专题07 有理数的乘法和除法（八大题型，60题）-【尖子生培优】2024-2025学年七年级数学上学期重难点压轴题突破专练（华师大版2024）

专题07 有理数的乘法和除法（八大题型，60题） 目录 题型一：两个有理数的乘法运算 1 题型二：多个有理数的乘法运算 3 题型三：有理数乘法的实际应用 4 题型四：有理数乘法的运算律 6 题型五：倒数 7 题型六：有理数的除法运算 8 题型七：有理数除法的应用 9 题型八：有理数乘除混合运算 10 题型一：两个有理数的乘法运算 1．（21-22七年级上·福建厦门·期中）若，则中最大的一个数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是 （   ） A． B． C． D． 3．（21-22七年级上·浙江台州·期末）若，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（22-23七年级上·浙江绍兴·期中）《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了的步骤：①将34，25分别写在方格的上边和右边；②把上述各数字乘积的十位（不足写0）与个位分别填入小方格中斜线两侧；③沿斜线方向将数字相加，记录在方格左边和下边；④将所得数字从左上到右下依次排列（满十进一）．若图2中a，b，c，d均为正整数，且c，d都不大于8，则b的值为 ，该图表示的乘积结果为 ． 5．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）下列说法：①若，则；②若，则；③若，则a或b至少有一个为0；④若，且，则.其中正确的有 ． 6．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）观察下列等式∶；； (1)仿照上面的形式猜想并写出：____________． (2)计算∶． (3)若，求的值． 7．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）对于有理数a、b，定义新运算：“”，． (1)计算：________；________； ________（填“>”或“=”或“<”）； (2)我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（1）计算的结果，你认为这种运算：“”是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明． 8．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算： ① ， ； (2)计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤） (3)若．计算：的值． 题型二：多个有理数的乘法运算 9．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级上·重庆渝中·期末）已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（    ） A． B． C．6 D．24 11．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24七年级上·福建龙岩·阶段练习）有四个互不相等的整数且，那么等于(     ) A． B． C． D．不能确定 13．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）若三个非零有理数，满足，且有，则这三个数的大小关系为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 14．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）4个非零有理数相乘，积的符号是负号，则这4个有理数中，正数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．1个或3个 15．（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）有理数在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列结论中①；②；③；④ ；⑤ ；⑥，正确的是    16．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：． 题型三：有理数乘法的实际应用 17．（2024·山东烟台·中考真题）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？ A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 18．（2024·北京·中考真题）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。 若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为 min； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺序彩排 19．（2024·北京·三模）车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 8 31 11 6 17 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序： ①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号）； （2）如果由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 元． 20．（2024·浙江舟山·三模）车间里有五台车床同时出现故障． 已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 16 6 30 5 9 若每台车床停产一分钟造成经济损失 10 元，修复后即可投入生产，现只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序：①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号），最少为 元． 21．（22-23七年级上·广西南宁·期中）出租车司机李师傅某日上午一直在某市区一条东西方向的公路上营运，共连续运载八批乘客，若按规定向东为正，李师傅营运八批乘客里程数记录如下（单位：千米）：． (1)将最后一批乘客送到目的地后，李师傅位于第一批乘客出发地的什么方向？距离多少千米？ (2)若出租车的收费标准为：起步价元（不超过千米），超过千米，超过部分每千米元，求李师傅在这期间一共收入多少元？ 22．（2024·北京平谷·一模）某工艺坊加工一件艺术品，完成该任务共需，，，，，六道工序，其中，是前期准备阶段，，，是中期制作阶段，为最后的扫尾阶段，三个阶段不能改变顺序，也不能同时进行，但各阶段内的几个工序可以同时进行，完成各道工序所需时间如下表所示： 阶段 准备阶段 中期制作阶段 扫尾阶段 工序 所需时间/分钟 加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用/元 不能缩短 在不考虑其它因素的前提下，加工该件艺术品最少需要 分钟；现因情况有变，需将加工时间缩短到分钟．每道工序加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用如上表，则所增加的投入最少是 元． 23．（24-25七年级上·全国·随堂练习）某个体水果店经营香蕉，每千克进价元，售价元，月日至月日经营情况如下表： 购进 售出（） 损耗（） (1)若月日晚库存为，则月日晚库存 ； (2)就月日这一天的经营情况看，当天是赚钱还是赔钱，规定赚钱为正，当天赚 元； (3)月日到月日该个体户共赚多少钱？ 24．（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）小艾同学的父亲是一名交警，假期某天早上，小艾随父亲乘交通巡逻车从恒隆出发，在红旗路上巡视，中午到达学校门口，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶记录如下．单位：． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)巡逻车在巡逻过程中，第 次离恒隆最远． (2)学校在恒隆哪个方向，与恒隆相距多少千米？ (3)若每千米耗油升，每升汽油需元，问这半天交通巡逻车所需汽油费多少元？ 题型四：有理数乘法的运算律 25．（22-23七年级上·河北石家庄·期中）为了使的计算结果是，在“□”中填入的运算符号是（    ） A． B． C． D． 26．（22-23七年级上·山西晋中·期末）计算，运算中运用的运算律为（    ）． A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．乘法结合律 D．乘法交换律和乘法结合律 27．（22-23七年级上·重庆万州·期末）定义一种新运算“”，规定：等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：，．则的值是（    ）． A． B． C． D． 28．（23-24七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）观察下列各式：，，，…，根据观察计算： ． 29．（23-24七年级下·湖北武汉·开学考试） 30．（24-25七年级上·全国·假期作业）巧算． (1) (2) 31．（23-24七年级上·安徽宿州·期末）计算 (1)； (2). 32．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）用简便方法计算 (1) (2) 33．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 34．（22-23七年级上·江西赣州·期中）用简便方法计算： (1)； (2)． 题型五：倒数 35．（2024·四川成都·模拟预测）的倒数是（    ） A． B．－2.5 C． D． 36．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）一个数的倒数是，则这个数是（　　） A． B． C． D． 37．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）阅读理解：将一个数不等于0和1）作“它的相反数与1的和的倒数”的变换，逐一变换可得一组新数．例如：第1次变换得到，记为；第2次变换得到，记为；第次变换得到，记为．延伸拓展：将一个数组均不等于0和1）中的各数分别作“它的相反数与1的和的倒数”的变换，第1次变换得到，；第2次变换得到；第次变换得到．活学活用：若数组确定为，则的值为（    ） A．37 B． C．39 D． 38．（23-24七年级上·四川成都·期末）若a，b互为相反数，的倒数是，则b的值为 ． 题型六：有理数的除法运算 39．（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）下列结论：①若，则；②若，则；③若m是有理数，则是非负数．其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 40．（23-24七年级上·辽宁大连·阶段练习）已知，结果不可能的是（    ） A．2 B． C．1 D．0 41．（23-24七年级上·四川内江·期中）已知为非等有理数，且，则的值为 ． 42．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，则值为 ． 43．（23-24七年级上·安徽滁州·期中）下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤已知、、均为非零有理数，若，，，则的值为2或． 其中，正确的结论是 （填写序号）． 44．（23-24七年级上·福建福州·期末）阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题： (1)已知m，n是有理数，当时，则______； (2)已知m，n，t是有理数，当时，求的值； (3)已知m，n，t是有理数，，且，求的值． 45．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）对于有理数a，b（a，b都不为0）定义运算“△”：．例如：，求的值． 题型七：有理数除法的应用 46．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）甲乙丙三位同学合乘一辆滴滴车去顺路的三个地点，事先约定三人根据路程分摊车费，甲在全程的四分之一处下车，甲下车时，乙离下车点还有一半的路程，丙坐完全程．已知乙支付了18元车费，则三人一共支付多少车费？（    ） A．36元 B．48元 C．63元 D．81元 47．（2024七年级·全国·竞赛）在2018的左边添加一个数字，右边添加一个数字，组成一个六位数，且能被45整除，则的最大值是（    ） A．10 B．35 C．56 D．81 48．（23-24七年级上·福建厦门·期末）甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如下表：则完成这项工作共需（    ） 天数 第3天 第5天 工作进度 A．6天 B．8天 C．9天 D．10天 49．（2024七年级上·全国·专题练习）若正整数m、n、p、q满足，则的最小值为 ． 50．（23-24七年级上·贵州遵义·期中）有两个正数、，满足，规定把大于或等于且小于或等于的所有数记作，，例如大于或等于0且小于或等于5的所有数记作，如果在中，在中，那么的一切值所在范围是 ． 题型八：有理数乘除混合运算 51．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，化简（  ） A． B．3或1 C．3或 D． 52．（2024七年级·全国·竞赛）若正整数、、、满足，则的最小值为 ． 53．（23-24七年级上·河北邢台·期中）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．如图1，计算，将乘数47计入上行，乘数51计入右列，然后用乘数47的每位数字分别乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来，得2397．    如图2，用“格子乘法”表示，则 ；利用图2的结果可以计算 ．    54．（23-24七年级上·福建龙岩·阶段练习）观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算 符号） ，，，，那么的值是 55．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）已知a是有理数，表示不超过a的最大整数，如等，那么 ． 56．（22-23七年级上·吉林松原·期中）阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第______________步，错误原因是______________； 第二处是第______________步，错误原因是______________； (2)请写出正确的结果______________． 57．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）先阅读下列材料，然后解答问题： 材料：从4张不同的卡片中选取2张，有6种不同的选法，抽象成数学问题就是从4个不同元素中选取2个元素的组合，组合数记为.一般地，从个不同元素中选取个元素的组合数记作，． 例如：从6个不同元素中选3个元素的组合，组合数记作． (1)为迎接国家建设工作检查，学校将举办小型书画展览，王老师在班级7幅优秀书画中选取3幅，共有多少种选法？ (2)探索发现： 计算：_____，______，______，________，________，________． 由上述计算，试猜想，，之间有什么关系．（只写结论，不需说明理由） (3)请你直接利用（2）中猜想的结论计算：． 58．（23-24七年级上·广东河源·期中）某地区夏季高山上的温度从山脚起，海拔高度每升高，平均气温下降，假设山脚的海拔高度为，温度是． (1)若这座山的海拔高度是，求山顶温度； (2)小明在上山过程中看到温度计上的读数是，此时他所处的海拔高度为多少？ 59．（23-24七年级上·广东汕头·阶段练习）计算： (1)； (2)． 60．（23-24七年级上·湖北黄冈·阶段练习）计算下列各题： (1)； (2)． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 有理数的乘法和除法（八大题型，60题） 目录 题型一：两个有理数的乘法运算 1 题型二：多个有理数的乘法运算 7 题型三：有理数乘法的实际应用 12 题型四：有理数乘法的运算律 18 题型五：倒数 23 题型六：有理数的除法运算 26 题型七：有理数除法的应用 31 题型八：有理数乘除混合运算 33 一、题型一：两个有理数的乘法运算 1．（21-22七年级上·福建厦门·期中）若，则中最大的一个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数比较大小，根据减去一个数等于加上这个数的相反数，由于，故，进而得出结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴最大的一个数是； 故选A． 2．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴上的点表示的数、有理数的乘法、绝对值，熟练掌握数轴上的点表示的数的大小关系、有理数的乘法法则、绝对值的定义是解决本题的关键． 根据数轴上的点表示的数的大小关系、实数的乘法法则、绝对值的定义解决此题． 【详解】解： A．由图可知，，得，那么A错误． B．由图可知，，得，那么B 正确． C．由图可知，，得，那么C错误． D．由图可知，，得，那么D错误． 故选：B． 3．（21-22七年级上·浙江台州·期末）若，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法和乘法运算，掌握有理数的加法和乘法运算法则是解题关键．加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．异号两数相加，绝对值相等时，和为零．绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．一个数同零相加仍得这个数；乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 【详解】解：因为， 所以，异号． 因为， 所以负数的绝对值大于等于正数的绝对值，即当时，由，可知；当时，由，可知． 综上可知选项中只有B正确． 故选B． 4．（22-23七年级上·浙江绍兴·期中）《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了的步骤：①将34，25分别写在方格的上边和右边；②把上述各数字乘积的十位（不足写0）与个位分别填入小方格中斜线两侧；③沿斜线方向将数字相加，记录在方格左边和下边；④将所得数字从左上到右下依次排列（满十进一）．若图2中a，b，c，d均为正整数，且c，d都不大于8，则b的值为 ，该图表示的乘积结果为 ． 【答案】 2或3 或 【分析】如图2所示，由题意得，，由此可得，进而求出，；如图2-1所示，的结果十位数为1，则或，由此讨论b的值求解即可. 【详解】解：如图2所示，由题意得，， ∵都是自然数，且， ∴， ∴， ∴； 如图2-1所示，∵的结果十位数为1， ∴或， 当时，符合题意，此时的乘积为； 当时，符合题意；，此时的乘积为； 故答案为：2或3；或 【点睛】此题主要考查有理数运算的应用，解题的关键是根据题意找到运算特点进行求解． 5．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）下列说法：①若，则；②若，则；③若，则a或b至少有一个为0；④若，且，则.其中正确的有 ． 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查了乘法法则，根据“①两数相乘，同号得正，异号得负；②任何数与0相乘，都得0”逐项进行判断即可． 【详解】解：①若，则a、b同号，或，故①错误； ②若，则a、b异号，或，故②错误； ③若，则a或b至少有一个为0，正确； ④若，且，则，正确； 故答案为：③④． 6．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）观察下列等式∶；； (1)仿照上面的形式猜想并写出：____________． (2)计算∶． (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意的拆解方法即可解答； （2）根题意的拆解方法即可解答； （3）利用绝对值非负性求出，，再根据题意的拆解方法即可解答． 【详解】（1）解：；；， ， 故答案为：，， （2）解：原式， ， ； （3）解：由，可得：，， ，， ∴原式， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了利用拆解的方法进行运算，熟练掌握和运用拆解的方法进行运算是解决本题的关键． 7．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）对于有理数a、b，定义新运算：“”，． (1)计算：________；________； ________（填“>”或“=”或“<”）； (2)我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（1）计算的结果，你认为这种运算：“”是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明． 【答案】(1)，， (2)满足交换律，理由见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义，理解新定义是关键． （1）按照题中新定义的运算进行计算即可作出判断； （2）就一般情况根据新定义进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，； ∴； ∵，， ∴； ∵，； ∴； 故答案：，， （2）解：运算：“”满足交换律 理由如下： 由新定义知：，， ∴， 表明运算“”满足交换律． 8．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算： ① ， ； (2)计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤） (3)若．计算：的值． 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，正确理解新定义掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据题意得出：同号得正，异号得负，并把绝对值相加的运算法则依次计算即可． （2）根据零与任意数※（加乘）或任何数同零※（加乘），都得这个数的绝对值，结合前面的运算计算即可； （3）根据题意得出，确定，然后代入式子进行计算即可． 【详解】（1）解：① =， 故答案为：． ② =， 故答案为：． （2）解： = ． （3）∵， ∴， ∴， ∴ ． 二、题型二：多个有理数的乘法运算 9．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法法则分别计算，即可判断求解，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项不符题意； 、，该选项不符题意； 、，该选项符合题意； 、，该选项不符题意； 故选：． 10．（23-24七年级上·重庆渝中·期末）已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（    ） A． B． C．6 D．24 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的除法，有理数的乘法，绝对值的性质，熟记运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴a、b、c有1个负数或3个负数． ∵， ∴a、b、c只有1个负数， ∴，，， 当时，，时， ， 当时，，时， ， 当时，，时， ， ∴x的最大值为6，最小值为， ∴， 即x的最大值与最小值的乘积为． 故选：A． 11．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数轴得：，由此对四个选项依次判断即可． 本题综合考查了有理数大小比较、数轴、绝对值的有关内容．熟练掌握有理数的加法，减法，乘法法则，并借助数轴，掌握数形结合法是解题的关键． 【详解】观察数轴得：，故选项A正确； 观察数轴得：，所以，故选项B正确； 观察数轴得： ，，，所以，故选项C不正确； 观察数轴得：，且，所以，故选项D正确； 故选：C． 12．（23-24七年级上·福建龙岩·阶段练习）有四个互不相等的整数且，那么等于(     ) A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据题意得出这四个数的值，即可确定这四个数的和，解题的关键在于根据题意判断出四个数的值． 【详解】解：由题意得：这四个整数小于或等于，且互不相等，再由乘积为可得，四个数中必有和， ∴四个数为：，，，， ∴和为， 故选：． 13．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）若三个非零有理数，满足，且有，则这三个数的大小关系为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数的乘法以及有理数大小比较的方法，掌握有理数的乘法法则是解题得关键，要分和两种情况讨论求解，当时，由，得，从而得，，由，得，当时，同理可得，即可得解． 【详解】解：当时，∵， ∴， ∵， ∴中有一个为负数， ∴，， ∵， ∴， 当时，∵， ∴， ∵， ∴的符号相同， 当，时，有，即， 当，时， ∵， ∴，即． 故选B． 14．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）4个非零有理数相乘，积的符号是负号，则这4个有理数中，正数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．1个或3个 【答案】D 【分析】利用几个非零有理数相乘，积的符号是负数的个数决定，当负数的个数为奇数个时，积为负，当负数的个数为偶数个数时，积为正，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ∵4个有理数相乘，积的符号是负号， ∴这4个有理数中，负数的个数为1个或3个， ∴正数有3个或1个， 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的乘法的应用，熟练掌握有理数乘法中负数的个数决定积的符号是解题的关键． 15．（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）有理数在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列结论中①；②；③；④ ；⑤ ；⑥，正确的是    【答案】①③⑤⑥ 【分析】先根据数轴上的位置，可得，，利用乘法的符号法则、有理数的减法法则、绝对值的化简等知识点逐个判断得结论． 【详解】解：由数轴可知， ，， ∴故①正确； ∵，， ∴ ∴ 故②错误； ∵， ∴， ∴③正确； 由已知，， ∴， 由， ∴故④错误； ∵， ∴， ∴故⑤正确， ∵，， ∴， ∴， 故⑥正确； 故答案为：①③⑤⑥； 【点睛】本题考查了数轴上点的特点，有理数乘法的符号法则，有理数的大小比较，绝对值的化简等知识点，掌握减法、乘法的符号法则是解决本题的关键． 16．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则计算即可，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ． 三、题型三：有理数乘法的实际应用 17．（2024·山东烟台·中考真题）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？ A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化规律，由题意可知每天减少的量一样，由数的规律求和即可，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，第一天织布尺，第天织布尺， ∴一共织布（尺）， 故选：． 18．（2024·北京·中考真题）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。 若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为 min； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺序彩排 【答案】 60 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键． ①节目D的演员的候场时间为；②先确定C在A的前面，B在D前面，然后分类讨论计算出每一种情况下，所有演员候场时间，比较即可． 【详解】解：①节目D的演员的候场时间为， 故答案为：60； ②由题意得节目A和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么B在D前面， ∴①按照顺序，则候场时间为：分钟； ②按照顺序，则候场时间为：分钟； ③按照顺序，则候场时间为：分钟； ④按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑤按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑥按照顺序，则候场时间为：分钟． ∴按照顺序彩排，候场时间之和最小， 故答案为：． 19．（2024·北京·三模）车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 8 31 11 6 17 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序： ①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号）； （2）如果由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 元． 【答案】 ② 1040 【分析】本题考查了有理数的加法和乘法混合运算的实际应用，找出方案是解题的关键． （1）因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的，分别根据题意求解判断即可； （2）一名修理工修按D，C，B的顺序修，另一名修理工修按A，E的顺序修，修复时间最短，据此计算即可． 【详解】解：（1）①总停产时间：分钟， ②总停产时间：分钟， ③总停产时间：分钟， ∴经济损失最少的是②， 故答案为：②； （2）一名修理工修按D，C，B的顺序修，另一名修理工修按A，E的顺序修， 分钟， （元） 故答案为：1040． 20．（2024·浙江舟山·三模）车间里有五台车床同时出现故障． 已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 16 6 30 5 9 若每台车床停产一分钟造成经济损失 10 元，修复后即可投入生产，现只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序：①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号），最少为 元． 【答案】 ① 1380 【分析】本题考查了有理数的混合运算，要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的即可，找出方案是解题的关键． 【详解】解：要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，然先修复时间短的，即按5、6、9、16、30分钟顺序修复，即线路①； 此时经济损失为元， 故答案为：①；1380． 21．（22-23七年级上·广西南宁·期中）出租车司机李师傅某日上午一直在某市区一条东西方向的公路上营运，共连续运载八批乘客，若按规定向东为正，李师傅营运八批乘客里程数记录如下（单位：千米）：． (1)将最后一批乘客送到目的地后，李师傅位于第一批乘客出发地的什么方向？距离多少千米？ (2)若出租车的收费标准为：起步价元（不超过千米），超过千米，超过部分每千米元，求李师傅在这期间一共收入多少元？ 【答案】(1)李师傅位于第一批乘客出发地的东边，距离千米； (2)元． 【分析】（）把记录的数相加即可求解； （）根据收费标准列式计算即可求解； 本题考查了正负数的实际应用，有理数的四则运算的应用，理解正负数的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：， 答：李师傅位于第一批乘客出发地的东边，距离千米； （2）解：由里程数记录可知，第一批、第二批、第五批乘客里程超过了千米，其他批乘客没有，由收费标准可得，， 答：李师傅在这期间一共收入元． 22．（2024·北京平谷·一模）某工艺坊加工一件艺术品，完成该任务共需，，，，，六道工序，其中，是前期准备阶段，，，是中期制作阶段，为最后的扫尾阶段，三个阶段不能改变顺序，也不能同时进行，但各阶段内的几个工序可以同时进行，完成各道工序所需时间如下表所示： 阶段 准备阶段 中期制作阶段 扫尾阶段 工序 所需时间/分钟 加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用/元 不能缩短 在不考虑其它因素的前提下，加工该件艺术品最少需要 分钟；现因情况有变，需将加工时间缩短到分钟．每道工序加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用如上表，则所增加的投入最少是 元． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意是解题得到关键．求出各个阶段的工序最长时间和即可求出加工该件艺术品最少需要的时间；在准备阶段若缩短分钟，在制作阶段若缩短分钟，最后分钟则看两个阶段谁投入的费用少，即可求解． 【详解】解：一共有三个阶段，各阶段内的几个工序可以同时进行， 则加工该件艺术品最少需要：（分钟）； 需将加工时间缩短到分钟，则共需要缩短分钟， 在准备阶段若缩短分钟，则需要投入（元）， 在制作阶段若缩短分钟，则需要投入（元）， 还要分钟，在准备阶段缩短分钟需要投入（元），在制作阶段缩短分钟需要投入（元），， 综上，最少投入为：（元）， 故答案为：，． 23．（24-25七年级上·全国·随堂练习）某个体水果店经营香蕉，每千克进价元，售价元，月日至月日经营情况如下表： 购进 售出（） 损耗（） (1)若月日晚库存为，则月日晚库存 ； (2)就月日这一天的经营情况看，当天是赚钱还是赔钱，规定赚钱为正，当天赚 元； (3)月日到月日该个体户共赚多少钱？ 【答案】(1)； (2)； (3)元． 【分析】（）根据表格求出月日的库存即可； （）根据售价进价利润，列出算式，计算即可得到结果； （）根据售价进价利润，列出算式，计算即可得到结果； 此题考查了正负数的意义，有理数的混合运算的应用，弄清题意是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得，月日晚库存千克， 故答案为：； （2）解：根据题意得，元， ∴当天是赔钱， 规定赚钱为正，当天赚元， 故答案为：； （3）解：根据题意得，元， 答：月日到月日该个体户共赚元钱． 24．（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）小艾同学的父亲是一名交警，假期某天早上，小艾随父亲乘交通巡逻车从恒隆出发，在红旗路上巡视，中午到达学校门口，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶记录如下．单位：． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)巡逻车在巡逻过程中，第 次离恒隆最远． (2)学校在恒隆哪个方向，与恒隆相距多少千米？ (3)若每千米耗油升，每升汽油需元，问这半天交通巡逻车所需汽油费多少元？ 【答案】(1)六； (2)学校在恒隆东面，与恒隆相距千米； (3)交通巡逻车所需汽油费为元． 【分析】（）求出每次记录时恒隆的距离，数值最大的为最远的距离： （）把次记录相加，根据和的情况判断学校与恒隆的关系即可； （）求出所有记录的绝对值的和，再乘以计算即可得解； 本题考查了正负数的意义，有理数的加法和乘法的实际应用，理解正负数的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：，，，，，，， ∵最大， ∴第六次离恒隆最远， 故答案为：六； （2）解：∵， ∴学校在恒隆东面，与恒隆相距千米； （3）解：小艾和父亲巡逻所走路程： 千米， 巡逻车所需汽油费：元， 答：交通巡逻车所需汽油费为元． 四、题型四：有理数乘法的运算律 25．（22-23七年级上·河北石家庄·期中）为了使的计算结果是，在“□”中填入的运算符号是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数乘法运算律，根据题意可以看出括号内之和为分数，与之积为只有乘法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则． 【详解】解：， ， ， 故选：． 26．（22-23七年级上·山西晋中·期末）计算，运算中运用的运算律为（    ）． A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．乘法结合律 D．乘法交换律和乘法结合律 【答案】D 【分析】解答时，运用了乘法交换律和乘法结合律． 【详解】∵运用的运算律为乘法交换律和乘法结合律， 故选D． 【点睛】本题考查了用运算律进行有理运算，熟练掌握运算律的使用规律是解题的关键． 27．（22-23七年级上·重庆万州·期末）定义一种新运算“”，规定：等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：，．则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新运算的运算法则，先计算，再计算即可得解． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选D． 【点睛】本题考查定义新运算．理解并掌握新运算的运算法则，是解题的关键． 28．（23-24七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）观察下列各式：，，，…，根据观察计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类的规律探究，乘法运算律．根据题意确定数的分解规律是解题的关键． 由题意知， ，然后利用乘法运算律计算求解即可． 【详解】解：由题意知， ， 故答案为：． 29．（23-24七年级下·湖北武汉·开学考试） 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘法，计算括号内的加法后，利用乘法交换律和结合律进行计算即可. 【详解】解： 30．（24-25七年级上·全国·假期作业）巧算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的运算以及乘法运算律： （1）采用乘法分配律计算，原式可变形为； （2）采用乘法分配律计算，原式可变形为． 【详解】（1） （2） 31．（23-24七年级上·安徽宿州·期末）计算 (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，混合运算． （1）根据有理数加法运算法则计算即可． （2）逆用分配律计算即可． 【详解】（1） ． （2） ． 32．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）用简便方法计算 (1) (2) 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）根据分配律，把12分别与、、相乘，而后相加； （2）逆用分配律，把提出来，乘以的和，注意先约分再乘． 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】本题主要考查了有理数的简便运算，解决问题的关键是熟练掌握乘法的分配律． 33．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)7 (2)24 (3) 【分析】（1）根据有理数的乘法法则和交换律进行计算即可； （2）利用有理数的乘法分配律进行计算即可； （3）利用有理数的乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法法则和运算律是解题的关键． 34．（22-23七年级上·江西赣州·期中）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将带分数拆成整数部分与分数部分的和的形式，然后按照乘法分配律运算法则计算即可； （2）先提公因数，按照乘法分配律逆运算计算． 【详解】（1）解： = = = = （2）解： = = = 【点睛】本题考查了有理数乘法运算、乘法分配律逆运算，采用合适的运算方法可以使计算简便，熟练掌握有理数的乘法分配律是解题关键． 五、题型五：倒数 35．（2024·四川成都·模拟预测）的倒数是（    ） A． B．－2.5 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值和倒数，掌握绝对值和倒数的定义成为解题的关键． 先求出，再根据互为倒数的两个数的积为1即可解答． 【详解】解：，的倒数是． 故选C． 36．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）一个数的倒数是，则这个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数的定义，根据倒数的定义即可求解，掌握倒数的定义是解题的关键． 【详解】解：一个数的倒数是，所以这个数是， 故选：D． 37．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）阅读理解：将一个数不等于0和1）作“它的相反数与1的和的倒数”的变换，逐一变换可得一组新数．例如：第1次变换得到，记为；第2次变换得到，记为；第次变换得到，记为．延伸拓展：将一个数组均不等于0和1）中的各数分别作“它的相反数与1的和的倒数”的变换，第1次变换得到，；第2次变换得到；第次变换得到．活学活用：若数组确定为，则的值为（    ） A．37 B． C．39 D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探索、相反数、倒数，要先根据题意找到规律，多算几组，发现每三次变换为一个循环，进而可得到结果，准确计算、发现规律是解题的关键． 【详解】解：，由题意得： ， ， ， ， ，， ，， … ，，， ，， ，， 由规律可得每三次变换为一个循环， ， ， 故选：C． 38．（23-24七年级上·四川成都·期末）若a，b互为相反数，的倒数是，则b的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了相反数，倒数，根据互为相反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的积为1，列式计算即可． 【详解】∵a，b互为相反数，的倒数是， ∴，， ∴， ∴， 解得， 故答案为：5． 六、题型六：有理数的除法运算 39．（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）下列结论：①若，则；②若，则；③若m是有理数，则是非负数．其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根有理数的加法法则和除法法则、倒数的定义、绝对值的性质进行判断即可． 【详解】解：若， ∴，或a、b异号，且负数的绝对值大， ∴或，故①错误； 若，则， ∴，故②错误； 若m是有理数，当时， ∵， ∴， 当时，则， ∴若m是有理数，则是非负数，故③正确， 故选：B． 【点睛】本题考查倒数的定义、理数的加法法则和除法法则、绝对值的性质，熟练掌握有理数的运算法则和绝对值的性质是解题的关键． 40．（23-24七年级上·辽宁大连·阶段练习）已知，结果不可能的是（    ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查化简绝对值，由绝对值的性质可得当时，；当时，；当时，；当时，；分情况讨论即可．注意：（1）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；（2）分情况讨论时，虽然③④两种情况在本题中的计算结果是一样的，但在分类讨论时，还是要分为两种．运用分类讨论思想是解题的关键． 【详解】∵当时，；当时，； 当时，；当时，； ∴①当时，； ②当时，； ③当时，； ④当时，； ∴综上所述，的值可能为2，，0，不可能为1． 故选：C． 41．（23-24七年级上·四川内江·期中）已知为非等有理数，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了化简绝对值，根据题目已知条件得出，，，中有一个负数或两个负数，再分两种情况：当中有一个负数时，不放设，，；当中有两个负数时，不妨设，，，分别进行计算即可，熟练掌握绝对值的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：为非等有理数，且， ，，，中有一个负数或两个负数， ， 当中有一个负数时，不放设，，， 则原式， 当中有两个负数时，不妨设，，， 则原式， 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 42．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，则值为 ． 【答案】或3 【分析】此题考查了绝对值，以及有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据已知等式得到，确定出，，中负因式有0个或2个，原式利用绝对值的代数意义化简即可得到结果． 【详解】解：由，得到， ，，中有0个或2个负数， 当2个都为负数时，原式； 当0个为负数时，原式． 或3 故答案为：或3 43．（23-24七年级上·安徽滁州·期中）下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤已知、、均为非零有理数，若，，，则的值为2或． 其中，正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①⑤/⑤① 【分析】本题主要考查了相反数，绝对值的意义．利用相反数的意义，绝对值的意义对每个说法进行判断，错误的举出反例即可． 【详解】解：①若，则，正确，不符合题意； ②若，则，原结论不正确，符合题意； ③若，则，原结论不正确，符合题意； ④若，当时，则，原结论不正确，符合题意； ⑤∵a、b、c均为非零有理数，若，，， ∴a、b、c有四种情形：，，或，，或，，或，，， 当，，时，原式； 当，，时，原式， 当，，时，原式， 当，，时，原式． 综上，已知a、b、c均为非零有理数，若，，，则的值为2或．正确，不符合题意； 故答案为：①⑤． 44．（23-24七年级上·福建福州·期末）阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题： (1)已知m，n是有理数，当时，则______； (2)已知m，n，t是有理数，当时，求的值； (3)已知m，n，t是有理数，，且，求的值． 【答案】(1)0； (2)1或； (3)或3． 【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算，化简绝对值，熟练的化简绝对值是解本题的关键； （1）先判断同号，再分两种情况化简绝对值，再计算即可； （2）先判断m，n，t全负或m，n，t两正一负，再分情况化简绝对值，再计算即可； （3）先判断m，n，t两正一负，再结合（2）的结论即可得到答案． 【详解】（1）解：∵m，n是有理数，当时， ∴同号， 当，时， ， 当，时， ； （2）∵ ∴m，n，t全负或m，n，t两正一负 ①当m，n，t全负时， ②当m，n，t两正一负时 Ⅰ）当，，时， Ⅱ）当，，时， Ⅲ）当，，时， 综上所述，的值为1或； （3）∵ ∴，，． ∴ 又∵， ∴m，n，t两正一负 由（2）可知的值为或3． 45．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）对于有理数a，b（a，b都不为0）定义运算“△”：．例如：，求的值． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算．根据新运算的法则，列出算式，进行计算，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得： ， ∴． 七、题型七：有理数除法的应用 46．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）甲乙丙三位同学合乘一辆滴滴车去顺路的三个地点，事先约定三人根据路程分摊车费，甲在全程的四分之一处下车，甲下车时，乙离下车点还有一半的路程，丙坐完全程．已知乙支付了18元车费，则三人一共支付多少车费？（    ） A．36元 B．48元 C．63元 D．81元 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的除法的实际应用，根据题意得到甲乙丙的路程比，即可求得总车费． 【详解】解：由题意得甲乙丙三人的路程比为， 三人一共支付车费（元）， 故选：C． 47．（2024七年级·全国·竞赛）在2018的左边添加一个数字，右边添加一个数字，组成一个六位数，且能被45整除，则的最大值是（    ） A．10 B．35 C．56 D．81 【答案】A 【分析】本题考查有理数的除法运算，根据整除的概念，得出或，根据的不同取值，讨论的值，即可解题． 【详解】解：∵能被45整除， ∴或， 当时，； 当时，能被9整除，则，故的最大值为． 故选：A． 48．（23-24七年级上·福建厦门·期末）甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如下表：则完成这项工作共需（    ） 天数 第3天 第5天 工作进度 A．6天 B．8天 C．9天 D．10天 【答案】C 【分析】此题是典型的工程问题，需要特别注意的是把问题分段分析，分清每段的情况即可．此题是工程问题，把此工作分段进行分析，甲自己做了3天做了，则可知道甲自己做需要天，从而求出乙的工作效率，进而求出结果即可． 【详解】解：甲自己做需天， ∴乙的工作效率为： ∴（天）， 故选：C． 49．（2024七年级上·全国·专题练习）若正整数m、n、p、q满足，则的最小值为 ． 【答案】65 【分析】本题考查有理数的乘除及正整数的概念．根据题意，将m用含q的式子表示，再由m、n、p、q为正整数即可求解． 【详解】解：∵， ，，， ， ∵m、n、p、q为正整数， ∴q的最小值为8，则，，， ∴， 的最小值为65． 故答案为：65 50．（23-24七年级上·贵州遵义·期中）有两个正数、，满足，规定把大于或等于且小于或等于的所有数记作，，例如大于或等于0且小于或等于5的所有数记作，如果在中，在中，那么的一切值所在范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数混合运算．根据题意，找出使取最大（小值时，的值，再计算即可． 【详解】解：在中，在中， 当，时，的最大值为； 当，时，的最小值为， ； 故答案为：． 八、题型八：有理数乘除混合运算 51．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，化简（  ） A． B．3或1 C．3或 D． 【答案】C 【分析】本题考查代数式化简求值，涉及绝对值运算，根据代数式结构特点，分类讨论，化简求值即可，熟记绝对值运算是解决问题的关键． 【详解】解：， 分四种情况：①同正；②两正一负；③一正两负；④三负； ①同正：； ②两正一负，不妨令，则； ③一正两负，不妨令，则； ④同负：； 故选：C． 52．（2024七年级·全国·竞赛）若正整数、、、满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘除及正整数的概念．根据题意，将用含的式子表示，再由、、、为正整数即可求解． 【详解】解： ，，， ， 、、、为正整数， 的最小值为8，则，，， ， 的最小值为． 故答案为：． 53．（23-24七年级上·河北邢台·期中）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．如图1，计算，将乘数47计入上行，乘数51计入右列，然后用乘数47的每位数字分别乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来，得2397．    如图2，用“格子乘法”表示，则 ；利用图2的结果可以计算 ．    【答案】 7 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，数字规律探究； （1）利用“格子乘法”表示即可得到m的值； （2）根据解析（1）得出，代入求值即可． 解题的关键是根据题干信息得出规律，准确计算． 【详解】解：（1）利用“格子乘法”表示即可得到m的值，如图所示：    ， 故答案为：7； （2）根据图可知：， ． 故答案为：． 54．（23-24七年级上·福建龙岩·阶段练习）观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算 符号） ，，，，那么的值是 【答案】 【分析】利用题中的新定义列式，约分即可得到结果． 【详解】解：根据题中的新定义， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 55．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）已知a是有理数，表示不超过a的最大整数，如等，那么 ． 【答案】 【分析】根据的意义得出，，，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意得：，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义，有理数的乘除运算，正确理解的意义是解题的关键． 56．（22-23七年级上·吉林松原·期中）阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第______________步，错误原因是______________； 第二处是第______________步，错误原因是______________； (2)请写出正确的结果______________． 【答案】(1)二；没有按同级运算从左至右运算；三；符号弄错 (2) 【分析】本题考查了有理数乘除混合运算，乘除同时出现时，按照从左到右顺序依次计算不能乱了顺序． （1）从运算的顺序，运算符号，运算结果三个方面去分析求解即可． （2）按照正确的运算顺序，规范解答即可． 【详解】（1）根据题意，得： 第一处是第2步，错误原因是没有按同级运算从左至右运算； 第二处是第3步，错误原因是符号弄错，同号得正， 故答案为：二；没有按同级运算从左至右运算；三；符号弄错． （2） ． 57．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）先阅读下列材料，然后解答问题： 材料：从4张不同的卡片中选取2张，有6种不同的选法，抽象成数学问题就是从4个不同元素中选取2个元素的组合，组合数记为.一般地，从个不同元素中选取个元素的组合数记作，． 例如：从6个不同元素中选3个元素的组合，组合数记作． (1)为迎接国家建设工作检查，学校将举办小型书画展览，王老师在班级7幅优秀书画中选取3幅，共有多少种选法？ (2)探索发现： 计算：_____，______，______，________，________，________． 由上述计算，试猜想，，之间有什么关系．（只写结论，不需说明理由） (3)请你直接利用（2）中猜想的结论计算：． 【答案】(1)共有35种选法 (2)3；1；4；10；5；15； (3)220 【分析】本题考查组合新定义计算，有理数的乘除法混合计算， （1）根据材料给出组合的方法直接计算即可； （2）根据新定义分别进行计算；利用计算结果得，，由此规律可得； （3）利用（2）中的规律从左到右依次计算即可； 掌握新定义的计算方法与性质，有理数的乘除法混合计算法则是解题关键． 【详解】（1）解：根据公式， 答：共有35种选法． （2）＝3，＝1，＝4，＝10，＝5，＝15， ∵，， ∴，      故答案为3；1；4；10；5；15； （3） ． 58．（23-24七年级上·广东河源·期中）某地区夏季高山上的温度从山脚起，海拔高度每升高，平均气温下降，假设山脚的海拔高度为，温度是． (1)若这座山的海拔高度是，求山顶温度； (2)小明在上山过程中看到温度计上的读数是，此时他所处的海拔高度为多少？ 【答案】(1)这座山的山顶温度为； (2)此时他所处的海拔高度为． 【分析】（1）根据题意列出算式，再根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算可得答案． （2）根据题意列出算式，再根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算可得答案． 【详解】（1）解： ． ． 答：这座山的山顶温度为． （2）解：． 所以此时他所处的海拔高度为． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算的应用，解题的关键是理解题意列出算式、掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 59．（23-24七年级上·广东汕头·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)1 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 60．（23-24七年级上·湖北黄冈·阶段练习）计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去括号，再作加减即可； （2）先将除法变为乘法，再进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 14 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