第17章　勾股定理（经典例题）2023—2024学年人教版数学八年级下册

勾股定理 经典例题 一、认识勾股定理 例 1. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多 1 米, 当他把绳子的下端拉开 5 米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是( ) A ．12 米 B ．10 米 C ．8 米 D ．6 米 例 1.变式 1. 若直角三角形的三边长分别为 2，4，x ，则x 的值可能有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 例 1.变式 2. Rt△ABC 中，斜边 BC＝2，则AB2 + AC2 + BC2 的值为( ) A．8 B．4 C．6 D．无法计算 例 1.变式 3. 如图，△ABC 中，AB=AC,AD 是∠BAC 的平分线.已知 AB=5，AD=3，则 BC 的长为 ( ) A．5 B．6 C．8 D．10 二、勾股定理的简单运用 （一）简单实际应用 例 2. 如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径 ”，在花圃内走出了一条“路 ”，他 们仅仅少走了 米路，却踩伤了花草. 例 2.变式 1. 如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算 两圆孔中心 A 和 B 的距离为 mm. 例 2.变式 2. 如图，有两棵树，一棵高 8m ，另一棵高 2m ，两树相距 8m ，一只小鸟从一棵树的树 梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞 m . 1/7 例 2.变式 3. 如图，一圆柱高 8 cm，底面半径为 cm，一只蚂蚁从点 A 爬到点 B 处吃食，要爬行的 ( B )最短路程是 ( ) A ．6 cm B ．8 cm C ．10 cm D ．12 cm A （二）斜边上的高相关问题 例 3. 在直角三角形中，若两直角边的长分别为 3cm ，4cm ，则斜边上的高为 . 例 3.变式 1. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90° , 过点 C 作 CD⊥AB 于 D．若 AC=3cm，BC=4cm，AB=5cm， 试求 CD 的长和△ABC 的面积. 例 3.变式 2. 在RtΔABC 中，LACB = 90。，CD⊥AB 于点 D ，AC = 20 ，BC = 15 . （1）求AB 的长； （2）求CD 的长. 例 3.变式 3.如图所示，已知△ABC 中，AB＝10，BC＝21，AC＝17，求 BC 边上的高 AD. 2/7 学科网（北京）股份有限公司 （三）简单的解直角三角形 例 4. 已知直角三角形两直角边边的长为 3 和 4 ，则此三角形的周长为 ( ) A ．12 B ．7＋ C ．12 或 7＋ D ．以上都不对 例 4.变式 1. 如图所示，直角三角形 ABC 的周长为 24 ，且 AB：BC=5 ：3 ，则AC = ( ) A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 例 4.变式 2. 在 Rt△ABC 中， ∠C ＝90° , 且2a = 3b ，c2 = 52 ，则a = ，b = . 例 4.变式 3. 若一个直角三角形的一条直角边长是 7 cm ，另一条直角边比斜边短 1 cm ，则该直角三 角形的斜边长为 . 二、勾股定理的逆定理 （一）勾股定理的逆定理 例 5. 在△ABC 中，AB＝6，AC＝8 ，BC ＝10 ，则该三角形为 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 例 5.变式 1. 下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是 ( ) A ．三内角之比为 1 ︰ 2 ︰ 3 B ．三边长的平方之比为 1 ︰ 2 ︰ 3 C ．三边长之比为 3 ︰ 4 ︰ 5 D ．三内角之比为 3 ︰ 4 ︰ 5 例 5.变式 2. 如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2 倍，那么斜边长扩大到原来的 ( ) A ．1 倍 B ．2 倍 C ．3 倍 D ．4 倍 例 5.变式 3. 下列说法中正确的有 ( ) ①若∠A： ∠B： ∠C= 1 ：1 ：2 ，则△ABC 是直角三角形； ②若∠A﹣ ∠B=∠C，则△ABC 是直角三角形； ③若三角形的三边分别为 9 、40 、41 ，则△ABC 是直角三角形； ④若三角形的三边分别为 2n 、3n 、4n ，则△ABC 是直角三角形. A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个 3/7 学科网（北京）股份有限公司 （二）勾股数 例 6. 勾股数中是三个连续偶数的是 ；是三个连续整数的是 . 例 6.变式 1. 下列各组数是勾股数的是（ ） 1 1 1 1 1 5 A ．3 , 4 , 7 B ． 3，4 ，5 C ．5 , 12 , 13 D ． 例 6.变式 2. 若 15 , 36 ，x 三数能构成勾股数，则x 为 . 例 6.变式 3. 观察下列各式：32 十 42 = 52 ，82 十 62 = 102 ，152 十 82 = 172 ，242 十102 = 262 ， … ，你有 没有发现其中的规律?请用含n 的代数式表示此规律，再根据规律写出接下来的式子． （二）勾股定理和逆定理综合练习 4/7 学科网（北京）股份有限公司 例 7. 已知 x 一 6 十 y 一 8 十 (z 一10)2 = 0 ，则由此x, y, z 为三边的三角形是 三角形． 例 7.变式 1. 若一个三角形的三边长分别为m 十 1, m 十 2, m 十 3 (其中m 为整数)，则m = 时三角形是 直角三角形． 例7.变式2. 若△ABC的三边a 、b 、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0 ，则△ABC是 ( ) A ． 等腰三角形 B ． 等边三角形 C ． 等腰直角三角形 D ． 等腰三角形或直角三角形 例 7.变式 3. 适合下列条件的△ABC 中，直角三角形的个数为（ ） （1）a = ，b = ，c = （2）a = b ，7A = 45o （ 7A，7B，7C 分别对应a, b, c ）（3）7A = 32o ， 7B = 58o ，（4）a = 7 ，b = 24 ，c = 25 （5）a = 25 ，b = 2 ，c = 3 A ．2 个 B ．3 个 C ．4 个 D ．5 个 三、勾股定理的综合运用 （一）直角判断 例 8. 在△ABC 中，如果 AC2+BC2=AB2 ，那么 =90°． 例 8.变式 1. 三角形的三边长为 a 、b 、c ，且满足等式（a+b）2﹣c2=2ab ，则此三角形是 三 角形（直角、锐角、钝角）. 例 8.变式 2. 若直角三角形两直角边的边长分别是 5 和 12 ，则斜边上的高为 ( ) A ．6 B ． C ． D . 例 8.变式 3. 如图，已知四边形 ABCD 中，AB=20，BC= 15 ，CD=7，AD=24 ， ∠B=90° , 请问∠D 等 于 90°吗？请说明理由. （二）综合运用 例 9. 如图，某会展中心在会展期间准备将高 5 m，长 13 m，宽 2 m 的楼道上铺地毯，已知地-毯每平 方米 18 元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元. 例 9.变式 1. 某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点 C 偏离了欲到达点 B，结果离欲到达 B 点 240 米， 已知他在水中游了 510 米，求该河的宽度（两岸可以近似看做平行） 5/7 学科网（北京）股份有限公司 例 9.变式 2. 如图，已知直角△ABC 的两直角边分别为 6 ，8 ，分别以其三边为直径作半圆，求图中 阴影部分的面积. 例 9.变式 3. 如图，△ABC 中，AB= 10，AC= 17 ，BC=21 ，求△ABC 的面积. （三）最短路径问题 例 10. 如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和 2cm ，高为 4cm ，点 P 在边 BC 上，且 BP= BC ．如 果用一根细线从点 A 开始经过 3 个侧面缠绕一圈到达点 P ，那么所用细线最短需要 cm . 例 10.变式 1. 小明把一根 70cm 长的木棒放到一个长宽高分别为 30cm ，40cm ，50cm 的木箱中，他 能放进去吗？答： （选填“能”或“不能”）. 6/7 学科网（北京）股份有限公司 例 10. 变式 2. 一只螳螂在一圆柱形松树树干的A 点处，发现它的正上方 B 点有一只小虫子，螳螂想 捕到这只虫子，但又怕被发现，于是按如图所示的路线，绕到虫子后面吃掉它。已知树干的周长是 20cm，A 、B 两点的距离为 15cm 。螳螂想吃掉虫子，绕行的最短路程是 . 例 10.变式 3. 如图，圆柱形玻璃杯，高为 8cm ，底面周长为 12cm ，在杯内离杯底 2cm 的点 C 处有 一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 2cm 与蜂蜜相对的点A 处，蚂蚁到达蜂蜜的最短 距离是 . 勾股定理答案 一、认识勾股定理 例 1. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多 1 米, 当他把绳子的下端拉开 5 米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是( A ) A ．12 米 B ．10 米 C ．8 米 D ．6 米 例 1.变式 1. 若直角三角形的三边长分别为 2，4，x ，则x 的值可能有( B ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 例 1.变式 2. Rt△ABC 中，斜边 BC＝2，则AB2 + AC2 + BC2 的值为( A ) A．8 B．4 C．6 D．无法计算 例 1.变式 3. 如图，△ABC 中，AB=AC,AD 是∠BAC 的平分线.已知 AB=5，AD=3，则 BC 的长为（ C ） A．5 B．6 C．8 D．10 二、勾股定理的简单运用 （一）简单实际应用 例 2. 如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径 ”，在花圃内走出了一条“路 ”，他 们仅仅少走了 2 米路，却踩伤了花草. 例 2.变式 1. 如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算 两圆孔中心 A 和 B 的距离为 150 mm. 例 2.变式 2. 如图，有两棵树，一棵高 8m ，另一棵高 2m ，两树相距 8m ，一只小鸟从一棵树的树 梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞 10 m . 1/8 学科网（北京）股份有限公司 cm，一只蚂蚁从点 A 爬到点 B 处吃食，要爬行的例 2.变式 3. 如图，一圆柱高 8 cm，底面半径为 B最短路程是（ C ） A ．6 cm B ．8 cmC ．10 cm D ．12 cm A （二）斜边上的高相关问题 12 5 cm 例 3. 在直角三角形中，若两直角边的长分别为 3cm ，4cm ，则斜边上的高为 . 例 3.变式 1. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90° , 过点 C 作 CD⊥AB 于 D．若 AC=3cm，BC=4cm，AB=5cm， 试求 CD 的长和△ABC 的面积. 解：在ΔABC中，上ACB = 90° , AC = 3cm, BC = 4cm : SΔABC = AC× BC = × 3 × 4 = 6cm2 SΔABC = AB× CD，且AB = 5cm 例 3.变式 2. 在RtΔABC 中，上ACB = 90。，CD⊥AB 于点 D ，AC = 20 ，BC = 15 . （1）求AB 的长； （2）求CD 的长. 解：在ΔABC中，上ACB = 90° , AC = 20, BC = 15 : AB2 = AC2 + BC2 : AB = 25 SΔABC = AB× CD，且AB = 25 2/8 学科网（北京）股份有限公司 例 3.变式 3.如图所示，已知△ABC 中，AB＝10，BC＝21，AC＝17，求 BC 边上的高 AD. 解：在RtΔABD中，上ADB = 90。 AB2 一 BD2 = AD2 设BD = x, AB = 10 : AD2 = 102 一 x2 在RtΔADC中，上ADC = 90。, AC = 17 AC2 一 CD2 = AD2 BC = 21 : CD = BC 一 BD = 21一 x : AD2 = 172 一 (21一 x )2 :172 一 (21一 x )2 = 102 一 x2 : x = 6, 即BD = 6 在RtΔABD中，上ADB = 90。, AB = 10, BD = 6 AD2 = AB2 一 BD2 = 102 一 62 = 64 : AD = 8 （三）简单的解直角三角形 例 4. 已知直角三角形两直角边边的长为 3 和 4 ，则此三角形的周长为（ A ） A ．12 B ．7＋ C ．12 或 7＋ D ．以上都不对 例 4.变式 1. 如图所示，直角三角形 ABC 的周长为 24 ，且 AB：BC=5 ：3 ，则AC = （ B ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 例 4.变式 2. 在 Rt△ABC 中， ∠C ＝90° , 且2a = 3b ，c2 = 52 ，则a = 6 ，b = 4 . 例 4.变式 3. 若一个直角三角形的一条直角边长是 7 cm ，另一条直角边比斜边短 1 cm ，则该直角三 角形的斜边长为 25 . 3/8 学科网（北京）股份有限公司 二、勾股定理的逆定理 （一）勾股定理的逆定理 例 5. 在△ABC 中，AB＝6，AC＝8 ，BC ＝10 ，则该三角形为（ B ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 例 5.变式 1. 下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（ D ） A ．三内角之比为 1 ︰ 2 ︰ 3 B ．三边长的平方之比为 1 ︰ 2 ︰ 3 C ．三边长之比为 3 ︰ 4 ︰ 5 D ．三内角之比为 3 ︰ 4 ︰ 5 例 5.变式 2. 如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2 倍，那么斜边长扩大到原来的 （ B ） A ．1 倍 B ．2 倍 C ．3 倍 D ．4 倍 例 5.变式 3. 下列说法中正确的有（ C ） ①若∠A： ∠B： ∠C= 1 ：1 ：2 ，则△ABC 是直角三角形； ②若∠A﹣ ∠B=∠C，则△ABC 是直角三角形； ③若三角形的三边分别为 9 、40 、41 ，则△ABC 是直角三角形； ④若三角形的三边分别为 2n 、3n 、4n ，则△ABC 是直角三角形． A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个 （二）勾股数 例 6. 勾股数中是三个连续偶数的是 6,8, 10 ；是三个连续整数的是 3,4,5 . 例 6.变式 1. 下列各组数是勾股数的是（ C ） 1 1 1 1 1 5 A ．3 , 4 , 7 B ． C ．5 , 12 , 13 D ． 3，4 ，12 例 6.变式 2. 若 15 , 36 ，x 三数能构成勾股数，则x 为 39 . 例 6.变式 3. 观察下列各式：32 + 42 = 52 ，82 + 62 = 102 ，152 + 82 = 172 ，242 +102 = 262 ， … ，你有 没有发现其中的规律?请用含n 的代数式表示此规律，再根据规律写出接下来的式子． (n +1)2 一1 2 + 2 (n +1) 2 = (n +1 )2 +1 2 4/8 学科网（北京）股份有限公司 （2） 勾股定理和逆定理综合练习 5/8 学科网（北京）股份有限公司 例 7.变式 1. 若一个三角形的三边长分别为m 十 1, m 十 2, m 十 3 (其中m 为整数) ，则m = 2 时三角形 是直角三角形. 例7.变式2. 若△ABC的三边a 、b 、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0 ，则△ABC是 ( D ) A ． 等腰三角形 B ． 等边三角形 C ． 等腰直角三角形 D ． 等腰三角形或直角三角形 例 7.变式 3. 适合下列条件的△ABC 中，直角三角形的个数为（ B ） a = b ，7A = 45o （ 7A，7B，7C 分别对应a, b, c ）（3）7A = 32o ， 7B = 58o ，（4）a = 7 ，b = 24 ，c = 25 （5）a = 25 ，b = 2 ，c = 3 A ．2 个 B ．3 个 C ．4 个 D ．5 个 三、勾股定理的综合运用 （一）直角判断 例 8. 在△ABC 中，如果 AC2+BC2=AB2 ，那么 7ACB =90° . 例 8.变式 1. 三角形的三边长为 a、b、c，且满足等式（a+b）2﹣c2=2ab，则此三角形是 直角 三 角形（直角、锐角、钝角）. 例 8.变式 2. 若直角三角形两直角边的边长分别是 5 和 12 ，则斜边上的高为（ B ） A ．6 B ． C ． D . （二）综合运用 例 9. 如图，某会展中心在会展期间准备将高 5 m，长 13 m，宽 2 m 的楼道上铺地毯，已知地-毯每平 方米 18 元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 612 元. 例 9.变式 1. 某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点 C 偏离了欲到达点 B，结果离欲到达 B 点 240 米， 已知他在水中游了 510 米，求该河的宽度（两岸可以近似看做平行） 解：由题意得：在ΔABC中， AC = 510, BC = 240, 上ABC = 90° : AB2 = AC2 一 BC2 = 5102 一 2402 = 4502 : AB = 450 则该河岸的宽度AB为450米. 例 9.变式 2. 如图，已知直角△ABC 的两直角边分别为 6 ，8 ，分别以其三边为直径作半圆，求图中 学科网（北京）股份有限公司 阴影部分的面积. 解：由题意得：在ΔABC中， AC = 6, BC = 8, 上ACB = 90° :AB2 = AC2 + BC2 = 62 + 82 = 102 :AB = 10 S总=SΔABC + S半圆AC + S半圆BC = 1 × 6 × 8 + π × (| 6 )|2 + π × (| 8 )|22 2 ( 2 , 2 ( 2 , = 24 + + = 24 + S阴影=S总 一 S半圆AB = 24 + 25π 一 π × (|10)|22 2 ( 2 , 25π 25π = 24 + 一 2 2 = 24 6/8 例 9.变式 3. 如图，△ABC 中，AB= 10，AC= 17 ，BC=21 ，求△ABC 的面积. 解：作AD 丄 BC,交BC于点D. 在RtΔABD中，上ADB = 90o AB2 一 BD2 = AD2 设BD = x, AB = 10 : AD2 = 102 一 x2 在RtΔADC中，上ADC = 90o, AC = 17 AC2 一 CD2 = AD2 BC = 21 : CD = BC 一 BD = 21一 x : AD2 = 172 一 (21一 x )2 :172 一 (21一 x )2 = 102 一 x2 : x = 6, 即BD = 6 在RtΔABD中，上ADB = 90o, AB = 10, BD = 6 AD2 = AB2 一 BD2 = 102 一 62 = 64 : AD = 8 （三）最短路径问题 例 10. 如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和 2cm ，高为 4cm ，点 P 在边 BC 上，且 BP= 如 果用一根细线从点 A 开始经过 3 个侧面缠绕一圈到达点 P ，那么所用细线最短需要 5 cm . 例 10.变式 1. 小明把一根 70cm 长的木棒放到一个长宽高分别为 30cm ，40cm ，50cm 的木箱中，他 能放进去吗？答： 能 （选填“能”或“不能”）. 例 10. 变式 2. 一只螳螂在一圆柱形松树树干的A 点处，发现它的正上方 B 点有一只小虫子，螳螂想 捕到这只虫子，但又怕被发现，于是按如图所示的路线，绕到虫子后面吃掉它。已知树干的周长是 20cm，A 、B 两点的距离为 15cm 。螳螂想吃掉虫子，绕行的最短路程是 25cm . 7/8 学科网（北京）股份有限公司 例 10.变式 3. 如图，圆柱形玻璃杯，高为 8cm ，底面周长为 12cm ，在杯内离杯底 2cm 的点 C 处有 一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 2cm 与蜂蜜相对的点A 处，蚂蚁到达蜂蜜的最短 距离是 10cm . 7/7 学科网（北京）股份有限公司 $$