精品解析：2024年辽宁省中考数学模拟押题预测试题

2024年辽宁省中考数学模拟押题预测试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2024年春节期间国内旅游出行合计约人次，比2023年大幅增加．数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 2. 古代中国建筑之魂——传统的榫卯结构，榫卯是中国古代建筑、家具及其它木制器械的主要结构方式，是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图所示是榫卯结构中的一个部件，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 以下图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. ，且 C. ，且 D. 6. 下列关于一次函数的图像性质说法中，不正确的是（ ） A. 直线与x轴交点的坐标是 B. 直线经过第一、二、四象限 C. y随x增大而减小 D. 与两坐标轴围成的三角形面积为4 7. 如图1，图2，点C是上一点，利用尺规过点C作，下列说法错误的是（ ） A. 图1的原理是同位角相等，两直线平行 B. 以点E为圆心，以为半径作弧，得到弧 C. 图2的原理是两直线平行，内错角相等 D. 以点C为圆心，以为半径作弧，得到弧 8. 菱形的对角线交于点O，过点A作，垂足为E，交于点E，若，菱形的面积为24，则的长为（ ） A. 2.4 B. 4 C. 4.8 D. 5 9. 学校组织植树活动，已知在甲处植树的有人，在乙处植树的有人现调人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的倍，问应调往甲、乙两处各多少人？设应调往甲处人，则所列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 10. 在一节《综合与实践》课上，老师和同学们正在进行剪纸活动．老师用一张边长为2的正方形纸片按如下步骤确定线段的位置，最后剪下矩形： ①作的垂直平分线分别交，于点，； ②连接，作的角平分线，交于点； ③过点作于点； 小刘同学通过推理计算出的值为（ ），于是他明白了老师的用意． A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若式子在实数范围内有意义，则取值范围是________． 12. 在直角坐标平面内，点向下平移3个单位，又向右平移1个单位得到点B，那么点B坐标是______． 13. “石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3种手势中的1种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢．假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种，则乙不输的概率为_______________． 14. 反比例函数的图象经过点，当且时，x的取值范围为 _____________ 15. 如图，在中，，，点D为中点，点P在上，且，将绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接、，当时，的长为___________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 为丰富学生的校园生活，某校计划购买一批跳绳和毽子供学生体育运动使用，已知购买1根跳绳和2个毽子共需35元，购买2根跳绳和3个毽子共需65元． （1）跳绳和键子的单价分别是多少元？ （2）若学校购买跳绳和毽子共100件，且购买这批体育用品的总费用不超过2100元，则最多能购买多少根跳绳？ 18. 为倡导绿色健康节约的生活方式，郑州市博物院社区开展“共建节约型社区”之减少塑料袋活动，鼓励居民自觉减少塑料袋的使用量，以促进环保．志愿者随机抽取了社区内100名居民，对其2023年2月5日(元宵节)当天购物塑料袋使用次数进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表：信息甲：使用塑料袋情况分布表信息 组别 使用塑料袋个数 频数 A 合计 信息乙：使用塑料袋个数占比统计图 信息丙：组包含的数据：14，14，13，13，13，13，13，13，12，12，12，12，12，11，11，11，11，10，10，10，10，10． 请结合以上信息完成下列问题： （1）统计表中的 ， ； （2）统计图中A组对应扇形的圆心角为 度； （3）C组数据的众数是 ，抽取的100名居民2023年2月5日(元宵节)当天购物塑料袋使用次数的中位数是 ； （4）根据调查结果，请你估计该社区3000名购物居民中2023年2月5日(元宵节)当天购物塑料袋使用次数不少于15次的人数． 19. 如图，平面直角坐标系中，线段的端点为，． （1）求所在直线的解析式； （2）某同学设计了一个动画，如图，函数（，）的图象经过点时，会从C处弹出一个光点P，并沿射线飞行．若光点P击中线段AB上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段就会发光，当线段发光时，求此时整数m的个数． 20. 我国素有“基建狂魔”的称号，设计并建造了大量的世纪工程，如三峡大坝及三峡水电工程；秦岭隧道工程；珠港澳跨海大桥工程……每天的工程建设都在如火如荼地进行着．如图，某天一台塔吊正对新建的大楼进行封顶施工，现在我们将这个实际问题通过数学建模抽象成以下数学问题，如果工人在楼顶A处测得吊钩D处的俯角，测得塔吊B，C两点的仰角分别为和，此时米，塔吊需向A处吊运材料．（参考数值，，） （1）求楼顶A到平衡臂的距离（结果保留根号）； （2）吊钩D需向右、向上分别移动多少米才能将材料送达A处？（结果保留根号） 21. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为点，过点作的切线，与的延长线相交于点． （1）求证：； （2）若的半径为5，，求的长． 22. （1）【建立模型】在数学课上，老师出示这样一个问题：如图1，在中，，，直线l经过点C，，，垂足分别为点D和点E，求证：，请你写出证明过程； （2）【类比迁移】勤奋小组在这个模型的基础上，继续进行探究问题：如图2，在平面直角坐标系中，直线的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，反比例函数的图象经过点B，请你求出反比例函数的解析式； （3）【拓展延伸】创新小组受到勤奋小组的启发，结合抛物线的图象继续深入探究：如图3，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，创新小组的同学发现在第一象限的抛物线的图象上存在一点P，连接，当时，请你和创新小组的同学一起求出点P的坐标． 23. 实践操作： 第一步：如图（1），正方形纸片边上有一点P，将正方形纸片沿对折，点A落在点E处； 第二步：如图（2），将正方形沿对折，得到折痕，把纸片展平； 第三步：如图（3），将图（1）中纸片沿对折，得到折痕，把纸片展平； 第四步：如图（4），将图（3）中纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展平，发现点E刚好在折痕上． 问题解决： （1）在图（2）中，判断与的数量关系，并证明你的结论； （2）在图（3）中，求证：的周长不变； （3）在图（4）中，若正方形边长为，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年辽宁省中考数学模拟押题预测试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2024年春节期间国内旅游出行合计约人次，比2023年大幅增加．数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，按照定义，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可得到答案，确定与的值是解决问题的关键． 【详解】解：有9个位数，根据科学记数法要求表示为， 故选：D． 2. 古代中国建筑之魂——传统的榫卯结构，榫卯是中国古代建筑、家具及其它木制器械的主要结构方式，是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图所示是榫卯结构中的一个部件，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 根据三视图的定义求解即可． 【详解】解：从正面看整体是一个长方形，但是长方形上方有一部分没有封闭，故A、B不符合题意，而从正面看立体图形中的小长方形的棱是能看见的，故不能是虚线，故D不符合题意， 故选：C． 3. 以下图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项合题意； C．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项，同底数乘除法，积的乘方和幂的乘方，根据合并同类项，同底数乘除法，积的乘方和幂的乘方运算法则进行计算即可 【详解】解：A. 与不能合并，故此选项计算错误，不符合题意； B. ，计算正确，符合题意； C. ，故此选项计算错误，不符合题意； D. ，故此选项计算错误，不符合题意； 故选：B 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. ，且 C. ，且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k-3≠0且Δ=42-4（k-3）×1＞0，然后解不等式组即可． 【详解】解：根据题意得k-3≠0且Δ=42-4（k-3）×1＞0， 解得k＜7且k≠3． 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 6. 下列关于一次函数的图像性质说法中，不正确的是（ ） A. 直线与x轴交点的坐标是 B. 直线经过第一、二、四象限 C. y随x的增大而减小 D. 与两坐标轴围成的三角形面积为4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意由题目中的函数解析式利用一次函数图象的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：A、直线与 x 轴交点的坐标是，故符合题意； B、一次函数的图象中，，故直线经过第一、二、四象限，故不符合题意； C.、一次函数的图象中 ，有y 随 x 的增大而减小，故不符合题意； D、由一次函数 可知与坐标轴的交点坐标分别为和，∴与坐标轴围成的三角形面积为4，故不符合题意； 故选：A． 7. 如图1，图2，点C是上一点，利用尺规过点C作，下列说法错误的是（ ） A. 图1的原理是同位角相等，两直线平行 B. 以点E为圆心，以为半径作弧，得到弧 C. 图2的原理是两直线平行，内错角相等 D. 以点C为圆心，以为半径作弧，得到弧 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定与尺规作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法． 根据平行线的判定及尺规作一个角等于已知角的方法逐一判断即可． 【详解】解：A．图1的作图是作，故原理是同位角相等，两直线平行，故本选项不符合题意； B．以点E为圆心，以为半径作弧，得到弧，故本选项不符合题意； C．图2的作图是作，原理是内错角相等，两直线平行，故本选项符合题意； D．以点C为圆心，以为半径作弧，得到弧，故本选项不符合题意， 故选：C． 8. 菱形的对角线交于点O，过点A作，垂足为E，交于点E，若，菱形的面积为24，则的长为（ ） A. 2.4 B. 4 C. 4.8 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形面积对角线积的一半可求，再根据勾股定理得出．结合，即可作答．本题考查了菱形的性质，勾股定理，关键是灵活运用这些性质解决问题． 【详解】解：是菱形， ，， ∴ 则， ∴ ∴ 中， ， ∴ 则， 故选：C． 9. 学校组织植树活动，已知在甲处植树有人，在乙处植树的有人现调人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的倍，问应调往甲、乙两处各多少人？设应调往甲处人，则所列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应调往甲处人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设应调往甲处人， 由题意可得，， 故选：． 10. 在一节《综合与实践》课上，老师和同学们正在进行剪纸活动．老师用一张边长为2的正方形纸片按如下步骤确定线段的位置，最后剪下矩形： ①作的垂直平分线分别交，于点，； ②连接，作的角平分线，交于点； ③过点作于点； 小刘同学通过推理计算出的值为（ ），于是他明白了老师的用意． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作于点，连接，设，则，由角平分线的性质可得，求出，证明得到，则，勾股定理得到，解得． 【详解】作于点，连接， 设，则， 根据角平分线的性质，可知， ∵是垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，由勾股定理可得． ∴ ． 解得， 故选：B 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质、垂线的尺规作图等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件．根据被开方数为非负数，以及分式中分母不能为0，列不等式组求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 12. 在直角坐标平面内，点向下平移3个单位，又向右平移1个单位得到点B，那么点B的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵点向下平移3个单位，又向右平移1个单位得到点B， ∴点B的坐标是，即， 故答案为：． 13. “石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3种手势中的1种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢．假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种，则乙不输的概率为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图得到所有可能的结果数，然后找出符合条件的结果数，再根据概率公式进行计算即可得． 【详解】解：画树状图为： 共有9种等可能的结果数，乙不输的结果数有6种， 所以乙不输的概率的概率． 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 14. 反比例函数的图象经过点，当且时，x的取值范围为 _____________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，先利用待定系数法求得函数解析式，再求得当时和当时的值，进而可求解，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】解：依题意得：， 即：， ， 当时，， 当时，， 当且时，x的取值范围为或， 故答案为：或． 15. 如图，在中，，，点D为的中点，点P在上，且，将绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接、，当时，的长为___________． 【答案】5或 【解析】 【分析】连接，利用勾股定理得到，，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，由旋转的性质可知，分两种情况讨论：①点在线段上；②点在的延长线上，利用勾股定理即可求得的长． 【详解】解：如图，连接， 在中，，， ， 点D为的中点， ，， 由旋转的性质可知，， ①点在线段上， ， ， 在中，； ②点在的延长线上， 在中，，， ， 综上可知，当时，的长为5或， 故答案为：5或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质，运用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）6； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，分式的混合运算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）分别计算零指数幂，化简绝对值，计算特殊角的三角函数值，负整数指数幂，再进行加减运算； （2）先化简括号内分式，再将除法运算转化为乘法运算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 为丰富学生的校园生活，某校计划购买一批跳绳和毽子供学生体育运动使用，已知购买1根跳绳和2个毽子共需35元，购买2根跳绳和3个毽子共需65元． （1）跳绳和键子的单价分别是多少元？ （2）若学校购买跳绳和毽子共100件，且购买这批体育用品的总费用不超过2100元，则最多能购买多少根跳绳？ 【答案】（1）跳绳的单价是25元，毽子的单价是5元 （2）最多购买80根跳绳 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设跳绳的单价是元，毽子的单价是元，根据购买1根跳绳和2个毽子共需35元，购买2根跳绳和3个毽子共需65元，列出方程组进行求解即可； （2）设学校购买根跳绳，根据学校购买跳绳和毽子共100件，且购买这批体育用品的总费用不超过2100元，列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设跳绳的单价是元，毽子的单价是元． 依题意，得解得 答：跳绳的单价是25元，毽子的单价是5元． 小问2详解】 设学校购买根跳绳，则购买个毽子． 依题意，得，解得， 的最大值为80． 答：最多购买80根跳绳． 18. 为倡导绿色健康节约的生活方式，郑州市博物院社区开展“共建节约型社区”之减少塑料袋活动，鼓励居民自觉减少塑料袋的使用量，以促进环保．志愿者随机抽取了社区内100名居民，对其2023年2月5日(元宵节)当天购物塑料袋使用次数进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表：信息甲：使用塑料袋情况分布表信息 组别 使用塑料袋个数 频数 A 合计 信息乙：使用塑料袋个数占比统计图 信息丙：组包含的数据：14，14，13，13，13，13，13，13，12，12，12，12，12，11，11，11，11，10，10，10，10，10． 请结合以上信息完成下列问题： （1）统计表中的 ， ； （2）统计图中A组对应扇形的圆心角为 度； （3）C组数据的众数是 ，抽取的100名居民2023年2月5日(元宵节)当天购物塑料袋使用次数的中位数是 ； （4）根据调查结果，请你估计该社区3000名购物居民中2023年2月5日(元宵节)当天购物塑料袋使用次数不少于15次的人数． 【答案】（1）20，20 （2）36 （3）13， （4）1440名 【解析】 【分析】（1）总人数乘以B组对应的百分比可得m的值，根据各组人数之和等于总人数可得n的值； （2）用乘以A组人数所占的比例即可求解； （3）根据众数和中位数的定义求解即可； （4）总人数乘以样本中D、E组人数的和所占比例即可求解． 【小问1详解】 解：，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：统计图中A组对应扇形的圆心角为：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：组数据的众数是， 抽取的名居民年月日元宵节当天购物塑料袋使用次数的中位数是： ， 故答案为：，； 【小问4详解】 解：名， 答：估计该社区名购物居民中年月日元宵节当天购物塑料袋使用次数不少于次的人数为名． 【点睛】本题考查了统计表、用样本估计总体以及扇形统计图，应结合统计表和扇形统计图，利用部分与总体之间的关系进行求解． 19. 如图，平面直角坐标系中，线段的端点为，． （1）求所在直线的解析式； （2）某同学设计了一个动画，如图，函数（，）的图象经过点时，会从C处弹出一个光点P，并沿射线飞行．若光点P击中线段AB上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段就会发光，当线段发光时，求此时整数m的个数． 【答案】（1） （2）m的值有6个 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的几何应用： （1）利用待定系数法即可求解； （2）由题意直线经过点，设线段上的整数点为，则，可得或或或，进而可求解； 熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 把，代入，得：， 解得：， 直线AB的解析式为． 【小问2详解】 由题意直线经过点， ； 设线段上的整数点为，则， ， ， ， t为整数，m也是整数， 或或或， 即， ， ， ，， ，， ，， ，， ，， ，， 综上所述，符合题意的m的值有6个． 20. 我国素有“基建狂魔”的称号，设计并建造了大量的世纪工程，如三峡大坝及三峡水电工程；秦岭隧道工程；珠港澳跨海大桥工程……每天的工程建设都在如火如荼地进行着．如图，某天一台塔吊正对新建的大楼进行封顶施工，现在我们将这个实际问题通过数学建模抽象成以下数学问题，如果工人在楼顶A处测得吊钩D处的俯角，测得塔吊B，C两点的仰角分别为和，此时米，塔吊需向A处吊运材料．（参考数值，，） （1）求楼顶A到平衡臂的距离（结果保留根号）； （2）吊钩D需向右、向上分别移动多少米才能将材料送达A处？（结果保留根号） 【答案】（1）米 （2）吊钩D需向右移动7米、向上移动米才能将材料送达A处 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形解决俯角、仰角的实际应用，等腰三角形的判定．正确理解题意是关键． （1）设交于点F，由题意得米，在中由三角函数可求得，即楼顶A到平衡臂的距离； （2）由（1）的计算可求得，在中，由正切关系可求得，即可求得向上与向右平移的距离． 【小问1详解】 解：设交于点F，如图； 由题意知，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴米； ∵， ∴在中，（米）； ∵楼顶A到平衡臂的距离与的长度相等， ∴楼顶A到平衡臂的距离为米； 【小问2详解】 解：由（1）知，米，， ∴（米）； 在中，米， ∴吊钩D需向右移动7米、向上移动米才能将材料送达A处． 21. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为点，过点作的切线，与的延长线相交于点． （1）求证：； （2）若的半径为5，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，正弦函数的定义，圆周角定理，垂径定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关键 （1）利用切线的性质求得，利用垂径定理求得，利用圆周角定理求得，据此即可证明； （2）连接，利用圆周角定理结合勾股定理求得的长，再根据，利用正弦函数的定义求解即可． 【小问1详解】 证明：∵是的切线，是的直径， ∴，即， ∴， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵的半径为5， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. （1）【建立模型】在数学课上，老师出示这样一个问题：如图1，在中，，，直线l经过点C，，，垂足分别为点D和点E，求证：，请你写出证明过程； （2）【类比迁移】勤奋小组在这个模型的基础上，继续进行探究问题：如图2，在平面直角坐标系中，直线的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，反比例函数的图象经过点B，请你求出反比例函数的解析式； （3）【拓展延伸】创新小组受到勤奋小组的启发，结合抛物线的图象继续深入探究：如图3，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，创新小组的同学发现在第一象限的抛物线的图象上存在一点P，连接，当时，请你和创新小组的同学一起求出点P的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，一次函数与反比例函数的综合问题，一次函数与二次函数的综合， （1）直接根据角角边证明三角形全等即可； （2）先求出A，C坐标，再得出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）过点C作，且，过点B作轴，垂足为点E，连接交抛物线于点P，求出直线的解析式，再与二次函数解析式联立，解方程即可； 熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴， ∴ ∵，， ∴ （2）∵， ∴当时，，当时，，， ∴，， 由（1）可知：， ∴，， ∴，点B的坐标为 把代入得：，解得， ∴反比例函数的解析式为： （3）过点C作，且，过点B作轴，垂足为点E，连接交抛物线于点P， ∴， 由（2）可知，， ∴设直线的解析式为， ∴，∴， ∴ ∴， 解得：，（不合题意，舍去） 当时，， ∴ 23. 实践操作： 第一步：如图（1），正方形纸片边上有一点P，将正方形纸片沿对折，点A落在点E处； 第二步：如图（2），将正方形沿对折，得到折痕，把纸片展平； 第三步：如图（3），将图（1）中纸片沿对折，得到折痕，把纸片展平； 第四步：如图（4），将图（3）中纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展平，发现点E刚好在折痕上． 问题解决： （1）在图（2）中，判断与的数量关系，并证明你的结论； （2）在图（3）中，求证：的周长不变； （3）在图（4）中，若正方形的边长为，直接写出的长． 【答案】（1），见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠可得，即可得到 ，易证即可得到答案； （2）连接，由折叠的性质知，，，结合，易得得到，即可得到证明； （3）根据折叠可得，，，即可得到，从而得到，即可得到，从而得到，由（2）得，即可得到，从而得到，即可得到，即可得到答案； 【小问1详解】 解： ，理由如下， 证明：由折叠的性质知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，由折叠的性质知，，， 又∵，， ∴，， 和中， ∴， ∴， ∴， 又∵为正方形的边长， ∴的周长不变； 小问3详解】 解：如图，连接， 由折叠性质可得， ，，，，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ， 解得：， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，直角三角形角所对直角边等于斜边一半，二次根式混合运算，折叠的性质及三角形全等的性质与判定，解题的关键是根据折叠得到三角形全等条件及角度关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$