示相反意义的量，理解正负数的意义是解题的关键． 根据正负数的定义，收入记为正，则支出应记为负，因此支出元应记为负数，据此判断即可． 【解答】收入元记作元， 支出元应记作元． 故选．  3.若与互为相反数，且的倒数是，则的值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查相反数、倒数的概念以及有理数的运算．解决本题的关键是理解相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是；倒数的定义：若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数． 根据相反数、倒数的概念求出相关的值，代入原式计算即可求出值． 【解答】解：与互为相反数， ， 的倒数是， ， ， ， ， 故选：． 4.数轴上的点表示，将点向右平移个单位后，再向右平移个单位到点，那么点表示的数是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了数轴上的点表示有理数，数轴上的动点问题，根据数轴上向右移动是加，计算即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【解答】解：由为数轴上表示的点，将点沿数轴向右平移个单位，再向右平移个单位到点，此时点所对应的数为， 因此点所表示的数为． ， 故选：． 5.北京与莫斯科的时差为小时，例如，北京时间，同一时刻的莫斯科时间是，小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（      ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据北京与莫斯科的时差为小时，二人通话时间是，逐项判断出莫斯科时间，即可求解． 【解答】解：由北京与莫斯科的时差为小时，二人通话时间是，所以当北京时间是时，莫斯科时间是，不合题意； 当北京时间是时，莫斯科时间是，不合题意； 当北京时间是时，莫斯科时间是，符合题意； 当北京时间是时，不合题意． 故选： 6.下列变形不正确的是（      ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据有理数的乘法运算律逐个判断求解即可． 【解答】解：、，运用乘法的交换律，选项正确，不符合题意；、，运用乘法的交换律，选项正确，不符合题意； 、，运用乘法的分配律，选项正确，不符合题意； 、． 原变形错误，符合题意． 故选：． 7.下列说法正确的是（    ） A.表示个相加 B.表示个相乘 C.的底数是 D.与意义相同 【答案】C 【解析】本题考查乘方运算的相关定义辨识．根据乘方运算的相关定义逐项判断即可． 【解答】解：表示个相乘，故错误； 表示个相乘的积的相反数，故错误； 中含有乘方的是，底数是，故正确； ：表示个相乘，表示个相乘的积的相反数，故意义不相同，故错误； 故选：． 8.在如图所示的星形图案中，每条“直线”上的四个数字之和都相等，则图中数字，，，的和是（    ） A. B. C. D. 【答案C 【解析】本题考查有理数的加法，有理数的混合运算，解题关键是根据每条“直线”上的四个数字之和都相等进行计算． 【解答】解：每条直线上的数字之和都相等， ， 解得：， ， 解得：， ， ， 解得：， ， ， 解得：， ， 故选：． 9.某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（    ） A.先打九五折，再打九五折 B.先提价，再打六折 C.先提价，再降价 D.先提价，再降价 【答案】B 【解析】设原件为元，根据调价方案逐一计算后，比较大小判断即可． 【解答】设原件为元， 先打九五折，再打九五折， 调价后的价格为元， 先提价，再打六折， 调价后的价格为元， 先提价，再降价， 调价后的价格为元， 先提价，再降价， 调价后的价格为元， 故选 10.下列说法中： ①若，则； ②若，则有； ③，，三点在数轴上对应的数分别是，，，若相邻两点间的距离相等，则； ④若代数式的值与无关，则该代数式的值为； ⑤若，，则的值为． 正确的判断是（   ） A.①④⑤ B.②③④ C.②④⑤ D.②③⑤ 【答案】C 【解析】本题考查了绝对值的性质，数轴上的点表示有理数，数轴上两点间的距离，代数式的无关型题目，熟练掌握知识点是解题的关键．根据非负数的绝对值等于其本身判断①；根据绝对值相等的两个数相等或互为相反数判断②；根据相邻两点间的距离相等分别讨论的位置，进而判断③；根据代数式与无关，即消掉，即可判断④；根据，，可得有一个负数两个正数，进而化简，即可判断⑤． 【解答】解：①若，则，故①错误； ②若，则、相等或相反，则有，故②正确； ③，，三点在数轴上对应的数分别是，，，若相邻两点间的距离相等， 当时，；当时，；当时，；故③错误； ④若代数式的值与无关， 则原式，故④正确； ⑤若，，则有一个负数两个正数， 则，故⑤正确； 故选：． 卷II（非选择题） 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）   11.一年天有秒．数用科学记数法表示应为_______. 【答案】 【解析】此题考查了科学记数法：把一个绝对值大于的数表示成的形式（大于或等于且小于，是正整数）；的值为小数点向左移动的位数，确定，即可． 【解答】 12.若与互为相反数，则的值为___81_________． 【答案】 【解析】根据相反数的性质得出，根据非负数的性质得出，进而即可求解． 【解答】解：与互为相反数， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 13.已知两数互为相反数，互为倒数，的绝对值是，求的值是____或__________． 【答案】或 【解析】本题考查了与有理数相关的概念及运算，涉及相反数、倒数、绝对值与含乘方的有理数的混合运算，掌握相关概念及运算法则是解题的关键．由互为相反数，得；由互为倒数，得；由的绝对值是，得；再分两种情况代入代数式中计算即可． 【解答】解：互为相反数， ， 互为倒数， ， 的绝对值是， ． 当时，原式； 当时，原式． 综上，的值为或； 故答案为：或． 14.云巴是现代化智能低运量轨道交通系统，跨界融合了汽车和轨道交通技术．若某云巴线路途经站后车上有名乘客，再依次经过，，站后到达终点站，各站上、下车乘客人数情况（上车记为正，下车记为负）如下：，，，，则的值是___________． 【答案】 【解析】本题考查了正数和负数的意义，有理数的加减，一元一次方程的应用，根据有理数加减运算，计算各站后车上乘客数的变化，最终在终点站乘客数为，建立方程求解，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． 【解答】解：初始车上乘客数为人， 经过站，上车人，下车人，乘客数变为：人； 经过站，上车人，下车人，乘客数变为：人； 经过站，上车人，下车人，乘客数变为：人； 到达终点站，上车人，下车人，乘客数变为：人， 由于终点站所有乘客下车，故， 解得， 故答案为：． 15.观察下列等式，发现规律，并解决问题． ； 现有一列数：（为正整数），规定，则的值为________________． 【答案】 【解析】本题主要考查了数字规律探索，有理数混合运算，根据题干信息得出一般规律是解题的关键．通过观察递推关系，得出，进而将 转化为 ，利用裂项相消法求和即可． 【解答】解：由，，，，，可得： ， ， ， ， …… ， ， ． 故答案为：． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ） 16.(8分) 计算下列各题： （1）； （2）． 【答案】 【解析】（1）先计算乘方和括号里面的，再计算乘法即可得解； （2）先计算乘方和括号里面的，再计算乘法，最后计算加减即可得解． 【解答】（1）解： ； （2）解： ． 17.(8分) 计算： （1） （2） 【答案】 【解析】（1）原式运用乘法交换律和结合律进行简算即可； （2）原式先运用乘法分配律将括号后再进行加减运算即可． 【解答】（1）解： ； （2）解： ． 18.(6分) 回答下列问题： （1）过，两点画一条数轴，使点表示，点表示．将表示在所画的数轴上． （2）将下列各数填入下图相应的圈内，并将这些数用“”连接起来． ，，，，， 【答案】见解答 各数填入圈内见解析； 【解析】（1）此题考查了数轴，有理数在数轴上的表示，有理数的大小比较，有理数的分类． 根据网格图及点，表示的数可画出数轴，再在数轴上表示，； 根据有理数的分类即可将各数填入相应的圈内，再比较大小即可解答． 【解答】（1）解：， 数轴及各点的表示如下： （2）解： ． 19.(8分) 已知、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是． （1）求出，，的值． （2）求的值． 【答案】，， 或 【解析】（1）根据互为相反数的和为，互为倒数的积为，绝对值的性质，即可解答； （2）分两种情况讨论，即可解答． 【解答】（1）解：、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是， ，，． （2）解： ，，， 当时，原式， 当时，原式， 的值为：或． 20.(8分) 有理数在数轴上的位置如图： （1）用“”或“”填空：_______，_______，_______． （2）化简：． 【答案】，， 【解析】（1）根据数轴的性质可得，，由此即可得； （2）先判断出，，，再化简绝对值，然后计算整式的加减即可得． 【解答】（1）解：由数轴可知，，， 则，，， 故答案为：，，． （2）解：由数轴可知，，， ，，， ． 21.(10分) 已知． （1）若求的值； （2）若，求的值． 【答案】或 或 【解析】（1）利用绝对值的定义求出的值，利用平方根的定义求出的值，利用立方根的定义求的值，代入即可求出的值； （2）根据小于，得到异号，求出与的值，代入所求式子中计算即可求出值． 【解答】（1）解：．， ， ， 或， 即的值为或； （2），， 或， 当时， 当时， 或． 22.(10分) 随着手机的普及，微信的兴起，许多人抓住这种机会，做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售，珠海市斗门区的王先生把自家的荔枝产品也放到了网上，他原计划每天卖斤荔枝，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 （1）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售_______斤； （2）本周实际销售总量达到了计划数量没有？请说明理由． （3）若每卖出一斤荔枝，王先生需支付元运费，当荔枝每斤按元出售时，王先生本周一共收入多少元？ 【答案】 本周实际销量达到了计划数量，理由见解析 元 【解析】（1）根据销售情况的表格数据，把最大的数值减去最小的数值，即可作答． （2）根据销售情况的表格数据，把数值直接相加，结果若大于或等于，则达标，否则不达标，即可作答． （3）依题意，王老师每卖出一斤的收入是（元），再与总的斤数相乘，即可作答． 【解答】（1）解：（斤） 根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售斤， 故答案为：； （2）解：本周实际销量达到了计划数量，理由如下： 本周实际销量达到了计划数量； （3）解：（元）， 王老师本周一共收入元． 23.(10分) 数学老师布置了一道思考题“计算”：． 小华的解法： ． 大白的解法： 原式的倒数为  第一步，   第二步，   第三步，   第四步． 所以． 分析两位同学的解法，请你回答下列问题： （1）两位同学的解法中，___大白____同学的解答正确； （2）大白解法中，第二步到第三步的运算依据是__ _____； （3）用一种你喜欢的方法计算：． 【答案】大白 乘法分配律 【解析】（1）根据题目中的解答过程可知，大白的解答正确； （2）根据题目中的解答过程可知大白解法中，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律； （3）根据大白的解法，可以先求所求式子的倒数，然后即可得到所求式子的值． 【解答】（1）解：由题目中的解答过程可知： 除法没有分配律，小华同学的解答错误， 大白同学的解答正确， 故答案为：大白； （2）解：大白解法中，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律， 故答案为：乘法分配律； （3）解：原式的倒数为： ， 所以． 24.(10分) 小帆同学利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表： 输入 …… 输出 …… 输出 …… 输出 …… （1）那么当输入的数据是时，输出的______，______． （2）用式子表示与的关系______. （3）当输入的数据是（为正整数）时，求输出的和．（用含的代数式表示） 【答案】， ，反 ； 【解析】（1）根据表格可得输入的数据与之和等于，输出的是连续的奇数，归纳类推出一般规律，由此即可得； （2）根据表格可得，满足反比例关系，由此即可得； （3）根据输入的数据与之和等于，输出的是连续的奇数，归纳类推出一般规律即可得． 【解答】（1）解：由表格可知，当输入的数据是时，输出的； 当输入时，， 当输入时，， 当输入时，， 依此类推，当输入的数据是时，输出的， 故答案为：，． （2）解：由表格可知，，，，，，，， 所以，与成反比例关系， 故答案为：，反． （3）解：由表格可知，输入的数据与之和等于， 则当输入的数据是（为正整数）时，输出的； 当输入时，， 当输入时，， 当输入时，， 归纳类推得：当输入的数据是（为正整数）时，输出的， 故答案为：；． 25.(12分) 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 已知表示和两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的 距离等于 （1）如果，那么____或_______； （2）利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是___________； （3）当__________时，的值最小，求出最小值． （4）若有理数、、满足，，求． 【答案】或 7 , 或 【解析】（1）根据数轴上两点之间距离的含义，结合绝对值方程的解法，可以解答本题； （2）分情况将绝对值去掉，从而可以解答本题； （3）分情况将绝对值去掉，可以解答本题； （4）根据分类讨论的数学思想分别画图，结合数形结合的思想可以解答本题； 【解答】（1）解：由题意可得，数轴上表示和两点之间的距离是， 记作：， 解得或； （2）当时， ， 当时， ， 当时， ， 使得的所有整数为：，，，，，，， ； （3）当时， ， 当时， ， 则， 当时， ， 则， 当时， ， 由上可得，当时，的值最小，最小值是； （4）有理数、、满足，， ①当时，如图： 则； ②当时，如图： 则； ③当时，如图： 则； ④当时，如图： 则； 综上所述，或 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $