精品解析：湖南省株洲市醴陵市渌江中学2023-2024学年九年级上学期期末质量检测模拟数学试题

湖南省醴陵市渌江中学2023-2024年下学期期末质量检测模拟试题卷 数学试卷 测试时间：120分钟 一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分） 1. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得：m=-2． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2. 若反比例函数的图象经过点，则的值为　　) A. 2 B. - C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把点代入反比例函数中可得的值． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的比例系数等于在函数图象上的点的横、纵坐标的乘积． 3. 已知点，，以原点O为位似中心，把线段缩短为原来的，点D与点B对应．则点D的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：以原点为位似中心，把线段缩短为原来的，点的坐标为， 点的坐标为，或．即或． 故选：C． 【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 4. 如图，在中，，若，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据余弦的定义计算即可． 【分析】解：在中， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了求余弦，掌握余弦的定义是解题的关键． 5. 如图，在中，平分，交于点D，过D作的平行线交于M，若，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平分，，可得，从而得到，再根据，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 故选B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，根据题意得到是解题的关键． 6. 如图，在中，，D是的中点，，交的延长线于点E．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意将BD,BC算出来,再利用勾股定理列出方程组解出即可． 【详解】∵AC=2,BC=, ∴, ∵D是AB的中点, ∴AD=CD=BD=． 由题意可得: 两式相减得: , 解得DE=,BE=, 故选A． 【点睛】本题考查直角三角形中点性质和勾股定理,关键在于找出等式列出方程组． 7. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝ax＋2b（ab≠0）的图象大致如图（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断． 【详解】解：A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误； B、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确； C、由抛物线可知a＞0，b＜0，由直线可知a＞0，b＞0，故本选项错误； D、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象．解答该题时，一定要熟记一次函数、二次函数的图象的性质． 8. 已知函数y＝（x﹣1）2，下列结论正确的是（　　） A. 当x＞0时，y随x的增大而减小 B. 当x＜0时，y随x的增大而增大 C. 当x＜1时，y随x的增大而减小 D. 当x＜﹣1时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二次函数的增减性进而分析得出答案． 【详解】函数y＝（x﹣1）2，对称轴为直线x＝1，开口方向上， 故当x＜1时，y随x的增大而减小． 故选C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确把握二次函数的增减性是解题关键． 9. 如图，在中，，点在线段上，且，，，则的长度为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了含角的直角三角形的性质，三角形的外角性质，等角对等边，三角形内角和定理，由，得，则，再根据三角形的外角性质得，则，故有，最后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 10. 二次函数的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，5，上述结论中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐项判断即可求解． 【详解】解：①由图象可知，a＜0，b＞0，c＞0， ∴abc＜0，故①正确； ②∵对称轴为直线x= =1，且图象与x轴交于点（﹣1，0）， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），b=﹣2a， ∴根据图象，当x=2时，y=4a+2b+c＞0，故②错误； ③根据图象，当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c=4a+4a+c=8a+c＜0，故③正确； ④∵抛物线经过点， ∴根据抛物线的对称性，抛物线也经过点， ∴抛物线与直线y=n的交点坐标为（﹣3，n）和（5，n）， ∴一元二次方程的两根分别为，5， 故④正确， 综上，上述结论中正确结论有①③④， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解答的关键． 二．填空题（共6小题，每小题3分，共计18分） 11. 已知，则______． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】根据比例的性质可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 12. 已知∠A是锐角，且1﹣2sinA＝0，则∠A＝______． 【答案】30°##30度 【解析】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而计算得出答案． 【详解】解：∵1﹣2sinA＝0， ∴sinA＝， ∴∠A＝30°． 故答案为：30°． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 13. 若方程的两根分别为、，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】直接根据根与系数的关系求解． 【详解】解：∵方程的两根分别为、，，， ∴， 故答案是：3． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程的两根分别为、，则，是解本题的关键． 14. 某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平均变化率问题． 解决这类问题所用的等量关系为；此题可设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的单价是原来的，那么第二次降价后的单价是原来的，根据题意列方程解答即可； 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得， 故答案为：． 15. 如图，在同一时刻，测得小华和旗杆的影长分别为1m和6m，小华的身高约为1.6m，则旗杆的高约为_____m． 【答案】9.6 【解析】 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似． 【详解】解：据相同时刻的物高与影长成比例， 设旗杆的高度为x（m），则可列比例式为，解得x＝9.6（m）， 故答案是：9.6． 【点睛】考查同一时刻物高和影长成正比．考查利用所学知识解决实际问题的能力． 16. 如图，双曲线经过矩形的顶点，双曲线交 ，于点、，且与矩形的对角线交于点，连接．若，则的面积为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据点的坐标去表达的值及点的坐标，进而求得，的长，再由求得的面积． 【详解】解：如图，过点作于点． 在矩形中， ，，， ， ， ． 设点坐标为，其中，均为正数， ，． 点在双曲线上， ，则． ， ． ． ，． ，． 点在双曲线上， ． ，在双曲线双曲线上， ，，． ，． ． ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何含义及反比例函数上点的坐标，涉及矩形的性质和相似三角形的判定与性质，是代数与几何的综合问题，解决问题要从点 的坐标开始入手． 三．解答题（共7小题，共计72分） 17. 计算： （1）； （2）解方程：． 【答案】（1）； （2）， 【解析】 【分析】（）先进行化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂运算，最后加减即可； （）根据因式分解法解方程即可； 本题考查了是实数的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握运算法则和解法是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： 或 ，． 18. 如图，在平行四边形中，E为边上一点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）． 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质得到，再判定相似即可． （2）利用（1）中的相似三角形的性质求线段长度即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平行四边形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形的相似的判定及性质，能够熟练运用判定定理判定三角形相似并利用相似的性质求线段长度是解题关键． 19. 如图，和两幢楼地面距离为30米，从楼AB的顶部点A测得楼的顶部点D的仰角为53°，从楼的顶部点测得楼的底部点C的俯角为45°．（参考数据：，，） （1）求的大小； （2）求楼、的高度（结果保留1位小数） 【答案】（1） （2）（米）；（米） 【解析】 【分析】（1）过作于点，连接，根据题意得出即可求解； （2）证明出四边形是矩形，得出，根据，得出，再在中求出，根据即可求解。 【小问1详解】 解：过作于点，连接， 根据题意得：， ； 【小问2详解】 解：， ， 四边形是矩形， ∴， ， 是等腰直角三角形， （米）， （米） 在中，， ， 解得：（米）， （米）． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，矩形的判定、等腰三角形的判定及性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解本题的关键． 20. 如图，中，，，，动点P从点C开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点A开始沿边向点C以的速度移动．如果P、Q两点分别从C、A两点同时出发，移动时间为t（单位：）． （1）求的面积S关于t的函数解析式； （2）若的面积是面积的，求t的值； （3）的面积能否为面积的一半？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 的面积不可能是面积的一半，理由如下： 根据题意得：， 即， 整理得：， ， 该方程没有实数根， ∴的面积不可能是面积的一半． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式． （1），，，根据的面积公式得出答案； （2），，，根据的面积是面积的，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （3）的面积不能为面积的一半，根据的面积是面积的，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，进而可得出的面积不可能是面积的一半． 【小问1详解】 解：当运动时间为时，，，， ∴， ∵动点P从点C开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点A开始沿边向点C以的速度移动， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 即， 整理得：， 解得：． 答：的值为2； 【小问3详解】 略 21. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若两实数根分别为和，且，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由一元二次方程有实数根可得△=b2﹣4ac=4+4m≥0，解不等式即可； （2）由x1和x2是方程的两个实数根，根据根与系数的关系可得x1+x2=2，x1x2=﹣m，又由x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=6，可得方程22+2m=6，求解方程即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴△=b2﹣4ac=4+4m≥0， 解得：m≥﹣1； 【小问2详解】 解：∵x1和x2是方程的两个实数根， ∵x1+x2=2，x1x2=﹣m， ∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=6， ∴22+2m=6， 解得：m=1． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系． 22. 学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行，在建党100周年之际，某校对全校学生进行了一次党史知识测试，成绩评定共分为A，B，C，D四个等级，随机抽取了部分学生的成绩进行调查，将获得的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）在这次调查中一共抽取了__________名学生； （2）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图； （3）扇形统计图中，D等级对应的圆心角度数是__________度； （4）根据抽样调查的结果，请你估计该校2000学生中有多少名学生的成绩评定为C等级． 【答案】（1）80； （2）补全条形图如下， （3）36； （4）600名 【解析】 【分析】（1）根据等级的人数以及所占的百分比即可求出本次调查中共抽取的学生数； （2）根据（1）中的结果和扇形统计图中的数据，可以计算出等级的人数，然后即可将条形统计图补充完整； （3）根据等级的人数以及抽取的学生数计算出等级所对应的扇形圆心角的度数； （4）求出等级所占整体的百分比即可求出相应的人数． 【详解】解：（1）（名， 故答案为：80； （2）等级的学生为：（名， （3）等级所对应的扇形圆心角的度数为：； （4）（名， 答：估计该校2000学生中有600名学生的成绩评定为等级． 【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图，用样本估计总体，理解两个统计图中数量关系是解决问题的关键． 23. 我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． （1）已知四边形是“等对角四边形”，，，，则 ， ； （2）如图，在中，，为斜边边上的中线，过点作垂直于交于点，试说明四边形是“等对角四边形”； （3）如图，在中，，，，平分，点在线段上，以点为顶点构成的四边形为“等对角四边形”，求线段的长． 【答案】（1），； （2） 在中 ， ∵为斜边边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴ 四边形是“等对角四边形”； （3）线段的长为或． 【解析】 【分析】（）根据“等对角四边形”的定义即可求解； （）由为斜边边上的中线得，则，由，，得，又，从而求解； （）根据“等对角四边形”的定义分若，，若，，两种情况讨论即可． 【小问1详解】 ∵四边形是“等对角四边形”，， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若，，如图， ∵平分， ∴， 在与中， ∴ ∴ ∴； 若，，如图， 在中，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题是主要考查了四边形内角和定理，直角三角形和等腰三角形的性质，全等三角形和相似三角形的判定与性质，余角的性质，勾股定理，理解“等对角四边形”的定义并且利用分类讨论思想是解题的关键． 24. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，其中点的横坐标为． （1）求的值； （2）若点是轴上一点，且，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）点的坐标为或． 【解析】 【分析】（）把代入正比例函数的图象求得纵坐标，然后把的坐标代入反比例函数，即可求出的值； （）由题意可知关于点对称，所以，即可求得，设，然后根据三角形面积公式列出关于的方程，解方程即可求得； 本题考查了反比例函数的图象与一次函数图象的交点问题，三角形的面积等知识点，利用数形结合是解题的关键． 【小问1详解】 ∵正比例函数的图象经过点，点的横坐标为， ∴， ∴点， ∵反比例函数的图象经过点， ∴； 【小问2详解】 由题意可知关于点对称，∴， ∴， 设， ∴， ∴，即， ∴点的坐标为或． 25. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，已知直线BC的解析式为． （1）求抛物线的解析式； （2）求点D到直线BC的距离； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PCD是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点P的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）利用一次函数的解析式求得点B，C的坐标代入抛物线的解析式即可求得b与c的值； （2）设直线BC与抛物线对称轴交于点E，则，利用抛物线的解析式求得顶点D的坐标，利用△BCD面积的不同求解方法即可求得点D到直线BC的距离； （3）若△PCD是等腰三角形，需分三种情况：①当时； ②当时； ③当时分别进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线BC的解析式为：， ∴，， 将B、C两点代入抛物线得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 ∵， ∴顶点D的坐标为， 设直线BC与抛物线对称轴交于点E，则， 设点D到直线BC的距离为h， ∴，， ∵， ∴点D到直线BC的距离为：； 【小问3详解】 存在； 设点P的坐标为， ∴，，， △PCD是等腰三角形，需分三种情况分析： ①当时，，解得：； ②当时，，解得：，（舍去）； ③当时，，解得：，； 综上所述，存在满足条件的点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，还考查了待定系数法求二次函数的解析式，利用铅垂线法求解，以及等腰三角形的性质，分类讨论的思想运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省醴陵市渌江中学2023-2024年下学期期末质量检测模拟试题卷 数学试卷 测试时间：120分钟 一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分） 1. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（ ） A. B. C. D. 2. 若反比例函数的图象经过点，则的值为　　) A. 2 B. - C. D. 3. 已知点，，以原点O为位似中心，把线段缩短为原来的，点D与点B对应．则点D的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 如图，在中，，若，则的值为( ) A. B. C. D. 5. 如图，在中，平分，交于点D，过D作的平行线交于M，若，，则（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，D是的中点，，交的延长线于点E．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝ax＋2b（ab≠0）的图象大致如图（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数y＝（x﹣1）2，下列结论正确的是（　　） A. 当x＞0时，y随x的增大而减小 B. 当x＜0时，y随x的增大而增大 C. 当x＜1时，y随x的增大而减小 D. 当x＜﹣1时，y随x的增大而增大 9. 如图，在中，，点在线段上，且，，，则的长度为（　　） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，5，上述结论中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共6小题，每小题3分，共计18分） 11. 已知，则______． 12. 已知∠A是锐角，且1﹣2sinA＝0，则∠A＝______． 13. 若方程的两根分别为、，则________． 14. 某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，可列方程为_______． 15. 如图，在同一时刻，测得小华和旗杆的影长分别为1m和6m，小华的身高约为1.6m，则旗杆的高约为_____m． 16. 如图，双曲线经过矩形的顶点，双曲线交 ，于点、，且与矩形的对角线交于点，连接．若，则的面积为 _____． 三．解答题（共7小题，共计72分） 17. 计算： （1）； （2）解方程：． 18. 如图，在平行四边形中，E为边上一点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 19. 如图，和两幢楼地面距离为30米，从楼AB的顶部点A测得楼的顶部点D的仰角为53°，从楼的顶部点测得楼的底部点C的俯角为45°．（参考数据：，，） （1）求的大小； （2）求楼、的高度（结果保留1位小数） 20. 如图，中，，，，动点P从点C开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点A开始沿边向点C以的速度移动．如果P、Q两点分别从C、A两点同时出发，移动时间为t（单位：）． （1）求的面积S关于t的函数解析式； （2）若的面积是面积的，求t的值； （3）的面积能否为面积的一半？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由． 21. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若两实数根分别为和，且，求m的值． 22. 学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行，在建党100周年之际，某校对全校学生进行了一次党史知识测试，成绩评定共分为A，B，C，D四个等级，随机抽取了部分学生的成绩进行调查，将获得的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）在这次调查中一共抽取了__________名学生； （2）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图； （3）扇形统计图中，D等级对应的圆心角度数是__________度； （4）根据抽样调查的结果，请你估计该校2000学生中有多少名学生的成绩评定为C等级． 23. 我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． （1）已知四边形是“等对角四边形”，，，，则 ， ； （2）如图，在中，，为斜边边上的中线，过点作垂直于交于点，试说明四边形是“等对角四边形”； （3）如图，在中，，，，平分，点在线段上，以点为顶点构成的四边形为“等对角四边形”，求线段的长． 24. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，其中点的横坐标为． （1）求的值； （2）若点是轴上一点，且，求点的坐标． 25. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，已知直线BC的解析式为． （1）求抛物线的解析式； （2）求点D到直线BC的距离； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PCD是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $