精品解析：2024年广西北部湾经济开发区中考数学模拟试题

广西北部湾经济开发区2023-2024学年中考数学模拟题 考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. 3.1415926 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数由此即可判定选择项． 【详解】解：A．是分数，属于有理数，故本选项不合题； B．3.1415926是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意； C．是无理数，故本选项符合题意； D．是整数，属于有理数，故本选项不合题意． 故选：C． 2. 如图所示是从上面看一个由若干个相同的小立方块搭成的几何体的形状图，其中小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则从正面看到的该几何体的形状图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方形的个数分别为4，3，2，据此可得出图形． 【详解】从正面看到有3列，每列小正方形数目分别为4，3，2，如图所示： . 故选：C 【点睛】本题考查了几何体的三视图，由几何体的俯视图及小正方形的个数还原几何体，再找出主视图，掌握三视图的定义是解题的关键． 3. 若在“正三角形、平行四边形、圆、正六边形”这四种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：在“正三角形、平行四边形、圆、正六边形”这四种图形中，平行四边形、圆和正六边形是中心对称图形， 所以这四种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率． 故选：C． 【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=． 4. 据利川市政府公布的工作报告显示，2022年利川全年接待游客1816万人次，实现旅游综合收入99.44亿元，连续三年上榜中国县域旅游发展潜力百强县市．用科学记数法表示“99.44亿”正确的是（ ） A. B. C. D. 亿 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：用科学记数法表示“99.44亿”为， 故选：C． 5. 现在一般家庭都会安装燃气报警器，用以防止一氧化碳泄露带来的危害．其中一种燃气报警器核心部件是气敏传感器（图1中的），的阻值随空气中一氧化碳质量浓度（）的变化而变化（如图2），空气中一氧化碳体积浓度（）与一氧化碳质量浓度（）的关系见图3．下列说法不正确的是（ ） 信息窗 *空气中的一氧化碳质量浓度达到时，燃气报警器报警 *一氧化碳体积浓度一氧化碳质量浓度（） *一氧化碳质量浓度（）一氧化碳体积㳖度 图1 图2 图3 A. 空气中一氧化碳质量浓度越大，的阻值越小 B. 当一氧化碳质量浓度时，的阻值为 C. 当空气中一氧化碳体积浓度是时，燃气报警器为非报警状态 D. 当时，燃气报警器为报警状态 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像及文字信息进行判断即可； 【详解】解：空气中一氧化碳质量浓度越大，的阻值越小；故A不符合题意； 当一氧化碳质量浓度时，的阻值为；故B不符合题意； 当一氧化㨏质量浓度（） 时燃气报警器为非报警状态； 故C不符合题意； 当时，燃气报警器为非报警状态；故D符合题意. 故选：D. 【点睛】本题主要考查从函数图象获取信息，掌握题目信息是解题的关键. 6. 计算：﹣a2+2a2＝（ ） A. a2 B. ﹣a2 C. 2a2 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据合并同类项法则计算即可得答案． 【详解】﹣a2+2a2＝（﹣1+2）a2＝a2， 故选：A． 【点睛】本题考查整式的加减，合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数之和，且字母连同它的指数不变；熟练掌握合并同类项法则是解题关键． 7. 在平面直角坐标系中，将点绕原点旋转后，得到对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用关于原点中心对称的点的坐标特征求解． 【详解】解：将点绕原点旋转后，得到对应点的坐标是； 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化——旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标． 8. 如图是半径为的的直径，，，则的长为（ ） A. B. 3cm C. D. 9cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理得，根据得，，即可得，根据直角三角形的性质得，在中，根据勾股定理可求出的长度，即可得． 【详解】解：∵和是同弧所对的圆心角与圆周角，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，（cm）， ∴cm， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是掌握这些知识点． 9. 一次函数的图象经过的象限为（ ） A. 第一、三、四象限 B. 第一、二、三象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、二、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据的符号来判定即可． 【详解】解：， 一次函数图像经过第一、三象限， ， 一次函数图像与轴交于负半轴， 综上所述，该函数经过第一、三、四象限， 故选A． 【点睛】本题主要考查一次函数图像在坐标平面内的位置与的关系，熟练掌握函数图像在坐标平面内的位置与的关系是解题的关系． 10. 明代大数学家程大位著《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成？”用现代的话说就是：有83000根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，怎样安排笔管和笔套的短竹数量，使制成的1个笔管与1个笔套正好配套？设用于制作笔管的短竹数为x根，用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，制作笔管的短竹数+制作笔套的短竹数=83000,3x个笔管，5y个笔筒，且1个笔管与1个笔套正好配套即笔管数等于笔筒数，列出方程组即可． 【详解】∵根据题意，制作笔管的短竹数+制作笔套的短竹数=83000,3x个笔管，5y个笔筒，且1个笔管与1个笔套正好配套即笔管数等于笔筒数， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确审题，列出符合题意的方程组是解题的关键． 11. 如图，矩形OABC的边OA在x轴上，OA＝8，OC＝4，把△ABC沿直线AC折叠，得到△ADC，CD交x轴于点E，则点E的坐标是（　　） A. （4，0） B. （3，0） C. （0，3） D. （5，0） 【答案】B 【解析】 【分析】根据翻折的性质和平行线的性质可以求得EA=EC，然后根据勾股定理即可求得OE的长，进而求得点E的坐标． 【详解】由题意可得， BC∥OA，∠BCA＝∠ACD， ∴∠BCA＝∠CAE， ∴∠ACD＝∠CAE， ∴EC＝EA， 设OE＝a，则AE＝8﹣a，EC＝8﹣a， ∵∠COE＝90°，OC＝4， ∴a2+42＝（8﹣a）2， 解得，a＝3， ∴点E的坐标是（3，0）， 故选：B． 【点睛】本题考查翻折变换、坐标与图形的性质、矩形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 12. 一个物体在天平上两次称重的情况如图所示，则这个物体的质量的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知可看出物体质量的取值范围，再在数轴上表示． 【详解】解：设物体的质量为xg，则40<x<50， 在数轴表示为： 故选：C. 【点睛】考核知识点：在数轴表示不等式组的解集．利用数轴表示不等式的解集是关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题 13. 如果分式有意义，则的取值范围是______． 【答案】x≠±1 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件得到，计算即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得x≠±1， 故答案为：x≠±1． 【点睛】此题考查了分式有意义的条件，正确掌握分式有意义的条件：分母不等于零是解题的关键． 14. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，关键是变形；式子变形后提取公因式，再把另一个因式用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 15. 如图，为了测得电视塔的高度，在处用高为1米的测角仪,测得电视塔顶端的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达处，又测得电视塔顶端的仰角为60°，则这个电视塔的高度为________米(结果保留根号). 【答案】 【解析】 【详解】试题解析：设AG=x， 在Rt△AEG中， ∵tan∠AEG=， ∴EG=， 在Rt△ACG中， ∵tan∠ACG=， ∴CG=， ∴， 解得：x=50． 则AB=（50+1）米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法． 16. 小明某学期的数学平时成绩分，期中考试分，期末考试分，若计算学期总评成绩的方法如下，平时：期中：期末，则小明学期总评成绩是______分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的求解，熟记相关结论即可． 【详解】解：小明学期总评成绩， 故答案为：． 17. 如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，将矩形按如图所示方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转中经过的路径的长是___． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，连接BD，B′D，首先根据勾股定理计算出BD长，再根据弧长计算公式计算出 ，的长，然后再求和计算出点B在两次旋转过程中经过的路径的长即可． 【详解】如图：连接BD，B′D， ∵AB=5，AD=12， ∴BD==13， ∴==， ∵==6π， ∴点B在两次旋转过程中经过的路径的长是：+6π=． 故答案为． 【点睛】此题主要考查了弧长计算，以及勾股定理的应用，关键是掌握弧长计算公式l=． 18. 把抛物线y＝（x﹣2a）2﹣（x﹣2a）（其中a是常数）向上平移，使平移后的抛物线与直线y＝1只有一个公共点，则需平移_____个单位． 【答案】 【解析】 【分析】由y＝（x﹣2a）2﹣（x﹣2a）＝（x﹣2a﹣）2﹣．根据平移规律得到新抛物线解析式y＝（x﹣2a﹣）2﹣+b，然后结合y＝1和根的判别式求得b的值即可． 【详解】解：设抛物线y＝（x﹣2a）2﹣（x﹣2a）（其中a是常数）向上平移b个单位， ∵y＝（x﹣2a）2﹣（x﹣2a）＝（x﹣2a﹣）2﹣． ∴把抛物线y＝（x﹣2a）2﹣（x﹣2a）（其中a是常数）向上平移b个单位后抛物线解析式为：y＝（x﹣2a﹣）2﹣+b． 依题意得：（x﹣2a﹣）2﹣+b＝1，即x2﹣（4a+1）x+4a2+2a+b﹣1＝0， ∴△＝[﹣（4a+1）]2﹣4（4a2+2a+b﹣1）＝0． 解得b＝． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 三、解答题 19. 计算 【答案】-7 【解析】 【分析】先计算乘方，再计算乘除，最后算加减，注意负号的作用． 【详解】解：原式=﹣1﹣12 =﹣1﹣6 =﹣7． 【点睛】本题考查含有乘方的有理数的混合运算，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先利用完全平方公式，单项式乘多项式，计算得到化简结果，然后代入求解即可． 【详解】解： ， 将代入原式得：． 【点睛】本题考查了完全平方公式，单项式乘多项式，代数式求值．解题的关键在于正确的运算． 21. 如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC=BE，AE=BD，求证：CE=ED且 CE⊥ED. 【答案】 证明：∵AC⊥AB，DB⊥AB， AC=BE，AE=BD， ∴△CAE≌△EBD， ∴∠CEA=∠D，CE=DE， ∵∠D+∠DEB=90°， ∴∠CEA+∠DEB=90°，即CE⊥DE， ∴CE=DE且CE⊥DE. 【解析】 【详解】试题分析：先利用HL判定△CAE≌△EBD，从而得出全等三角形的对应角相等，再利用角与角之间的关系，可得证. 试题解析：略 22. 某校组织全体名学生参加“强国有我”读书活动，要求每人必读本书，活动结束后从各年级学生中随机抽查了若干名学生了解读书数量情况，并根据：本；：本；：本；：本四种类型的人数绘制了不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）.请根据统计图解答下列问题： （1）写出这次调查中类型学生人数并补全条形统计图； （2）被调查学生读书数量的众数为______，中位数是______； （3）求被调查学生读书数量的平均数，并估计全校名学生共读书多少本？ 【答案】（1），补全条形统计图如图： （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由两个统计图可知，类人数为人，占4可得抽查总人数，进而求出类的学生人数； （2）根据中位数、众数的意义求解即可； （3）先求出样本的平均数，再乘以总人数即可． 【小问1详解】 解：这次调查一共抽查的学生人数为名， 类人数名； 故答案为：． 【小问2详解】 在被调查的200名学生中，读1本书的有40人， 读2本书的有80人， 读3本书的有60人， 读4本书的有20人， 所以被调查学生读书数量的众数为，中位数为； 【小问3详解】 被调查学生读书数量的平均数为：本， 本， 答：估计全校名学生共读书本． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，求众数，中位数，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 23. “构造图形解题”，它的应用十分广泛，特别是有些技巧性很强的题目，如果不能发现题目中所隐含的几何意义，而用通常的代数方法去思考，经常让我们手足无措，难以下手，这时，如果能转换思维，发现题目中隐含的几何条件，通过构造适合的几何图形，将会得到事半功倍的效果，下面介绍两则实例： 实例一：1876年，美国总统伽非尔德利用实例一图证明了勾股定理：由 S四边形ABCD=S△ABC+S△ADE+S△ABE得，化简得： 实例二：欧几里得的《几何原本》记载，关于x的方程的图解法是： 画Rt△ABC，使∠ABC=90°，BC=，AC=，再在斜边AB上截取BD＝，则AD的长就是该方程的一个正根(如实例二图) 请根据以上阅读材料回答下面的问题： (1)如图1，请利用图形中面积的等量关系，写出甲图要证明的数学公式是 ，乙图要证明的数学公式是 (2)如图2，若2和-8是关于x的方程x2+6x＝16的两个根，按照实例二的方式构造Rt△ABC，连接CD，求CD的长； (3)若x，y，z都为正数，且x2+y2＝z2，请用构造图形的方法求的最大值． 