多项式除法解决导数与解几压轴试题讲义-2025届高三数学二轮专题复习

多项式除法解决导数与解几压轴试题 多项式除法定理:设是两个多项式,且,则恰有两多项式及使得成立,其中或.通俗地说,多项式除法是代数中的一种运算,用一个多项式去除以另一个多项式,从而将一个相对复杂的除法问题分解成更小的一些问题.借助多项式除法定理可以解决导数与解几压轴试题中一些较难的多项式分解问题,从而突破难点,化繁为简,化抽象为具体,实现解题的高效. 例1: 已知函数.(1)当时,讨论的单调性(略).(2)当时,,求的取值范围. 解析:由已知可得. 当时,. 当时, .令,. 只需. . 记,.,,在单调递增,,故在上单调递增,.所以. 令,得.在上单调递增,在上单调递减,所以.此时有. 综上,. 简析:对于多项式,经检验可知是方程的一个实根,进一步再用除以,得到,所以.通过验根和多项式除法,顺利将进行化简,从而突破难点. 例2: 已知函数,为的导函数.(I)当时,(i)略.(ii)求函数的单调区间和极值.(II)略. 解析:, . 故在单调递减,在单调递增;有极小值,无极大值. 简析:对于多项式,经检验可知是方程的一个实根,进一步再用除以,得到,所以.通过验根和多项式除法,顺利将进行化简,从而突破难点. 例3:已知关于的函数,与()在区间上恒有.(1)略.(2)略.(3)若 ,,,,,求证:. 解析:由已知可得 先考虑第(1)个不等式,转化成.即对任意,恒成立. .若,,.若,,此时考虑不等式(2).设的两个实根为,则,.此时 .令,则.记,,的最小值为.故. 简析:对于方程,经检验可知是一个实根,进一步用 除以得到.经检验可知是的一个实根,进一步用除以得到.因此将不等式(1)转化成,从而突破难点. 例4:已知直线与抛物线交于两点,为抛物线上的一点,,求点的坐标. 解析:由得.设,,,中点为,则,. 故,,. 令,得...(1)经检验,是方程(1)的一个实根,所以含一个因式.进一步,用除以,得到.经检验,是的一个实根,所以含一个因式.进一步,用除以,得到.因此,方程(1)可以转化成.由于点不在直线上,所以.故或. 例5:已知椭圆:()的左右焦点分别为.也是抛物线的焦点,点为与的一个交点,且直线的倾斜角为,求的离心率. 图(1) 解析:如图1所示,联立直线和椭圆方程求出点坐标,然后代入抛物线方程. 由得.. 由求根公式有 故. 将点坐标带入抛物线方程,得 化简得 即 得. 两边同时除以,得……(1) 即…..(2) 则…..(3) 两边再同时除以,得…..(4) 结合得. 简析:该解法通过联立直线和椭圆方程求出点坐标,然后代入抛物线方程,从而求出离心率.将点坐标带入抛物线方程,整理得到关于与的齐次式,然后两边同时除以得到的方程.由于这个关于的方程(即(1)式)是一个关于的六次方程.对于这样一个六次方程的求解在高中阶段更是显得十分困难.为了顺利求出离心率,通过观察尝试,运用合情推理,首先猜测该方程有一个根,代入(1)式检验后发现是成立的,因此不难得到(1)式有一个因式为(注意不是,因为最高次项是6).当确定有一个因式为,运用多项式除法,用除以得到,从而将(1)式转化成为(2)式,进一步转化成(3)式,最后得到(4)式.事实上,还可以鼓励有能力的学生,进一步思考,将(2)式进一步分解成为,从而求出离心率. 不难发现,对于此类导数与解几压轴试题中的多项式化简问题,在难以直接因式分解的前提下,可以采用先验根,得到一个因式,再借助多项式除法得到另外一个因式,从而将多项式分解成若干项之积,将复杂的问题转化成简单的问题,可谓大道至简,柳暗花明又一村. 学科网（北京）股份有限公司 $$