精品解析：江苏省常州市北郊高级中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

2023-2024学年第一学期期中考试 高一数学试卷 （时间：120分钟 满分150分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义直接求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B 2. 若函数f(x)和g(x)分别由下表给出： x 1 2 3 4 x 1 2 3 4 f(x) 2 3 4 1 g(x) 2 1 4 3 满足g(f(x))＝1的x值是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】从外到内逐步求值． 【详解】解：∵g(f(x))＝1， ∴f(x)＝2， ∴x＝1， 故选：A． 【点睛】本题主要考查函数的表示法——列表法，属于基础题． 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求. 【详解】命题“”为全称量词命题，其否定为：. 故选：B. 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由且可求得结果. 【详解】由题意得，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C 5. 已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，对集合分等于空集和不等于空集两种情况讨论，分别求出符合题意的的值即可． 【详解】由题，，， 当时，有，符合题意； 当时，有，此时，所以或，所以. 综上，实数的所有可能的取值组成的集合为. 故选：A. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和特殊值逐个排除即可. 【详解】，且函数定义域过于原点对称， 为奇函数，图象关于原点对称，故排除D， 又且时，，故排除C， 当时，，故排除A. 故选：B. 7. 已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数单调性的定义，可判断在单调递减， 再根据反比例函数的性质即可得到或，从而求出的取值范围. 【详解】由任意，都有，知在单调递减， 要使 在单调递减，则或，即或. 故选：A. 8. 如果集合，，C是A的子集，且，则这样的子集C有（ ）个. A. 256 B. 959 C. 960 D. 961 【答案】C 【解析】 【详解】满足的子集C有个，所以满足的子集C有个. 故答案为C 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 给出以下四个判断，其中正确的是（ ） A. B. 函数与不是同一函数 C. 若的定义域为，则的定义域为 D. 若函数，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：根据元素与集合之间的关系分析判断即可；对于B：根据函数相等分析判断；对于C：根据抽象函数的定义域分析判断；对于D：利用配凑法结合对勾函数值域分析求解. 【详解】对于选项A：因为为自然数集，所以，故A错误； 对于选项B：因为，可知函数与的对应关系不同， 所以函数与不是同一函数，故B正确； 对于选项C：若的定义域为， 对于函数，可得，解得， 所以的定义域为，故C正确； 对于选项D：因为， 由对勾函数可知的值域为， 所以，故D正确； 故选：BCD. 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系可得，即可结合选项，逐一求解. 【详解】对于A，不等式的解集为， 所以是的两个根，且，故A正确； 对于B，所以， 可得， 所以， 所以不等式的解集是，故B正确； 对于C，因为，， 可得，故C错误； 对于D，因为， 即解，解得或， 即不等式的解集为，故D错误. 故选：AB. 11. 如果某函数的定义域与其值域的交集是，则称该函数为“交汇函数”.下列函数是“交汇函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】分别求出各函数的定义域和值域即可判断. 【详解】由交汇函数定义可知交汇函数表示函数定义域与值域交集为． 对于选项A：的定义域，值域，则，A正确； 对于选项B：的定义域，令，则，值域，则，B正确； 对于选项C：，∵，∴，∴，定义域，值域，则，C错误； 对于选项D：的定义域，，∵，∴，则，∴，值域，则，D错误. 故选：AB． 12. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 已知，则 D. 为互不相等的正数，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用不等式的性质，逐个进行判断即可. 【详解】对于A，由，知，由不等式的性质可得，，因此A正确； 对于B，令，则，， 显然，因此B错误； 对于C，由，又，， 则，即，因此C正确； 对于D，由为互不相等的正数，则，又，， 即，，即，， 又， ，即，因此D正确； 故选：ACD. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. ，若，则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】令，可得为奇函数，再根据奇函数的性质求解. 【详解】令，则，为奇函数， 由，解得，所以. 所以. 故答案为：4. 14. ______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算性质和换底公式求解即可 【详解】 . 故答案为：3 15. 设函数是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是_____ 【答案】，， 【解析】 【分析】由对或进行讨论，把不等式转化为或的问题解决，根据是奇函数，且在内是增函数，又，把函数值不等式转化为自变量不等式，求得结果． 【详解】是上的奇函数，且在内是增函数， 在内也是增函数， 又， （3）， 当，，时，；当，，时，； 的解集是，，． 故答案为：，，． 【点睛】考查函数的奇偶性和单调性解不等式，体现了分类讨论的思想方法，属基础题． 16. 已知正实数满足，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由于，所以原不等式化为，给不等式两边同乘以，化简后利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为， 所以由，得， 因为， 所以 ， 当且仅当，即，即时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 故答案为： 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知全集，集合，集合． （1）求集合及； （2）若集合，且，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式得到集合，然后利用交集、并集和补集的定义计算即可； （2）根据集合的包含关系列不等式，解不等式即可. 【小问1详解】 由，得，或，所以，则， 由，所以，． 【小问2详解】 因为， 所以，解得． 所以的取值范围是． 18. 设命题p:对任意，不等式恒成立；命题q:存在，使得不等式成立． （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p与命题q中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】（1）的取值范围； （2）m的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）求出即可，由函数单调性求出，故，解不等式得到答案； （2）求出为真命题时的，进而分为真命题，为假命题或为假命题，为真命题两种情况，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为为真命题，所以对任意，不等式恒成立，只需， 其中在上单调递增，故， 所以，解得，所以的取值范围； 【小问2详解】 若为真命题，即存在，使得不等式成立，则， 其中，而，故时，， 所以，故； 因为命题p与命题q中有且只有一个是真命题， 所以为真命题，为假命题或为假命题，为真命题， 若为真命题，为假命题，则，所以； 若为假命题，为真命题，则或，所以. 综上，或， 所以m的取值范围为. 19. （1）设，且，求的最小值； （2）设，求的最小值. 【答案】（1）1；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件直接利用基本不等式求解即可； （2）对化简变形得，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为1； （2）因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立 所以的最小值为. 20. 已知二次函数，且. （1）求函数的解析式； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； 【解析】 【分析】（1）结合条件，代入解析式求解即可； （2）将问题转化为求的解集，讨论的范围即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以，所以，所以， 即. 【小问2详解】 由，可得不等式，即， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； 21. 已知函数 （1）当时，判断的单调性并证明； （2）已知条件，条件，若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） 在上单调递增，证明如下： 任取且， 因为，所以 所以，即， 所以在上单调递增； （2） 【解析】 【分析】（1）利用单调性的定义证明，任取且，然后化简变形，再判断其符号，从而可得结论； （2）将问题转化为在恒成立，再转化为在恒成立，然后根据的单调性可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是的充分条件，所以若，则为真， 即在恒成立， 所以在恒成立； 由（1）知在上单调递增，所以在上单调递增， 所以，即 22. 已知函数 （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）若函数在上的最小值为7，求实数的值. 【答案】（1）当时，函数是奇函数；当时既不是奇函数也不是偶函数. （2）或. 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，利用函数奇偶性的定义分析判断即可； （2）分，，和四种情况结合二次函数的单调性，从而可求出函数的最小值，然后列方程求解即可. 【小问1详解】 若，则，定义域关于原点对称， ，故是奇函数； 若，则不是奇函数， 又，故不是偶函数， 所以既不是奇函数也不是偶函数. 综上，当时，函数是奇函数；当时既不是奇函数也不是偶函数. 【小问2详解】 ①当时，， 对称轴为， 所以函数在上单调递增. 所以，即， 解得（舍）或； ②当时，， 对称轴为， 所以函数在上单调递增， 所以， 即（舍去）； ③当时，， 对称轴为， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 因为， 当时，，所以，即， 得，均舍； 当时，，则，即， 得（舍去），； ④当时，， 因为，则此时，函数在上单调递减，在上单调递增， ，得，均舍. 综上，或. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数的奇偶性的判断，考查由函数的最值求参数，第（2）问解题的关键是分情况讨论去掉绝对值，转化为二次函数的闭区间的最值问题，考查分类讨论思想和计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第一学期期中考试 高一数学试卷 （时间：120分钟 满分150分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数f(x)和g(x)分别由下表给出： x 1 2 3 4 x 1 2 3 4 f(x) 2 3 4 1 g(x) 2 1 4 3 满足g(f(x))＝1的x值是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如果集合，，C是A的子集，且，则这样的子集C有（ ）个. A. 256 B. 959 C. 960 D. 961 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 给出以下四个判断，其中正确的是（ ） A. B. 函数与不是同一函数 C. 若的定义域为，则的定义域为 D. 若函数，则 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为 11. 如果某函数的定义域与其值域的交集是，则称该函数为“交汇函数”.下列函数是“交汇函数”的是（ ） A. B. C. D. 12. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 已知，则 D. 为互不相等的正数，且，则 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. ，若，则__________. 14. ______. 15. 设函数是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是_____ 16. 已知正实数满足，则的最小值为__________. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知全集，集合，集合． （1）求集合及； （2）若集合，且，求实数的取值范围． 18. 设命题p:对任意，不等式恒成立；命题q:存在，使得不等式成立． （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p与命题q中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围． 19. （1）设，且，求的最小值； （2）设，求的最小值. 20. 已知二次函数，且. （1）求函数的解析式； （2）解关于的不等式. 21. 已知函数 （1）当时，判断的单调性并证明； （2）已知条件，条件，若是的充分条件，求实数的取值范围. 22. 已知函数 （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）若函数在上的最小值为7，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $