专题03 相反数与绝对值（九大题型，50题）-【尖子生培优】2024-2025学年七年级数学上学期重难点压轴题突破专练（华师大版2024）

专题03 相反数与绝对值（九大题型，48题） 目录 题型一：相反数的定义 1 题型二：判断是否互为相反数 2 题型三：化简多重符号 2 题型四：相反数的应用 3 题型五：绝对值的意义 4 题型六：求一个数的绝对值 4 题型七：化简绝对值 5 题型八：绝对值非负性 7 题型九：绝对值的其他应用 8 题型一：相反数的定义 1．（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）如图，四个有理数，，，在数轴上对应的点分别为，，，，若，则，，，四个数中负数有（   ）个    A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·陕西西安·期中）小明在一张纸面上画了一条数轴（原点未标出），有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，表示数a的点与表示数c的点到原点的距离相等，表示数b与的点相距30个单位长度，若表示数a的点与原点的距离是表示数b的点与原点距离的，则c的值为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·重庆垫江·阶段练习）数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C．若点C表示的数为1，则与点A表示的数互为相反数的数是 ． 4．（23-24七年级上·广东揭阳·期中）用直尺画数轴时，数轴上的点，，分别代表数字，，，，．如图所示，设点，该数轴的原点为． (1)若点，所表示的数互为相反数，求此时的值； (2)若数轴上点表示的数为，求的值． 5．（2022七年级上·浙江·专题练习）在数轴上标出3、﹣2.5、2、0、以及它们的相反数． 题型二：判断是否互为相反数 6．（2024·安徽蚌埠·二模）与数4的和等于0的数是（    ） A． B． C． D．2 7．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）下列各对数中，互为相反数的是（    ） A．与2 B．与 C．4与 D．5与 8．（23-24七年级上·全国·课堂例题）如图，数轴上表示互为相反数的两个数的点是（    ）    A．点和点 B．点和点 C．点和点 D．点和点 9．（22-23七年级上·河南信阳·阶段练习）如图，数轴上能表示互为相反数的两个数的点是（　　） A．点A和点D B．点B和点C C．点A和点C D．点B和点D 10．（22-23七年级上·河北邢台·阶段练习）小明说:﹣(﹣6)的相反数是+(﹣6)，而小亮说: ﹣(﹣6)的相反数是﹣(+6)，对于这两个人的说法，其中正确的是（    ） A．小明对 B．小亮对 C．两人都对 D．两人都不对 题型三：化简多重符号 11．（23-24七年级上·四川巴中·阶段练习）下列各对数：“①与；②-与-；③-与+；④与”中，互为相反数的有(    ) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 12．（22-23七年级上·河南安阳·阶段练习）化简： ， ， ． 13．（23-24七年级上·吉林长春·期中）若x是最大负整数，则 ． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）化简下列各式的符号，并回答问题： （1）；（2）；（3）（4）（5）（6） 问：①当前面有2012个负号，化简后结果是多少？ ②当前面有2013个负号，化简后结果是多少？你能总结出什么规律？ 15．（23-24七年级上·全国·课堂例题）化简下列各式的符号，并回答问题： __________________； __________________； __________________； __________________． （1）当前面有2022个负号时，化简后的结果是多少？ （2）当前面有2023个负号时，化简后的结果是多少？ 你能总结出什么规律？ 题型四：相反数的应用 16．（23-24九年级下·山东烟台·期中）数轴上表示数a和的点到原点的距离相等，则a为（    ） A． B．4 C．2 D． 17．（22-23七年级上·江苏徐州·阶段练习）规定以下两种变换：①，，，如，，；②，，，如，，．按照以上变换有：，，，，那么等于（　　） A． B． C． D． 18．（22-23七年级下·广东河源·开学考试）若 ，则 的值是 (   ) A． B． C．无意义 D．或无意义 19．（23-24七年级上·广东珠海·期中）对于一个数，我们用表示小于的最大整数，例如；如果和互为相反数，那么式子的最大值为 ． 20．（23-24七年级上·新疆喀什·期中）如图所示的数轴的单位长度为．请回答下列问题：    (1)如果点、表示的数互为相反数，那么点表示的数是多少? (2)如果点、表示的数互为相反数，那么点、表示的数分别是多少? 题型五：绝对值的意义 21．（2024七年级上·全国·专题练习）若，那么的取值不可能是（　　） A． B．0 C．1 D．2 22．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中绝对值最小的数对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 23．（23-24七年级上·广东梅州·期末）下列说法正确的个数是（　　） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． A． B． C． D． 24．（22-23七年级上·云南昆明·期末）如图所示，数轴上有E、F、G、H四个点，其中表示绝对值相等的一对点是（    ）． A．E与H B． F与G C．E与G D．F与H 25．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）（1）若、、为整数，且， ． （2）设，，…，，将，，，…，这些数适当地分配给，，，…，，使得尽量大，那么最大是 ． 题型六：求一个数的绝对值 26．（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．