【答案】（1）完全平方公式；平方差公式；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）利用面积法解决问题即可； （2）如图2，作于点H，由题意可得出，利用面积求出的长，再利用勾股定理求解即可； （3）如图3，用4个全等的直角三角形（两直角边分别为x，y，斜边为z），拼如图正方形，当时定值，z最小时，的值最大值．易知，当小正方形的顶点是大正方形的中点时，z的值最小，此时，，据此求解即可． 【详解】解：（1）图1中甲图大正方形的面积 乙图中大正方形的面积 即 ∴甲图要证明的数学公式是完全平方公式，乙图要证明的公式是平方差公式； 故答案为：完全平方公式；平方差公式； （2）如图2，作于点H， 根据题意可知， 根据三角形的面积可得： 解得： 根据勾股定理可得： 根据勾股定理可得：； （3）如图3，用4个全等的直角三角形（两直角边分别为x，y，斜边为z），拼如图正方形 当时定值，z最小时，的值最大值 易知，当小正方形的顶点是大正方形的中点时，z的值最小，此时，， ∴的最大值为． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了正方形的性质、解直角三角形、完全平方公式、平方差公式、勾股定理等知识点，解此题的关键是理解题意，会用面积法解决问题，学会数形结合的思想解决问题． 24. 嘉琪家里有一款高脚杯，她发现高脚杯的杯体可以近似看成抛物线．于是她开始进行测量，并画出了高脚杯的截面图（杯体厚度忽略不计）如图（1）．点是抛物线的顶点，．点是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为20cm．嘉琪想借此考查一下对学过的知识掌握情况，于是以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系（1个单位长度表示1cm），并提出了以下问题，你也来一起解决吧！ （1）求杯体所在抛物线的解析式； （2）将杯子向左平移3cm，并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图（2），过点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后发现剩余饮料的液面低于点，设吸管所在直线的解析式为，求的取值范围； （3）将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转30°，液面恰好到达点处（），如图（3）． ①请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标； ②请直接写出此时杯子内液体的最大深度． 【答案】（1） （2） （3）①建立如图1所示平面直角坐标系，设与轴交于点，与轴交于点，与轴交于点．     与轴交点坐标为． ②cm 【解析】 【分析】（1）设抛物线表达式为将，代入建立方程即可得到答案； （2）杯子平移后顶点坐标为，设平移后表达式为，可得，点关于对称轴对称的点，由平移可知，当直线经过点时，可得当直线经过点时，可得，从而可得答案； （3）①建立如图1所示平面直角坐标系，设与轴交于点，与轴交于点，与轴交于点．求解，可得，，，从而可得答案；②如图2，过杯体最低点作直线，交轴于点，此时直线与抛物线有且只有一个交点．设直线的解析式为，由（1）可知抛物线解析式为，求解，可得直线的解析式为，作直线于点，，可得，从而可得答案． 【小问1详解】 解：设抛物线表达式为 ∵， ∴，又∵，杯子高20cm， ∴ 将，代入 ，解得． ∴杯体所在抛物线表达式为 【小问2详解】 杯子平移后顶点坐标为，则平移后表达式为 当时， ∴，点关于对称轴对称的点 由平移可知 当直线经过点时，，解得， ∴ 当直线经过点时，，解得 ∴， ∴． 【小问3详解】 ①建立如图1所示平面直角坐标系，设与轴交于点，与轴交于点，与轴交于点． ∵，， ∴ ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴与轴交点坐标为． ②如图2，过杯体最低点作直线，交轴于点，此时直线与抛物线有且只有一个交点． ∴此时直线与的夹角为， ∴， 设直线的解析式为，由（1）可知抛物线解析式为 令， ∴，则， ∴ ∴直线的解析式为， 作直线于点 ∵， ∴， ∴ ∴最大深度为cm． 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，一次函数的解析式，锐角三角函数的应用，理解题意，建立合适的坐标系与函数模型是解本题的关键． 25. 【建立概念】 如图1，在矩形中，，，当时，称这个矩形为“核心矩形”． 【理解概念】 （1）当时，矩形是“核心矩形”，求的值； 【深入研究】 （2）如图2，分别以矩形的边，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，点在第二象限，若“核心矩形”的面积为12，求点的坐标； 【拓展延伸】 （3）下面从函数的角度研究“核心矩形”，已知一个“核心矩形”的邻边长分别为． ①求与的函数表达式； ②若该函数的图象可以通过反比例函数的图象平移得到，请你在图3中画出该函数图象的草图，观察图象，写出该函数的两条性质； ③若将“核心矩形”的邻边分别增加，这个新矩形还是“核心矩形”吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）①或； ②如图1，画出草图 答案不唯一，只要正确即可． 当时，的值随值的增大而减小；图象关于直线成轴对称； ③不是“核心矩形”；理由如下： 方法1： 理由如下：依题意，知， 新矩形的邻边长为和， 若新矩形是“核心矩形”，则，即． 则． ． 则“核心矩形”同时满足函数和． 画出函数的图象如图2所示， 根据图象可知， 函数与函数图象没有交点， 满足条件的，的值不存在． 新矩形不是“核心矩形”． 方法2： 理由如下：依题意，知， 新矩形的邻边长为和， 若新矩形是“核心矩形”，则． ，即． ，即． ， 原方程无实数根． 的值不存在． 新矩形不是“核心矩形”． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质，新定义，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质，理解“核心矩形”的定义，是解题的关键． （1）根据“核心矩形”得，把代入即可求解； （2）根据“核心矩形”得，根据矩形有面积公式得，代入整理方程，得．求解得出a，即可求解； （3）①根据“核心矩形”得，则．即可求解； ②根据函数解析式画出函数图象，再根据函数图象抽象出函数性质即可； ③根据“核心矩形”的定义判定即可． 【详解】解：（1）依题意，知，， ． 解得，（不合题意，舍去）． ． （2）依题意，知，， ． 整理方程，得． ，． ，． （3）①依题知， ． 或． ②略 ③略 26. 测量金字塔高度 如图1，金字塔是正四棱锥S-ABCD，点O是正方形ABCD的中心，SO垂直于地面，是正四棱锥S-ABCD的高．泰勒斯借助太阳光，测量金字塔影子△PBC的相关数据，利用平行投影测算出了金字塔的高度，受此启发，人们对甲、乙、丙三个金字塔高度也进行了测量，甲、乙、丙三个金字塔都用图1的正四棱锥S-ABCD表示． （Ⅰ）测量甲金字塔高度：如图2，是甲金字塔的俯视图，测得底座正方形ABCD的边长为80m，金字塔甲的影子是△PBC，PC=PB=50m，此刻，1米的标杆影长为0.7米，则甲金字塔的高度为_________m． （Ⅱ）测量乙金字塔高度：如图1，乙金字塔底座正方形ABCD的边长为80m，金字塔乙的影子是△PBC，∠PCB=75°，PC=m，此刻，1米的标杆影长为0.8米，请利用已测出的数据，计算乙金字塔的高度． （Ⅲ）测量丙金字塔高度：如图3，是丙金字塔的俯视图，测得底座正方形ABCD的边长为56m，金字塔丙的影子是△PBC，PC=60m，PB=52m，此刻，1米的标杆影长为0.8米，请利用已测出的数据，计算丙金字塔的高度．（精确到0.1）（） 【答案】（1）100；（2）m；（3）95.5m 【解析】 【分析】（Ⅰ）连接OP，交BC于H，可得OP是BC的垂直平分线，求出OP的长，然后利用相似三角形的性质求解即可； （Ⅱ）作CH⊥OP于H，根据勾股定理和正方形的性质求出OC的长，可证OC=PC，进而求出∠COP=30°，利用锐角三角函数的知识求出OH的长，进而求出OP的长，然后利用相似三角形的性质求解即可； （Ⅲ）作PM⊥BC于M，作ON⊥PM交|PM的延长线于N，连接ON，作OT⊥BC于T，先求出MN的长，再根据勾股定理列方程求出CM的长，进而求出PM、OP的长，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：（Ⅰ）如图1，连接OP，交BC于H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OB=OC，OB⊥OC， ∵PC=PB=50m， ∴OP是BC的垂直平分线， ∴OH=BH=BC=40m， ∴PH=m， ∴OP=40+30=70m， 由题意，得 ， ∴SO=100 m， 故答案为：100； （Ⅱ）如图4，作CH⊥OP于H， ∵四边形ABCD是正方形， AC=m， ∴OC=AC=m， ∵PC=m， ∴OC=PC． ∵∠PCB=75°， ∴∠OCP=45°+75°=120°． ∴∠COP=∠CPO=30°， ∴OH=cos30°×OC=m， ∴OP=m， 由题意，得 ， ∴SO=m， ∴乙金字塔的高度是m； （Ⅲ）作PM⊥BC于M，作ON⊥PM交|PM的延长线于N，连接ON，作OT⊥BC于T，则四边形ONMT是矩形， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OB⊥OC， ∴OT=BC=×56=28m， ∴MN=28m， 设CM=xm，则BM=(56-x)m，由勾股定理，得 PC2-CM2=PB2-BM2， ∴602-x2=522-(56-x)2， 解得x=36， ∴PM=m， ∴NP=28+48=76m，ON=MT=36-28=8m， ∴OP=， 由题意得 ， ∴SO≈95.5m， ∴ 丙金字塔的高度是95.5m． 【点睛】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，矩形的判定与性质，锐角三角函数的知识，以及相似三角形的应用，正确作出辅助线是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西北部湾经济开发区2023-2024学年中考数学模拟题 考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. 3.1415926 C. D. 2. 如图所示是从上面看一个由若干个相同的小立方块搭成的几何体的形状图，其中小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则从正面看到的该几何体的形状图为（ ） A. B. C. D. 3. 若在“正三角形、平行四边形、圆、正六边形”这四种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 据利川市政府公布的工作报告显示，2022年利川全年接待游客1816万人次，实现旅游综合收入99.44亿元，连续三年上榜中国县域旅游发展潜力百强县市．用科学记数法表示“99.44亿”正确的是（ ） A. B. C. D. 亿 5. 现在一般家庭都会安装燃气报警器，用以防止一氧化碳泄露带来的危害．其中一种燃气报警器核心部件是气敏传感器（图1中的），的阻值随空气中一氧化碳质量浓度（）的变化而变化（如图2），空气中一氧化碳体积浓度（）与一氧化碳质量浓度（）的关系见图3．下列说法不正确的是（ ） 信息窗 *空气中的一氧化碳质量浓度达到时，燃气报警器报警 *一氧化碳体积浓度一氧化碳质量浓度（） *一氧化碳质量浓度（）一氧化碳体积㳖度 图1 图2 图3 A. 空气中一氧化碳质量浓度越大，的阻值越小 B. 当一氧化碳质量浓度时，的阻值为 C. 当空气中一氧化碳体积浓度是时，燃气报警器为非报警状态 D. 当时，燃气报警器为报警状态 6. 计算：﹣a2+2a2＝（ ） A. a2 B. ﹣a2 C. 2a2 D. 0 7. 在平面直角坐标系中，将点绕原点旋转后，得到对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是半径为的的直径，，，则的长为（ ） A. B. 3cm C. D. 9cm 9. 一次函数的图象经过的象限为（ ） A. 第一、三、四象限 B. 第一、二、三象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、二、四象限 10. 明代大数学家程大位著《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成？”用现代的话说就是：有83000根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，怎样安排笔管和笔套的短竹数量，使制成的1个笔管与1个笔套正好配套？设用于制作笔管的短竹数为x根，用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，矩形OABC的边OA在x轴上，OA＝8，OC＝4，把△ABC沿直线AC折叠，得到△ADC，CD交x轴于点E，则点E的坐标是（　　） A. （4，0） B. （3，0） C. （0，3） D. （5，0） 12. 一个物体在天平上两次称重的情况如图所示，则这个物体的质量的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题 13. 如果分式有意义，则的取值范围是______． 14. 因式分解：_______． 15. 如图，为了测得电视塔的高度，在处用高为1米的测角仪,测得电视塔顶端的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达处，又测得电视塔顶端的仰角为60°，则这个电视塔的高度为________米(结果保留根号). 16. 小明某学期的数学平时成绩分，期中考试分，期末考试分，若计算学期总评成绩的方法如下，平时：期中：期末，则小明学期总评成绩是______分． 17. 如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，将矩形按如图所示方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转中经过的路径的长是___． 18. 把抛物线y＝（x﹣2a）2﹣（x﹣2a）（其中a是常数）向上平移，使平移后的抛物线与直线y＝1只有一个公共点，则需平移_____个单位． 三、解答题 19. 计算 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC=BE，AE=BD，求证：CE=ED且 CE⊥ED. 22. 某校组织全体名学生参加“强国有我”读书活动，要求每人必读本书，活动结束后从各年级学生中随机抽查了若干名学生了解读书数量情况，并根据：本；：本；：本；：本四种类型的人数绘制了不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）.请根据统计图解答下列问题： （1）写出这次调查中类型学生人数并补全条形统计图； （2）被调查学生读书数量的众数为______，中位数是______； （3）求被调查学生读书数量的平均数，并估计全校名学生共读书多少本？ 23. “构造图形解题”，它的应用十分广泛，特别是有些技巧性很强的题目，如果不能发现题目中所隐含的几何意义，而用通常的代数方法去思考，经常让我们手足无措，难以下手，这时，如果能转换思维，发现题目中隐含的几何条件，通过构造适合的几何图形，将会得到事半功倍的效果，下面介绍两则实例： 实例一：1876年，美国总统伽非尔德利用实例一图证明了勾股定理：由 S四边形ABCD=S△ABC+S△ADE+S△ABE得，化简得： 实例二：欧几里得的《几何原本》记载，关于x的方程的图解法是： 画Rt△ABC，使∠ABC=90°，BC=，AC=，再在斜边AB上截取BD＝，则AD的长就是该方程的一个正根(如实例二图) 请根据以上阅读材料回答下面的问题： (1)如图1，请利用图形中面积的等量关系，写出甲图要证明的数学公式是 ，乙图要证明的数学公式是 (2)如图2，若2和-8是关于x的方程x2+6x＝16的两个根，按照实例二的方式构造Rt△ABC，连接CD，求CD的长； (3)若x，y，z都为正数，且x2+y2＝z2，请用构造图形的方法求的最大值． 24. 嘉琪家里有一款高脚杯，她发现高脚杯的杯体可以近似看成抛物线．于是她开始进行测量，并画出了高脚杯的截面图（杯体厚度忽略不计）如图（1）．点是抛物线的顶点，．点是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为20cm．嘉琪想借此考查一下对学过的知识掌握情况，于是以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系（1个单位长度表示1cm），并提出了以下问题，你也来一起解决吧！ （1）求杯体所在抛物线的解析式； （2）将杯子向左平移3cm，并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图（2），过点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后发现剩余饮料的液面低于点，设吸管所在直线的解析式为，求的取值范围； （3）将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转30°，液面恰好到达点处（），如图（3）． ①请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标； ②请直接写出此时杯子内液体的最大深度． 25. 【建立概念】 如图1，在矩形中，，，当时，称这个矩形为“核心矩形”． 【理解概念】 （1）当时，矩形是“核心矩形”，求的值； 【深入研究】 （2）如图2，分别以矩形的边，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，点在第二象限，若“核心矩形”的面积为12，求点的坐标； 【拓展延伸】 （3）下面从函数的角度研究“核心矩形”，已知一个“核心矩形”的邻边长分别为． ①求与的函数表达式； ②若该函数的图象可以通过反比例函数的图象平移得到，请你在图3中画出该函数图象的草图，观察图象，写出该函数的两条性质； ③若将“核心矩形”的邻边分别增加，这个新矩形还是“核心矩形”吗？请说明理由． 26. 测量金字塔高度 如图1，金字塔是正四棱锥S-ABCD，点O是正方形ABCD的中心，SO垂直于地面，是正四棱锥S-ABCD的高．泰勒斯借助太阳光，测量金字塔影子△PBC的相关数据，利用平行投影测算出了金字塔的高度，受此启发，人们对甲、乙、丙三个金字塔高度也进行了测量，甲、乙、丙三个金字塔都用图1的正四棱锥S-ABCD表示． （Ⅰ）测量甲金字塔高度：如图2，是甲金字塔的俯视图，测得底座正方形ABCD的边长为80m，金字塔甲的影子是△PBC，PC=PB=50m，此刻，1米的标杆影长为0.7米，则甲金字塔的高度为_________m． （Ⅱ）测量乙金字塔高度：如图1，乙金字塔底座正方形ABCD的边长为80m，金字塔乙的影子是△PBC，∠PCB=75°，PC=m，此刻，1米的标杆影长为0.8米，请利用已测出的数据，计算乙金字塔的高度． （Ⅲ）测量丙金字塔高度：如图3，是丙金字塔的俯视图，测得底座正方形ABCD的边长为56m，金字塔丙的影子是△PBC，PC=60m，PB=52m，此刻，1米的标杆影长为0.8米，请利用已测出的数据，计算丙金字塔的高度．（精确到0.1）（） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $