2025届广东省高三毕业班调研考试（一）数学试卷

秘密★启用前 试卷类翅：A 2025届广东省普通高中毕业班调研考试（一） 数 学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.己知集合A={x∈Z1x2-8x+15≤0}，B={x|x<5},则AOB= A.3} B.{3,4} C.{4,5} D.{3,4,5} 2.已知，52是两个虚数，则“：，，均为纯虚数”是“三为实数”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.己知ā和b的夹角为150°， 且日=2，同=5，则a+26= A.-9 B.-3 c.3 D.9 已如s+孕-na-号周oa+骨- A 9 c 5.已知等比数列{a,}为递增数列，b,=”.记S。,T,分别为数列{a,},{,}的前n项和，若a,=a4, a S+T=12,则Sn= A.4--1 B4-刂 c4- D.4-2 6.已知1体积为4√3π的球O与正四棱锥的底面和4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为4√3.则 该正四棱锥体积值是 128W5 A. B.435 C.965 D.80W5 3 3 7.斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”，这一数列如下定义：设{an} 为斐波那契数列，a=1，a2=1,an=an-1+a-2(n之3，neN),其通项公式为 a,=方生5-51设n是g0+5r-0-51<4的E整数银.则n的大 值为 数学试题第1页（共4页） A.5 B.6 C.7 D.8 8.函数∫(x)=lnx与函数g(x)=2+1有两个不同的交点，则m的取值范围是 A(←o, c.0,) D.02 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.现有十个点的坐标为(x,0),(x2,0),…,(xo,0),它们分别与(，10)，(（y2,10),,（o,10)关于 点(3,5)对称.已知x,x2,,xo的平均数为a,中位数为b,方差为C,极差为d,则片，2，，0 这组数满足 A.平均数为6-a B.中位数为6-b C.方差为c D.极差为d 10.设二253是非零复数，则下列选项正确的是 A.2=2 B.片+=+5 C.若-2-2到=2，则5+1-6耐的最小值为3 D.若2++2-i=4,则的最小值为√5 11.已知定义在R上的函数f(x)的图象连续不间断，当x≥0，f(e+x)-e(e-x)=0,且当x>0时， f'(e+x)+f(e-x)>0,则下列说法正确的是 A.f(e)=0 B.f(x)在(-oo,e)上单调递增，在(e,+oo)上单调递减 C.若x<2,f(x)>f(x),则x+<2e D.若，名是8闭=/x)+(x-eP-2在(0,2心)内的两个零点，且x<x,则1</<e f(x) 三、填空题：本题共3题，每小题5分，共15分， 12.已知等差数列{a,}的首项a,=2,公差d=3,求第10项ao的值为 13.x+2)5 asxs+ax+aax3+azx2+ax+aoastasta= a4+a2+ao 14.如图，在矩形ABCD中，IABI=8,1BC1=6,E,F,G,H分别是 矩形四条边的中点，点Q在直线HF上，点N在直线BC上，O0=kO丽， CN=kCF,k∈R,直线EQ与直线GN相交于点R,则点R的轨迹方程 H 为 数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在a4BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2B-cos2A=2sin2C-2 sin BsinC (1)求A (2)若b=2,c=3,P,Q分别为边a,b上的中点，G为ABC的重心，求∠PGQ的余弦值 16.(15分) 设A,B两点的坐标分别为（√5,0），（N5,O)直线AH,BH相交于点H,且它们的 斜率之积是-写设点H的轨迹方程为C (1)求C: (2)不经过点A的直线I与曲线C相交于E、F两点，且直线AE与直线AF的斜率之积 是-，求证：直线/恒过定点。 3 17.(15分) 如图所示，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，AC是圆柱的底面直径，PC是圆柱的母线，E 是AC与BD的交点，AB=AD,∠BAD=60°，AC=8 R' 、、 A ()记圆柱的体积为，四棱锥P-ABCD的体积为，求兰； (2)设点F在线段AP上，且存在一个正整数k,使得PA=kPF,PC=kCE,若已知平面FCD 与平面PCD的夹角的正弦值为√国 13,求k的值 18.(17分) 已知函数f(x)=(x-l)lnx, (1)己知函数f(x)=(x-l1)lnx的图像与函数g(x)的图像关于直线x=-I对称，试求g(x): (2)证明f(x)≥0： (3)设x,是f(x)=x+I的根，则证明：曲线y=lnx在点A(x,nxo)处的切线也是曲线y=e的切 线 数学试题第3页（共4页） 19.(17分) 如果函数F(x)的导数为F(x)=fx)，可记为∫f(x)d=F(x)，若f(x)≥0，则 心心本=Fb)-F(a)表示曲线y=f),直线x=a,x=b以及x轴围成的“曲边梯形”的面积 如：∫2xdk=x2+C,其中C为常数：02x冰=(22+C)-(0+C)=4,则表示x=0,x=1,y=2x+C 及x轴围成图形面积为4， (1)若f(x)=J(e+1,f(0)=2,求f(x)的表达式： (2)求曲线y=x2与直线y=-x+6所围成图形的面积： (3)若f(x)=e-1-2r，x∈[0，+o),其中m∈R,对a,b∈[0，+oo),若a>b,都满足 [fx>心f(x),求m的取值范围， 数学试题第4页（共4页） 2025届广东省普通高中毕业班调研考试（一) 数学参考答案与解析 一、选择题 1. 【答案】B 【解析】集合A={x∈Z1x2-8x+15≤0}={x∈Z1(x-3)(x-5)≤0}=3,4,5) 而B={x|x<5},故A∩B={3,4}. 考察集合交集的定义， 2 【答案】A 【解析】，5，均为纯虚数可以推出三为实数，三为实数不可以推出，，均为纯虚数，故为充分不必 2 要条件。 3. 【答案】C 【折16+26=a-5+2-月风cs150+2-25.(-马+ 2(5=3 4. 【答案】B 【解折】由愿干得号=sma+骨-sma=方na+ -cosa-sin a osa、 2 sincos(+ 所以co2a+=2osia+爱-1=2x(}-1=-写 考察三角函数中两角和差公式以及倍角公式. 【答案】C 【解析】 由4，=44，→ag=1→a=,3+7=12今2g+3+4=12, q 则2g2-99+4=(2g-0g-4)=0→4=242=4. 由于{a,}为递增数列，则g=4,4=4 所以{a}的通项公式为an=4-2 所以S 【考察】 (1)等比数列a,4,an,Sn: (2)转化、消元的数学思想 6. 【答案】A 【解析】 V。=4√3π一R=√5.记侧棱长为1，球心到四校锥顶点的距离为h. 产8-2=w0:e可-2-2p 所以h+同°+12=4h→3次-25h-15=0三h=5 3 wr9+路5 【考察】 (1)锥体、球体的体积公式： (2)内切球与正四棱锥的几何关系 1. 【答案】A 【解析】由题知n是1og2l1+V5)-(1-V5)门<x+4的正整数解 化简1og2[1+5)”-(1-V5)]<n+4有 (1+√5)”-(1-V5)”<24 21 根据{a}是递增数列可以知道{a,}也是递增数列.于是原不等式转化为a,2<二×2<52。 5 而a5=5,a。=8可以得到，满足要求的n的最大值为5. 考察对数运算以及利用数列单调性求最值 8 【答案】D Inx-1 【解折1由m产+片nx>0)得m=之2，则间题转化为y=m和从三子 Inx- 2的图像有两个 交点，而hW)=21-n型令h>0,解得0<x<e,令A<0,解得x>e,故在0,9递 增，在伦，+o)递减，则hHx)nx=hMe=2C大致图像如下所示 故m的取值范围是(O, 二、多选题 9. 【答案】AB 【解析】 由于(x,0),(x2,0),…,(xo,0),它们分别与(y,10),(y2,10),…,（yo,10)关于点(3,5)对称，则有 x+y=6(i∈Z,1≤i≤10)，即有y=6-x,(i∈Z,1≤i≤10) 则由平均数的性质可得片，2，，o这组数的平均数为6-a,中位数为6-b,方差为c,极差为-d, 10. 【答案】CD 【解析】 A.设1=a+bi,则写=a-bi,所以2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,2=(a-bi2=a2-b2-2abi, 故2≠，A选项错误 3 B.由复数的几何意义可知，，25+2在复平面表示向量OA,OB,OA+OB的模长当OA,OB共线 时，DA+丽=可A+O园，即，+=+：当OA,OB不共线时，OA,OB,OA+OB分别表示 △OAB三边长，根据三角形中两边之和大于第三边，可得OA+O丽<OA+O园，即，+<+ 因此，与+≤+，B选项错误 C.由复数的几何意义可知，5，-2-21=2表示复数：，对应的点A到定点(2,2)的距离为2，即动点A的 轨迹是以(2,2)为圆心，2为半径的圆，与+1-6耐表示点A到定点(-1,6)的距离，由圆的性质可知， 5+1-6列=V《-1-2)+(6-2)2-2=3,c项正确. D.