精品解析：北京二中教育集团2023-2024学年九年级下学期保温训练数学试题 (2)

北京二中教育集团2023-2024学年度第二学期初三数学保温训练试卷 考生须知： 1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题纸，共16页；其中第Ⅰ卷2页，第Ⅱ卷8页，答题纸6页．全卷共三大题，28道小题． 2．本试卷满分100分，考试时间120分钟． 3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题纸的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号． 4．考试结束，将答题纸和机读卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题共16分） 一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分） 1. 党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出达二万八千亿元，居世界第二位．“二万八千亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 图是某几何体的三视图，该几何体是（　　） A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 圆柱 D. 长方体 3. 如图，以量角器的直径为斜边画直角三角形，量角器上点对应的读数是，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，数轴上两点所对应的实数分别为，则的结果可能是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 5. 函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（ ） A. B. C D. 6. 如图，为的直径，C、D为上的点，，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点为“同号点”．下列函数的图象不存在“同号点”的是（ ） A. B. C. D. 8. 某便利店的咖啡单价为10元/杯，为了吸引顾客，该店共推出了三种会员卡，如下表： 会员卡类型 办卡费用/元 有效期 优惠方式 A类 40 1年 每杯打九折 B类 80 1年 每杯打八折 C类 130 1年 一次性购买2杯，第二杯半价 例如，购买A类会员卡，1年内购买50次咖啡，每次购买2杯，则消费元．若小玲1年内在该便利店购买咖啡次数介于75~85次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为（ ） A. 购买A类会员卡 B. 购买B类会员卡 C. 购买C类会员卡 D. 不购买会员卡 二、填空题（本大题共8小题，共24分） 9. 某潜艇从海平面以下27米上升到海平面以下18米，此潜艇上升了_____米． 10. 如图所示的围棋盘放在某个平面直角坐标系内，白棋②的坐标为(－7，－4)，白棋④的坐标为(－6，－8)，那么黑棋①的坐标应该是________． 11. 如图，这是怀柔区部分景点的分布图，若表示百泉山风景区的点的坐标为，表示慕田峪长城的点的坐标为，则表示雁栖湖的点的坐标为______． 12. 在一次数学测试中，同年级人数相同的甲、乙两个班的成绩统计如下表： 班级 平均分 中位数 方差 甲班 乙班 数学老师让同学们针对统计的结果进行一下评估，学生的评估结果如下： 这次数学测试成绩中，甲、乙两个班的平均水平相同； 甲班学生中数学成绩95分及以上的人数少； 乙班学生数学成绩比较整齐，分化较小． 上述评估中，正确的是______填序号 13. 化简：________． 14. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在边BC上，DF⊥AE，垂足为F，若DF＝6，则线段EF的长为_____． 15. 小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85方差．在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，4，9，5．记这组新数据的方差为，则______. (填“”，“”或“”) 16. 如图，在甲，乙两个十字路口各方向均设有人行横道和交通信号灯，小宇在甲路口西南角的处，需要步行到位于乙路口东北角处附近的餐馆用餐，已知两路口人行横道交通信号灯的切换时间及小宇的步行时间如下表所示： 人行横道交通信号灯的切换时间 小宇的步行时间 甲路口 每 沿人行横道穿过 任一条马路 乙路口 每 在甲、乙两路口 之间（段） 假定人行横道的交通信号灯只有红、绿两种，且在任意时刻，同一十字路口东西向和南北向的交通信号灯颜色不同，行人步行转弯的时间可以忽略不计，若小宇在处时，甲、乙两路口人行横道东西向的交通信号灯均恰好转为红灯，小宇从处到达处所用的最短时间为______． 三、解答题（共68分，第17—20题，每题5分，第21题6分，第22题4分，第23—26题，每题6分，第27—28题，每题7分） 17. 计算：． 18. 解不等式组． 19. 已知关于x的元二次方程． （1）求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）设的两个实数根分别为，若，求k的值． 20. 如图，四边形内接于⊙O，C为的中点，若，⊙O的半径为12． （1）求的度数； （2）求扇形的面积． 21. 如图，在△ABC中,AD是BC边上高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G, CD=AE. (1)求证: CG=EG. (2)已知BC=13, CD=5,连结ED,求△EDC 的面积. 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象平行于直线，且经过点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当时，对于的每一个值，一次函数的值都大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 23. 国家统计局、国务院第七次全国人口普查领导小组办公室发布年第七次人口普查结果．以下是根据这次人口普查有关数据制作的统计表的一部分． （1）直接写出图中的值为______； （2）根据普查结果年岁及以上人口为亿人，请补全图，并在图中标明相应的数据精确到亿人； （3）人口抚养比，当一个国家的人口抚养比值较低时小于或等于，可为经济发展创造有利的人口条件，称作人口红利． 若中国现阶段劳动人口年龄定为岁，则目前我国______填“是”或“不是”处于人口红利时期．若用延迟退休的方法将劳动人口年龄定为岁后，图是我国个省市人口结构的散点图，请在图中圈出人口总数劳动年龄人口数及非劳动年龄人口数之和在万及以上处于人口红利时期的城市． 24. 如图，是的直径，点P是外一点，连接交于点，作，分别切于点B，点D，连接，； （1）求证：； （2）如图2，连接，若，，求线段的长. 25. 已知：如图，是的直径，，是上两点，过点的切线交的延长线于点E，，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线． （1）当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式； （2）求这个二次函数的对称轴（用含b的式子表示）； （3）若抛物线上存在两点A（b﹣1，）和B（b+2，），当时，求b的取值范围． 27. 在等边中，点D为的中点，点E为上一点（不与A、D重合），连接． 将线段绕点E顺时针旋转至，使点F落在的延长线上，在图1中补全图形： （1）求的度数； （2）探究线段之间的数量关系，并加以证明； （3）将线段绕点E旋转，在旋转过程中与边交于点H，连接，若，当时，请写出的最小值． 28. 在平面直角坐标系中，将图形W上除原点O外的每一点P变换为射线上的点，使，称点是点P的“对应点”， 构成的图形是图形W的“反形”．已知点S是满足的动点，以点S为圆心作过点O的．点T在半径为4的上运动，过点T作的切线l． （1）如图，当时，对于，在图中画出上的点，的“对应点”，； （2）当点T运动至点时，设为切线l上一点的“对应点”，试求的最大值； （3）如果存在点S与点T，使的“反形”中存在一点，切线l的“反形”中存在一点，满足，直接写出r的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京二中教育集团2023-2024学年度第二学期初三数学保温训练试卷 考生须知： 1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题纸，共16页；其中第Ⅰ卷2页，第Ⅱ卷8页，答题纸6页．全卷共三大题，28道小题． 2．本试卷满分100分，考试时间120分钟． 3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题纸的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号． 4．考试结束，将答题纸和机读卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题共16分） 一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分） 1. 党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出达二万八千亿元，居世界第二位．“二万八千亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．据此解答即可． 【详解】解：二万八千亿写作， ， 故选：C． 2. 图是某几何体的三视图，该几何体是（　　） A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 圆柱 D. 长方体 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图和左视图确定为矩形判断出是柱体，根据俯视图判断出这个几何体是三棱柱，即可得． 【详解】解：∵主视图和左视图是矩形 ∴该几何体是柱体， ∵俯视图是三角形， ∴该几何体是三棱柱， 故选：B． 【点睛】本题考查了简单立体图形的三视图，解题的关键是根据三视图还原几何体． 3. 如图，以量角器的直径为斜边画直角三角形，量角器上点对应的读数是，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，确定在同一个圆上，根据量角器量角及圆周角定理即可得到． 【详解】解：令圆心为，连接，如图所示： 以量角器的直径为斜边画直角三角形， 在上， 量角器上点对应的读数是， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查圆周角定理，读懂题意，掌握量角器量角的方法及圆周角定理求解是解决问题的关键． 4. 如图，数轴上两点所对应的实数分别为，则的结果可能是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴确定和的范围，再根据有理数的加减法即可做出选择． 【详解】解：根据数轴可得＜＜1，＜＜，则1＜＜3 故选：C 【点睛】本题考查的知识点为数轴，解决本题的关键是要根据数轴明确和的范围，然后再确定的范围即可． 5. 函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的图像，先根据一次函数可知，直线经过点，故选项B、D不符合题意，然后由A、C选项可知，的符号，从而选出答案． 【详解】解：函数的图像经过点， 选项B、选项D不符合题意； 由A、C选项可知：， 反比例函数的图像在第一、三象限， 故选项A符合题意，选项C不符合题意； 故选：A． 6. 如图，为的直径，C、D为上的点，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接 、，如图，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出 ，再根据圆心角、弧、弦的关系得到 ，然后根据圆周角定理得到 的度数； 【详解】连接 、，如图， 故选：D 【点睛】本题考查了圆周角定理，正确记忆在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题关键 7. 在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点为“同号点”．下列函数的图象不存在“同号点”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的，由此分析判断即可． 【详解】解：由题意，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的， 函数的图象在二四象限，不满足条件， 故选：C． 【点睛】本题考查反比函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质．可以用特值法进行快速的排除． 8. 某便利店的咖啡单价为10元/杯，为了吸引顾客，该店共推出了三种会员卡，如下表： 会员卡类型 办卡费用/元 有效期 优惠方式 A类 40 1年 每杯打九折 B类 80 1年 每杯打八折 C类 130 1年 一次性购买2杯，第二杯半价 例如，购买A类会员卡，1年内购买50次咖啡，每次购买2杯，则消费元．若小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75~85次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为（ ） A. 购买A类会员卡 B. 购买B类会员卡 C. 购买C类会员卡 D. 不购买会员卡 【答案】C 【解析】 【分析】设一年内在该便利店买咖啡的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得：列出3类会员卡用含x的关系表示消费的费用y，再确定y的范围，进行比较即可解答． 【详解】设一年内在该便利店买咖啡的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得：yA=40+0.9x=40+18x，yB=80+0.8x=80+16x，yC=130+15=130+15x， 当75≤x≤85时, 1390≤yA≤1570； 1280≤yB≤1440； 1255≤yC≤1405； 由此可见，C类会员年卡消费最低，所以最省钱的方式为购买C类会员年卡． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数关系式，并确定函数值的范围． 二、填空题（本大题共8小题，共24分） 9. 某潜艇从海平面以下27米上升到海平面以下18米，此潜艇上升了_____米． 【答案】9 【解析】 【分析】用潜艇从海平面以下的高度减去上升到海平面以下的高度，就是潜艇上升的高度，据此解答． 【详解】根据题意得：﹣18﹣（﹣27）=9（米）． 故答案为9． 【点睛】本题考查了有理数的减法运算，根据题意列出算式是解答此题的关键． 10. 如图所示的围棋盘放在某个平面直角坐标系内，白棋②的坐标为(－7，－4)，白棋④的坐标为(－6，－8)，那么黑棋①的坐标应该是________． 【答案】（-3，-7） 【解析】 【详解】根据白棋的坐标，可确定如图，所示的平面直角坐标系，可得黑棋①的坐标为(－3，－7)． 11. 如图，这是怀柔区部分景点的分布图，若表示百泉山风景区的点的坐标为，表示慕田峪长城的点的坐标为，则表示雁栖湖的点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置，进而得出答案． 【详解】 解：如图所示：雁栖湖的点的坐标为：（1，-3）． 故答案为（1，-3）． 【点睛】本题考查坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键． 12. 在一次数学测试中，同年级人数相同的甲、乙两个班的成绩统计如下表： 班级 平均分 中位数 方差 甲班 乙班 数学老师让同学们针对统计的结果进行一下评估，学生的评估结果如下： 这次数学测试成绩中，甲、乙两个班的平均水平相同； 甲班学生中数学成绩95分及以上的人数少； 乙班学生的数学成绩比较整齐，分化较小． 上述评估中，正确的是______填序号 【答案】 【解析】 【分析】根据平均数、中位数和方差的意义分别对每一项进行解答，即可得出答案． 【详解】解：∵甲班的平均成绩是92.5分，乙班的平均成绩是92.5分， ∴这次数学测试成绩中，甲、乙两个班的平均水平相同； 故正确； ∵甲班的中位数是95.5分，乙班的中位数是90.5分， 甲班学生中数学成绩95分及以上的人数多， 故错误； ∵甲班的方差是41.25分，乙班的方差是36.06分， 甲班的方差大于乙班的方差， 乙班学生的数学成绩比较整齐，分化较小； 故正确； 上述评估中，正确的是； 故答案为． 【点睛】本题考查平均数、中位数和方差，平均数表示一组数据的平均程度中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数；方差是用来衡量一组数据波动大小的量． 13. 化简：________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． 14. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在边BC上，DF⊥AE，垂足为F，若DF＝6，则线段EF的长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】证明△AFD∽△EBA，得到，求出AF，即可求出AE，从而可得EF． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝10，， ∴∠AEB＝∠DAF， ∴△AFD∽△EBA， ∴， ∵DF＝6， ∴， ∴， ∴AE＝5， ∴EF＝AF－AE＝8－5＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 15. 小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差．在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，4，9，5．记这组新数据的方差为，则______. (填“”，“”或“”) 【答案】= 【解析】 【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案． 【详解】解：∵两组数据的平均值分别为91和1， = ∴ 故答案为= 【点睛】本题考查方差的意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变． 16. 如图，在甲，乙两个十字路口各方向均设有人行横道和交通信号灯，小宇在甲路口西南角的处，需要步行到位于乙路口东北角处附近的餐馆用餐，已知两路口人行横道交通信号灯的切换时间及小宇的步行时间如下表所示： 人行横道交通信号灯的切换时间 小宇的步行时间 甲路口 每 沿人行横道穿过 任一条马路 乙路口 每 在甲、乙两路口 之间（段） 假定人行横道的交通信号灯只有红、绿两种，且在任意时刻，同一十字路口东西向和南北向的交通信号灯颜色不同，行人步行转弯的时间可以忽略不计，若小宇在处时，甲、乙两路口人行横道东西向的交通信号灯均恰好转为红灯，小宇从处到达处所用的最短时间为______． 【答案】7 【解析】 【分析】甲路口出发向北走，等红灯，向东走，走过用时，乙路口向东走． 【详解】解：根据题意可得： ， 故答案为：7． 【点睛】本题考查有理数的加法运算，理清时间，弄清路口是否等待是解题的关键． 三、解答题（共68分，第17—20题，每题5分，第21题6分，第22题4分，第23—26题，每题6分，第27—28题，每题7分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算特殊角三角函数、二次根式、负整数次幂、绝对值，再进行加减运算． 详解】解： ． 【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及特殊角三角函数、二次根式、负整数次幂、绝对值等知识点，正确计算是解题的关键． 18. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出不等式组中不等式的解集，再根据确定不等式组解集的原则：大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找，得出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∴． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握确定不等式组的解集是解题的关键． 19. 已知关于x的元二次方程． （1）求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）设的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）将方程化为一般式后根据判别式即可求出答案； （2）利用根与系数关系即可求出答案． 【小问1详解】 解：由题意可知：， ， ∴对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：原方程可化为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是判别式以及根与系数的关系，本题属于基础题型． 20. 如图，四边形内接于⊙O，C为的中点，若，⊙O的半径为12． （1）求的度数； （2）求扇形的面积． 【答案】（1）60°；（2）24π． 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得出，进而可得答案； （2）根据圆周角定理得出，进而得出，根据扇形面积公式即可得答案． 【详解】（1）∵C是为的中点， ∴=2， ∴， ∵=， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）∵=， ∴， ∵， ∴， 则S扇形OCD==24π． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，以及扇形的面积计算，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 21. 如图，在△ABC中,AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G, CD=AE. (1)求证: CG=EG. (2)已知BC=13, CD=5,连结ED,求△EDC 的面积. 【答案】（1）见解析；（2）7.5 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形三线合一的性质即可得证； （2）过点E作EF⊥BC于点F，首先求出BD，再根据等腰三角形三线合一得DF=4，利用勾股定理求出EF即可求出△EDC的面积. 【详解】（1）证明：连接ED， ∵AD⊥BC ∴∠ADB=90° ∵CE是AB边上的中线 ∴E是AB的中点 ∴DE=AB 又∵AE=AB ∴AE=DE ∵AE=CD ∴DE=CD 即△DCE是等腰三角形， ∵DG⊥EC， ∴CG=EG； （2）如图，过点E作EF⊥BC于点F， ∵BC=13, CD=5 ∴BD=13-5=8，DE=CD=5 ∵DE=AB=BE， ∴△BDE为等腰三角形， 又∵FE⊥BD， ∴DF=BD=4 在Rt△DEF中， ∴S△EDC= 【点睛】本题考查直角三角形与等腰三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形三线合一的性质是解决本题的关键. 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象平行于直线，且经过点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当时，对于的每一个值，一次函数的值都大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据一次函数图象平移时k不变可知，再把点代入求出b的值，进而可得出结论； （2）由函数解析式可知其经过点，由题意可得临界值为当，两条直线都过点，将点代入到一次函数，可求出m的值，结合函数图象的性质即可得出m的取值范围． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与函数的图象平行， ∴， ∵一次函数的图象过点， ∴， ∴， ∴这个一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：对于一次函数，当时，有，可知其经过点． 当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于一次函数的值，即一次函数图象在函数的图象上方，由下图可知： 临界值为当时，两条直线都过点， 将点代入到函数中， 可得，解得， 结合函数图象及性质可知，当，时，一次函数的值大于一次函数的值， 又∵如下图，当时，根据一次函数的图象可知，不符合题意． ∴m的取值范围为：． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换、待定系数法求函数解析式等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质，学会运用数形结合的思想思考问题是解题关键． 23. 国家统计局、国务院第七次全国人口普查领导小组办公室发布年第七次人口普查结果．以下是根据这次人口普查有关数据制作的统计表的一部分． （1）直接写出图中的值为______； （2）根据普查结果年岁及以上人口为亿人，请补全图，并在图中标明相应的数据精确到亿人； （3）人口抚养比，当一个国家的人口抚养比值较低时小于或等于，可为经济发展创造有利的人口条件，称作人口红利． 若中国现阶段劳动人口年龄定为岁，则目前我国______填“是”或“不是”处于人口红利时期．若用延迟退休的方法将劳动人口年龄定为岁后，图是我国个省市人口结构的散点图，请在图中圈出人口总数劳动年龄人口数及非劳动年龄人口数之和在万及以上处于人口红利时期的城市． 【答案】（1） （2）见解析 （3）不是，圈出人口总数在万及以上处于人口红利时期的城市见解析 【解析】 【分析】根据扇形统计图的数据即可得出答案； 根据年岁及以上人口为亿人除以年岁及以上人口所占的百分比可得人口总数，即可补全图； 求出我国的人口抚养比，根据图：我国个省市人口结构的散点图，即可得出答案． 【小问1详解】 解： ， 的值为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：年人口总数为亿人， 补全图如图： 【小问3详解】 解：年非劳动年龄人口数：亿人， 劳动年龄人口数为：亿人， 我国的人口抚养比为：， ， 目前我国不是处于人口红利时期． 万及以上处于人口红利时期的城市中，非劳动年龄人口数小于劳动年龄人口数的， 由图：我国个省市人口结构的散点图得，人口总数劳动年龄人口数及非劳动年龄人口数之和在万及以上的城市有个，只有一个人口抚养比值小于， 如图： 故答案为：不是． 【点睛】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及统计表，弄清题意是解本题的关键． 24. 如图，是的直径，点P是外一点，连接交于点，作，分别切于点B，点D，连接，； （1）求证：； （2）如图2，连接，若，，求线段的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，从而证明，进而可得，然后根据圆周角定理可得，从而可得，最后利用平行线的判定即可解答； （2）连接，利用（1）的结论可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而可得，进而在等腰直角三角形中求出，的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义可得，再利用勾股定理进行计算即可解答． 【小问1详解】 证明：连接， ，分别切于点，， ， ，， ， ， ， ， ； 小问2详解】 解：连接， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， 或（舍去）， 线段的长为． 【点睛】本题考查了垂径定理，全等三角形的判定与性质，切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，以及解直角三角形是解题的关键． 25. 已知：如图，是的直径，，是上两点，过点的切线交的延长线于点E，，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质，已知条件可得，进而根据平行线的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证； （2）连接，根据同弧所对的圆周角相等，可得，进而根据正切值以及已知条件可得的长，勾股定理即可求得，进而即可求得圆的半径． 【小问1详解】 连接，如图， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：连接 是的直径， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴⊙O的半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正切的定义，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，理解题意添加辅助线是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线． （1）当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式； （2）求这个二次函数的对称轴（用含b的式子表示）； （3）若抛物线上存在两点A（b﹣1，）和B（b+2，），当时，求b的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）把代入解析式，解答即可； （2）根据对称轴为直线计算即可； （3）把坐标代入解析式后，整理，最终转化为解不等式问题求解． 【小问1详解】 解：把代入解析式， ， 解得， 抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：二次函数的对称轴为直线：， 【小问3详解】 解：将A（b﹣1，）和B（b+2，）代入得， ， 整理得：，， 当时，则， ∵， ∴， ∵b+2>b+1>b-1>b-2， 当b+2、b+1、b-1、b-2四个数中只有一个是负数，三个正数时，则 ， 解得：1<b<2， 当b+2、b+1、b-1、b-2四个数中只有一个是正数，三个负数时，则 ， 解得：-2<b<-1， ∴时，b的取值范围为：或． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式，对称轴的性质，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法，对称轴的公式，灵活运用抛物线的性质，不等式的性质． 27. 在等边中，点D为的中点，点E为上一点（不与A、D重合），连接． 将线段绕点E顺时针旋转至，使点F落在的延长线上，在图1中补全图形： （1）求的度数； （2）探究线段之间的数量关系，并加以证明； （3）将线段绕点E旋转，在旋转过程中与边交于点H，连接，若，当时，请写出的最小值． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）可推出，从而得出A、E、C、F共圆，从而得出； （2）在上截取，作于H，可推出，从而，，进而得出，进一步可得出结果； （3）将绕点A顺时针旋转至，连接NE，连接，结合全等三角形的判定和性质进行分析求解． 【小问1详解】 解：如图1， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转可知：， ∴， ∴， ∴点A、E、C、F共圆， ∴； 【小问2详解】 解：如图2， ，理由如下： 在上截取，作于H， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，将绕点A顺时针旋转至，连接NE，连接， 则，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当N、E、C三点共线时最小， 在等腰直角中：， ∴的最小值为． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，确定圆的条件，等边三角形的性质，旋转的性质，锐角三角函数等，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，将图形W上除原点O外的每一点P变换为射线上的点，使，称点是点P的“对应点”， 构成的图形是图形W的“反形”．已知点S是满足的动点，以点S为圆心作过点O的．点T在半径为4的上运动，过点T作的切线l． （1）如图，当时，对于，在图中画出上点，的“对应点”，； （2）当点T运动至点时，设为切线l上一点的“对应点”，试求的最大值； （3）如果存在点S与点T，使的“反形”中存在一点，切线l的“反形”中存在一点，满足，直接写出r的取值范围． 【答案】（1）， （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）由“对应点”定义，可求点，点，即可求解； （2）由题意可得，由对应点定义可得，即可求解； （3）先确定点和点的轨迹，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点，， ∴，， ∵， ∴， 又∵在x轴上， ∴点， ∵， ∴， ∵在直线上， ∴点； 【小问2详解】 ∵点， ∴的切线解析式为， ∴点Q纵坐标为4， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为1； 【小问3详解】 ∵点N是的切线上， ∴， ∴， ∴点在以O为圆心，1为半径的圆内或圆上（原点除外）， ∵， ∴点在以为圆心，2为半径的圆内或圆上（原点除外）， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题是圆的综合题，切线的性质，理解新定义并运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$