专题3.4导数综合强化训练（45题）-备战2025年新高考数学一轮复习题型突破精炼（新高考专用）

专题3.4导数综合强化训练 一、单选题 1．已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．设曲线在点处的切线与直线平行，则（    ）. A．1 B．2 C． D． 4．若对任意的，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，有大于的极值点，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，，是的导函数，且，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．如果在区间上是单调函数，那么实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知直线与函数的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数的图象在点处的切线方程为.若函数至少有两个不同的零点，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数的导函数是，且，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．设函数，若存在使得既是的零点，也是的极值点，则的可能取值为（   ） A．0 B． C． D． 13．设，，，则（ ） A． B． C． D． 14．已知是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意的正数a，b，若，则必有（    ） A． B． C． D． 15．若正实数，，满足，，则（    ） A． B． C． D． 16．已知不恒为0的函数的定义域为，则不正确的（    ） A． B．是奇函数 C．是的极值点 D． 二、多选题 17．已知函数，若函数在上存在最小值，则a的可能取值为（    ） A． B． C． D．0 18．已知函数在区间上单调递减，则实数可以是（    ） A．0 B． C．1 D． 19．设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，无极值点 C．，使在上是减函数 D．图象对称中心的横坐标不变 20．已知，满足，则（    ） A． B． C． D． 21．已知定义在上的函数满足为偶函数，为奇函数，当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数为周期函数 C．函数为上的偶函数 D． 22．已知函数，，，则下列说法中正确的是（    ） A．函数只有1个零点，当时，函数只有1个零点． B．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数． C．，且，都有． D．，，使得成立，则实数． 三、填空题 23．若曲线在点处的切线与曲线相切，则 ． 24．设函数，若对于任意的，都有成立，则实数a的值为 ． 25．函数的极小值点为，则实数的值为 . 26．已知函数，对任意，总有成立，则实数的取值范围为 . 27．设函数的零点为，则当a的取值为 时，的最大值为 ． 28．定义在上的函数满足，，则关于x的不等式的解集为 . 29．已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为 ． 30．已知函数有4个不同的零点，则的取值范围为 . 四、解答题 31．曲线在点处的切线的斜率为，求该曲线在点处的切线方程. 32．已知函数. (1)求函数在处的切线方程； (2)当时，求函数的最大值. 33．已知函数． (1)求函数的极值； (2)解不等式：． 34．已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)求出方程的解的个数． 35．设函数，其中， (1)求； (2)若在是严格增函数，求实数a的取值范围； (3)若在上存在单调递减区间，求实数a的取值范围． 36．已知函数，其中． (1)若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a、b的值； (2)若在R上是严格增函数，求实数a的取值范围． 37．已知，其中． (1)若函数在处的切线与轴平行，求的值； (2)求的极值点； (3)若在上的最大值是0，求的取值范围． 38．已知函数（）． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)设，求函数的极大值． 39．设函数. (1)若直线是曲线的切线，求实数的值； (2)讨论的单调性； (3)当时，记函数，若，证明：. 40．已知函数. (1)若，求在上的最大值和最小值； (2)若，当时，证明：恒成立； (3)若函数在处的切线与直线垂直，且对，恒成立，求实数的取值范围. 41．已知函数在处的切线方程为. (1)求实数a的值； (2)探究在区间内的零点个数，并说明理由. 42．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)已知函数有两个零点，求实数的取值范围. 43．已知函数 (1)求函数的最小值； (2)证明：. 44．已知函数，的图像在处的切线过原点． (1)求的值； (2)设，，其中，若对，总，使成立，求整数的取值范围． 45．已知，，若函数有两个零点m，n，且. (1)a的取值范围； (2)证明：当时，； (3)证明：（注：是自然对数的底数）． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.4导数综合强化训练 一、单选题 1．已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，. 故选：D. 2．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】构造函数，， 当时，，单调递增， 所以，. 故选：A. 3．设曲线在点处的切线与直线平行，则（    ）. A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由函数，可得，则， 因为直线的斜率为2，可得. 故选：B. 4．若对任意的，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，恒成立，即当时，恒成立， 设，则单调递减， 而在上恒成立，即在上恒成立， 所以. 故选：C. 5．已知函数，有大于的极值点，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为的定义域为，且， 令，可得， 构建， 由题意可知：与在有交点， 则对任意内恒成立， 可知在内单调递增，则， 可得，即， 所以a的取值范围为. 故选：D. 6．已知函数，，是的导函数，且，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，则． 注意到在上单调递增，在上单调递减. 则，所以,即a的最小值为. 故选：B 7．如果在区间上是单调函数，那么实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知， 因为是单调函数, 所以恒成立或恒成立， 所以恒成立或恒成立， 所以或, 所以或. 故选：A. 8．已知直线与函数的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以在上单调递减，在上单调递增． 令，得，所以直线与的图象相切时的切点为，此时， 所以当时，直线与的图象有两个不同的交点． 故选：A. 9．已知函数的图象在点处的切线方程为.若函数至少有两个不同的零点，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，得，，，.令，得，. 当或时，，在，上单调递增； 当时，，在上单调递减 当时，有极大值；当时，有极小值. 若要使至少有两个不同的零点，只需（等号不同时成立），解得. 故选：B 10．已知函数的导函数是，且，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，（c为常数），是偶函数，且在上单调递增， 又，，则， 对于A，，A错误； 对于B，， ，，B正确； 对于C，，，C错误； 对于D，， ，，D错误. 故选：B 11．已知函数有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为有三个零点， 所以有三个根，所以和有三个交点， 而，令，， 令，， 所以在上分别单调递增，在上单调递减， 所以极小值为，极大值为， 当时，，时，， 所以，故B正确. 故选：B 12．设函数，若存在使得既是的零点，也是的极值点，则的可能取值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 令，则或， 当时，由，得， 所以，则 当时，由，得， 由，得或， 当时，不存在极值点， 当时，得， 综上，， 所以当时，. 故选：B 13．设，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，则， ，令， 求导得，令， 求导得，而，，， 于是，即，函数在上单调递增， 则，因此函数在上单调递增，有，即， 所以. 故选：B 14．已知是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意的正数a，b，若，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，，则， 所以在上单调递减， 若，则，故A正确，C错误； 因为，且是定义在上的非负可导函数， 所以， 令，，则， 所以在上单调递减， 若，则， 即，故BD错误. 故选：A. 15．若正实数，，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，则，则，则. 则，则，则 先比较a，b：作差，设， 求导，则在单调递减. ，，故有正负还有零. 即值有正负还有零，故不能比较大小.故A错误. 再比较a，c：作差，设，求导，则 由于，则在单调递减. ，则在单调递增. 且，则，即，即.故B正确． 最后比较b，c，由于，假设满足题意， 假设，即，即，即也满足题意， 假设，即，即，即也满足题意． 则无法比较大小，故CD错误. 故选：B. 16．已知不恒为0的函数的定义域为，则不正确的（    ） A． B．是奇函数 C．是的极值点 D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为， 对于A，令，则，解得，A正确； 对于B，，取，则， 因此，令，即有， 因此函数是奇函数，即是奇函数，B正确； 对于C，选项B中，令，则，求导得， 因为，因此不是的极值点，C错误； 对于D，， 由，得，即， 因此，D正确． 故选：C 【点睛】关键点点睛：对于选项C：直接判断不容易说明时，可以通过举反例的方式说明，简化分析推理过程. 二、多选题 17．已知函数，若函数在上存在最小值，则a的可能取值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】AD 【详解】，， 当时，，故在上单调递减； 当或时，，故在上单调递增， 函数在处取得极小值，在处取得极大值． 令，解得或， 函数在上存在最小值，且为开区间， ，解得． 故选：AD. 18．已知函数在区间上单调递减，则实数可以是（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】ABD 【详解】在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 令，则，所以在区间上单调递增， 所以的最小值为，所以的取值范围是， 对比选项可知，只有ABD符合题意. 故选：ABD. 19．设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，无极值点 C．，使在上是减函数 D．图象对称中心的横坐标不变 【答案】BD 【详解】对于A，当时，，求导得， 令得或，由，得或，由， 得，于是在，上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，因此最多有一个零点，A错误； 对于B，，当时，，即恒成立， 函数在上单调递增，无极值点，B正确； 对于C，要使在上是减函数，则恒成立， 而不等式的解集不可能为，C错误； 对于D，由， 得图象对称中心坐标为，D正确. 故选：BD 20．已知，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，令，则， 所以在上单调递增，因为， 所以，即，故B正确； 对于C，因为，所以，所以，故C正确；     对于D，因为， 所以，可得， 故D错误. 故选：BC. 21．已知定义在上的函数满足为偶函数，为奇函数，当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数为周期函数 C．函数为上的偶函数 D． 【答案】AB 【详解】因为为偶函数， ，故函数图象关于直线对称， 为奇函数，1），函数图象关于对称， 对于B，，故2是函数的周期，函数为周期函数，故B正确； 对于A，，令，故， 又，故A正确； 对于C，，当时，，即函数在上递增， 函数图象关于对称，故函数在上递减，故函数在上递增， 所以，故函数不是偶函数，故C错误； 对于D，，故D错误， 故选：AB. 【点睛】抽象函数的判断一般会从函数奇偶性、周期性和对称性的定义推得相关的函数性质； 22．已知函数，，，则下列说法中正确的是（    ） A．函数只有1个零点，当时，函数只有1个零点． B．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数． C．，且，都有． D．，，使得成立，则实数． 【答案】BD 【详解】由题意， 故当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 定义域为，， 故当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 对于A，令，故函数只有1个零点； 当时，，故没有零点，故A错误； 对于B，，时，，时，， 故有两个不相等的实数根，则实数，故B正确； 对于C，在上单调递减，故C错误； 对于D，，，成立，则， 所以，即，故D正确. 故选：BD. 【点睛】思路点睛：恒成立和有解问题通常转化成最值问题来求解，解决本题可先利用导数求出函数的单调性，从而可求出函数值正负分布情况和最值，进而可依次求解各选项. 三、填空题 23．若曲线在点处的切线与曲线相切，则 ． 【答案】 【详解】由，所以，则， 所以曲线在点处的切线为，即； 又与曲线相切， 由，可得， 则，解得或（舍去）， 故答案为： 24．设函数，若对于任意的，都有成立，则实数a的值为 ． 【答案】4 【详解】由题意得，，令，解得，． ①当时，，单调递增； ②当时，，单调递减； ③当时，，单调递增． 所以只需，且即可， 由，可得， 由，可得， 综上可得，． 故答案为：4. 25．函数的极小值点为，则实数的值为 . 【答案】2 【详解】因为，得到， 由题知，解得或， 当时，， 由，得到或，由，得到， 则在上单调递增，在上单调递减， 此时是极大值点，不合题意， 当时，，由，得到或，由，， 则f(x)在上单调递增，在上单调递减， 此时是极小值点，符合题意， 故答案为：. 26．已知函数，对任意，总有成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】依题意，，， 显然，则有，于是， 令，求导得， 当，即时，，函数在上单调递增， ，即； 当，即时，当时， ，函数在上单调递减， ，，此时，不符合题意， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 27．设函数的零点为，则当a的取值为 时，的最大值为 ． 【答案】 e 【详解】由题意，所以，即， 所以，即， 令，则， 因为当时，，当时，， 所以当时，单调递增，当时，单调递减， 所以当时，有最大值. 故答案为：，. 【点睛】关键点点睛：关键在于得出，从而构造函数即可顺利得解. 28．定义在上的函数满足，，则关于x的不等式的解集为 . 【答案】 【详解】因时，，即，也即， 取，则，即在上单调递减， 又，则， 由可得，故得，，解得，. 故答案为：. 29．已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】设，则， ，，，在R上单调递减， ，， 又，，， 的解集为． 故答案为：. 30．已知函数有4个不同的零点，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】解：由题意可得方程有4个不同的根， 方程的2个根为， 则方程有2个不同的根，且， 即函数与函数的图象有两个交点. 当直线与函数的图象相切时， 设切点为，因为，所以 解得. 要使函数与函数的图象有两个交点， 只需直线的斜率大于， 故的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 31．已知函数. (1)求函数在处的切线方程； (2)当时，求函数的最大值. 【答案】(1) (2)21 【详解】（1）因为，所以. 所以切线方程为，即. （2）令， 因为，所以在单调递增，单调递减， 所以. 32．已知函数． (1)求函数的极值； (2)解不等式：． 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2) 【详解】（1）函数的定义域为全体正实数， 由， 令，于是有 单调递增 单调递减 单调递增 因此，当时，有极大值，并且极大值为， 时，有极小值，并且极小值为； （2）由（1）可知： 函数在时单调递增，而，所以此时有， 在时单调递减，所以有， 因此要想，有，则必有， 当时，函数单调递增，而， 所以由， 因此不等式的解集为. 33．已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)求出方程的解的个数． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【详解】（1）函数的定义域为． ．令解得或． 则、、的关系列表如下： 0 0 0 单调递增 极大值 单调递减 单调递减 极小值 单调递增 的单调递增区间为． （2）方程的解的个数为函数的图象与直线的交点个数． 在（1）中可知：在区间上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，在处取得极小值， 令，得． 当时，的图像过点． 当时，，但始终在轴上方； 当从的左侧无限近于时，；当从的右侧无限近于时，； 当时，；当时，． 根据以上性质，作出函数的大致图象如图所示， 当时，与没有交点，则方程的解为个； 当或或时，与有个交点，则方程的解为个； 当或时，与有个交点，则方程的解为个． 34．设函数，其中， (1)求； (2)若在是严格增函数，求实数a的取值范围； (3)若在上存在单调递减区间，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【详解】（1）由， 得， 所以， （2）由题意得，在上恒成立， 即在恒成立， 因为在上递减，所以的最大值为， 所以，即实数a的取值范围为； （3）由题意得，在上有解，即在上有解， 因为在上递减， 所以， 所以， 即实数a的取值范围为． 35．已知函数，其中． (1)若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a、b的值； (2)若在R上是严格增函数，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，； (2)． 【详解】（1）由， 得， 由题意得，，即， 解得，； （2），由题意得，在R上恒成立， 则， 化简得，解得． 36．已知，其中． (1)若函数在处的切线与轴平行，求的值； (2)求的极值点； (3)若在上的最大值是0，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)． 【详解】（1）函数的定义域为， ， 因为函数在处的切线与x轴平行， 所以，解得． （2）函数的定义域为， ． 令得或， 所以当，即时， 的解集为，的解集为， 所以函数在区间和上严格减，在区间上严格增， 是函数的极大值点，是函数的极小值点； 当，即时，在区间上恒成立，此时函数在区间上严格减，无极值点； 当，即时， 的解集为，的解集为， 所以函数在区间和上严格减，在区间上严格增， 是函数的极小值点，是函数的极大值点； 综上，当时，是函数的极大值点，是函数的极小值点； 当时，函数在区间上严格减，无极值点； 当时，是函数的极小值点，是函数的极大值点． （3）由（2）知，当时，函数在区间上严格减， 在区间上严格增，故函数在上的最大值是， 与已知矛盾； 当时，函数在区间上严格减，最大值，满足条件； 当时，函数在区间上严格减，最大值是，满足条件； 综上，a的取值范围是． 37．曲线在点处的切线的斜率为，求该曲线在点处的切线方程. 【答案】或 【详解】求导得. 令，则. 当时，切点为 所以该曲线在处的切线方程为 即； 当时，切点为 所以该曲线在处的切线方程为 即 综上知，曲线在点处的切线方程为或. 38．已知函数（）． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)设，求函数的极大值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，， 则， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； （2）函数的定义域为， ，则， 则， 当时，，此时函数无极值； 当时，令，则或； 令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为； 综上所述，当时，函数无极大值； 当时，的极大值为. 39．设函数. (1)若直线是曲线的切线，求实数的值； (2)讨论的单调性； (3)当时，记函数，若，证明：. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）设切点为，， 所以切线方程为， 因为直线是曲线的切线， 所以，即， 化简切线方程得， 所以，解得， 所以. （2）， 当时，， 所以在上单调递增， 当时，令，解得， 所以在上单调递增， 令，解得， 所以在上单调递减， 综上可知，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）由题意知，， 令， 由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 所以，可得， 所以在上单调递减， 因为， 所以，中至少有一个大于（否则若，有，这与矛盾）， 不妨设，， 所以， 所以， 令 ， 因为，所以，即，又， 所以，即， 可得， 所以. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于证明即可，其中，由此即可顺利得证. 40．已知函数. (1)若，求在上的最大值和最小值； (2)若，当时，证明：恒成立； (3)若函数在处的切线与直线垂直，且对，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)最大值是，最小值是 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）当时，，， 令可得，故当时，在单调递减； 当时，在单调递增； 故递减区间为，递增区间为 函数的极小值是唯一的极小值，无极大值. 又， 在上的最大值是，最小值是 （2）因为，所以令， . 当时，，则在上单调递增， 所以当时，，所以恒成立. （3）因为函数的图象在处的切线与直线垂直， 所以，即，解得 所以. 因为对，恒成立， 所以对，恒成立. 令，则 令，解得；令，解得， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，则，解得：. 所以实数的取值范围为 41．已知函数在处的切线方程为. (1)求实数a的值； (2)探究在区间内的零点个数，并说明理由. 【答案】(1) (2)在区间有且仅有两个零点,理由见解析. 【详解】（1）由题可知， 由处的切线方程为， 把点代入得． （2）由（1）可知， 令， 当时，，则在区间上单调递增． ， 由零点存在定理可知，存在，使得，即 当时，，则在区间上单调递减； 当时，，则在区间上单调递增， 又， 由零点存在定理可知在区间上有且仅有一个零点． 当时，； 当时，： 在区间上单调递增． 又， 由零点存在定理可知，存在唯一零点，使得， 综上可得，在区间有且仅有两个零点． 42．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)已知函数有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）的定义域为， . 若，则恒成立，在上单调递增； 若，则当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）， 则， 又因为函数单调递增，且， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当，即时，， ， 所以在和上各有一个零点. 当时，的最小值为，且， 所以在上至多只有一个零点. 综上，实数的取值范围是. 43．已知函数 (1)求函数的最小值； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1），令可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以 （2）因为，所以只需证明， 下面分别研究左、右两边，考虑证明左边的最小值大于右边的最大值. 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，所以， 由(1)知. 又因为取等号时，取等号时， 所以等号不能同时取到，故，则原不等式得证. 44．已知函数，的图像在处的切线过原点． (1)求的值； (2)设，，其中，若对，总，使成立，求整数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）易知的定义域为，且， 又，所以， 得到的图象在处的切线方程为， 将代入，得. （2）， 当时，取得最小值，， 由（1）知，所以，得，易知的定义域为， 则，易知单调递增， 又，， 即在区间上有唯一解，使，则， 所以当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 在处取得极小值也是最小值， 则， 又，所以， 所以对，总，使成立， 必须且只需，得， 故整数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：第二问问题等价于，利用导数研究函数的单调性，结合隐零点计算其最小值，利用对勾函数单调性考察其在哪两个整数相邻之间，根据二次函数求，然后根据题意，得到整数的不等式，解不等式即可. 45．已知，，若函数有两个零点m，n，且. (1)a的取值范围； (2)证明：当时，； (3)证明：（注：是自然对数的底数）． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）（），所以， 由. 若，则在上恒成立，所以在上单调递增， 所以在不可能有两个零点. 若，由可得，所以在上单调递增，在上单调递减，且当时，；当时，. 所以函数在有两个零点，可转化为：， ∴．所以． （2）证明：要证只需证， 只需证，即证， 故令，，只需证， 构造新函数，则， 函数在上单调递增，故，不等式得证. （3）由函数有两个零点m，n，且知 ∴ ∴ ∴ 由（2）知 ∴ ∴ 由（1）得，∴，∴ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$