1或3 D．2或3 27．（2024七年级·全国·竞赛）对于任意的有理数和，称为和的“绝对差”．小枫同学对这2016个整数进行如下操作：划掉两个整数，并在这列数的后面写上这两个整数的“绝对差”．重复操作，直到剩下一个数，这个数最大是 ． 28．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知b是a的相反数，c的绝对值是3，则的值为 29．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）在数轴上把下列各数表示出来，并用“＜”连接各数． ． 30．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求|5﹣（﹣2）|=______． (2)找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7．这样的整数是______． (3)对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由． (4)对于任何有理数x，|x+4|+|x+2|+|x﹣3|是否有最小值？如果有写出最小值及此时x的值，如果没有说明理由． 题型七：化简绝对值 31．（22-23七年级上·浙江台州·期中），则化简的结果为（　　） A． B． C．0 D．2 32．（2024七年级上·江苏·专题练习）若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 33．（22-23七年级上·浙江温州·阶段练习）式子的最小值是 ． 34．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）当 时，取得最小值为 ． 35．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）a、b、c都是质数，且满足，则 ． 36．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）探索材料1（填空）：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数3和的两点距离为________； 则的意义可理解为数轴上表示数________和________这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数________和________这两点的距离； 探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？ ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？ 结论应用（填空）： ①代数式的最小值是________； ②代数式的最小值是________； ③代数式的最小值是________． 37．（22-23七年级上·四川成都·期中）已知有理数a、b、c在数轴上位置如图所示，化简：． 38．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）对于有理数，，，，若，则称和关于的“相对关系值”为 例如，，则和关于的“相对关系值”为． 若和关于的“相对关系值”为l，和关于的“相对关系值”为，和关于的“相对关系值”为，…，和关于的“相对关系值”为． (1)的最大值为______； (2)直接写出所有的值．（用含的式子表示） 题型八：绝对值非负性 39．（2024七年级上·全国·专题练习）设个有理数满足，且，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 40．（23-24七年级上·四川达州·期中）若a、b、c是整数，且，则 ． 41．（2024七年级·全国·竞赛）已知整数满足，则的值为 ． 42．（23-24七年级上·安徽池州·期末）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4，且a，b，c满足，则 （1）c的值为 ． （2）数轴上任意一点P，点P对应的数为x，若存在x使的值最小，则x的值为 ． 43．（2024七年级·全国·竞赛）满足的所有整数对有 对． 44．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）已知有理数在数轴上对应的点分别为，且满足，． (1)分别求的值； (2)若点在数轴上对应的数为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为（提示：点在点的右侧时，．，请求出的值； (3)若点和点分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒，是否存在一个常数，使得的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 45．（23-24七年级上·陕西西安·期末）（1）写出图中表示点，点的数； （2）在数轴上标出表示的点和表示的点； （3）若在数轴上另取一点，且两点间的距离是9，则点对应的数是几？ 题型九：绝对值的其他应用 46．（23-24七年级上·湖北咸宁·期末）已知、、、、，满足下列条件：，，，，以此类推，的值是 ． 47．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）若，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 48．（23-24七年级上·福建泉州·期末）为响应垃圾分类，改善小区环境，物业公司在某小区内准备增设一个垃圾分类回收站，小区内有6栋楼，6栋楼依次编号为1号至6号，并且6栋楼按号数从小到大排列在同一条直线上，相邻两栋楼间隔都相同，回收站的位置成为居民关心的问题．小明结合数轴与绝对值的知识进行数学建模说明理由：1号楼至6号楼分别抽象为数轴上的连续的6个整数点（记1，2，3，4，5，6），回收站设置在其中相邻两栋楼之间，位置记为． (1)根据问题的实际意义，表示___________________； (2)当每栋楼住户相同时，回收站的最佳位置应该使得每栋楼的居民到回收站的距离之和最小，记，求的最小值和回收站的位置． (3)现该小区内1号楼有20个住户，2号楼有18个住户，3号楼有16个住户，4号楼为22个住户，5号楼为18个住户，6号楼为19个住户，求出小区所有住户到回收站的距离之和的最小值和回收站的位置． 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 相反数与绝对值（九大题型，48题） 目录 题型一：相反数的定义 1 题型二：判断是否互为相反数 4 题型三：化简多重符号 6 题型四：相反数的应用 8 题型五：绝对值的意义 11 题型六：求一个数的绝对值 14 题型七：化简绝对值 17 题型八：绝对值非负性 25 题型九：绝对值的其他应用 29 一、题型一：相反数的定义 1．（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）如图，四个有理数，，，在数轴上对应的点分别为，，，，若，则，，，四个数中负数有（   ）个    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题主要考查了数轴和正负数，先根据相反数的意义，确定原点，再根据各数在原点的位置确定数的正负，根据相反数的意义确定原点的位置是解决本题的关键． 【解答】解：∵， ∴与互为相反数， ∴原点为，如图：    则在原点左侧的数有三个， 即，，，四个数中负数有个． 故选：． 2．（23-24七年级上·陕西西安·期中）小明在一张纸面上画了一条数轴（原点未标出），有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，表示数a的点与表示数c的点到原点的距离相等，表示数b与的点相距30个单位长度，若表示数a的点与原点的距离是表示数b的点与原点距离的，则c的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，相反数的定义，熟练掌握这些知识点是解题的关键．根据题意得出与互为相反数，与互为相反数，再根据表示数与的点相距30个单位长度即可求出表示数的点到原点的距离为15，再根据表示数的点与原点的距离是表示数的点与原点距离的求出的值，从而求出的值． 【详解】解：表示数的点与表示数的点到原点的距离相等， 与互为相反数，即原点在、之间，如图， 与互为相反数，且表示数与的点相距30个单位长度， 表示数的点到原点的距离为15， 表示数的点与原点的距离是表示数的点与原点距离的， ， ， 故选：D． 3．（23-24七年级上·重庆垫江·阶段练习）数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C．若点C表示的数为1，则与点A表示的数互为相反数的数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了数轴和相反数的定义，本题的解题关键是求出A点表示的数．先求出A点表示的数，根据相反数的定义即可求解． 【详解】解：数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C， ∵点C表示的数为1， ∴点B表示的数为， ∴点A表示的数为， ∴则与点A表示的数互为相反数的是2， 故答案为：2． 4．（23-24七年级上·广东揭阳·期中）用直尺画数轴时，数轴上的点，，分别代表数字，，，，．如图所示，设点，该数轴的原点为． (1)若点，所表示的数互为相反数，求此时的值； (2)若数轴上点表示的数为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，相反数的定义； （1）根据相反数的定义及确定点表示的数是，点表示的数是，由，得点所表示的数，即可求出； （2）根据数轴上两点间的距离分别得到点，，表示的数，即可求出的值． 【详解】（1）解：点，所表示的数互为相反数，， ， 点表示的数是，点表示的数是， ， 点所表示的数是， 此时， （2）数轴上点表示的数为，， 点所表示的数是， ， 点所表示的数是， ． 5．（2022七年级上·浙江·专题练习）在数轴上标出3、﹣2.5、2、0、以及它们的相反数． 【答案】见解析 【分析】利用相反数的定义得出3、﹣2.5、2、0、相反数的位置，在将数在数轴上进行标记即可． 【详解】解：3的相反数是﹣3，﹣2.5的相反数是2.5，2的相反数是﹣2，0的相反数是0，的相反数是， 如图：各数在数轴上表示为： 【点睛】本题主要考查了数轴以及相反数的定义，正确在数轴上标出数是解题关键． 二、题型二：判断是否互为相反数 6．（2024·安徽蚌埠·二模）与数4的和等于0的数是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的判断和定义，根据相反数的判断和定义得出答案即可，理解“和为零的两数互为相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数”是解题的关键． 【详解】解：∵与数4的和等于0， ∴该数是4的相反数，即为， 故选：B． 7．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）下列各对数中，互为相反数的是（    ） A．与2 B．与 C．4与 D．5与 【答案】A 【分析】此题考查了相反数的知识，将各选项的数化简，根据相反数的定义进行判断是关键． 互为相反数的两数之和为零，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A、与2，是互为相反数，故此选项正确； B、与，不是互为相反数，故此选项错误； C、4与不是互为相反数，故此选项错误； D、5与，不是互为相反数，故此选项错误； 故选：A． 8．（23-24七年级上·全国·课堂例题）如图，数轴上表示互为相反数的两个数的点是（    ）    A．点和点 B．点和点 C．点和点 D．点和点 【答案】D 【分析】写出数轴上各点表示的数，利用相反数的定义逐项判断即可． 【详解】解：依题意，表示的数小于，点表示的数为， 分别表示，，则表示互为相反数的两个数的点是点和点， 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴，相反数的定义，数形结合是解题的关键． 9．（22-23七年级上·河南信阳·阶段练习）如图，数轴上能表示互为相反数的两个数的点是（　　） A．点A和点D B．点B和点C C．点A和点C D．点B和点D 【答案】C 【分析】写出数轴上各点表示的数，利用相反数的定义逐项判断即可． 【详解】解：观察数轴可知，点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是，点D表示的数是， 点A和点D表示的数符号相反，但绝对值不同，不互为相反数，因此A选项不合题意； 点B和点C表示的数符号相反，但绝对值不同，不互为相反数，因此B选项不合题意； 点A和点C表示的数符号相反，绝对值相同，互为相反数，因此C选项符合题意； 点B和点D表示的数符号相反，但绝对值不同，不互为相反数，因此D选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查利用数轴上的点表示有理数以及相反数的定义，解题的关键是掌握互为相反数的两个数“符号相反，绝对值相同”． 10．（22-23七年级上·河北邢台·阶段练习）小明说:﹣(﹣6)的相反数是+(﹣6)，而小亮说: ﹣(﹣6)的相反数是﹣(+6)，对于这两个人的说法，其中正确的是（    ） A．小明对 B．小亮对 C．两人都对 D．两人都不对 【答案】C 【分析】利用相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数逐一分析即可． 【详解】解：∵，， ∴的相反数是， ∵，， ∴的相反数是， ∴两人的说法都对， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了相反数的定义，正确把握定义是解题关键． 三、题型三：化简多重符号 11．（23-24七年级上·四川巴中·阶段练习）下列各对数：“①与；②-与-；③-与+；④与”中，互为相反数的有(    ) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】B 【分析】分别化简多重符号，进而根据相反数的定义，即可求解． 【详解】解①与，相等，不合题意； ②-与-，互为相反数，符合题意，； ③-与+，相等，不合题意； ④与，互为相反数，符合题意， ∴互为相反数的有②④，共2对 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 12．（22-23七年级上·河南安阳·阶段练习）化简： ， ， ． 【答案】 7 【分析】根据相反数的意义化简即可解答． 【详解】解：，，． 故答案为：7，，． 【点睛】本题主要考查了相反数的意义，只有符号不同的两个数叫做相反数． 13．（23-24七年级上·吉林长春·期中）若x是最大负整数，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查有理数的相反数，多重括号的化简，结果正负与“”号的个数有关，当负号“”个数为奇数个时，结果为负；当“”号个数为偶数个时，结果为正，据此解答即可． 【详解】解：， 为最大负整数， 因此原式， 故答案为：1． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）化简下列各式的符号，并回答问题： （1）；（2）；（3）（4）（5）（6） 问：①当前面有2012个负号，化简后结果是多少？ ②当前面有2013个负号，化简后结果是多少？你能总结出什么规律？ 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用相反数的定义化简，熟记概念并仔细观察化简结果与负号的关系是解题的关键． （1）（2）（3）（4）（5）（6）根据相反数的定义分别进行化简即可；然后根据前面的计算结果猜想即可得解． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； ①当前面有2012个负号，化简后结果是； ②当前面有2013个负号，化简后结果， 总结规律：一个数的前面有奇数个负号，化简的结果等于它的相反数，有偶数个负号，化简的结果等于它本身． 15．（23-24七年级上·全国·课堂例题）化简下列各式的符号，并回答问题： __________________； __________________； __________________； __________________． （1）当前面有2022个负号时，化简后的结果是多少？ （2）当前面有2023个负号时，化简后的结果是多少？ 你能总结出什么规律？ 【答案】，3.5，5，；（1）5；（2）5． 【分析】根据规律：“若在一个数的前面有偶数个负号，则化简后的结果是其本身；若在一个数的前面有奇数个负号，则化简后的结果是这个数的相反数．”求解即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 故答案为：；；5；． 总结规律：若在一个数的前面有偶数个负号，则化简后的结果是其本身；若在一个数的前面有奇数个负号，则化简后的结果是这个数的相反数． （1）当前面有2022个负号时，化简后的结果是5． （2）当前面有2023个负号时，化简后的结果是5． 【点睛】本题考查化简多重符号，总结规律从而解决后面两小问是解题的关键． 四、题型四：相反数的应用 16．（23-24九年级下·山东烟台·期中）数轴上表示数a和的点到原点的距离相等，则a为（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上原点两侧到原点的距离相等的点表示的数互为相反数． 根据相反数的几何意义可知：与互为相反数；再根据互为相反数的两数和为0即可解答． 【详解】解：由题意知： 与互为相反数， ， 解得：． 故选：D． 17．（22-23七年级上·江苏徐州·阶段练习）规定以下两种变换：①，，，如，，；②，，，如，，．按照以上变换有：，，，，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用新定义分别化简，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得： ，，，． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确运用新定义化简是解题关键． 18．（22-23七年级下·广东河源·开学考试）若 ，则 的值是 (   ) A． B． C．无意义 D．或无意义 【答案】D 【分析】分，两种情形计算即可． 【详解】当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴无意义， ∴的值是或无意义， 故选D． 【点睛】本题考查了相反数的意义，及其商的意义，熟练掌握相反数的意义是解题的关键． 19．（23-24七年级上·广东珠海·期中）对于一个数，我们用表示小于的最大整数，例如；如果和互为相反数，那么式子的最大值为 ． 【答案】2 【分析】利用题中的新定义可得：对于任意数a，，由此进行求解即可． 【详解】解：设， ∵和互为相反数， ∴； ∵对于任意数a，， 即， ∴， 即， ∴； 即的最大值为2； 故答案为：2． 【点睛】本题考查了新定义，相反数，掌握新定义，得出是关键． 20．（23-24七年级上·新疆喀什·期中）如图所示的数轴的单位长度为．请回答下列问题：    (1)如果点、表示的数互为相反数，那么点表示的数是多少? (2)如果点、表示的数互为相反数，那么点、表示的数分别是多少? 【答案】(1) (2)点表示的数是，点表示的数是 【分析】本题考查是数轴与有理数； （1）根据数轴上点的位置以及相反数的性质确定原点的位置，进而即可求解； （2）根据数轴上点的位置以及相反数的性质确定原点的位置，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图，点为原点，点表示的数是．    （2）如图，点为原点，点表示的数是，点D表示的数是．    五、题型五：绝对值的意义 21．（2024七年级上·全国·专题练习）若，那么的取值不可能是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，由，可得：①，，②，，③，，④，；分别计算即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴有四种情况：①，，②，，③，，④，； ①当，时，； ②当，时，； ③当，时，； ④当，时，； 综上所述，的值为：或0． 故选：C． 22．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中绝对值最小的数对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的意义、有理数大小比较的方法，掌握哪个点离原点越近，则哪个点所对应的数的绝对值就越小是解题的关键． 由数轴可得：哪个点离原点越近，则哪个点所对应的数的绝对值就越小，据此即可解答． 【详解】解：数轴上点A，B，C，D在数轴上表示的数距离原点越近，其绝对值越小， ∴绝对值最小的数对应的点是B． 故选B． 23．（23-24七年级上·广东梅州·期末）下列说法正确的个数是（　　） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的意义，解题的关键是掌握绝对值的定义：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．当两个数的绝对值相等时，注意有2种情况．据此解答即可． 【详解】解：①相等的两个数的绝对值相等，故说法①正确，符合题意； ②互为相反数的两个数的绝对值相等，故说法②正确，符合题意； 绝对值相等的两个数相等或互为相反数，故说法③与说法④不正确，不符合题意， ∴说法正确的个数是． 故选：C． 24．（22-23七年级上·云南昆明·期末）如图所示，数轴上有E、F、G、H四个点，其中表示绝对值相等的一对点是（    ）． A．E与H B． F与G C．E与G D．F与H 【答案】B 【分析】本题考查了数轴与绝对值，理解绝对值的意义是解题关键．由数轴可知，E、F、G、H四个点分别表示、、、，再结合绝对值求解即可． 【详解】解：由数轴可知，E、F、G、H四个点分别表示、、、， ，，，， 点F与点G表示的数的绝对值相等， 故选：B． 25．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）（1）若、、为整数，且， ． （2）设，，…，，将，，，…，这些数适当地分配给，，，…，，使得尽量大，那么最大是 ． 【答案】 【分析】本题考查分类讨论思想，数字的变化规律，解题的关键根据题目中的规律求解； （1）根据分情况讨论求解即可； （2）非的正整数，，，总有小于和中较大的那个，根据规律求解即可； 【详解】（1）由可知； ，或，， 当，时，； 当，时，， 即， 则原式 故答案为： （2）非的正整数，，，总有小于和中较大的那个， 小于中最大值， 小于或中较大值， 小于中最大值， 小于，，，…，中最大值， 数的奇偶性与和的奇偶性相同，为偶数； 它不能等于，最大可能等于 故答案为： 六、题型六：求一个数的绝对值 26．（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．1或3 D．2或3 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质．根据，，得出，，然后分情况进行讨论即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 综上分析可知，的值为1或3． 故选：C． 27．（2024七年级·全国·竞赛）对于任意的有理数和，称为和的“绝对差”．小枫同学对这2016个整数进行如下操作：划掉两个整数，并在这列数的后面写上这两个整数的“绝对差”．重复操作，直到剩下一个数，这个数最大是 ． 【答案】2016 【分析】本题考查了绝对值的计算；除1与2016外，共有2014个数，从2开始，每相邻两个连续的整数为一组，划掉这样相邻的两个数，加上1，如此操作，可得这列数为：708个1与2016；这708个1，每两个一组划掉，最后剩下两个数为0，2016，故可求得最后剩下的这个最大数． 【详解】解：由运算规律可知，要使最后剩下的一个数最大，则除1与2016外，共有2014个数，从2开始，每相邻两个连续的整数为一组，其“绝对差”为1，划掉这样相邻的两个数，加上整数1，共加上707个1，这样的一列数为：708个1与2016，这708个1，每两个一组划掉，其“绝对差”均为0，故最后剩下的两个数为0与2016，2016与0的“绝对差”为2016， 故可最后剩下的这个最大数为2016． 故答案为：2016． 28．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知b是a的相反数，c的绝对值是3，则的值为 【答案】 【分析】根据互为相反数的两个数的和为0，正数的绝对值有两个，绝对值和它的相反数，计算即可． 【详解】解：∵b是a的相反数，c的绝对值是3， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相反数，绝对值的意义，熟练掌握意义是解题的关键． 29．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）在数轴上把下列各数表示出来，并用“＜”连接各数． ． 【答案】数轴见解析， 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，绝对值，根据数轴判断有理数的大小．正确的将有理数在数轴上表示出来是解题的关键． 由题意知，，然后在数轴上表示有理数，最后比较大小即可． 【详解】解：由题意知，， 在数轴上表示各数如下： ∴． 30．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求|5﹣（﹣2）|=______． (2)找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7．这样的整数是______． (3)对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由． (4)对于任何有理数x，|x+4|+|x+2|+|x﹣3|是否有最小值？如果有写出最小值及此时x的值，如果没有说明理由． 【答案】(1)7 (2) (3)有，3 (4)有，最小值为7， 【分析】（1）根据绝对值的意义求解； （2）结合数轴可知，与及其之间的整数都满足； （3）根据绝对值的几何意义求解； （4）根据绝对值的几何意义求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：7； （2）解：， 可以理解为数轴上表示x的点到点的距离，与到点2的距离之和， ， 因此这样的整数是， 故答案为：； （3）解：有最小值，最小值为3． 可以理解为数轴上表示x的点到点的距离，与到点6的距离之和， 因此当时，有最小值，最小值为； （4）解：有，最小值为7， ， 可以理解为数轴上表示x的点到点的距离，与到点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为， ， 当时，最小值0， 当时，有最小值，最小值为7． 【点睛】本题考查绝对值的最值问题，解题的关键是掌握绝对值的几何意义． 七、题型七：化简绝对值 31．（22-23七年级上·浙江台州·期中），则化简的结果为（　　） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，掌握负数的绝对值等于这个数的相反数是解题的关键． 先根据已知条件化简绝对值，然后进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 32．（2024七年级上·江苏·专题练习）若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先根据、、均为整数，且，可得，或，，然后分两种情况分别求出的值即可． 此题主要考查了绝对值的意义，分类讨论是解答此题的关键． 【详解】解：，，均为整数，且， ，或，， ①当，时，，， ； ②当，时，， ； 综上，的值为2． 故选：B． 33．（22-23七年级上·浙江温州·阶段练习）式子的最小值是 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了绝对值．熟练掌握绝对值的化简，分类讨论，是解决问题的关键． 分，，，，，讨论，求出各股的最小值，再比较即得． 【详解】设， 当时， ， ∴，最小值为：18； 当时， ， ∴，最小值为：11； 当时， ， ∴，最小值为：8； 当时， ， ∴，最小值为：8； 当时， ， ∴，最小值为：11； 当时， ， ∴，最小值为：18． 综上，原式的最小值为：8． 故答案为：8． 34．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）当 时，取得最小值为 ． 【答案】 1012 1023132 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，掌握是数轴上表示的点与表示的点之间的距离是解题关键．根据绝对值的几何意义可知，当时，取得最小值，再根据绝对值的意义化简求值即可． 【详解】解：由绝对值的几何意义可知，是数轴上表示的点与表示1的点之间的距离； 是数轴上表示的点与表示2的点之间的距离； …… 是数轴上表示的点与表示2023的点之间的距离； 即在数轴上找出表示的点，使它到表示1、2、3……2023各点的距离之和最小， 当时，取得最小值， 此时 ， 故答案为：1012，1023132． 35．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）a、b、c都是质数，且满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了质数，奇数与偶数，绝对值，掌握所有的质数中只有2是偶数是解题关键．先假设a、b、c都是奇数，判断出与已知矛盾，得出a、b、c中必有两个偶数，从而令，求出的值，代入计算即可． 【详解】解：若a、b、c都是奇数，则也是奇数， 那么为偶数，与已知矛盾， a、b、c中必有一个偶数， a、b、c都是质数， 中必有一个偶数2， 令，则， 若b、c都是奇数，则也是奇数， 那么偶数，与已知矛盾， b、c中必有一个偶数2， 令，则， ， ， 故答案为： 36．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）探索材料1（填空）：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数3和的两点距离为________； 则的意义可理解为数轴上表示数________和________这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数________和________这两点的距离； 探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？ ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？ 结论应用（填空）： ①代数式的最小值是________； ②代数式的最小值是________； ③代数式的最小值是________． 【答案】探索材料1（填空）：，6，，，． 探索材料2（填空）：：与之间，处，之间 结论应用（填空）：，， 【分析】本题考查数轴上两点间的距离的意义，绝对值化简，通过数形结合，分别得到数轴上有2个点，3个点，4个点时，动点在什么位置，到这几个点的距离之和最小，并会求最小的距离之和是解决本题的关键． 探索材料1（填空）：按照化简绝对值的求法即可得到数3和的两点距离；将化为，将化为，再根据数轴上两点间的距离的意义可知其表示哪两个点之间的距离； 探索材料2（填空）： ①通过观察，比较可得点P设在与之间时，可P到A的距离与P到B的距离之和最小，为线段长； ②通过观察，比较可得点P应设在处时，P到A，B，C三点的距离之和最小，为线段的长； ③通过观察，比较可得点P应设在之间，才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小，为的长； 结论应用（填空）： ①结合（2）中的①，可得最小距离为4和之间的距离； ②结合（2）中的②，可得最小距离为和2之间的距离； ③结合（2）中的③，可得最小距离为和5，和2的距离之和． 【详解】解：探索材料1（填空）： ， 的意义可理解为数轴上表示数6和这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数和这两点的距离； 故答案为：，6，，，． 探索材料2（填空）： ①由题知， 材料供应点P应设在的左侧时，P到A的距离与P到B的距离之和； 材料供应点P应设在B的右侧时，P到A的距离与P到B的距离之和； 材料供应点P应设在与之间，才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小为； ②材料供应点P应设在处时，P到A，B，C三点的距离之和为最小； ③材料供应点P应设在之间，才能使P到A，B，C，D四点的距离之和为最小； 故答案为：与之间，处，之间． 结论应用（填空）： ①代数式表示x到的距离与x到的距离之和， 的最小值是； ②代数式表示x到的距离与x到与x到的距离之和， 的最小值是； ③代数式表示x到的距离与x到与x到与x到的距离之和， 的最小值是． 故答案为：，，． 37．（22-23七年级上·四川成都·期中）已知有理数a、b、c在数轴上位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据数轴可以判断a、b、c的正负和绝对值的大小，从而可以化简题目中的式子． 【详解】解：根据数轴，得， ， ． 38．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）对于有理数，，，，若，则称和关于的“相对关系值”为 例如，，则和关于的“相对关系值”为． 若和关于的“相对关系值”为l，和关于的“相对关系值”为，和关于的“相对关系值”为，…，和关于的“相对关系值”为． (1)的最大值为______； (2)直接写出所有的值．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)或或或 【分析】此题考查了绝对值的应用，解题的关键是理解“相对关系值”的定义，熟练掌握绝对值的性质． （1）根据，的取值范围，分情况讨论即可求解； （2）由题意得，，，，，对，分情况讨论，分别计算求出满足要求的解即可； 【详解】（1）解：由题意得：， 当，时，，则； 当，时，，则，， 当，时，，则，， 当，时，，则； 综上所述，的最大值为 （2）解：由题意得：， ，，，， 当时，， 解得：， 同理，，，，， ， 当，时，，此情况不成立； 当，时，则，，，， ， 当时，由题意得，，， ，即， 同理，，，， ； 当，时， ，此情况不成立； 当，时，，即， 同理，，， ， 综上所述，的值为或或或 八、题型八：绝对值非负性 39．（2024七年级上·全国·专题练习）设个有理数满足，且，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的应用，由，结合已知条件得到，再取值验证符合题意即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当时，取，， 则且，满足题目条件，故所求的最小值为， 故选：． 40．（23-24七年级上·四川达州·期中）若a、b、c是整数，且，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，以及采用分类讨论的思想，根据绝对值的非负性以及题意，可知当时，则，当时，则，分类讨论计算即可． 【详解】解：a、b、c是整数， ，是整数， ， 又， 时，则或时，则， 当时， 则， ； 当时， 则， ； 当时， 则， 当时， 则， ， 综上可得：， 故答案为：1． 41．（2024七年级·全国·竞赛）已知整数满足，则的值为 ． 【答案】0或 【分析】本题考查了绝对值的意义，整数的意义，分类计算即可． 【详解】∵，且整数， ∴或，或 ∴； 或； 或； 综上，的值为0或． 故答案为：0或． 42．（23-24七年级上·安徽池州·期末）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4，且a，b，c满足，则 （1）c的值为 ． （2）数轴上任意一点P，点P对应的数为x，若存在x使的值最小，则x的值为 ． 【答案】 2024 2 【分析】本题考查了数轴上的点之间的距离与绝对值的关系、绝对值和平方的非负性，根据绝对值的定义得出表示x与，2和2024三个数的距离之和是解题的关键． 【详解】（1）∵，，， ∴，， 即，， 故答案为：2024； （2）∵点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4， ∴，， ∵表示x与，2和2024三个数的距离之和， ∴当x取中间值2时，和为最小值为2024； 故答案为：2． 43．（2024七年级·全国·竞赛）满足的所有整数对有 对． 【答案】4 【分析】本题考查了绝对值的非负性，绝对值的意义，根据已知可得到或，分情况进行求解即可． 【详解】解：， ， 或， 所以有或或或，共4对， 故答案为：4． 44．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）已知有理数在数轴上对应的点分别为，且满足，． (1)分别求的值； (2)若点在数轴上对应的数为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为（提示：点在点的右侧时，．，请求出的值； (3)若点和点分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒，是否存在一个常数，使得的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的值分别为1，， (2)的值为7或 (3)存在， 【分析】（1）由非负数的概念即可求解； （2）在数轴上应用两点的距离公式，即可求解； （3）表示出，的长度，即可求解． 本题考查有关数轴的问题，关键是掌握在数轴上两点距离的表示方法． 【详解】（1）∵满足， ∴且． 解得，． ∴． ∴的值分别为1，，． （2）由（1）得， ， ∴点表示的数为7或， ∴的值为7或； （3）假设存在常数，使得不随运动时间的改变而改变． 则依题意得：表示的数为，点表示的数为， ， ， ∴当时，不随运动时间的改变而改变，此时． 45．（23-24七年级上·陕西西安·期末）（1）写出图中表示点，点的数； （2）在数轴上标出表示的点和表示的点； （3）若在数轴上另取一点，且两点间的距离是9，则点对应的数是几？ 【答案】（1）点表示的数是点表示的数是；（2）图见解析；（3）或． 【分析】本题主要考查数轴的特点，有理数与数轴的性质，两点之间距离，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）根据数轴特点，图形结合即可求解； （2）将有理数在数轴上表示即可； （3）根据两点之间距离的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）根据题意可得，点表示的数是点表示的数是； （2）如图所示，点表示和点表示． （3）设点表示的数为， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴点对应的数是或． 九、题型九：绝对值的其他应用 46．（23-24七年级上·湖北咸宁·期末）已知、、、、，满足下列条件：，，，，以此类推，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的运算，通过有限次计算的结果，发现并总结规律，根据发现的规律即可求解，通过计算找到规律是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ， ∴由此可以看出，这列数是 ∵， ∴， 故答案为： ． 47．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）若，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或； (2)4或8． 【分析】本题主要考查了求绝对值、绝对值的性质等知识点，理解绝对值的性质成为解题的关键． （1）根据绝对值的定义和可得，然后分两种情况解答即可； （2）根据绝对值的定义和可得，然后分两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴； ①当时，； ②当时，． 综上，的值为或． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； ①当时，； ②当时，． 综上，的值为8或4． 48．（23-24七年级上·福建泉州·期末）为响应垃圾分类，改善小区环境，物业公司在某小区内准备增设一个垃圾分类回收站，小区内有6栋楼，6栋楼依次编号为1号至6号，并且6栋楼按号数从小到大排列在同一条直线上，相邻两栋楼间隔都相同，回收站的位置成为居民关心的问题．小明结合数轴与绝对值的知识进行数学建模说明理由：1号楼至6号楼分别抽象为数轴上的连续的6个整数点（记1，2，3，4，5，6），回收站设置在其中相邻两栋楼之间，位置记为． (1)根据问题的实际意义，表示___________________； (2)当每栋楼住户相同时，回收站的最佳位置应该使得每栋楼的居民到回收站的距离之和最小，记，求的最小值和回收站的位置． (3)现该小区内1号楼有20个住户，2号楼有18个住户，3号楼有16个住户，4号楼为22个住户，5号楼为18个住户，6号楼为19个住户，求出小区所有住户到回收站的距离之和的最小值和回收站的位置． 【答案】(1)回收站到号楼的距离 (2)的最小值是，回收站的位置建在号楼和号楼之间 (3)的最小值是，回收站的位置建在号楼处 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的实际应用； （1）根据数轴上两点之间的距离，即可求解； （2）分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，分别去绝对值，进行计算，即可求解； （3）距离总和为分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，分别去绝对值，进行计算，即可求解； 理解绝对值的实际意义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 表示回收站到号楼的距离； 故答案：回收站到号楼的距离． （2）解：①当时， ， 当时， ； ②当时， ， 当时， ； ③当时， ， ； ④当时， ， 此时无最小值； ⑤当时， ， 此时无最小值； 综上所述：的最小值是，回收站的位置建在号楼和号楼之间. （3）解：由题意得 解：①当时， ， 当时， ； ②当时， ， 当时， ； ③当时， ， 当时， ； ④当时， ， 此时无最小值； ⑤当时， ， 此时无最小值； 综上所述：的最小值是，回收站的位置建在号楼处． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$