第11章 整式的乘除【单元卷·测试卷】-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（沪教版2024）

第11章 整式的乘除【单元卷·测试卷】 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：90分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1．下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，用平方差公式进行计算时，公式的特点是：两个二项式相乘，其中一项相同，另一项互为相反数，符合这个特点就能用公式进行计算，根据以上内容判断即可，能理解公式的特点是解此题的关键． 【详解】解：A、不能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意； B、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； C、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； D、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则， 幂的乘方法则，合并同类项法则， 去括号的法则，熟记运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，合并同类项法则，去括号的法则即可作出判断． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．在等式（______）中，括号内的代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，根据乘法和除法互为逆运算，只需要计算出的结果即可． 【详解】解： ， 故选C． 4．在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形（），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于的恒等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查的是平方差公式的几何表示，先分别求出两个图形中阴影部分的面积，根据两者相等即可得出答案． 【详解】解：正方形中，， 梯形中， ， ∴， 故选：C． 5．已知多项式，，且，当多项式A中不含x的2次项时，a的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查的是整式的乘法—多项式乘多项式，正确进行多项式的乘法是解答此题的关键．根据题意列出整式相乘的式子，再计算多项式乘多项式，最后进行合并同类项，令二次项的系数等于0即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵多项式A中不含x的2次项时， ∴ ∴ 故选D． 6．已知．则多项式的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，观察知可先把多项式转化为完全平方形式，再代入值求解即可，关键在于灵活思维，对多项式扩大2倍是利用完全平方公式的关键． 【详解】由题意可知，，， ， 故选：D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．直接根据积的乘方法则进行求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 8．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握，，即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 9．计算： ．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，科学记数法的表示方法即可求解，本题主要考查整式乘法运算，掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 10．运用乘法公式计算的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查平方差公式．解题的关键是掌握平方差公式的特征，题中的是公式中的，4是公式中的． 【详解】解： ． 故答案为：． 11．如果关于x的多项式是一个完全平方式，那么m的值是 ． 【答案】 【分析】根据完全平方公式：即可得出结论． 【详解】解：因为关于x的多项式是一个完全平方式， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查完全平方式；熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键． 12．如图，四个等腰直角三角形拼成一个正方形，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的运用．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据阴影部分的面积为，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，阴影部分的面积为， 故答案为：． 13．已知：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握的应用，对式子构造完全平方公式，再把，代入，即可． 【详解】∵ ， ∴当，时，． 故答案为：． 14．若，，，则 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查求代数式的值，熟练掌握同底数幂的乘法逆运算、同底数幂的除法逆运算、幂的乘方逆运算是解题关键． 利用同底数幂的乘法逆运算、同底数幂的除法逆运算、幂的乘方逆运算得出即可求解． 【详解】∵，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：1． 15．已知，B是一个多项式，在计算时，小马同学把看成了，结果得，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是单项式乘以多项式的运算，多项式除以单项式的含义，整式的加减运算，由除法的意义列式，求解B后，再进一步计算即可． 【详解】解：根据题意得， ∴． 故答案为： 16．如图，将两张边长分别为和的正方形纸片分别按图和图两种方式放置在长方形内（图和图中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边，的长度分别为，；设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为，当时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，面积的定义，根据平移的知识和面积的定义，列出算式，再去括号，合并同类项即可求解． 【详解】解：图1中阴影部分的面积， 图2中阴影部分的面积， ． 故答案为：． 17．如果（其中a为常数）成立，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；观察等式不难发现，然后对该等式两边同时平方，进而问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ， ， 解得：； 故答案为． 18．如果，那么称为的“拉格数”，记为由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论： ①，②，③，④，⑤ 其中正确的结论有 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查同底数幂的乘除法的实际应用，掌握同底数幂的乘除法法则是解题的关键．结合定义，利用同底数幂的乘除法的逆运算进行计算即可． 【详解】解：由题意，∵ ，故①错误； ∵ ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； 设， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴，故④正确； ∴， ∵ ∴ ∴，故⑤错误； 那么正确的有②③④． 故答案为：②③④． 