由复数的几何意义可知，2++2-=4表示复数32对应的点B到两定点(0，-)、(0，)的距离之 和为4，所以点B的轨迹为椭圆： 兰+山，表示点B到原点的距离，由椭圆的几何性质可裂 3 当点B在椭圆与x轴的交点上时，取得最小值，即=√5，D选项正确 综上，故选：CD 11. 【答案】ACD 【解析】 A.令x=0,则有f(e)-efe)=(l-efe)=0,所以f(e)=0,故A正确， B.对f(e+x)-ef(e-x)=0两边求导，得f'(e+x)+ef(e-x)=0,所以f'(e+x)=-ef"(e-x), 代入f'(e+x)+f'(e-x)>0,得当x>0时，(l-e)f'(e-x)>0,所以f'(e-x)<0.又因为 f(e+x)+f'(e-x)>0,所以，f'(e+x)>0. 因此，当x<e时，f'(x)<0,f(x)在(-o,e)上单调递减：当x>e时，f'(x)>0,f(x)在(e,+o) 上单调递增故B错误。 C.对x,x2,e的大小关系进行分类讨论： ①当x1<x2≤e时，f(x)在(-o,e)上单调递减，所以f(x)>f(x2),显然有x+x<2e: ②当e≤x<x,时，f(x)在(e+o∞)上单调递增，不符合题意： ③当x<e<x2时，当x20时，f(e+x)=ef(e-x).令t=e+xe(e,too),f)=ef(2e-), f(x)>fx)=ef(2e-x2),又因为f(x)2f(e)=0,所以f(2e-x)>0,因此 f(x)>f(x)=ef(2e-x2)>f(2e-为).因为x<e,2e-x2<e,由f(x)的单调性得，+x2<2e 故C正确， D.因为g(0)=f(0)+e2-2>0,g(2e)=f(2e)+e2-2>0,ge)=f(e)-2=-2<0,所以 0<x<e<x<2e. 先证x,+x2<2e.即证2e-x,>x2,即g(2e-x)>0，只需证 f(2e-x)+(2e-x-e)2-2>0台ef(x)+(e-x)2-2>0. 事实上，ef(x)+(e-x)2-2>f(x)+(e-x)2-2=8(x)=0,因此x+x2<2e得证. 此时有0<x<e<,2<2e-x<2e 因为fx)=-(x,-e)2+2=-(2e-x-e)}2+2<-(2-e)2+2=f(x2),又fx)≠0，所以 1<s) f(x) 因为f)<2e-x)=x),又fx)≠0，所以f<e `f(x) 综上.1<f<c,D正确 f(x) 三、填空题 12. 【答案】29 13. 【答案】令x=1得(1+2)5=243=a5+a4+ag+a2+a+a0, 令x=-1得(-1+2)5=1=-a5+a4-ag+a2-a1+a0' asa=(atastatasta,tao)(astaataatao=243-1=121. o=atatazta,tag)+(asta-ataata=43+1=122, 2 2 故0t8=1 a4+a2+a0122 14. 【答案】号-器=1,0本-3) 【解析】以HF所在直线为x轴，GE所在直线为y轴建立平面直角坐标系。 因为AB1=8,1BC1=6,所以0(0,0)，H(-4,0),F(4,0),E(0,-3),G(0,3),C(4,3),所以0丽=(-4,0)， CF=(0,-3),0元=(4,3)，又因为00=k0丽，CN=kCF,所以00=(-4k,0),CN=(0,-3k),所以 Q(-4k,0),N(4,3-3k)。 因为E0,-3).Q(-4k,0),所以直线EQ的方程为y=-x-3①，因为G(0,3),N(4,3-3k,所以 直线GN的方程为y=-张x+3②。 由0可得k=一0c≠0)，代入②化简可码-君=1，≠0)，结合图像易知点R可到达G0,3), 但不可到达E(0,-3)所以点R的轨迹方程为芳-若=1,0车-3)。 四、解答题 15. 【解答】(1)cos2B-cos2A=2sin2C-2 sin BsinC, (1-2sin2B)-(1-2sin2 A)=2sin2C-2sin BsinC, 1分 sin2 A=sin2 B+sin2 C-sin BsinC.-- -2分 由正弦定理得a2=c2+b2-bc, -3分 由余弦定理得cesA -5分 Ae0,A=骨： -6分 (2)设AB=c,AC=b, 依题意可得亚=6+，Bc=i-c,B0=)i-c --7分 所以叶专尽+2c+:四，1卡得3-E+2=万9分 亚顾-6+--c--日 -11分 所以cos∠PG0= AP.B01733 API‖BQ -13分 266 16. 【解答】设点H的坐标为(x,),因为点A的坐标是(-√5,0)，所以直线AH的斜率 …1分 同理，直线BH的斜率 月间2分 由已知，有 化简，得点H的轨迹方程为 苦+y=0g同4分 点H的轨迹是除去(-5,0小，（5,0)两点的椭圆.…5分 (2)证明： 设E(x,y),F(x2,y2) ①当直线/斜率不存在时，可知x=x2,2=一，且有 …7分 联立可解得x=0,=士1，此时直线1为x=0…8分 6