专题04 有理数的大小比较-【尖子生培优】2024-2025学年七年级数学上学期重难点压轴题突破专练（华师大版2024）

专题04 有理数的大小比较（原卷版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．有理数在数轴上的位置如图所示，下列各数中，在到之间的是（    ）    ①，②，③，④． A．②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 2．把四个数按由大到小的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．大于而小于2.3的整数共有（　　）个． A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 4．下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 5．在中，绝对值最小的数是（   ） A． B． C．0 D．4 6．“坎宁安数”是以英国数学家坎宁安的名字命名的，能写成形式的数字，2024是一个坎宁安数，因为．下列各数中均含有“2024”，其中最小的是（　　） A．2024 B． C． D． 7．已知a、b在数轴上对应的点如图1所示，下列结论正确的是(    ) A．a>b B．|a|<|b| C．－a<－b D．a<－b 8．把几个互不相同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}，{1，4，7，…}，…，我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素，如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数x是集合的一个元素时，2018﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为对称集合，例如{2，2016}就是一个对称集合，若一个对称集合所有元素之和为整数M，且23117＜M＜23897，则该集合总共的元素个数是（　　） A．22 B．23 C．24 D．25 9．若为大于的负数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．有下列说法：①两个有理数比较大小，绝对值大的反而小：②用一个平面去截正方体，面的形状可能是五边形；③数轴上表示两个有理数的点，较大的数表示的点离原点较远；④若a是3的相反数，则a的倒数是；⑤一个数的绝对值等于它的相反数，这个数一定是负数．其中正确的说法有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 11．如果，，那么与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 12．比较大小（用“”“”或“”连接）： ； ． 13．已知两个有理数a，b，，，，则，，，，0五个数的大小关系为 （用“<”号连接）． 14．已知，其中是不为零的自然数，把三个数从小到大的顺序排列起来： ＜ ＜ ． 15．比较大小： ．（填“”，“”或“”） 16．为互不相等的有理数，且最小，最大，若，则从小到大排列的顺序为 ． 17．若，，，则的大小关系是 ． 18．设表示大于的最小整数，如，则下列结论： ①； ②的最小值是0； ③的最大值是1； ④若，则可以表示成（为整数）的形式； ⑤若整数满足，则．其中正确 （填写序号）． 19．规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，表示最接近的整数，为整数），例如：，，．当时，化简的结果是 ． 20．比较大小： （填“”、“”或“”）． 21．小丽在4张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这四个数都能取到．在下列四个结论中： ①卡片上的数最小可以是1； ②卡片上的数最大可以是10； ③卡片上的数可以是4个连续的整数； ④卡片上的数有且仅有2个数相等． 其中所有正确结论的序号是 ． 22．比较大小 ( )；( )；( )． 23．（1）设，，且，用“”号把、、、连接起来为 ； （2）设，，且，用“”号把、、、连接起来为 ； （3）设，，且，用“”号把、、、连接起来为 ． 24．比较大小：①-0.3 ；②+（-5） -|-17|； ③ ． 三、解答题 25．已知有理数满足，另有两个不等于零的有理数，使得且， (1)求的值； (2)试比较与的大小，并说明理由． 26．请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量______来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． 27．若a＜0，试比较a与的大小. 28．阅读下列材料，解决问题。 比较两个有理数大小的方法有一种叫做作差法，例如：比较与的大小。 解：∵ 这种利用作差法比较大小的原理是： （1）若则 （2）若a-b<0,则a<b （3）若则 解决下列问题： （1）比较与的大小； （2）已知试比较A和B的大小。 29．（1）设a、b为有理数，比较|a＋b|与|a|＋|b|（a、b为有理数）的大小关系，并用文字语言叙述此关系； （2）根据（1）中的结论，当|x|＋2018＝|x－2018|时，则x的取值范围为 ． （3）已知a、b、c、d是有理数，|a－b|≤6，|c－d|≤16，|a－b－c＋d|＝22，求|b－a|－|d－c|的值 30．（1）当a＞0时，a_____﹣a；当a=0时，a_____﹣a；当a＜0时，a_____﹣a．（填“＞”“＜”或“=”） （2）请仿照（1）的方法，当a＞0时，比较a和的大小关系． 4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 有理数的大小比较（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．有理数在数轴上的位置如图所示，下列各数中，在到之间的是（    ）    ①，②，③，④． A．②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据数轴得出，再逐个判断即可． 【详解】解：根据数轴可以知道：， ， ，符合题意； ， ， ，符合题意； ， ， ， ，符合题意； ， ，符合题意． 故选：． 【点睛】本题主要考查了数轴，绝对值，相反数的定义，其中，用绝对值的定义去判断是解题的关键． 2．把四个数按由大到小的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数大小比较，先比较各数绝对值的大小，再比较各数即可． 【详解】解：， 又， ∵， ∴， ∴， ． 故选：A． 3．大于而小于2.3的整数共有（　　）个． A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【分析】本题考查了比较有理数的大小，找出符合条件的点，即可得到答案． 【详解】解：大于而小于2.3的整数有，，，，0，1，2，共7个， 故选：C． 4．下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较．熟练掌握绝对值的代数意义，有理数的大小比较法则，是解题的关键． 根据有理数的大小比较法则，绝对值的代数意义逐一判断即可． 【详解】A、， ∵，， ∴， 故此选项不符合题意； B、， ∵，， 又∵， ∴， 故此选项符合题意； C、， ∵， 又∵， ∴， 故此选项不符合题意； D、， ∵， 又∵， ∴， 故此选项不符合题意． 故选：B． 5．在中，绝对值最小的数是（   ） A． B． C．0 D．4 【答案】C 【分析】先计算绝对值，再比较大小即可． 本题考查了有理数的大小比较，绝对值大计算，熟练掌握绝对值的计算是解题的关键． 【详解】根据题意，得，且， 故绝对值最小的数是0， 故选C． 6．“坎宁安数”是以英国数学家坎宁安的名字命名的，能写成形式的数字，2024是一个坎宁安数，因为．下列各数中均含有“2024”，其中最小的是（　　） A．2024 B． C． D． 【答案】D 【详解】此题考查的是有理数的比较大小及绝对值的概念，熟练掌握有理数大小比较方法是解题的关键； 根据有理数的比较大小，即可找出最小的数. 解：∵，，， 最小的数是. 故选：D. 7．已知a、b在数轴上对应的点如图1所示，下列结论正确的是(    ) A．a>b B．|a|<|b| C．－a<－b D．a<－b 【答案】D 【详解】如下图，把表示的点表示到数轴上，由图可知：， ∴A、B、C三个选项中的结论都是错的，只有D选项中的结论是正确的. 故选D. 8．把几个互不相同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}，{1，4，7，…}，…，我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素，如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数x是集合的一个元素时，2018﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为对称集合，例如{2，2016}就是一个对称集合，若一个对称集合所有元素之和为整数M，且23117＜M＜23897，则该集合总共的元素个数是（　　） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】B 【详解】分析：根据题意可知对称集合都是成对出现的，并且这对对应元素的和为2018，然后通过估算即可解答本题． 详解：∵在对称集合中，如果一个元素为a，则另一个元素为2018-a， ∴对称集合中的每一对对应元素的和为：a+2018-a=2018，2018×11=22198，2018×11.5=23207，2018×12=24216， 又∵一个对称集合所有元素之和为整数M，且23117＜M＜23897， ∴该集合总共的元素个数是11.5×2=23． 故选B． 点睛：本题考查有理数、是探究性问题，关键是明确什么是对称集合，集合中的各个数都是元素，明确对称集合中的元素个数，在此还要应用到估算的知识． 9．若为大于的负数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是掌握有理数的大小比较方法．根据的取值范围分析即可求解． 【详解】解：为大于的负数， ， A、， ， ， ， ，故该选项错误，不符合题意； B、， ， ， ， ，故该选项错误，不符合题意； C、， ， ， ， ， ，故该选项正确，符合题意； D、， ， ， ， ，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 10．有下列说法：①两个有理数比较大小，绝对值大的反而小：②用一个平面去截正方体，面的形状可能是五边形；③数轴上表示两个有理数的点，较大的数表示的点离原点较远；④若a是3的相反数，则a的倒数是；⑤一个数的绝对值等于它的相反数，这个数一定是负数．其中正确的说法有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】根据有理数的概念，数轴的概念，正方体的知识，逐一判断即可． 【详解】两个负数比较大小，绝对值的的反而小，故①错误； 如下图所示，可以获得五边形，故②正确； 在数轴正半轴上，较大的数表示的点离原点较远，故③错误； 3的相反数为-3，-3的倒数为，故④正确； 0的相反数等于0，0的绝对值等于0，故⑤错误； 故选D． 【点睛】本题考查了有理数的基础知识，有理数的比较大小，求一个是的相反数、绝对值等知识，是有理数部分的基础考题，要求学生熟练掌握本部分的知识点，并能够辨析． 11．如果，，那么与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】相乘的这些分数的特点是分母都是偶数，分子都是奇数；再写出一道分数相乘，使它们分子都是偶数，分母都是奇数， 把这两道算式相乘，得出积为，由此进一步再做比较即可得解． 【详解】解：设， ∵，， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴，即， 故选A． 【点睛】本题考查了比较有理数的大小，采用适当的方式将有理数放大后比较是解题的关键． 二、填空题 12．比较大小（用“”“”或“”连接）： ； ． 【答案】 【分析】根据正数都大于负数，负数小于零，正数大于零，两正数绝对值较大的数较大，两个负数比较大小绝对值大的反而小，逐一进行判断即可． 【详解】解：，， 因为， 所以； ，， 因为 所以； 故答案：；． 【点睛】本题主要考查了有理数的大小比较，掌握比较的方法是解题的关键． 13．已知两个有理数a，b，，，，则，，，，0五个数的大小关系为 （用“<”号连接）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小和负数都小于0，即可得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴ ∴四个数，，，，0的大小关系为， 故答案为： 14．已知，其中是不为零的自然数，把三个数从小到大的顺序排列起来： ＜ ＜ ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数大小比较，掌握有理数的乘法法则是解答本题的关键．已知a、b、c都是不为0的自然数，且，由于乘法中，在积一定的情况下，其中一个因数越小，则另一个因数越大，据此分析判断． 【详解】解：已知，其中不为0的自然数， 根据分数的大小比较法则，分子相同，分母大的反而小，假分数大于真分数，可得， 由于乘法中，在积一定的情况下，其中一个因数越小，则另一个因数越大， 所以． 故答案为：． 15．比较大小： ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了两个负数的大小比较方法，化简绝对值和相反数，利用绝对值概念根据两个负数绝对值大的数反而小比较两个负数的大小关系，解题的关键是正确理解两个负数相比较，绝对值大的数反而小． 【详解】解：由，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 16．为互不相等的有理数，且最小，最大，若，则从小到大排列的顺序为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数比较大小法则是解题的关键； 作差法比较大小时，先求出两个代数式的差，然后通过判断差与0的大小关系来确定原代数式的大小关系． 【详解】为互不相等的有理数，且最小，最大， 、、， 化简得： 即 ，即 从小到大排列顺序为， 故答案为： 17．若，，，则的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数字规律问题，发现，，即可求解. 【详解】解：∵， ， ， ∴． 故答案为：. 18．设表示大于的最小整数，如，则下列结论： ①； ②的最小值是0； ③的最大值是1； ④若，则可以表示成（为整数）的形式； ⑤若整数满足，则．其中正确 （填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】此题考查了新定义，有理数的大小比较，根据新定义判断即可． 【详解】根据表示大于的最小整数可得： ，结论①正确； ，则没有最小值，最大值为1，故②错误，③正确； 令，由，则可以表示成（为整数）的形式，故④正确； 若整数满足，则，则或，故⑤错误； 故答案为：①③④． 19．规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，表示最接近的整数，为整数），例如：，，．当时，化简的结果是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了学生对表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，表示最接近的整数，为整数）的理解，分两种情况讨论的范围：①，②，即可得到答案．解此题的关键是分类讨论思想的应用． 【详解】解：①时， ； ②时， ； 故的结果是，． 故答案为：，． 20．比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了两个负数的大小比较方法，利用绝对值概念根据两个负数绝对值大的数反而小比较两个负数的大小关系，解题的关键是正确理解两个负数相比较，绝对值大的数反而小． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，则 故答案为：． 21．小丽在4张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这四个数都能取到．在下列四个结论中： ①卡片上的数最小可以是1； ②卡片上的数最大可以是10； ③卡片上的数可以是4个连续的整数； ④卡片上的数有且仅有2个数相等． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查有理数的应用，解题关键是利用分类讨论求解． 分别列出两数相加为6，8，10，12的所有可能性，设这四个数分别为，其中，分析得出较小的两数之和为6，较大的两数之和为12，可得，分类讨论即可． 【详解】解：相加得6的两个整数可能为：1，5或2，4或3，3． 相加得8的两个整数可能为：1，7或2，6或3，5或4，4． 相加得10的两个整数可能为：1，9或2，8或3，7或4，6或5，5． 相加得12的两个整数可能为：1，11或2，10或3，9或4，8或5，7或6，6． 设这四个数分别为，其中，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到， ，， （1）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； （2）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； （3）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，不符合这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，不符合这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 故这四个数为：或或， ∴卡片上的数最小可以是1，①正确； 卡片上的数最大是可以是8，②错误； 卡片上的数不可以是4个连续的整数，③错误； 卡片上的数有且仅有2个数相等，④正确； 故答案为：①④． 22．比较大小 ( )；( )；( )． 【答案】 /小于 /小于 /等于 【分析】本题主要考查大小的比较，熟练掌握计算方法是解题的关键．根据题意计算比较大小即可． 【详解】解：乘以一个比小的数，积比原数小，故， ； ， ． 故答案为：，，． 23．（1）设，，且，用“”号把、、、连接起来为 ； （2）设，，且，用“”号把、、、连接起来为 ； （3）设，，且，用“”号把、、、连接起来为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小的方法，熟练掌握该方法是解题的关键．必须明确：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小． （1）首先根据，，且，可得，然后判断出，即可推得，据此求解即可； （2）首先根据，，且，可得，，然后判断出，即可推得，据此求解即可； （3）根据已知得出为负数，为正数，，求出，，即可得出答案． 【详解】解：（1），，且， ， ， ， 用“”号把、、、连接起来为； （2），，且， ，， ， ， 用“”号把、、、连接起来为； （3），，且， 为负数，为正数，， ，， 用“”号把、、、连接起来为； 故答案为：；；． 24．比较大小：①-0.3 ；②+（-5） -|-17|； ③ ． 【答案】 ＞ ＞ ＜ 【详解】根据题意，由两负数相比较，绝对值大的反而小，可知-0.3＞；由+（-5）=-5，-|-17|=-17，可知+（-5）＞-|-17|；-32=-9，（-2）3=-8，故-32＜（-2）3. 点睛：此题主要考查了有理数的大小比较，解题时分为两种情况比较即可，①负数＜0＜正数，②负数小比较，绝对值大的反而小，比较简单. 三、解答题 25．已知有理数满足，另有两个不等于零的有理数，使得且， (1)求的值； (2)试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】(1)利用非负数的性质判断即可得到结果； (2)根据且，可得或，两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）∵， ∴，， 解得：，， ∴； （2）∵且， ∴，或， 当时，， 此时； 当，时，， 此时， 综上，． 【点睛】此题考查了有理数的计算，绝对值、偶次方非负数的性质，解题的关键是运用分类思想比较大小． 26．请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量______来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． 【答案】(1)；绝对值 (2) 【分析】本题主要考查有理数大小比较： （1）根据计算过程和有理数大小比较法则得出答案即可； （2）找出中间量是，再比较大小即可， 【详解】（1）上述方法是先通过找中间量来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； 故答案为：；绝对值； （2）∵， ∴， ∴． 27．若a＜0，试比较a与的大小. 【答案】当－1＜a＜0时，a＞；当a=－1时，a=；当a＜－1时，a＜. 【分析】分三种情况：当－1＜a＜0时；当a=－1时；当a＜－1时；分别比较大小即可. 【详解】当－1＜a＜0时，a＞； 当a=－1时，a=； 当a＜－1时，a＜. 【点睛】本题考查有理数比较大小，难点在于分类讨论，熟练掌握有理数比较大小和分类讨论思想是解题关键. 28．阅读下列材料，解决问题。 比较两个有理数大小的方法有一种叫做作差法，例如：比较与的大小。 解：∵ 这种利用作差法比较大小的原理是： （1）若则 （2）若a-b<0,则a<b （3）若则 解决下列问题： （1）比较与的大小； （2）已知试比较A和B的大小。 【答案】（1）>；（2）A>B 【分析】（1）、（2）依据作差法列出代数式，然后去括号、合并同类项即可． 【详解】解：（1） ∴>； （2） ∴>0 即A>B. 【点睛】本题主要考查的是比较代数式的大小以及有理数的大小比较，掌握比较两个代数式大小的方法是解题的关键． 29．（1）设a、b为有理数，比较|a＋b|与|a|＋|b|（a、b为有理数）的大小关系，并用文字语言叙述此关系； （2）根据（1）中的结论，当|x|＋2018＝|x－2018|时，则x的取值范围为 ． （3）已知a、b、c、d是有理数，|a－b|≤6，|c－d|≤16，|a－b－c＋d|＝22，求|b－a|－|d－c|的值 【答案】（1）|a|＋|b|≥|a＋b|，两数绝对值的和大于等于这两个数和的绝对值；（2）x≤0；（3）－10 【分析】（1）分三种情况考虑：当a、b同号时；当a、b异号时；当a、b至少有一个为0时；分别进行讨论即可； （2）将原式变形为|x|＋|－2018|＝|x－2018|，结合（1）得出结论； （3）根据|a－b－c＋d|＝|(a－b)－(c－d)|＝22，结合已知条件得出(a－b)与(c－d) 异号，进而求出|a－b|，|c－d|，最后代入求解即可． 【详解】解：（1）当a、b同号时，|a+b|=|a|+|b|， 当a、b异号时，|a+b|＜|a|+|b|， 当a、b至少有一个为0时，|a+b|=|a|+|b|， 综上，|a|＋|b|≥|a＋b|（当 a、b同号或者至少有一个等于0时取等号）， 文字表述：两数绝对值的和大于等于这两个数和的绝对值； （2）∵ |－2018|＝2018 ∴ |x|＋2018＝|x|＋|－2018|＝|x－2018|， ∴x≤0， 即：当|x|＋2018＝|x－2018|时，x≤0， 故答案为：x≤0； （3）∵ |a－b|≤6，|c－d|≤16，|a－b－c＋d|＝22， ∴ |a－b－c＋d|＝|(a－b)－(c－d)|＝22， ∴ (a－b)与(c－d) 异号，且|a－b|＝6，|c－d|＝16， ∴ |b－a|－|d－c|＝6－16＝－10． 【点睛】本题考查绝对值的性质及有理数的大小比较，第（1）题需分类讨论，容易遗漏a、b至少有一个为0的情况，第（3）题利用已知条件得出(a－b)与(c－d) 异号是解题的关键． 30．（1）当a＞0时，a_____﹣a；当a=0时，a_____﹣a；当a＜0时，a_____﹣a．（填“＞”“＜”或“=”） （2）请仿照（1）的方法，当a＞0时，比较a和的大小关系． 【答案】（1）＞；=；＜（2）答案不唯一，具体见解析 【详解】试题分析：（1）根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数即可得出答案； （2）根据有理数大小比较的方法正数大于0，负数小于0，两个负数的绝对值越大，这个数越小，即可得出答案． 试题解析：（1）当a＞0时，a＞﹣a；当a=0时，a=﹣a；当a＜0时，a＜﹣a． （2）当0＜a＜1时，a＜； 当a=1时，a=； 当a＞l时，a＞． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$