重难点17 新情景、新定义下的数列问题【七大题型】-2025年高考数学一轮复习【举一反三】专练（新高考专用）

重难点17 新情景、新定义下的数列问题【七大题型】 【新高考专用】 【题型1 数列中的新概念】 1 【题型2 数列中的新运算】 4 【题型3 数列新情景问题】 6 【题型4 以数列和项与通项关系定义新数列】 8 【题型5 数列定义新性质问题】 14 【题型6 牛顿数列问题】 21 【题型7 数列中的新定义问题】 27 1、新情景、新定义下的数列问题 数列是高考的热点内容，属于高考的必考内容之一.近几年全国各地高考试题，我们总能在试卷的压轴题位置发现新定义数列题的身影，它们对数列综合问题的考查常常以新定义、新构造和新情景形式呈现，有时还伴随着数列与集合，难度较大，需要灵活求解. 【知识点1 数列中的新概念】 1．数列中的新概念问题的解题策略： 通过创新概念，以集合、函数、数列等的常规知识为问题背景，直接利用创新概念的内涵来构造相应的关系式(或不等式等)，结合相关知识中的性质、公式来综合与应用. 【知识点2 数列的新定义、新情景问题】 1．数列的新定义、新情景问题的求解策略 (1)新定义问题：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的 要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. (2)新情景问题：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. 【题型1 数列中的新概念】 【例1】（2024·四川南充·三模）对于数列，规定为数列的一阶差分，其中，规定为数列的阶差分，其中.若，则（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 【解题思路】根据新定义及数列的通项公式计算即可. 【解答过程】由新定义知，，， 所以， 故选：A. 【变式1-1】（2024·湖北武汉·三模）将按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对.若，则恰有2个逆序对的数列的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【解题思路】根据逆序对的定义，分数列的第一个数为，数列的第二个数为，数列的第三个数为，数列的第四个数为，四种情况讨论即可. 【解答过程】若，则， 由构成的逆序对有， 若数列的第一个数为，则至少有个逆序对， 若数列的第二个数为， 则恰有2个逆序对的数列为， 若数列的第三个数为， 则恰有2个逆序对的数列为或， 若数列的第四个数为， 则恰有2个逆序对的数列为， 综上恰有2个逆序对的数列的个数为个. 故选：B. 【变式1-2】（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1，1，2，3，5，8…，其中从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，这样的数列称为“斐波那契数列”.若，则（    ） A．175 B．176 C．177 D．178 【解题思路】根据数列的特点，每个数等于它前面两个数的和，移项得： ，使用累加法求得，然后将中的倍展成和的形式（如）即可求解． 【解答过程】由从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，， 由，得 ， 所以， ， ， ， 将这个式子左右两边分别相加可得： ， 所以. 所以 . 故选：B． 【变式1-3】（2024·全国·高考真题）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据新定义，逐一检验即可 【解答过程】由知，序列的周期为m，由已知，， 对于选项A， ，不满足； 对于选项B， ，不满足； 对于选项D， ，不满足； 故选：C. 【题型2 数列中的新运算】 【例2】（2024·河南·模拟预测）“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1.对任意正整数，按照上述规则实施第次运算的结果为，若，且均不为1，则（    ） A．5或16 B．5或32 C．5或16或4 D．5或32或4 【解题思路】根据“角谷猜想”的规则，由倒推的值. 【解答过程】由题知，因为，则有： 若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，则； 若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，； 若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，且； 若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，且； 若为奇数，则，可得；若为偶数，则. 综上所述：或32. 故选：B. 【变式2-1】（2023·北京延庆·一模）数列中，，定义：使为整数的数 叫做期盼数，则区间内的所有期盼数的和等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用换底公式与累乘法把化为，然后根据为整数，可得，最后由等比数列前项和公式求解． 【解答过程】解：，， ， 又为整数， 必须是2的次幂，即． 内所有的“幸运数”的和： ， 故选：D． 【变式2-2】（2024·上海宝山·二模）将正整数分解为两个正整数、的积，即，当、两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解．如，其中4×5即为20的最优分解，当、是的最优分解时，定义，则数列的前2023项的和为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据最优分解定义得到为奇数和为偶数时，的通项公式，进而求出数列前2023项和. 【解答过程】当时，由于，此时， 当时，由于，此时， 所以数列的前2023项的和为 . 故选：B. 【变式2-3】（2023·河南安阳·二模）如果有穷数列，，，…，（m为正整数）满足条件，，…，，即（t为常数），则称其为“倒序等积数列”．例如，数列8，4，2，，，是“倒序等积数列”．已知是80项的“倒序等积数列”，，且，，…，是公比为2，的等比数列，设数列的前n项和为，则（    ）． A．210 B．445 C．780 D．1225 【解题思路】由题可得，.后由分组求和法可得答案. 【解答过程】由题可知当时，. 根据定义，当时，. 则. 故 . 故选：B. 【题型3 数列新情景问题】 【例3】（2024·全国·模拟预测）九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，最早记载九连环的典籍是《战国策·齐策》，《红楼梦》第7回中有林黛玉解九连环的记载，我国古人已经研究出取下n个圆环所需的最少步骤数，且，，，，，，…，则取下全部9个圆环步骤数最少为（    ） A．127 B．256 C．341 D．512 【解题思路】由题意可推出数列的递推关系，由递推关系进行构造等比数列，可求得答案． 【解答过程】由观察可得若时，当n为奇数时，，当n为偶数时，， ∴当n为奇数时，，∴， 又，∴，∴， 故选：C． 【变式3-1】（23-24高二上·江苏南通·期中）折纸与剪纸是一种用纸张折成或剪成各种不同形状的艺术活动，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．现将一张腰长为1的等腰直角三角形纸，每次对折后仍成等腰直角三角形，对折5次，然后用剪刀剪下其内切圆，则可得到若干个相同的圆片纸，这些圆片纸的半径为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据等比数列的性质，结合等面积法即可求解. 【解答过程】由题意可知，对折后的等腰直角三角形的腰长成等比数列，且首项为，公比为，故对折5次后，得到腰长为等腰直角三角形，斜边长为， 设该等腰直角三角形的内切圆半径为，则由等面积法可得，解得. 故选：A. 【变式3-2】（2023·安徽宿州·一模）我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将1，2，3，…，9填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，便得到一个3阶幻方.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫作n阶幻方. 记n阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为，如，那么下列说法错误的是（    ） A． B．7阶幻方第4行第4列的数字可以为25 C．8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为260 D．9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为396 【解题思路】根据n阶幻方的定义，n阶幻方的数列有项，为首项为1，公差为1的等差数列，故，每行、每列、每条对角线上的数的和均为，且n为奇数时，n阶幻方行列的数字为该数列的中间值. 【解答过程】根据n阶幻方的定义，n阶幻方的数列有项，为首项为1，公差为1的等差数列，故，每行、每列、每条对角线上的数的和均为. 对A，，A对； 对B，7阶幻方有7行7列，故第4行第4列的数字可以为该数列的中间值，即，B对； 对C，8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为，C对； 对D，9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为，D错. 故选：D. 【变式3-3】（23-24高二下·山东·阶段练习）某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，它的第项为，若序列的所有项都是3，且，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据新定义判断出是公比为的等比数列，再利用迭乘法得到 ，最后根据和，联立方程组求解即可. 【解答过程】令，即，则， 由已知得，所以数列为公比为的等比数列， 设，则，，，， 当时，累乘可得， 即， 当时，，当时，，解得， 故选：A. 【题型4 以数列和项与通项关系定义新数列】 【例4】（2024·江西南昌·三模）给定数列，若对任意m，且，是中的项，则称为“H数列”．设数列的前n项和为 (1)若，试判断数列是否为“H数列”，并说明理由； (2)设既是等差数列又是“H数列”，且，，，求公差d的所有可能值； (3)设是等差数列，且对任意，是中的项，求证：是“H数列”． 【解题思路】（1）根据“H数列”定义判断即可. （2）由等差数列和“H数列”的定义得到公差的等式关系即可求解. （3）由等差数列的定义与求和公式，进行分情况讨论，即可证明是“H数列”. 【解答过程】（1）因为，当时，， 当时，也成立， 所以， 对任意m，且，， 是“H数列”. （2）因为 ，，， 所以，所以， 由已知得也为数列中的项， 令，即， 所以，所以d为6的正因数， 故d的所有可能值为1，2，3，6. （3）设数列的公差为d，所以存在，对任意，，即， 当时，则，故，此时数列为“H数列”； 当时，，取，则，所以，， 当时，均为正整数，符合题意， 当时，均为正整数，符合题意， 所以，， 设，，，即， 所以任意m，且，， 显然，所以为数列中的项， 是“H数列”. 【变式4-1】（2024·陕西·三模）数列的前项的最大值记为，即；前项的最小值记为，即，令，并将数列称为的“生成数列”． (1)设数列的“生成数列”为，求证：； (2)若，求其生成数列的前项和． 【解题思路】（1）由“生成数列”的定义证明即可； （2）由分组求和求解即可. 【解答过程】（1）由题意可知， 所以，因此， 即是单调递增数列，且， 由“生成数列”的定义可得． （2）当时，． ，又， ， 当时，． 设数列的前项和为．则． 当时， 又符合上式，所以． 【变式4-2】（2024·山东泰安·模拟预测）已知数列是斐波那契数列，其数值为： .这一数列以如下递推的方法定义： .数列对于确定的正整数，若存在正整数使得成立，则称数列为“阶可分拆数列”. (1)已知数列满足 .判断是否对，总存在确定的正整数，使得数列为“阶可分拆数列”，并说明理由. (2)设数列的前项和为 ， （i）若数列为“阶可分拆数列”，求出符合条件的实数的值； （ii）在（i）问的前提下，若数列满足，，其前项和为.证明：当且时，成立. 【解题思路】（1）由已知可得可得由定义可得结论； （2）当时，，（i）由已知可得存在正整数使得成立，当时，可求得，当时，可得，方程无解，可得结论； （ii）法一：当时，易得，计算可得，由（1）可得，，利用错位相减法可得 ，可证结论成立；法二：同法一可得，，两边同乘以，可求得，可证结论. 【解答过程】（1）存在，理由如下： 由已知得，，， 即 对，当正整数时，存在，使得成立， 即数列为“阶可分拆数列”； （2）， 当时，， 当时，， （i）若数列为“阶可分拆数列”，则存在正整数使得成立， 当时，，即，解得， 当时，，即， 因，所以，又， 故方程无解. 综上所述，符合条件的实数a的值为. （ii）方法一： 证明：， 当时，， ， ， 由（i）知，所以， ①， ②， 由①-②可得 ， ， ， ， 当且时， 成立. 方法二： 证明：， 当时，， ， ， 由（i）知，所以， ①， ②， ③， 由①②③可得 ， ， 当且时， 成立. 【变式4-3】（2024·安徽芜湖·三模）若数列的各项均为正数，且对任意的相邻三项，都满足，则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项，都满足则称该数列为“凸数列”． (1)已知正项数列是一个“凸数列”，且，（其中为自然常数，），证明：数列是一个“对数性凸数列”，且有； (2)若关于的函数有三个零点，其中．证明：数列是一个“对数性凸数列”： (3)设正项数列是一个“对数性凸数列”，求证： 【解题思路】（1）根据的性质，由等量关系代换成关于的结论，紧扣定义，即可证明； （2）由原函数有三个零点，且导函数为二次函数，分析出导函数有两个零点，判别式大于零，推得；有三个零点，得到有三个零点，再次借助导函数的零点个数，可以得到，即可得证； （3）记，利用分析法，只需证，由数列为对数性凸数列，得到，，再用基本不等式证明即可. 【解答过程】（1）因为，所以，因为正项数列是一个“凸数列”， 所以，所以，所以， 所以数列是一个“对数性凸数列”，， 所以，变形可得到， 所以数列是一个“对数性凸数列”，且有. （2）因为有三个零点， 所以有两个不等实数根， 所以， 又，所以； 时，，所以不是的零点， 又， 令，则也有三个零点， 即有三个零点， 令，则有三个零点， 所以有两个零点， 所以， 因为， 所以正项数列对任意的相邻三项，都满足， 所以数列是一个“对数性凸数列”. （3）记，则要证， 即证， 即，即①， 因为数列为对数性凸数列，所以，， 所以，所以， ， 而， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 故式①成立，所以原不等式成立． 【题型5 数列定义新性质问题】 【例5】（2024·安徽·三模）已知数列的前n项和为，若数列满足： ①数列为有穷数列； ②数列为递增数列； ③，，，使得； 则称数列具有“和性质”. (1)已知，求数列的通项公式，并判断数列是否具有“和性质”；（判断是否具有“和性质”时不必说明理由，直接给出结论） (2)若首项为1的数列具有“和性质”. （ⅰ）比较与的大小关系，并说明理由； （ⅱ）若数列的末项为36，求的最小值. 【解题思路】（1）利用数列的前n项和及与的关系得数列的通项公式，再利用题目所给定义对数列是否具有“和性质”进行判断； （2）（ⅰ）利用题目所给定义得，再利用数列的前n项和得结论； （ⅱ）构造具有“和性质”的数列：1，2，3，6，9，18，36或数列：1，2，4，5，9，18，36，此时，再利用反证法得具有“和性质”的数列，不可能存在比75更小的，从而得结论. 【解答过程】（1）因为， 所以当时，； 当时， ， 而当时，满足， 因此数列的通项公式为 该数列具有“和性质”. （2）（ⅰ）因为首项为1的数列具有“和性质”， 所以，，， 使得，且，， 因此，， 所以； 因此， 所以将上述不等式相加得：， 即. 因为， 所以， 因此. （ⅱ）因为数列具有“和性质”， 所以由③得：，因此数列中的项均为整数. 构造数列：1，2，3，6，9，18，36或数列：1，2，4，5，9，18，36， 因此这两个数列具有“和性质”，此时. 下面证明的最小值为75， 即证明不可能存在比75更小的. 假设（存在性显然，因为满足的数列只有有限个）. 第一步：首先说明有穷数列中至少有7个元素. 设有穷数列中元素组合的集合为A， 由（ⅰ）知：，而， 因此，，，，， 所以. 第二步：证明，. 若，设. 因为， 所以为了使得最小， 则在数列中一定不含有，使得， 因此. 假设，根据“和性质”， 对，有，，使得. 显然，因此， 所以由有穷数列中至少有7个元素得： 集合A中至少还有4个不同于，，的元素， 因此，与矛盾， 所以，且. 同理可证：. 根据“和性质”得：存在、，使得. 我们需要考虑如下几种情形： ①当，时，至少还需要一个大于等于4的，才能得到8，因此； ②当，时，至少还需要一个大于4的，才能得到7，则； ③当，时，此时为：1，2，3，6，9，18，36，因此； ④当，时，此时为：1，2，4，5，9，18，36，因此； 综上所述，的最小值为75. 【变式5-1】（2024·北京西城·二模）已知数列，从中选取第项、第项、…、第项构成数列，称为的项子列．记数列的所有项的和为．当时，若满足：对任意，，则称具有性质．规定：的任意一项都是的项子列，且具有性质． (1)当时，比较的具有性质的子列个数与不具有性质的子列个数的大小，并说明理由； (2)已知数列． （ⅰ）给定正整数，对的项子列，求所有的算术平均值； （ⅱ）若有个不同的具有性质的子列，满足：，与都有公共项，且公共项构成的具有性质的子列，求的最大值． 【解题思路】（1）根据定义得出时，共有个子列，结合性质的内容即可判断； （2）（ⅰ）根据是的项子列，也是的项子列，可得，又有个项子列，即可求出结果； （ⅱ）设的首项为，末项为，记，则可得对任意，都有，故共有种不同的情况，又，所以分为奇数或者偶数两种情况进行分析即可. 【解答过程】（1）当时，共有个子列， 其中具有性质的子列有个，                     故不具有性质的子列有个，                                 所以的具有性质的子列个数大于不具有性质的子列个数． （2）（ⅰ）若是的项子列， 则也是的项子列．     所以．            因为给定正整数，有个项子列， 所以所有的算术平均值为．         （ⅱ）设的首项为，末项为，记． 若存在，使，则与没有公共项，与已知矛盾． 所以，对任意，都有．                         因为对于，，， 所以共有种不同的情况． 因为互不相同， 所以对于不同的子列，与中至多一个等式成立． 所以．                                         当是奇数时，取，， 共有个满足条件的子列．                 当是偶数时，取，， 共有个满足条件的子列．                     综上，为奇数时，的最大值为；为偶数时，的最大值为． 【变式5-2】（2024·北京东城·二模）已知为有穷整数数列，若满足：，其中，是两个给定的不同非零整数，且，则称具有性质. (1)若，，那么是否存在具有性质的？若存在，写出一个这样的；若不存在，请说明理由； (2)若，，且具有性质，求证：中必有两项相同； (3)若，求证：存在正整数，使得对任意具有性质的，都有中任意两项均不相同. 【解题思路】（1）根据所给定义，设，，，中有个，个，从而有，推出矛盾； （2）设，，，，中的最大值为，则存在，使得或，若存在，使，先证：，，，可以取遍到之间所有的整数，再对分类讨论，即可得证； （3）不妨设，根据性质推导出，再利用反证法证明中任意两项均不相同，即可得证. 【解答过程】（1）不存在具有性质的，理由如下： 设，由于，， 设，，，中有个，个， 则有， 所以，解得，与为整数矛盾， 所以不存在具有性质的. （2）设，，，，中的最大值为，则存在，使得或， 若存在，使，下证：，，，可以取遍到之间所有的整数， 假设存在正整数使得，，，中各项均不为， 令集合，设是集合中元素的最大值， 则有， 这与矛盾， 所以，，，可以取遍到之间所有的整数， 若，则，，，，的取值只能为，中的数， 此时，，，，中必有两项相同， 若，则，，，，的取值只能为，，中的数， 此时，，，，中必有两项相同， 若，则，，，，中一定有异于和的正整数， 再由，，，可以取遍到之间所有的整数， 所以，，，，中必有两项相同， 当，同理可证：，，，可以取遍到之间所有的整数， 从而，，，，中必有两项相同. （3）不妨设，当，，，中恰有个，个， 由于， 所以取，此时具有性质， 下证：中任意两项均不相同， 若存在 使得， 令，， 则有，， 令，，则有且，， 由于，则有， 若，则有，即， 当时，有，从而，矛盾； 若，则有且， 因此有，，，， 所以此时，，矛盾； 综上所述，存在正整数，使得对任意具有性质的，都有中任意两项均不相同. 【变式5-3】（23-24高二下·吉林延边·期中）记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为函数的“牛顿数列”.已知数列为函数的牛顿数列，且数列满足. (1)证明数列是等比数列并求； (2)设数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求t的取值范围. 【解题思路】（1）对递推式变形结合对数运算求得，利用等比数列定义即可证明，代入等比数列通项公式求解通项公式； （2）先利用等比数列求和公式求和，再把恒成立问题转化为对任意的恒成立，令，，利用导数研究函数的单调性，然后根据单调性求解函数最值，根据n的奇偶性分别求解范围即可. 【解答过程】（1）由，得， 所以 则， 所以， 故（非零常数），且， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以； （2）由等比数列的前n项和公式得：， 因为不等式对任意的恒成立， 又且单调递增，所以对任意的恒成立， 令，， 则， 当时，，是减函数， 当时，，是增函数， 又，且，，， 则， 当n为偶数时，原式化简为， 而， 所以； 当n为奇数时，原式化简为， 又，且，，在上单调递增， 所以， 此时，所以； 综上可知，. 【题型6 牛顿数列问题】 【例6】（2024·广东·模拟预测）定义：任取数列中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为1，则称数列具有“性质1”.已知项数为的数列的所有项的和为，且数列具有“性质1”. (1)若，且，写出所有可能的的值； (2)若，证明：“”是“”的充要条件； (3)若，证明：或. 【解题思路】（1）由数列的性质得出，进一步结合的定义即可得解； （2）结合新定义，分必要性、充分性两方面证明即可； （3）由数列的性质，得出4整除，即或，然后回过头去检验是否满足题意即可. 【解答过程】（1）依题意，若，此时； 若，此时； 若，此时. （2）必要性：因为，故数列为等差数列， 所以，公差为-1， 所以； 充分性：由于， 累加可得，，即， 因为，故上述不等式的每个等号都取到，所以， 所以， 综上所述，“”是“”的充要条件. （3）令，依题意，， 因为， 所以 ， 因为，所以为偶数， 所以为偶数； 所以要使，必须使为偶数，即4整除， 亦即或， 当时，比如或，时，有； 当时，比如或，时，有； 当或时，不能被4整除，. 【变式6-1】（23-24高二下·四川·期中）物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对于函数，若满足，则称数列为牛顿数列．已知，如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与x轴交点的横坐标为，用代替重复上述过程得到，一直下去，得到数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和为，且对任意的，满足，求整数 的最小值；（参考数据：） (3)在（2）的前提下，设，直线与曲线有且只有两个公共点，其中，求的值． 【解题思路】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，即可得数列的递推公式，再求出通项. （2）由（1）令，利用错位相减法求数列的前项和，结合不等式分离参数，借助数列单调性求出的最大值即得. （3）由（2）求出，利用导数探讨函数只有两个零点即可得解. 【解答过程】（1）函数，求导得， 则函数的图象在点处的切线方程为：， 令，得，因此数列是首项为1，公比为的等比数列， 所以. （2）由（1），令， 则， 于是， 两式相减得： 因此，由，得， 令，则， 当时，，即， 当时，，即，则， 所以整数的最小值为22. （3）由（2）知，依题意，方程有且只有两个根， 令，则函数有且只有两个零点， 求导得，当时，恒成立，在R上递增，最多1个零点，不符合题意， 当时，由，得或，由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得极大值，当时，取得极小值， 函数有且只有两个零点，则的图象与x轴有且只有两个公共点，必有， 此时，，方程，即，得， 所以，. 【变式6-2】（2024·广东韶关·二模）记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为函数的“牛顿数列”.已知数列为函数的牛顿数列，且数列满足. (1)求； (2)证明数列是等比数列并求； (3)设数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求t的取值范围. 【解题思路】（1）求出导函数，化简数列递推式，根据对数运算及递推式求解即可； （2）对递推式变形结合对数运算求得，利用等比数列定义即可证明，代入等比数列通项公式求解通项公式； （3）先利用等比数列求和公式求和，再把恒成立问题转化为对任意的恒成立，令，，利用导数研究函数的单调性，然后根据单调性求解函数最值，根据n的奇偶性分别求解范围即可. 【解答过程】（1）因为，则，从而有， 由，则， 则，解得则有，所以； （2）由，则， 所以， 故（非零常数），且，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以； （3）由等比数列的前n项和公式得：， 因为不等式对任意的恒成立，又且单调递增， 所以对任意的恒成立，令，， 则，当时，，是减函数， 当时，，是增函数， 又，且，，，则， 当n为偶数时，原式化简为，所以当时，； 当n为奇数时，原式化简为，所以当时，，所以； 综上可知，. 【变式6-3】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对于函数，若满足，则称数列为牛顿数列．已知，如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与x轴交点的横坐标为，用代替重复上述过程得到，一直下去，得到数列．    (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和为，且对任意的，满足，求整数的最小值．（参考数据：，，，） 【解题思路】（1）首先根据导数的几何意义求切线方程，并令，得到数列的递推公式，即可求解； （2）法一，由（1）可知，，利用错位相减法求数列的前项和，代入不等式，参变分离为，转化为作差判断数列的单调性，再求数列的最大值，即可求解； 法二，利用裂项相消法求数列的前项和，代入不等式，参变分离为，转化为作商判断数列的单调性，再求数列的最大值，即可求解. 【解答过程】（1）， 在点处的切线方程为：     令，得， 所以是首项为1，公比为的等比数列， 故 （2）令     法一：错位相减法 ，        ， 两式相减得：     化简得：     故， 化简得     令， 则， 当时，，即， 当时，，即， 所以     从而整数； 法二：裂项相消法 由， 设且， 则， 于是，得， 即     所以      故，化简得     令， 则时，， 当当时，，即， 当时，，即， 所以     从而整数. 【题型7 数列中的新定义问题】 【例7】（2024·江西九江·三模）已知数列共有项，且，若满足，则称为“约束数列”.记“约束数列”的所有项的和为. (1)当时，写出所有满足的“约束数列”； (2)当时，设“约束数列”为等差数列.请判断是的什么条件，并说明理由； (3)当时，求的最大值. 【解题思路】（1）由“约束数列”的定义，可得所求. （2）由“约束数列”和充分必要条件的定义，结合等差数列的知识，可得结论. （3）由，要使最大，推出，讨论等差数列的公差，用求和公式可解. 【解答过程】（1）当时，所有满足的“约束数列”有： ①；②；③ （2）是的充分不必要条件.理由： ①当时，. 则， 当且仅当时，成立， “约束数列”是公差为1的等差数列 ②当“约束数列”是等差数列时，由， 得，或，或， 若，则的公差为； 若，则的公差为； 若，则的公差为， 即当“约束数列”是等差数列时，或或2024. 由①②，得是的充分不必要条件. （3）要使得取最大值，则， 当且仅当同时满足以下三个条件时，取最大值. ①当时，；②当时，； ③当时，. . 【变式7-1】（2024·重庆·模拟预测）对于数列，定义，满足，记，称为由数列生成的“函数”． (1)试写出“函数” ，并求的值； (2)若“函数” ，求n的最大值； (3)记函数，其导函数为，证明：“函数” ． 【解题思路】结合新定义可得，结合等差数列及叠加法可求得；（1）代入即可求解；（2）代入，结合分组求和及应用导数求最值即可（3）由 ，结合导数的运算即可求解. 【解答过程】（1）由定义及．知， 所以是公差为m的等差数列，所以． 因为，所以， 所以，即． 当时，有， ， …… ， 所以， 即． （1）当时，， 所以“函数” ． 当时，． （2）当时，， 故“函数” ． 由，得． 令，则， 所以在上单调递增． 因为．所以当时，，所以当时，， 故n的最大值为5． （3）证明：由题意得 由，得， 所以，所以， 所以. 【变式7-2】（2024·江西·模拟预测）我国元代数学家朱世杰在他的《四元玉鉴》一书中对高阶等差数列求和有精深的研究，即“垛积术”．对于数列，①，从第二项起，每一项与它前面相邻一项的差构成数列，②，称该数列②为数列①的一阶差分数列，其中；对于数列②，从第二项起，每一项与它前面相邻一项的差构成数列，③，称该数列③为数列①的二阶差分数列，其中按照上述办法，第次得到数列，④，则称数列④为数列①的阶差分数列，其中，若数列的阶差分数列是非零常数列，则称数列为阶等差数列（或高阶等差数列）． (1)若高阶等差数列为，求数列的通项公式； (2)若阶等差数列的通项公式． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求数列的前项和． 附：． 【解题思路】（1）根据阶等差数列的定义，分别求出一阶差分数列和二阶差分数列，发现二阶差分数列为常熟列，即可得出，即，得到为等差数列，求得，即，然后用累加法即可求解； （2）（ⅰ）根据阶等差数列的定义，从一阶差分数列、二阶差分数列、三阶差分数列…依次往下求，当出现常数列时为止，即可确定为r的值；（ⅰⅰ）结合二项式定理将转化为了，然后利用裂项相消求和与分组求和的方法即可得解. 【解答过程】（1）数列的一阶差分数列为， 二阶差分数列为，为非零常数列， 所以，即，且， 所以数列是首项为1、公差为4的等差数列， 所以，即，且， 所以当时， ， 当时，，也满足上式， 综上，数列的通项公式为． （2）（ⅰ），所以， ， 所以， 所以， 所以数列是4阶等差数列，即． （ⅱ） ， 所以， 又 ， 所以 ． 【变式7-3】（2024·福建南平·二模）若数列共有项，对任意都有（为常数，且），则称数列是关于的一个积对称数列.已知数列是关于的一个积对称数列. (1)若，，，求的值； (2)已知数列是公差为的等差数列，，若，，求和的值； (3)若数列是各项均为正整数的单调递增数列，求证：. 【解题思路】（1）依题意可得，从而求出； （2）依题意，即可得到，再结合等差数列通项公式得到，再根据对应系数相等得到方程组，解得即可； （3）依题意可得，再利用裂项相消法计算可得. 【解答过程】（1）依题意，又，所以. （2）法一：由知对任意 都有， 即， 所以， 所以， 所以， 因为，，所以，即. 法二：当时由得， 所以， 即， 令，， 则， 因为，，所以，， 即，， 当时都有 ， 所以，成立. （3）由已知，，…，， 所以， 所以 ， 即. 一、单选题 1．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知数列的各项均为正数，，若表示不超过的最大整数，则（   ） A．615 B．620 C．625 D．630 【解题思路】根据等差数列的定义求出，再根据新定义对分情况求出，再求和可得答案. 【解答过程】因为， 所以，可得是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，因为数列的各项均为正数， 所以，因为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ， 则 . 故选：C. 2．（2024·上海·模拟预测）已知数列不是常数列，前项和为，且．若对任意正整数，存在正整数，使得，则称是“可控数列”．现给出两个命题：①存在等差数列是“可控数列”；②存在等比数列是“可控数列”．则下列判断正确的是（    ） A．①与②均为真命题 B．①与②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【解题思路】由题意，结合，的变化情况，利用极限思想即可判断①；根据题意，结合“可控数列”的定义，举出实例说明②，即可得出答案. 【解答过程】①数列不是常数列，则，则看作是一次函数的变化， 由得，看作是二次函数的变化， 当足够大时，极限的思想说明不成立； ②取，则， 当时，取，满足， 当时，取，满足； 故选：. 3．（2024·全国·模拟预测）将正整数n分解为两个正整数，的积，即，当，两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为12的最优分解，当，是n的最优分解时，定义，则数列的前2024项的和为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，对分奇数和偶数进行讨论，进而可以得到的表达式，再利用等比数列的求和公式求解即可. 【解答过程】当时，， 所以， 当时，， 则， 故数列的前2024项的和为. 故选：C. 4．（2024·安徽安庆·三模）若项数均为的两个数列满足，且集合，则称数列是一对“项紧密数列”．设数列是一对“4项紧密数列”，则这样的“4项紧密数列”有（    ）对． A．5 B．6 C．7 D．8 【解题思路】根据可得，结合可得，，然后列举出所有紧密数列对即可. 【解答过程】由条件知， 于是， 又， 所以， 于是“4项紧密数列”有； 共有6对. 故选：B． 5．（2024·四川南充·三模）对于数列，规定为数列的一阶差分，其中，规定为数列的k阶差分，其中．若，则（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 【解题思路】由数列的新定义计算即可. 【解答过程】由可得 ， ， 由可得， 所以， 故选：D. 6．（2024·上海宝山·二模）数列中，是其前项的和，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称数列为“某数列”现有如下两个命题：①等比数列为“某数列”；②对任意的等差数列，总存在两个“某数列”和，使得.则下列选项中正确的是（    ） A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【解题思路】利用等比数列前n项和公式计算，再建立方程并判断①；求出等差数列的通项，再拆分成两个等差数列，结合等差数列前n项和建立方程判断②. 【解答过程】对于①，由等比数列，得， 若对任意正整数，总存在正整数，使得，则，即，显然不成立，①为假命题； 对于②，设等差数列的公差为，则. 令，，则， 下面证是“某数列”. 