精品解析：云南省昆明市官渡区云南大学附属中学星耀学校2023-2024学年高一下学期市统测模拟考试数学试题

云南大学附属中学星耀学校2023-2024学年下学期市统测模拟考试 高一数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 诚信誓言：我以我的荣誉起誓，在本次考试中，诚实守信，成绩真实. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 在复平面内，复数 （为虚数单位）的共轭复数是（ ） A B. C. D. 2. 已知全集 ，集合，则 （ ） A. B. C. D. 3. 若，则是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 4. 设，，，则（ ） A. a＞b＞c B. b＞a＞c C. a＞c＞b D. c＞a＞b 5. 若函数的图像过点，则下列说法正确的是（ ） A. 点是的一个对称中心 B. 点的一条对称轴 C. 的最小正周期是 D. 函数的值域为 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知奇函数 的定义域为，在区间上单调递增，，且 为偶函数. 若关于的不等式对恒成立，则实数取值范围是（ ） A. B. C D. 8. 已知函数，则满足不等式的的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 二. 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. B. 向量在向量上的投影向量为 C. 与的夹角余弦值为 D. 若，则 10. 2022年11月，国内猪肉､鸡蛋､鲜果､禽肉､粮食､食用油､鲜菜价格同比（与去年同期相比）的变化情况如下图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 猪肉､鸡蛋､鲜果､禽肉､粮食､食用油这6种食品中，食用油价格同比涨幅最小 B. 猪肉价格同比涨幅超过禽肉价格同比涨幅的5倍 C. 去年11月鲜菜价格要比今年11月低 D. 这7种食品价格同比涨幅的平均值超过 11. 如图甲，在中，，为中点，为上一点，且满足，将沿翻折得到直二面角，连接是的中点，连接（如图乙所示），则下列结论正确的是（ ） A B. ∥平面 C. 与平面所成角正切值是 D. 三棱锥的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ________ m. 13. 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和，已知两个系统至少有一个能正常运作，小区就处于安全防范状态. 若要求小区在任意时刻均处于安全防范状态的概率不低于，则的最大值为____. 14. 已知三棱锥中，顶点在底面的射影恰好是内切圆的圆心，底面的最短边长为6．若三个侧面面积分别为，，，则顶点到底面的距离为__________；三棱锥的外接球的表面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在①；②；③这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中. 问题：在中，内角的对边分别为，_________，，点是线段上一点. （1）若，求的值； （2）若，且，求的面积. 16. 已知函数. （1）求的值； （2）在△ABC中，若，求的最大值. 17. 某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛. 为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计. 请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表（如图所示）和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：频率分布表： 组别 分组 频数 频率 第1组 8 0.16 第2组 第3组 20 0.40 第4组 0.08 第5组 2 合计 频率分布直方图： （1）写出 的值； （2）若根据这次成绩，学校准备淘汰 同学，仅留 的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？ （3）某老师在此次考试成绩中抽取10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差 ，若剔除其中的100和80这两个分数，求剩余8个分数的平均数与标准差. 18. 如图，三棱柱 中侧棱平面，且各棱长均相等，分别为棱的中点. （1）证明：平面 ； （2）证明：平面 平面 ； （3）求直线 与平面 所成角的正弦值. 19. 对于函数，，，如果存在实数，使得，那么称为，的生成函数. （1）设，，，，生成函数.若不等式在上有解，求实数的取值范围. （2）设函数，，是否能够生成一个函数，且同时满足：①是偶函数；②在区间上的最小值为，若能够生成，则求函数的解析式，否则说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 云南大学附属中学星耀学校2023-2024学年下学期市统测模拟考试 高一数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 诚信誓言：我以我的荣誉起誓，在本次考试中，诚实守信，成绩真实. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 在复平面内，复数 （为虚数单位）共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的四则运算及共轭复数的概念求解. 【详解】由题意可得：. 所以该复数的共轭复数为 故选：D. 2. 已知全集 ，集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过化简分别求出集合与集合，根据集合补集与并集运算可得结果. 【详解】根据题意知，解之可得或， 所以， ，解之可得， 所以，已知全集 ，所以， 所以. 故选：B 3. 若，则是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据指、对数函数单调性解不等式，再根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】对于，则，解得； 对于，则，解得； 因为是的真子集， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 4. 设，，，则（ ） A. a＞b＞c B. b＞a＞c C. a＞c＞b D. c＞a＞b 【答案】C 【解析】 【分析】由换底公式得，由幂的运算法则得，利用对数函数的单调性比较的，再借助中间值1和指数函数性质比较大小可得结论． 【详解】∵9＞8，∴3＞，故，从而有， 故选：C 【点睛】本题考查比较对数和幂的大小，掌握指数函数和对数函数性质是解题关键，解题时可借助中间值如0，1等进行比较． 5. 若函数的图像过点，则下列说法正确的是（ ） A. 点是的一个对称中心 B. 点的一条对称轴 C. 的最小正周期是 D. 函数的值域为 【答案】D 【解析】 【分析】先结合诱导公式及二倍角公式进行化简，然后结合余弦函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得，所以，因为， 所以，则， 由于，结合余弦函数的图象与性质可得为的对称中心，故A，B不正确； 由，可得的最小正周期是，故C不正确； 根据余弦函数的性质可得：，则函数的值域为，故D正确； 故选：D 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角公式求得，再由平方关系求得，然后用诱导公式及商数关系求解． 【详解】由已知， ，， ， ， 所以. 故选：A． 7. 已知奇函数 的定义域为，在区间上单调递增，，且 为偶函数. 若关于的不等式对恒成立，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，周期性，单调性进行求解即可. 【详解】由为上的奇函数，则关于点对称，则， 又为偶函数，则，故关于对称，则， 则，是周期为4的周期函数， 又在区间上单调递增，因此在区间上单调递减， 又，则，因此， 又关于的不等式对恒成立，则， 因此，可得，， 故选：C. 8. 已知函数，则满足不等式的的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】 首先求出函数的定义域，进一步判断奇偶性，从而求解. 【详解】由题可知的定义域为 ∵ ∴是偶函数 当时， 为单调递减，同样为单调递减， ∴为单调递减， ∴满足不等式成立可得： 解得 所以. 故选：C. 【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，以及不等式的求解，属于基础题型. 二. 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. B. 向量在向量上的投影向量为 C. 与的夹角余弦值为 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】A．先计算出，然后通过计算是否为进行判断； B．先计算出向量在向量上的投影，则对应投影向量可知； C．先计算出，根据求解出结果； D．根据向量共线对应的坐标关系进行判断. 【详解】A．因为，所以，故错误； B．因为向量在向量上的投影为， 又，所以向量在向量上的投影向量为，故正确； C．因为，所以，所以，故正确； D．因为，所以，所以不成立，故错误； 故选：BC. 【点睛】结论点睛：已知向量， （1）若，则有； （2）若，则有. 10. 2022年11月，国内猪肉､鸡蛋､鲜果､禽肉､粮食､食用油､鲜菜价格同比（与去年同期相比）的变化情况如下图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 猪肉､鸡蛋､鲜果､禽肉､粮食､食用油这6种食品中，食用油价格同比涨幅最小 B. 猪肉价格同比涨幅超过禽肉价格同比涨幅的5倍 C. 去年11月鲜菜价格要比今年11月低 D. 这7种食品价格同比涨幅的平均值超过 【答案】ABC 【解析】 【分析】找到6种食品中价格同比涨幅最小者判断选项A；通过计算二者的同比涨幅关系判断选项B；由鲜菜价格同比涨幅判断选项C；求得这7种食品价格同比涨幅的平均值与的关系判断选项D. 【详解】由图可知，猪肉､鸡蛋､鲜果､禽肉､粮食､食用油这6种食品中， 粮食价格同比涨幅最小，所以A错误； ，所以B错误； 去年11月鲜菜价格要比今年11月高，所以错误； 因为 ，所以D正确. 故选：ABC 11. 如图甲，在中，，为的中点，为上一点，且满足，将沿翻折得到直二面角，连接是的中点，连接（如图乙所示），则下列结论正确的是（ ） A. B. ∥平面 C. 与平面所成角的正切值是 D. 三棱锥的体积为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据垂直关系可知平面，进而可求与平面所成角，即可判断C；根据面面垂直的性质可证平面，结合体积公式判断D；对于B：假设∥平面，可证平面∥平面，结合面面平行的性质分析判断；对于A：根据垂直关系求，利用勾股定理分析判断. 【详解】对于图甲，取的中点，连接， 因为， 则， 可知，即与不垂直， 由，可知，且与不平行， 对于图乙：可得，且，平面， 所以平面， 对于选项C：可知与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正切值是，故C正确； 因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 且是 的中点，可知三棱锥的高为， 所以三棱锥的体积为，故D正确； 对于选项B：在图乙中，连接， 因为分别为的中点，则∥， 且平面，平面，所以∥平面， 假设∥平面，则，平面， 可得平面∥平面， 又因为平面平面，平面平面， 可得∥，这与与不平行相矛盾， 即假设不成立，所以与平面不平行，故B错误； 对于选项A：因为平面，平面，则， 可得，则， 所以不相互垂直，故A错误； 故选：CD. 点睛】关键点点睛：对于选项B：直接说明线面平行不成立比较困难，可以假设成立，利用平行关系推出矛盾，即可说明结论. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ________ m. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填. 考点：正弦定理及运用． 13. 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和，已知两个系统至少有一个能正常运作，小区就处于安全防范状态. 若要求小区在任意时刻均处于安全防范状态的概率不低于，则的最大值为____. 【答案】##0.1 【解析】 【分析】利用对立事件的概率公式以及相互独立事件的概率公式，列出不等式关系，求解即可. 【详解】设系统和任意时刻发生故障的事件分别为和， 则小区在任意时刻均处于安全防范状态的概率为，解得：，所以的最大值为， 故选： 14. 已知三棱锥中，顶点在底面的射影恰好是内切圆的圆心，底面的最短边长为6．若三个侧面面积分别为，，，则顶点到底面的距离为__________；三棱锥的外接球的表面积为__________． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】设内切圆的圆心为，内切圆半径为，圆分别切于点，连接，，连接，则可证得，再利用三个侧面面积可求，，从而可求出，进而可求出，设的中点为，连接，设为三棱锥的外接球的球心，连接，则平面，然后利用勾股定理列方程组可求出外接球的半径，从而可求出其表面积. 【详解】设内切圆的圆心为，内切圆半径为，圆分别切于点，连接，，连接， 则平面，，， 因为平面，所以， 因为，平面，平面，平面， 所以平面，平面，平面， 因为平面，平面，平面， 所以，，， 因为，所以公共边， 所以≌≌，所以， 设的最短边为，则，所以，解得， 所以， 因为，所以, 所以，所以为直角三角形，且， 所以，所以， 即顶点到底面的距离为5， 设的中点为，连接，则为的外心， 则， 所以， 设为三棱锥的外接球的球心，连接，则平面， 设，三棱锥的外接球的半径为， 则（在面上方）， 或（在面下方）， 所以，或， 则或，解得或（舍去）， 所以， 所以三棱锥的外接球的表面积为， 故答案为：5， . 【点睛】关键点睛：此题考查多面体与球的外接问题，解题的关键是根据三个侧面面积和底面内切圆有关系判断出为直角三角形，从而可可进一步求出棱锥的高和外接的半径. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在①；②；③这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中. 问题：在中，内角的对边分别为，_________，，点是线段上一点. （1）若，求的值； （2）若，且，求的面积. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）若选①，则可得，然后利用余弦定理可求出角，然后在和分别利用正弦定理，两式相比可求得结果，若选②，则由已知条件结合正弦定理可求得，再求出，再利用三角函数恒等变换公式可求出，角，然后在和分别利用正弦定理，两式相比可求得结果，若选③，可得，结合余弦定理化简得，由已知条件可得，然后利用余弦定理可求出角，然后在和分别利用正弦定理，两式相比可求得结果， （2）由已知可得，两边平方化简可得，再结合，可求出的值，从而可求出三角形的面积 【小问1详解】 若选①，， ， ∵，， ∵，所以， 在中，由正弦定理得，，即① 在中，由正弦定理得，，即②， 因为，所以， 所以. 若选② 由，而 ， ∵，， ∵，所以， 在中，由正弦定理得，，即① 中，由正弦定理得，，即②， 因为，所以， 所以. 若选③， 由， ∴，化简得， ∵，∴ ， ∵，， ∵，所以， 中，由正弦定理得，，即① 在中，由正弦定理得，，即②， 因为，所以， 所以. 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ，而 . 16. 已知函数. （1）求的值； （2）在△ABC中，若，求的最大值. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式、倍角公式与辅助角公式将函数解析式化简，再可求的值即可； （2）由A，B为三角形的内角，，可求得，从而，展开后利用三角函数的辅助角公式即可求得的最大值. 【小问1详解】 ∵ ， ∴. 【小问2详解】 由题意可知，， 而可得：，即， ∴， ∵，∴，， ∴的最大值为. 17. 某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛. 为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计. 请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表（如图所示）和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：频率分布表： 组别 分组 频数 频率 第1组 8 0.16 第2组 第3组 20 0.40 第4组 0.08 第5组 2 合计 频率分布直方图： （1）写出 的值； （2）若根据这次成绩，学校准备淘汰 同学，仅留 的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？ （3）某老师在此次考试成绩中抽取10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差 ，若剔除其中的100和80这两个分数，求剩余8个分数的平均数与标准差. 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据频率和频数的关系以及直方图中小矩形的面积代表频率，进行计算即可； （2）利用频率分布直方图计算第90百分位数即可； （3）根据平均数和方差的计算公式求解即可. 【小问1详解】 由题意可知抽取的学生人数为：， 则第四组人数为：， 所以， ，，. 【小问2详解】 成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：， 设第90百分位数为， 则，解得， 故晋级分数线划为82.5合理. 【小问3详解】 因为，所以. 标准差，所以， 则， 剔除其中的100和80两个分数，设剩余8个数为， 设平均数与标准差分别为， 则剩余8个分数的平均数为， 方差为， 故标准差为. 18. 如图，三棱柱 中侧棱平面，且各棱长均相等，分别为棱的中点. （1）证明：平面 ； （2）证明：平面 平面 ； （3）求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）由已知，可得四边形是平行四边形，则，即可得平面； （2）由是的中点，则，又平面，则，可得面，则平面平面； （3）取中点，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，求得，平面的一个法向量，利用线面角的向量求法求解即可得到答案. 【小问1详解】 连接， ∵、分别是、的中点， ∴，， 在三棱柱中， ，， 又为棱的中点，∴，， ∴四边形是平行四边形，∴， 又∵平面，平面， ∴平面. 【小问2详解】 三棱柱 的各棱长均相等， 又是的中点，∴， 又∵平面，平面，∴， 又∵，平面， ∴平面， 又面， ∴平面平面. 【小问3详解】 在三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等， 设， 取中点，连接，而为中点， 则，有底面， 又，显然直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量， 则，令，得， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 对于函数，，，如果存在实数，使得，那么称为，的生成函数. （1）设，，，，生成函数.若不等式在上有解，求实数的取值范围. （2）设函数，，是否能够生成一个函数，且同时满足：①是偶函数；②在区间上的最小值为，若能够生成，则求函数的解析式，否则说明理由. 【答案】（1） （2）能， 【解析】 【分析】（1）根据题意新定义得到的解析式，然后将问题转化为在上有解，利用换元法转化为二次函数求解最值即可； （2）利用待定系数法设，根据，得到对任意恒成立，从而得到，再利用换元法以及对勾函数进行分析求解，即可得到答案． 【小问1详解】 由题意可得，，，，， 所以， 不等式在上有解， 等价于在上有解， 令，则， 由在上单调递减， 所以当时，取得最大值，故. 【小问2详解】 设，则. 由，得， 整理得，即， 即对任意恒成立， 所以.所以 . 设，，令，则， 由对勾函数的性质可知在单调递减，上单调递增， 在单调递增，，且当时取到“=”. ，又在区间的最小值为， ，且，此时，.所以. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数的对称性确定、的关系，化简得：，通过换元法结合已知条件确定. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$