精品解析：2024年辽宁省中考数学模拟测试最后一卷

2024年辽宁中考最后一卷 数学 注意事项： 1．本试卷共有三个大题，分为单项选择题、填空题、解答题，满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有1个正确） 1. 2024的相反数是（ ） A. B. C. 2024 D. 2. 如图，该几何体俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，某人从A地出发，沿正东方向前进至B处后右转，再直行至C处．此时他想仍按正东方向行走，则他应（　　） A. 先右转，再直行 B. 先右转，再直行 C. 先左转，再直行 D. 先左转，再直行 4. 三峡电站总装机容量约22500000千瓦，是世界上装机容量最大的水电站．数22500000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 将分式方程去分母后，得（　　） A. B. C. D. 7. 建设中的G107马头南至冀豫界段是我省“十四五”建设项目，其某段施工需运送土石方，则土石方日运送量与完成运送任务所需时间（天）满足（ ） A. 反比例函数关系 B. 正比例函数关系 C. 一次函数关系 D. 二次函数关系 8. 已知圆弧所在圆的半径是，所对的圆心角是，则这条弧的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 9. 二次函数的最小值是3，则a的值是（　　） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 10. 某校每学期要求学生选择一项兴趣活动，下图是六年级学生选择摄影、象棋、武术、十字绣四个兴趣小组的扇形统计图，以下说法错误的是（ ） A. 参加象棋小组的学生占六年级学生的 B. 参加武术小组与十字绣小组学生人数相等 C. 参加象棋小组与十字绣小组的人数之比为 D. 参加武术小组的学生所在扇形的圆心角为 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 写出一个解集为的一元一次不等式：_____________． 12. 一个不透明的袋中有若干个除颜色外完全相同的小球，其中黄球有个，将袋中的球摇匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现,摸到黄球的频率稳定在左右，则袋中小球的个数为______________． 13. 如图，在菱形中，，于点E，交对角线于点P，过点P作于点F．若，则菱形的面积为______． 14. 如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，再以B为圆心，长为半径画弧，画射线，则的值为 _______________． 15. 在我国古代重要的数学著作《孙子算经》中，记载有这样一个数学问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.间车有几何?”意思是：每3人共乘一辆车，最终剩余2辆空车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，问车辆有多少?若设车辆数为x，则可列方程为___________． 16. 已知四边形，若，则______． 三、解答题（本题共9小题，共102分） 17. 先化简，后求值：，当代入求值． 18. 某体育老师测量了自己任教的甲、乙两班男生的身高，并制作了如下不完整的统计图表 身高分组 频数 频率 152≤ x＜155 3 0.06 155≤ x＜158 7 0.14 158≤ x＜161 m 0.28 161≤ x＜164 13 n 164≤ x＜167 9 018 167≤ x＜170 3 0.06 170≤ x＜173 1 0.02 根据以上统计图表完成下列问题： (1)统计表中m＝____，n＝____；并将频数分布直方图补充完整； (2)在这次测量中两班男生身高的中位数在什么范围内？ 19. 如图，，，，与交于点，与交于点，求证：． 20. 一农户原来种植花生，每公顷产量为3000千克，出油率为50%（即每100千克花生可加工出花生油50千克），现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油1980千克，已知花生出油率的增长率是产量增长率的，求新品种花生产量的增长率． 21. 为了测量学校旗杆的高度，学校数学小组做了如下试验：在阳光的照射下，旗杆的影子恰好落在水平地面处的斜坡坡面上，测得，太阳光线与水平面夹角为且与斜坡垂直，根据以上数据，请你求出旗杆的高度．(结果保留根号) 22. 如图，甲骑自行车与乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地行驶，两地之间路程是60km，请根据图象解决下列问题： （1）分别求出甲行驶的路程（km）、乙行驶的路程（km）与甲行驶的时间之间的函数表达式； （2）若甲、乙都行驶且甲与乙相距的路程为12km，求x的值． 23. 如图，点C在以为直径的上．与过点C的切线垂直，垂足为D，交于点E，过B作交于点F，连接． （1）求证：； （2）已知，，求和的长． 24. 如图1，矩形中，E是对角线上一个动点（不与点A重合），作，交于点F，联结，如果设，面积为y，那么可得y关于x的函数图像（如图2所示）． （1）求y关于x的函数解析式，并写出其定义域； （2）求的面积及矩形对角线的长． 25. 【提出问题】如图，在等腰中，，分别以，为边作等边和等边，与相交于点，连接． 【初步探究】 （1）如图，连接，求证：≌． 【深入探究】 （2）如图，将沿翻折得到，连接，，类比的探究方法发现： 结论：______≌； 结论：． 请证明结论． （3）如图、在（2）的情况下将线段沿翻折得到线段，连接，，试判断线段与的位置关系． 26. 如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求该抛物线的表达式； （2）设点是直线上方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，与直线交于点． ①连接，求四边形面积与的函数关系式，并求出的最大值； ②连接．在①的条件下，试判断四边形的形状，并说明理由； ③是否存在点，使得以为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年辽宁中考最后一卷 数学 注意事项： 1．本试卷共有三个大题，分为单项选择题、填空题、解答题，满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有1个正确） 1. 2024的相反数是（ ） A. B. C. 2024 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相反数的概念，根据只有符号不同的两个数互为相反数即可求得答案． 【详解】解：2024的相反数是． 故选：D． 2. 如图，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案． 【详解】解：从上边看，所得长方形有两条竖线． 故选：B． 3 如图，某人从A地出发，沿正东方向前进至B处后右转，再直行至C处．此时他想仍按正东方向行走，则他应（　　） A. 先右转，再直行 B. 先右转，再直行 C. 先左转，再直行 D. 先左转，再直行 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，关键是掌握平行线的性质：两直线平行内错角相等．由两直线平行内错角相等，即可求解． 【详解】解： 由题意知：，， ∴， ∴他应该先左转，再直行． 故选：C． 4. 三峡电站总装机容量约22500000千瓦，是世界上装机容量最大的水电站．数22500000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正数，当原数绝对值小于1时是负数，由此进行求解即可得到答案， 解题的关键是：熟记科学记数法的规则． 【详解】解：， 故选：B． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的计算．根据题意，逐项计算判断即可． 【详解】解：A.，此项不正确； B.，此项正确； C不能再化简，此项不正确； D.不能再化简，此项不正确． 故选：B． 6. 将分式方程去分母后，得（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，解决本题的关键是找到分式方程分母的最简公分母，解题过程注意不要漏乘． 根据分式方程的解法步骤，找到最简公分母，方程左右两边分别乘最简公分母即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为D． 7. 建设中的G107马头南至冀豫界段是我省“十四五”建设项目，其某段施工需运送土石方，则土石方日运送量与完成运送任务所需时间（天）满足（ ） A. 反比例函数关系 B. 正比例函数关系 C. 一次函数关系 D. 二次函数关系 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，列出函数关系式，进行作答即可．本题考查反比例函数的实际应用．读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， ∴V与t满足反比例函数关系． 故选：A． 8. 已知圆弧所在圆的半径是，所对的圆心角是，则这条弧的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用弧长的计算公式计算即可．弧长公式：（弧长为l,圆心角度数为n,圆的半径为r）．熟记公式是解题的关键． 【详解】解: 故选：B． 9. 二次函数的最小值是3，则a的值是（　　） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，直接利用抛物线的开口向上，把抛物线化为顶点式，再求解即可. 【详解】解：． 由题意，得，解得． 故选D． 10. 某校每学期要求学生选择一项兴趣活动，下图是六年级学生选择摄影、象棋、武术、十字绣四个兴趣小组的扇形统计图，以下说法错误的是（ ） A. 参加象棋小组的学生占六年级学生的 B. 参加武术小组与十字绣小组的学生人数相等 C. 参加象棋小组与十字绣小组的人数之比为 D. 参加武术小组的学生所在扇形的圆心角为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是从扇形图中获取信息，根据扇形统计图可知：把六年级的总人数看成单位“1”，其中摄影小组的人数占15%，武术小组占30%；可得象棋小组占，十字绣小组占，再进一步分析即可． 【详解】解：A：； 所以参加象棋小组的学生占六年级学生的是正确的． B：十字绣小组的人数占总人数的：， 所以参加武术小组与十字绣小组的学生人数相等是正确的． C：， 所以参加象棋小组与十字绣小组的人数之比为5：6是正确的． D：参加武术小组的学生所在扇形的圆心角为 ，不是； 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 写出一个解集为的一元一次不等式：_____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可得． 【详解】解：将两边同乘以2可得一元一次不等式， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题关键． 12. 一个不透明的袋中有若干个除颜色外完全相同的小球，其中黄球有个，将袋中的球摇匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现,摸到黄球的频率稳定在左右，则袋中小球的个数为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用黄球的个数除以摸到黄球频率即可得出球的总个数． 【详解】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，口袋中黄球有个， 袋中小球的个数为（个）． 故答案为：． 13. 如图，在菱形中，，于点E，交对角线于点P，过点P作于点F．若，则菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质可得平分，由角平分线的性质可得，由等腰直角三角形的性质可求的长，即可求解． 【详解】四边形是菱形， 平分, ， 又 ， ， ， ， ， 菱形的面积， 故答案为：. 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，掌握菱形的性质是解题的关键． 14. 如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，再以B为圆心，长为半径画弧，画射线，则的值为 _______________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了尺规作图，特殊角的三角函数值，理解尺规作图，作线段等于已知线段，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．连接，根据作图可知：，进而得为等边三角形，据此可得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： 根据作图可知：， 为等边三角形， ， ． 15. 在我国古代重要的数学著作《孙子算经》中，记载有这样一个数学问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.间车有几何?”意思是：每3人共乘一辆车，最终剩余2辆空车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，问车辆有多少?若设车辆数为x，则可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设车辆数x，根据人数相等，列出等式即可． 本题考查了一元一次方程的应用，正确找出等量关系是解题的关键． 【详解】设车辆数为x，根据题意，得， 故答案为：． 16. 已知四边形，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．作，，则，根据证明得，延长交的延长线与点F，设，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】作，，则． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 延长交的延长线与点F，则四边形是正方形， ∴． 设，则， 在中，， 解得（负值舍去）， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共102分） 17. 先化简，后求值：，当代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的乘除混合运算法则化简，再把代入进行分母有理化，即可得到答案，熟知分式的混合计算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 某体育老师测量了自己任教的甲、乙两班男生的身高，并制作了如下不完整的统计图表 身高分组 频数 频率 152≤ x＜155 3 0.06 155≤ x＜158 7 0.14 158≤ x＜161 m 0.28 161≤ x＜164 13 n 164≤ x＜167 9 0.18 167≤ x＜170 3 0.06 170≤ x＜173 1 0.02 根据以上统计图表完成下列问题： (1)统计表中m＝____，n＝____；并将频数分布直方图补充完整； (2)在这次测量中两班男生身高的中位数在什么范围内？ 【答案】（1）14；0.26；补图见解析；（2）161≤x＜164. 【解析】 【分析】（1）设总人数为x人，则有=0.06，解得x=50，再根据频率公式求出m，n．画出直方图即可； （2）根据中位数的定义即可判断 【详解】解：(1)设总人数为x人，则有=0.06，解得x=50， ∴m=500.28=14，n==0.26； 补全频数分布直方图如图所示： (2)由于共有50人，所以中位数是第25人与第26人身高的平均数，故在这次测量中两班男生身高的中位数在161≤x＜164范围内. 故答案为（1）14；0.26；补图见解析；（2）161≤x＜164. 【点睛】本题考查频数（率）分布表，频数（率）分布直方图，中位数. 19. 如图，，，，与交于点，与交于点，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．证明，即可解决问题． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 20. 一农户原来种植花生，每公顷产量为3000千克，出油率为50%（即每100千克花生可加工出花生油50千克），现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油1980千克，已知花生出油率的增长率是产量增长率的，求新品种花生产量的增长率． 【答案】新品种花生产量的增长率为20％． 【解析】 【分析】根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率），即可得出方程，解方程即可． 【详解】解：设新品种花生产量的增长率为x， 根据题意得： 解方程得：x1=0.2，x2=-3.2（不合题意，舍去）， 答：新品种花生产量的增长率为20％． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，考查一般的增长率问题，找准等量关系列出方程是解题关键． 21. 为了测量学校旗杆的高度，学校数学小组做了如下试验：在阳光的照射下，旗杆的影子恰好落在水平地面处的斜坡坡面上，测得，太阳光线与水平面夹角为且与斜坡垂直，根据以上数据，请你求出旗杆的高度．(结果保留根号) 【答案】旗杆的高度是 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意正确作出图形，分别在两个直角三角形中解题，设与的延长线交于，在直角中，，，所以，，． 【详解】解：如图，延长相交于点E， 在中，， 在中，， . 答：旗杆的高度是． 22. 如图，甲骑自行车与乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地行驶，两地之间的路程是60km，请根据图象解决下列问题： （1）分别求出甲行驶的路程（km）、乙行驶的路程（km）与甲行驶的时间之间的函数表达式； （2）若甲、乙都行驶且甲与乙相距的路程为12km，求x的值． 【答案】（1）； （2）3.6或4.4 【解析】 【分析】（1）根据函数图象上的数据，利用待定系数法求函数表达式即可； （2）观察图象可知，有两种情况下甲与乙相距路程为12km，一种是甲与乙相遇前，一种是甲与乙相遇后，分情况列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：设甲行驶的路程（km）与甲行驶的时间之间的函数表达式为， 函数图像经过点， ， 解得， 甲行驶的路程（km）与甲行驶的时间之间的函数表达式为； 设乙行驶的路程（km）与甲行驶的时间之间的函数表达式为， 函数图像经过和， ， 解得，， ， 乙行驶的路程（km）与甲行驶的时间之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：甲、乙都行驶且甲与乙相遇前相距的路程为12km时， ， 解得； 甲、乙都行驶且甲与乙相遇后前相距的路程为12km时， ， 解得； 甲、乙都行驶且甲与乙相距的路程为12km时，x的值为3.6或4.4． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，学会观察函数图象，利用数形结合思想是解答本题的关键． 23. 如图，点C在以为直径的上．与过点C的切线垂直，垂足为D，交于点E，过B作交于点F，连接． （1）求证：； （2）已知，，求和的长． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】连接，由已知可得，；由可得，从而得，再由圆周角定理即可证明结论成立； （2）连接、、，过O作于点G，则可得四边形是矩形，则，；由可得，则可得，由勾股定理可求得，由勾股定理可求得；由（1）及已知可证得，则，从而求得结果． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 为的切线， ， ， ， ； ， ， ， ， ； 【小问2详解】 连接、、，过O作于点G，如图， ∵，， ， 四边形是矩形， ，； ， ， ， ， 在中，由勾股定理可求得， ； ， 在中，由勾股定理得； ∵， ∴，， 由（1）知，， ， ， ∵， ， ， ． 【点睛】本题是圆综合，考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，涉及的知识点较多，作的辅助线较多，有一定的综合性，灵活运用这些知识是关键． 24. 如图1，矩形中，E是对角线上一个动点（不与点A重合），作，交于点F，联结，如果设，面积为y，那么可得y关于x的函数图像（如图2所示）． （1）求y关于x的函数解析式，并写出其定义域； （2）求的面积及矩形对角线的长． 【答案】（1），定义域为； （2）的面积为24； 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先根据题意得到当时，点E于点C重合，进而得到的面积为24；然后由，解得，最后利用三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：设y关于x的函数解析式为 ∴将，代入得， ∴解得 ∴， 当时，即 解得 ∵点E不与点A重合， ∴定义域为； 【小问2详解】 当时，点E与点C重合， ∴ ∴的面积为24； 由（1）可得，当，解得 ∴ ∵，四边形是矩形 ∴，即 ∴解得 ∴． 【点睛】此题考查了一次函数与几何结合，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 25. 【提出问题】如图，在等腰中，，分别以，为边作等边和等边，与相交于点，连接． 【初步探究】 （1）如图，连接，求证：≌． 【深入探究】 （2）如图，将沿翻折得到，连接，，类比的探究方法发现： 结论：______≌； 结论：． 请证明结论． （3）如图、在（2）的情况下将线段沿翻折得到线段，连接，，试判断线段与的位置关系． 【答案】（1）见解析；（2）①；②见解析（3） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是识别复杂的图形． 由得出，进而得出结论； 同理得出结果； 作，交于，可得出，从而，可得出，从而，进一步得出结论； 可证得≌，从而，设，从而得出，可得出，从而，由得出，进一步得出结果． 【详解】证明：和是等边三角形， ，，， ， ， ≌； 解：是等边三角形，沿翻折得到， 是等边三角形， 同理可知：≌， 故答案为：； 证明：如图， 作，交于， 是等边三角形， ， ， ， ， 由知：≌， ，， ， ∴； 解： ， ， 和是等边三角形， ， ， ， ， ，， ≌， ， 设， ∴， 线段沿翻折得到线段， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 26. 如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求该抛物线的表达式； （2）设点是直线上方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，与直线交于点． ①连接，求四边形的面积与的函数关系式，并求出的最大值； ②连接．在①的条件下，试判断四边形的形状，并说明理由； ③是否存在点，使得以为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①，的最大值为12；②平行四边形，理由见解析；③存在，满足条件的的值为或或 【解析】 【分析】此题是二次函数的综合题，是中考的压轴题，难度较大，计算量也大，主要考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形相似，平行四边形的性质等，分类求解是解决问题． （1）由待定系数法即可求解； （2）①由，即可求解；  ②由，即可求解； ③分、、三种情况分别求解即可． 【小问1详解】 解：将代入， 得 解得， 该抛物线的表达式为． 【小问2详解】 ①， 直线的解析式为． 设点的坐标为，故点的坐标为，其中， 则． 四边形的面积与的函数关系式为 ． ，， 当时，有最大值，的最大值为12． ②四边形是平行四边形．理由如下： 由①可得，当时，． ， 四边形是平行四边形． ③存在，理由如下： 如图， 点的坐标为，点的坐标为，其中， 点的坐标为， ． ，． ，，即， ． 分三种情况讨论： I．当时，则，解得（舍去）． Ⅱ．当时，如图，过点作于点，则． ， 解得（舍去）． Ⅲ．当时，如图，过点作于点， 则． ， ， ， ， 即， ， 解得（舍去）， 综上所述，满足条件的的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$