设的前项和为，则， 于是对任意的正整数，总存在正整数，使得，所以是“某数列”. 同理，可证也是“某数列”. 所以对任意的等差数列，总存在两个“某数列”和，使得成立，故②为真命题. 故选：C. 7．（23-24高三下·重庆·阶段练习）定义：满足 为常数，）的数列 称为二阶等比数列，为二阶公比.已知二阶等比数列的二阶公比为，则使得 成立的最小正整数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【解题思路】根据数列新定义可得，利用累乘法求得的表达式，解数列不等式，即可求得答案. 【解答过程】由题意知二阶等比数列的二阶公比为，则， 故， 将以上各式累乘得：， 故，令，由于， 故，即， 又的值随n的增大而增大，且， 当时，， 当时，， 故n的最小值为8， 故选：B. 8．（2024·北京东城·二模）设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为内和数列，并令，称为的伴随数列，则（    ） A．若为等差数列，则为内和数列 B．若为等比数列，则为内和数列 C．若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列 D．若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列 【解题思路】对于ABD：举反例说明即可；对于C：根据题意分析可得，结合单调性可得，即可得结果. 【解答过程】对于选项AB：例题，可知即为等差数列也为等比数列， 则，但不存在，使得， 所以不为内和数列，故AB错误； 对于选项C：因为， 对任意，，可知存在， 使得， 则，即， 且内和数列为递增数列，可知， 所以其伴随数列为递增数列，故C正确； 对于选项D：例如， 显然是所有正整数的排列，可知为内和数列，且的伴随数列为递增数列， 但不是递增数列，故D错误； 故选：C. 二、多选题 9．（2024·山东青岛·三模）若有穷整数数列满足：，且，则称具有性质.则（     ） A．存在具有性质的 B．存在具有性质的 C．若具有性质，则中至少有两项相同 D．存在正整数，使得对任意具有性质的，有中任意两项均不相同 【解题思路】对A、D：举出符合题意的例子即可得；对B：根据所给定义，借助反证法设，，，中有个，个，从而有，推出矛盾；对C：，，，，中的最大值为，则存在，使得或，若存在，使，先证：，，，可以取遍到之间所有的整数，再对分类讨论，即可得证； 【解答过程】对A：取数列，易得其满足题意，此时该数列具有性质，故A正确； 对B：假设存在数列具有性质，则， 且， 设中有个，则有个， 则有 ，即， 其与为整数矛盾，故假设错误，故B错误； 对C：设，，，，中的最大值为， 则存在，使得或， 若存在，使，下证：，，，可以取遍到之间所有的整数， 假设存在正整数使得，，，中各项均不为， 令集合，设是集合中元素的最大值， 则有， 这与矛盾， 所以，，，可以取遍到之间所有的整数， 若，则，，，，的取值只能为，中的数， 此时，，，，中必有两项相同， 若，则，，，，的取值只能为，，中的数， 此时，，，，中必有两项相同， 若，则，，，，中一定有异于和的正整数， 再由，，，可以取遍到之间所有的整数， 所以，，，，中必有两项相同， 当，同理可证：，，，可以取遍到之间所有的整数， 从而，，，，中必有两项相同，故C正确； 对D：取数列，此时该数列具有性质， 且中任意两项均不相同，即存在，故D正确. 故选：ACD. 10．（2024·重庆·模拟预测）设是各项为正的无穷数列，若对于，（d：为非零常数），则称数列为等方差数列．那么（   ） A．若是等方差数列，则是等差数列 B．数列为等方差数列 C．若是等方差数列，则数列中存在小于1的项 D．若是等方差数列，则存在正整数n，使得 【解题思路】对于B：代入定义计算即可判断；根据题意结合等差数列的定义分析判断A；借助题目条件，借助放缩将等式转换为不等式后结合数列的函数性质分析判断C；由题意将表示出来后，使用放缩技巧，通过放缩法结合裂项相消法求和以表示出与有关不等式即可判断D. 【解答过程】对于选项B：若时，则，， 则不为定值， 所以数列不是等方差数列，故B错误； 对于选项ACD：若是等方差数列，则为常数， 所以数列是以为首项，公差为d的等差数列，故A正确； 可得， 当时，则总存在正整数，使， 与矛盾，故恒成立，， 有，， 即，，有， 则， 由随的增大而增大， 故总存在正整数使，即数列中存在小于1的项，故C正确； 由，故， 则 ， 可得 ， 由随n的增大而增大，且时，， 故对任意的，总存在正整数n使， 即总存在正整数n，使得，D正确； 故选：ACD． 11．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知数列，其前n项和为，若存在常数，对任意的，恒有，则称为数列.则下列说法正确的是（    ） A．若是以1为首项，为公比的等比数列，则为数列 B．若为数列，则也为数列 C．若为数列，则也为数列 D．若均为数列，则也为数列 【解题思路】对A，根据题意可得，利用数列的定义求解判断；对B，举反例不合题意；对C，根据条件得，结合数列的定义和绝对值三角不等式可判断；对D，由数列是数列，可得，，结合绝对值三角不等式可证，得解. 【解答过程】对于A，，于是， ，故A正确； 对于B，若，显然数列是数列，， 但，所以数列不是数列，故B错误； 对于C，因为数列是数列， 所以存在正数，对于任意的， 有，即， 所以 ，所以数列是数列，故C正确； 对于D，若数列是数列， 则存在正数，对任意的，有 ，， 因为 ， 同理可得，记，， 则有 ，所以数列也是数列，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（2024·江苏扬州·模拟预测）对于有穷数列，从数列中选取第项､第项､､第项，顺次排列构成数列，其中，则称新数列为的一个子列，称各项之和为的一个子列和．规定：数列的任意一项都是的子列．则数列的所有子列和的和为 2016 ． 【解题思路】求出和式中原数列中各项出现的次数即可得解. 【解答过程】数列中的每一项，含有一个项的子列有个，含有两个项的子列有个， 含有三个项的子列有个，含有四个项的子列有个，含有五个项的子列有个，含有六个项的子列有个， 因此和式中，数列中的每一项，都出现次， 所以所求和为. 故答案为：2016. 13．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）牛顿选代法又称牛顿——拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法.具体步骤如下图示：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，在点作曲线的切线，设与轴x交点的横坐标为，并称为r的1次近似值；在点作曲线的切线，设与轴x交点的横坐标为，称为r的2次近似值.一般地，在点作曲线的切线，记与x轴交点的横坐标为，并称为r的次近似值.设的零点为r，取，则r的1次近似值为 3 ；若为r的n次近似值，设，，数列的前n项积为.若任意，恒成立，则整数的最大值为 1 . 【解题思路】利用给定定义，整理出，求值解决第一空即可，利用求出，进而得到，再确定的最大值即可. 【解答过程】易知，设切点为， 由切线几何意义得斜率为，故切线方程为， 由给定定义知在该直线上，代入直线得， 当时，易知，故的1次近似值为， 由得，， ， 而函数的零点为，且， 故在上单调递增，且，， 故，由零点存在性定理得， 由题意得，故，而是整数，故， 故答案为：3；1. 14．（2024·北京通州·三模）若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列结论中正确的是 ①②④ ． ①存在等差数列，使得是的“M数列” ②存在等比数列，使得是的“M数列” ③存在等差数列，使得是的“M数列” ④存在等比数列，使得是的“M数列” 【解题思路】对于①取分析判断，对于②④取分析判断，对于③，根据题意结合等差数列的性质分析判断. 【解答过程】对于①：例如，则为等差数列，可得，则， 所以，， 故、均为严格增数列， 取，则，即恒成立， 所以是的“数列”，故①正确； 对于②，例如，则为等比数列，可得，则， 所以，， 故、均为严格增数列， 取，则，即恒成立 ， 所以是的“数列”，故②正确； 对于③，假设存在等差数列，使得是的“数列”， 设等差数列的公差为， 因为为严格增数列，则， 又因为为严格增数列，所以，即当时，恒成立， 取，满足，可知必存在，使得成立， 又因为为严格增数列， 所以对任意正整数，则有，即， 对任意正整数，则有，即， 故当时，不存在正整数，使得，故③不成立； 对于④，例如，则为等比数列，且、均为严格增数列，可得， 所以，， 故、均为严格增数列， 取，则，即恒成立， 所以是的“数列”，故④正确. 故答案为：①②④. 四、解答题 15．（2024·浙江·模拟预测）定义:表示的整数部分，表示的小数部分，例如.数列满足其中.若存在，使得当时，恒成立，则称数为木来数. (1)分别写出当时的值. (2)证明:是木来数 (3)若为大于1的有理数.且.求证:为木来数 【解题思路】（1）根据题意直接计算即可； （2）根据定义先计算，利用得出，根据同样的方法计算即可证明； （3）先设且互质，利用定义判定不是整数时，有，再用反证法判定数列中存在整数即可证明. 【解答过程】（1）当时，，同理， 当时，，同理； （2）当时，即，则， 由于，所以， 所以，则，所以， 由于，所以，则 ， 由此知对恒成立. 可知当时，为木来数； （3）设且互质， 可知与均不为整数时，有， 显然， 且此时为正整数，又互质，则， 故， 下面用反证法说明数列中存在整数. 由为有理数可知，也为有理数. 则，推出，与假设矛盾. 因此为木来数. 16．（23-24高二下·安徽六安·期末）如果无穷数列满足“对任意正整数，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质”. (1)若等比数列的前项和为，且公比，求证：数列具有“性质”； (2)若等差数列的首项，公差，求证：数列具有“性质”，当且仅当； (3)如果各项均为正整数的无穷等比数列具有“性质”，且四个数中恰有两个出现在数列中，求的所有可能取值之和. 【解题思路】(1)利用等比数列的性质求解即可； (2)利用等差数列的性质结合题目的定义求解即可； (3)利用枚举法，结合题目的新定义求解即可. 【解答过程】（1） 解得：则即 且 若则 则当对任意正整数，都存在正整数使得 则等比数列满足性质. （2）因为数列具有“性质”， 则 若数列具有性质则， 则， 又则 则， ， 则， 又则当时上式成立， 当时.， 则 因为则时，则则 则则 反之，若则则上面各式成立，则数列具有“性质” 综上数列具有“性质”，当且仅当. （3）从这四个数中任选两个，共有以下6种情况：，；，； ，; ，; ，; ，. ①对于， 因为为正整数，可以认为是等比数列中的项，，首项的最小值为1. 下面说明此数列具有性质P： =，=，任取，，则 ， 为正整数，因此此数列具有性质P， ②对于，.因为为正整数，认为是等比数列中的项，， 首项的最小值为，下面说明此数列不具有性质P： ，，若不为等比数列中的项， 因此此数列不具有性质P， 同理可得，；，；，；， 每组所在等比数列不具有“性质P’’. 17．（2024·黑龙江·三模）如果n项有穷数列满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”. (1)设数列是项数为7的“对称数列”，其中成等差数列，且，依次写出数列的每一项； (2)设数列是项数为(且)的“对称数列”，且满足，记为数列的前项和. ①若，，…，构成单调递增数列，且.当为何值时，取得最大值? ②若，且，求的最小值. 【解题思路】（1）根据新定义“对称数列”的定义和已知条件可求得公比，进而求得结果； （2）①根据对称数列的定义可得数列为等差数列，然后根据二次函数的性质来求解；②由条件得到数列相邻两项间的大小关系，并结合定义求得的取值范围，然后结合已知条件确定出最后的结果 【解答过程】（1）因为数列是项数为7的“对称数列”，所以， 又因为成等差数列，其公差，… 所以数列的7项依次为1，3，5，7，5，3，1； （2）①由，，…，是单调递增数列，数列是项数为的“对称数列”且满足， 可知，，…，构成公差为2的等差数列，，，…，构成公差为的等差数列， 故 ， 所以当时，取得最大值； ②因为即， 所以即， 于是， 因为数列是“对称数列”， 所以 ， 因为，故， 解得或，所以， 当，，…，构成公差为的等差数列时，满足， 且，此时，所以的最小值为2025. 18．（2024·福建泉州·模拟预测）若无穷数列满足：对于，其中为常数，则称数列为数列． (1)若一个公比为的等比数列为“数列”，求的值； (2)若是首项为1，公比为3的等比数列，在与之间依次插入数列中的项构成新数列，求数列中前30项的和． (3)若一个“数列"满足，设数列的前项和为．是否存在正整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【解题思路】（1）根据等比数列的通项公式，列出“数列”的式子，变形后得，与无关，即可求解； （2）由题意确定数列中前30项含有的前7项和数列的前23项，结合等差和等比数列的前项和公式，即可求解； （3）首先求解出，可得数列的前项和，并假设存在，通过验证求得，再利用放缩法，证明结论成立. 【解答过程】（1）数列是等比数列，则，， 则， 因为与无关，所以，即； （2）由题意可知，，而，所以， 是首项为1，公比为3的等比数列， 而新数列中项（含）前共有项， 令，结合，解得：， 故数列中前30项含有的前7项和数列的前23项， 所以数列中前30项的和； （3）因为数列是“数列”，，，， 则，，得， 所以数列的前项和， 假设存在正整数，使得不等式，对一切都成立， 即 当时，，得， 又为正整数，得 下面证明：对一切都成立， 由于，， 所以， ， 所以存在，使不等式对一切都成立. 19．（2024·福建厦门·模拟预测）对于数列，数列称为数列的差数列或一阶差数列.差数列的差数列，称为的二阶差数列.一般地，的阶差数列的差数列，称为的阶差数列.如果的阶差数列为常数列，而阶差数列不是常数列，那么就称为阶等差数列. (1)已知20，24，26，25，20是一个阶等差数列的前5项.求的值及； (2)证明：二阶等差数列的通项公式为； (3)证明：若数列是阶等差数列，则的通项公式是的次多项式，即（其中（）为常实数） 【解题思路】（1）根据定义直接进行求解，得到，并根据二阶差数列的第4项为，求出一阶差数列的第5项为，得到方程，求出； （2）令，根据二阶等差数列的定义得到，再利用累加法求出； （3）数学归纳法证明出为的次多项式，利用引理可证出结论. 【解答过程】（1）的一阶差数列为4，2，，；二阶差数列为，，； 三阶差数列为，，为常数列，故为三阶等差数列，即， 二阶差数列的第4项为，故一阶差数列的第5项为，即，故. （2）令， 因为是二阶等差数列，所以， 因此， 所以 ，命题得证. （3）证明：先证一个引理：记，是的次多项式， 数学归纳法：当时，是的2次多项式， 假设是的次多项式，对都成立， 由二项式定理，，规定， 将取0，1，2，…，，得，， ，……，， 求和可得 ， 则， 故是的次多项式，引理得证. 回到本题，由（2）可知，2阶等差数列的通项是的2次多项式， 假设阶等差数列的通项公式是的次多项式， 对于阶等差数列，它的差数列是阶等差数列，即， 故， 由引理可知，此为的次多项式，命题得证. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点17 新情景、新定义下的数列问题【七大题型】 【新高考专用】 【题型1 数列中的新概念】 1 【题型2 数列中的新运算】 2 【题型3 数列新情景问题】 3 【题型4 以数列和项与通项关系定义新数列】 4 【题型5 数列定义新性质问题】 5 【题型6 牛顿数列问题】 7 【题型7 数列中的新定义问题】 9 1、新情景、新定义下的数列问题 数列是高考的热点内容，属于高考的必考内容之一.近几年全国各地高考试题，我们总能在试卷的压轴题位置发现新定义数列题的身影，它们对数列综合问题的考查常常以新定义、新构造和新情景形式呈现，有时还伴随着数列与集合，难度较大，需要灵活求解. 【知识点1 数列中的新概念】 1．数列中的新概念问题的解题策略： 通过创新概念，以集合、函数、数列等的常规知识为问题背景，直接利用创新概念的内涵来构造相应的关系式(或不等式等)，结合相关知识中的性质、公式来综合与应用. 【知识点2 数列的新定义、新情景问题】 1．数列的新定义、新情景问题的求解策略 (1)新定义问题：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的 要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. (2)新情景问题：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. 【题型1 数列中的新概念】 【例1】（2024·四川南充·三模）对于数列，规定为数列的一阶差分，其中，规定为数列的阶差分，其中.若，则（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 【变式1-1】（2024·湖北武汉·三模）将按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对.若，则恰有2个逆序对的数列的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1-2】（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1，1，2，3，5，8…，其中从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，这样的数列称为“斐波那契数列”.若，则（    ） A．175 B．176 C．177 D．178 【变式1-3】（2024·全国·高考真题）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是（    ） A． B． C． D． 【题型2 数列中的新运算】 【例2】（2024·河南·模拟预测）“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1.对任意正整数，按照上述规则实施第次运算的结果为，若，且均不为1，则（    ） A．5或16 B．5或32 C．5或16或4 D．5或32或4 【变式2-1】（2023·北京延庆·一模）数列中，，定义：使为整数的数 叫做期盼数，则区间内的所有期盼数的和等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·上海宝山·二模）将正整数分解为两个正整数、的积，即，当、两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解．如，其中4×5即为20的最优分解，当、是的最优分解时，定义，则数列的前2023项的和为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·河南安阳·二模）如果有穷数列，，，…，（m为正整数）满足条件，，…，，即（t为常数），则称其为“倒序等积数列”．例如，数列8，4，2，，，是“倒序等积数列”．已知是80项的“倒序等积数列”，，且，，…，是公比为2，的等比数列，设数列的前n项和为，则（    ）． A．210 B．445 C．780 D．1225 【题型3 数列新情景问题】 【例3】（2024·全国·模拟预测）九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，最早记载九连环的典籍是《战国策·齐策》，《红楼梦》第7回中有林黛玉解九连环的记载，我国古人已经研究出取下n个圆环所需的最少步骤数，且，，，，，，…，则取下全部9个圆环步骤数最少为（    ） A．127 B．256 C．341 D．512 【变式3-1】（23-24高二上·江苏南通·期中）折纸与剪纸是一种用纸张折成或剪成各种不同形状的艺术活动，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．现将一张腰长为1的等腰直角三角形纸，每次对折后仍成等腰直角三角形，对折5次，然后用剪刀剪下其内切圆，则可得到若干个相同的圆片纸，这些圆片纸的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023·安徽宿州·一模）我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将1，2，3，…，9填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，便得到一个3阶幻方.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫作n阶幻方. 记n阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为，如，那么下列说法错误的是（    ） A． B．7阶幻方第4行第4列的数字可以为25 C．8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为260 D．9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为396 【变式3-3】（23-24高二下·山东·阶段练习）某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，它的第项为，若序列的所有项都是3，且，，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 以数列和项与通项关系定义新数列】 【例4】（2024·江西南昌·三模）给定数列，若对任意m，且，是中的项，则称为“H数列”．设数列的前n项和为 (1)若，试判断数列是否为“H数列”，并说明理由； (2)设既是等差数列又是“H数列”，且，，，求公差d的所有可能值； (3)设是等差数列，且对任意，是中的项，求证：是“H数列”． 【变式4-1】（2024·陕西·三模）数列的前项的最大值记为，即；前项的最小值记为，即，令，并将数列称为的“生成数列”． (1)设数列的“生成数列”为，求证：； (2)若，求其生成数列的前项和． 【变式4-2】（2024·山东泰安·模拟预测）已知数列是斐波那契数列，其数值为： .这一数列以如下递推的方法定义： .数列对于确定的正整数，若存在正整数使得成立，则称数列为“阶可分拆数列”. (1)已知数列满足 .判断是否对，总存在确定的正整数，使得数列为“阶可分拆数列”，并说明理由. (2)设数列的前项和为 ， （i）若数列为“阶可分拆数列”，求出符合条件的实数的值； （ii）在（i）问的前提下，若数列满足，，其前项和为.证明：当且时，成立. 【变式4-3】（2024·安徽芜湖·三模）若数列的各项均为正数，且对任意的相邻三项，都满足，则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项，都满足则称该数列为“凸数列”． (1)已知正项数列是一个“凸数列”，且，（其中为自然常数，），证明：数列是一个“对数性凸数列”，且有； (2)若关于的函数有三个零点，其中．证明：数列是一个“对数性凸数列”： (3)设正项数列是一个“对数性凸数列”，求证： 【题型5 数列定义新性质问题】 【例5】（2024·安徽·三模）已知数列的前n项和为，若数列满足： ①数列为有穷数列； ②数列为递增数列； ③，，，使得； 则称数列具有“和性质”. (1)已知，求数列的通项公式，并判断数列是否具有“和性质”；（判断是否具有“和性质”时不必说明理由，直接给出结论） (2)若首项为1的数列具有“和性质”. （ⅰ）比较与的大小关系，并说明理由； （ⅱ）若数列的末项为36，求的最小值. 【变式5-1】（2024·北京西城·二模）已知数列，从中选取第项、第项、…、第项构成数列，称为的项子列．记数列的所有项的和为．当时，若满足：对任意，，则称具有性质．规定：的任意一项都是的项子列，且具有性质． (1)当时，比较的具有性质的子列个数与不具有性质的子列个数的大小，并说明理由； (2)已知数列． （ⅰ）给定正整数，对的项子列，求所有的算术平均值； （ⅱ）若有个不同的具有性质的子列，满足：，与都有公共项，且公共项构成的具有性质的子列，求的最大值． 【变式5-2】（2024·北京东城·二模）已知为有穷整数数列，若满足：，其中，是两个给定的不同非零整数，且，则称具有性质. (1)若，，那么是否存在具有性质的？若存在，写出一个这样的；若不存在，请说明理由； (2)若，，且具有性质，求证：中必有两项相同； (3)若，求证：存在正整数，使得对任意具有性质的，都有中任意两项均不相同. 【变式5-3】（23-24高二下·吉林延边·期中）记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为函数的“牛顿数列”.已知数列为函数的牛顿数列，且数列满足. (1)证明数列是等比数列并求； (2)设数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求t的取值范围. 【题型6 牛顿数列问题】 【例6】（2024·广东·模拟预测）定义：任取数列中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为1，则称数列具有“性质1”.已知项数为的数列的所有项的和为，且数列具有“性质1”. (1)若，且，写出所有可能的的值； (2)若，证明：“”是“”的充要条件； (3)若，证明：或. 【变式6-1】（23-24高二下·四川·期中）物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对于函数，若满足，则称数列为牛顿数列．已知，如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与x轴交点的横坐标为，用代替重复上述过程得到，一直下去，得到数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和为，且对任意的，满足，求整数 的最小值；（参考数据：） (3)在（2）的前提下，设，直线与曲线有且只有两个公共点，其中，求的值． 【变式6-2】（2024·广东韶关·二模）记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为函数的“牛顿数列”.已知数列为函数的牛顿数列，且数列满足. (1)求； (2)证明数列是等比数列并求； (3)设数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求t的取值范围. 【变式6-3】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对于函数，若满足，则称数列为牛顿数列．已知，如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与x轴交点的横坐标为，用代替重复上述过程得到，一直下去，得到数列．    (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和为，且对任意的，满足，求整数的最小值．（参考数据：，，，） 【题型7 数列中的新定义问题】 【例7】（2024·江西九江·三模）已知数列共有项，且，若满足，则称为“约束数列”.记“约束数列”的所有项的和为. (1)当时，写出所有满足的“约束数列”； (2)当时，设“约束数列”为等差数列.请判断是的什么条件，并说明理由； (3)当时，求的最大值. 【变式7-1】（2024·重庆·模拟预测）对于数列，定义，满足，记，称为由数列生成的“函数”． (1)试写出“函数” ，并求的值； (2)若“函数” ，求n的最大值； (3)记函数，其导函数为，证明：“函数” ． 【变式7-2】（2024·江西·模拟预测）我国元代数学家朱世杰在他的《四元玉鉴》一书中对高阶等差数列求和有精深的研究，即“垛积术”．对于数列，①，从第二项起，每一项与它前面相邻一项的差构成数列，②，称该数列②为数列①的一阶差分数列，其中；对于数列②，从第二项起，每一项与它前面相邻一项的差构成数列，③，称该数列③为数列①的二阶差分数列，其中按照上述办法，第次得到数列，④，则称数列④为数列①的阶差分数列，其中，若数列的阶差分数列是非零常数列，则称数列为阶等差数列（或高阶等差数列）． (1)若高阶等差数列为，求数列的通项公式； (2)若阶等差数列的通项公式． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求数列的前项和． 附：． 【变式7-3】（2024·福建南平·二模）若数列共有项，对任意都有（为常数，且），则称数列是关于的一个积对称数列.已知数列是关于的一个积对称数列. (1)若，，，求的值； (2)已知数列是公差为的等差数列，，若，，求和的值； (3)若数列是各项均为正整数的单调递增数列，求证：. 一、单选题 1．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知数列的各项均为正数，，若表示不超过的最大整数，则（   ） A．615 B．620 C．625 D．630 2．（2024·上海·模拟预测）已知数列不是常数列，前项和为，且．若对任意正整数，存在正整数，使得，则称是“可控数列”．现给出两个命题：①存在等差数列是“可控数列”；②存在等比数列是“可控数列”．则下列判断正确的是（    ） A．①与②均为真命题 B．①与②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 3．（2024·全国·模拟预测）将正整数n分解为两个正整数，的积，即，当，两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为12的最优分解，当，是n的最优分解时，定义，则数列的前2024项的和为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽安庆·三模）若项数均为的两个数列满足，且集合，则称数列是一对“项紧密数列”．设数列是一对“4项紧密数列”，则这样的“4项紧密数列”有（    ）对． A．5 B．6 C．7 D．8 5．（2024·四川南充·三模）对于数列，规定为数列的一阶差分，其中，规定为数列的k阶差分，其中．若，则（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 6．（2024·上海宝山·二模）数列中，是其前项的和，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称数列为“某数列”现有如下两个命题：①等比数列为“某数列”；②对任意的等差数列，总存在两个“某数列”和，使得.则下列选项中正确的是（    ） A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 7．（23-24高三下·重庆·阶段练习）定义：满足 为常数，）的数列 称为二阶等比数列，为二阶公比.已知二阶等比数列的二阶公比为，则使得 成立的最小正整数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 8．（2024·北京东城·二模）设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为内和数列，并令，称为的伴随数列，则（    ） A．若为等差数列，则为内和数列 B．若为等比数列，则为内和数列 C．若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列 D．若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列 二、多选题 9．（2024·山东青岛·三模）若有穷整数数列满足：，且，则称具有性质.则（     ） A．存在具有性质的 B．存在具有性质的 C．若具有性质，则中至少有两项相同 D．存在正整数，使得对任意具有性质的，有中任意两项均不相同 10．（2024·重庆·模拟预测）设是各项为正的无穷数列，若对于，（d：为非零常数），则称数列为等方差数列．那么（   ） A．若是等方差数列，则是等差数列 B．数列为等方差数列 C．若是等方差数列，则数列中存在小于1的项 D．若是等方差数列，则存在正整数n，使得 11．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知数列，其前n项和为，若存在常数，对任意的，恒有，则称为数列.则下列说法正确的是（    ） A．若是以1为首项，为公比的等比数列，则为数列 B．若为数列，则也为数列 C．若为数列，则也为数列 D．若均为数列，则也为数列 三、填空题 12．（2024·江苏扬州·模拟预测）对于有穷数列，从数列中选取第项､第项､､第项，顺次排列构成数列，其中，则称新数列为的一个子列，称各项之和为的一个子列和．规定：数列的任意一项都是的子列．则数列的所有子列和的和为 ． 13．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）牛顿选代法又称牛顿——拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法.具体步骤如下图示：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，在点作曲线的切线，设与轴x交点的横坐标为，并称为r的1次近似值；在点作曲线的切线，设与轴x交点的横坐标为，称为r的2次近似值.一般地，在点作曲线的切线，记与x轴交点的横坐标为，并称为r的次近似值.设的零点为r，取，则r的1次近似值为 ；若为r的n次近似值，设，，数列的前n项积为.若任意，恒成立，则整数的最大值为 . 14．（2024·北京通州·三模）若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列结论中正确的是 ． ①存在等差数列，使得是的“M数列” ②存在等比数列，使得是的“M数列” ③存在等差数列，使得是的“M数列” ④存在等比数列，使得是的“M数列” 四、解答题 15．（2024·浙江·模拟预测）定义:表示的整数部分，表示的小数部分，例如.数列满足其中.若存在，使得当时，恒成立，则称数为木来数. (1)分别写出当时的值. (2)证明:是木来数 (3)若为大于1的有理数.且.求证:为木来数 16．（23-24高二下·安徽六安·期末）如果无穷数列满足“对任意正整数，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质”. (1)若等比数列的前项和为，且公比，求证：数列具有“性质”； (2)若等差数列的首项，公差，求证：数列具有“性质”，当且仅当； (3)如果各项均为正整数的无穷等比数列具有“性质”，且四个数中恰有两个出现在数列中，求的所有可能取值之和. 17．（2024·黑龙江·三模）如果n项有穷数列满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”. (1)设数列是项数为7的“对称数列”，其中成等差数列，且，依次写出数列的每一项； (2)设数列是项数为(且)的“对称数列”，且满足，记为数列的前项和. ①若，，…，构成单调递增数列，且.当为何值时，取得最大值? ②若，且，求的最小值. 18．（2024·福建泉州·模拟预测）若无穷数列满足：对于，其中为常数，则称数列为数列． (1)若一个公比为的等比数列为“数列”，求的值； (2)若是首项为1，公比为3的等比数列，在与之间依次插入数列中的项构成新数列，求数列中前30项的和． (3)若一个“数列"满足，设数列的前项和为．是否存在正整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19．（2024·福建厦门·模拟预测）对于数列，数列称为数列的差数列或一阶差数列.差数列的差数列，称为的二阶差数列.一般地，的阶差数列的差数列，称为的阶差数列.如果的阶差数列为常数列，而阶差数列不是常数列，那么就称为阶等差数列. (1)已知20，24，26，25，20是一个阶等差数列的前5项.求的值及； (2)证明：二阶等差数列的通项公式为； (3)证明：若数列是阶等差数列，则的通项公式是的次多项式，即（其中（）为常实数） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$