第2章 实数（单元测试·基础卷）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

第2章 实数（单元测试·基础卷） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列实数是无理数的是（    ） A．0.10010001 B． C． D． 2．实数1，0，，中，最大的数是（　　） A．1 B．0 C． D． 3．下列计算正确的是（        ） A． B． C． D． 4．下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5．计算的结果为（    ） A．4 B．3 C．1 D． 6．下列说法中，正确的是（   ） A．的平方根是 B．3是9的算术平方根 C．的立方根是2 D．立方根等于本身的实数有两个 7．当式子取最小值时，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．如图，数轴上点中，与相对应的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 9．若边长为的正方形的面积记作，边长为的正方形的面积记作，边长为的正方形的面积记作……按照此规律，的值是（    ） A． B．36 C．38 D．40 10．如图，在数值转换机中输入，第1次输出的结果为，将第1次输出的结果再重复输入数值转换机中，第2次输出的结果为2，以此类推，则第5次输出的结果是（    ） A．1 B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11． 的平方根是 ；的相反数是 ． 12．如果在实数范围内有意义，那么的取值范围是 ． 13．已知，则的立方根为 ． 14．已知a，b为两个连续整数，且，则 ． 15．若与最简二次根式是同类二次根式，则m的值为 ． 16．在数轴上，如果点A、B所对应的数分别为 那么在A、B两点中，到原点距离较近的点是 点． 17．我们用表示不大于的最大整数，如：，，. （1） ； （2）若，则的取值范围是 . 18．将边长分别为1，，，的正方形的面积分别记为，，，令，，，，则的值为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）计算： (1) (2) 20．（8分）计算： (1)； (2)． 21．（10分）已知，． （1）求和ab的值； （2）求的值； （3）若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值． 22．（10分）规定两数，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空： ________，________； （2）小明在研究这种运算时发现一个现象： ，他给出了如下的证明： 设，则，即， ，即， ． 请你尝试运用上述方法说明下面这个等式成立的理由． ． 23．（10分）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 按上述规律，回答以下问题： （1）写出第4个等式：___________； （2）请写出第n个等式：____________________． （3）利用上述的规律计算： 24．（12分）勾股定理是人类早期发现并证明的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何 （1）应用场景——在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示的点A，表示1的点B，过点B作直线l垂直于，在l上取点C，使，以点A为圆心，为半径作弧，求弧与数轴的交点D表示的数是多少． （2）应用场景2——解决实际问题． 如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，踏板离地的垂直高度，整个过程中它的绳索始终拉直，求秋千绳的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】此题主要考查了无理数的定义，无限不循环小数叫无理数，注意带根号的要开不尽方才是无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式． 根据无理数是无限不循环小数，逐项判定可得答案． 【详解】解：A、0.10010001是有限小数，属有理数，不是无理数，故此选项不符合题意； B、是负整理数，属有理数，不是无理数，故此选项不符合题意； C、是无理数，故此选项不符合题意； D、是分数，属有理数，不是无理数，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．C 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，实数大小比较，将化为，化为2是正确解答的关键， 根据绝对值的定义将化为，根据二次根式的性质将化为2，最后根据实数大小比较的方法进行比较即可得出答案． 【详解】解：，， ， 即最大， 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的运算法则逐项计算即可判断求解，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、和不是同类二次根式，不能合并，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 4．D 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：最简二次根式满足以下两个条件：①被开方数不含有能开得尽方的因式或因数，②被开方数不含有分母．根据最简二次根式的定义①被开方数不含有能开得尽方的因式或因数，②被开方数不含有分母，满足以上两个条件的二次根式叫最简二次根式）逐个判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项错误； B、，不是最简二次根式，故本选项错误； C、，不是最简二次根式，故本选项错误； D、是最简二次根式，故本选项正确； 故选：D． 5．B 【分析】根据二次根式的乘除混合运算法则计算解答即可． 本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选B． 6．B 【分析】本题考查算术平方根、平方根、立方根的定义，根据算术平方根、平方根、立方根的定义逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、的平方根是，选项说法错误，不符合题意； B、3是9的算术平方根，选项说法正确，符合题意； C、的立方根是，选项说法错误，不符合题意； D、立方根是它本身的数是和0，有3个，选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 7．A 【分析】本题考查了实数和数轴，绝对值的几何意义，掌握数轴上两点间的距离两个数之差的绝对值是解题关键． 的最小值，意思是x到的距离与到的距离之和最小，那么x应在和之间的线段上，进而求解即可． 【详解】∵表示x到的距离加上x到的距离， ∴当表示x的点在和之间的线段上时，取最小值 ∴x的取值范围为． 故选A． 8．B 【分析】先根据无理数的估算可知：，则，根据数轴上点的位置可作判断．本题考查数轴上表示的数及无理数的估算等知识． 【详解】解：， ∴， ， 由题意可知：点表示， 故选：B． 9．C 【分析】本题考查二次根式的运算、数字的规律性问题，先根据正方形面积公式计算出，，，得出，再代入求值即可． 【详解】解：由题意知， ， ， …… 以此类推，， ， 故选C． 10．B 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，直接按照程序规定的计算法则计算即可． 【详解】解：第次，； 第次，； 第次，； 第次，； 第次，； 故选B 11． 【分析】先化简，再求解平方根即可； 根据相反数的含义求解的相反数． 本题考查的是实数的相反数的含义，算术平方根与平方根的含义，先求解是解本题的关键． 【详解】解：，9的平方根是， ∴ 的平方根是， 故答案为：； 的相反数是， 故答案为：． 12．/ 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键． 根据二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可得 ， 解得． 故答案为：． 13．2 【分析】根据算术平方根的非负性得到x的值，以及y的值，再根据立方根定义求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵8的立方根为2， ∴的立方根为2 故答案为2． 【点睛】此题考查了算术平方根的非负性，立方根的定义，熟练掌握理解算术平方根的非负性是解题的关键． 14．7 【分析】本题主要考查了无理数大小的估算以及代数式求值， 先估算出即可得出，，，再代入代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵a，b为两个连续整数，且， ∴，， ∴． 故答案为：7． 15．4 【分析】此题主要考查了同类二次根式，正确把握同类二次根式的定义：被开方相同的最简二次根式叫同类二次根式是解题关键． 直接化简二次根式，进而利用同类二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：，与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得． 故答案为：4． 16．A 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较．根据题意可得点A到原点距离为，点B到原点距离为，再比较与的大小，即可． 【详解】解：∵点A、B所对应的数分别为 ∴点A到原点距离为，点B到原点距离为， ∵，且， ∴， 即在A、B两点中，到原点距离较近的点是A 故答案为：A 17． 1 / 【分析】本题主要考查了无理数的估算，新定义： （1）估算无理数的大小，再根据的意义进行计算即可； （2）根据的意义得到，进而得出x的取值范围即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．/ 【分析】本题考查了二次根式的化简，正确计算出结果是关键．根据正方形的面积，得出，以此类推得出；结合，代入数值计算即可． 【详解】解：依题意， ， 以此类推： 则 ∴ ， ． 故答案为：． 19．(1) (2) 【分析】（1）原式利用乘方的意义，绝对值的代数意义，负整数指数幂，以及二次根式性质计算即可求出值； （2）原式利用二次根式乘法法则，以及平方差公式计算即可求出值． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了乘方，绝对值，负整数指数幂，二次根式的化简及乘法，平方差公式等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． 20．(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式混合运算的顺序和法则是解题的关键． （1）先化简，再根据二次根式加减运算计算即可； （2）运用二次根式混合运算的顺序和法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 21．(1)， (2)16 (3) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，无理数的整数部分与小数部分的含义，掌握运算法则是解本题的关键； （1）直接把，代入计算即可； （2）把变形为，再整体代入计算即可； （3）先判断，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）由（1）得：，， ∴； （3）∵a的小数部分是x， ∴， ∵b的整数部分是y， ∴， ∴． 22．(1)3；2 (2)成立，理由见解析 【分析】本题考查有理数的乘方运算，同底数幂的乘法，理解同底数幂的乘法运算法则（底数不变，指数相加）是解题关键． （1）根据新定义运算结合有理数乘方运算法则进行分析求解； （2）根据新定义运算，结合同底数幂的乘法运算法则进行分析计算． 【详解】（1）解：， ； ， 故答案为：3；2 （2）设，， 则， ， ， ， ， 即． 等式成立． 23．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题目的式子可以写出第4个等式； （2）根据题目的式子可以写出第个等式； （3）根据（2）的结果，可以先将所求式子展开，然后化简即可． 本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、数字的变化类，解答本题的关键是写出第个等式． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 故答案为：； （2）解：由（1）的规律可得，， 故答案为：； （3）解： ． 24．(1)点表示的数为； (2)秋千绳的长为5米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用： （1）根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可． （2）设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，， ∴ 又 ∴， ∴点表示的数为； （2）解：∵，， ∴， 设秋千的绳索长为，根据题意可得， 利用勾股定理可得， 解得，， 即秋千绳的长为5米 1 学科网（北京）股份有限公司 $$