3、 解答题（本大题共7小题，共64分） 19．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 20．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减乘除混合运算： （1）按完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项即可． （2）先按单项式乘多项式法则计算乘法，再计算除法． 【详解】（1）解： （2）解： 21．在长方形内将两张边长分别为a和的正方形纸片按图1和图2两种方式放置（图1和图2两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．    (1)当，，，时，__________，__________． (2)当，时，__________，__________．（用a和b的代数式表示） (3)当时，的值是__________．（用a、b或a和b的代数式表示） 【答案】(1)， (2)， (3)b 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算，整体思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看作整体的代数式通常要用括号括起来．利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差． 【详解】（1）解：， ， ，，，， ， ； 故答案为：，； （2）解：，， ， ； 故答案为：，； （3）解：，， ， ， ， ． 故答案为：． 22．发现与探索：你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手． 先分别计算下列各式的值： ①； ②； ③； 由此我们可以得到：___________． 请你利用上面的结论，完成下面两题的计算： （1）． （2）． 【答案】；（1）；（2） 【分析】根据所给式子从而总结出规律是； （1）将；写成的形式进行计算即可； （2）设，根据，得出，求出即可得出答案． 【详解】解：根据规律可得：； 故答案为：； 解：（1）∵， ∴； （2）设， ∵， ∴， ， 解得：， 即． 【点睛】本题主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般要根据所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律，难度一般． 23．如图①，一个宽为a，长为的长方形，然后用四块小长方形拼成一个正方形（如图②）． (1)观察图②，请你用等式表示，，之间的数量关系：____； (2)根据（1）中的结论，如果，，求代数式的值． (3)如果，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景以及完全平方公式的应用，用不同的方法表示图形的面积，得出相等关系是关键，适当的变形是正确计算的前提． （1）表示出大、小正方形的边长和面积，根据面积之间的关系得出结论； （2）根据（1）中结论代入求出，进而可得答案； （3）利用完全平方公式变形求出，然后可得答案． 【详解】（1）解：由图2可知，大正方形的边长为，小正方形的边长为， 则大正方形的面积可以表示为：或， 因此有， 故答案为：； （2）由得：， ∴； （3）∵， ∴ ， ∴． 24．阅读材料，回答下列问题．阅读材料，回答下列问题． 多项式相乘的计算法则为用多项式中的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把结果加起来，例如 （乘法分配律） （合并同类项） 则叫做的展开式，叫做的展开式． (1)计算的展开式； (2)请指出是几次几项式，并计算的展开式（按照x进行降幂排列），指出这个展开式是几次几项式，并推测是几次几项式（用n表示，其中n为正整数）； (3)推测的展开式中各项系数之和，并证明你的结论（用n表示，其中n为正整数）． 【答案】(1) (2)的展开式是二次三项式；的展开式是三次四项式；是n次项式 (3)的系数之和为，证明见解析 【分析】（1）按照完全平方公式，将展开即可； （2）将展开，然后得出是几次几项式即可，按照多项式乘法运算法则将展开，得出这个展开式是几次几项式即可；找出规律推测是几次几项式即可； （3）根据展开式的各项系数之和为，展开式的各项系数之和为，展开式的各项系数之和为，展开式的各项系数之和为，……得出的展开式中各项系数之和即可，设，令，，则，得出，从而证明结论． 【详解】（1）解： ， ∴的展开式为． （2）解：∵， ∴的展开式是二次三项式； ∵ ， ∴的展开式是三次四项式； 由的展开式是二次三项式，的展开式是三次四项式，推测是n次项式． （3）解：的系数之和为，理由如下： ∵展开式的各项系数之和为， 展开式的各项系数之和为， 展开式的各项系数之和为， 展开式的各项系数之和为， …… ∴展开式的各项系数之和为； 设， 令，， 则， ∴， 即展开式的各项系数之和为． 【点睛】本题主要考查了多项式乘法，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式运算法则，准确计算． 25．阅读理解并解答：在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？ 【初步思考】 同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： 因为， 所以． 所以当时，的值最大，最大值是0. 所以当时，的值最大，最大值是4. 所以的最大值是4 【尝试应用】 (1)求代数式的最大值，并写出相应的的值． (2)已知，，请比较与的大小，并说明理由． 【拓展提高】 (3)将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有无最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度；若没有，请说明理由． 【答案】(1)的最大值为14，此时的值为2． (2)，理由见解析 (3)这两个正方形面积之和有最小值，此时两段铁丝的长度均为，面积之和为 【分析】（1）仿照题中例子配出完全平方公式进行求解； （2）计算，仿照题中例子配出完全平方公式进行求解，即可得到结论； （3）设一段铁丝的长度为，则另一段铁丝的长度为，可分别求出两个正方形的边长为和，根据正方形的面积公式，列出代数式，仿照题中例子配出完全平方公式进行求解． 【详解】（1）解： ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 解得：， 的最大值为14，此时的值为2． （2）解：，理由如下： ，， ， 当时，有最小值2， （3）解：设一段铁丝的长度为，则另一段铁丝的长度为， 根据题意得： ， ， 时，有最小值， 解得：，则， 这两个正方形面积之和有最小值，此时两段铁丝的长度均为，面积之和为． 【点睛】本题考查了完全平方公式，利用完全平方不为负数的性质求函数值的最值是常用方法，应熟练掌握． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 整式的乘除【单元卷·测试卷】 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：90分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1．下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．在等式（______）中，括号内的代数式是（    ） A． B． C． D． 4．在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形（），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于的恒等式为（    ） A． B． C． D． 5．已知多项式，，且，当多项式A中不含x的2次项时，a的值为（    ） A． B． C．0 D．1 6．已知．则多项式的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．计算： ． 8．已知，则 ． 9．计算： ．（结果用科学记数法表示） 10．运用乘法公式计算的结果是 ． 11．如果关于x的多项式是一个完全平方式，那么m的值是 ． 12．如图，四个等腰直角三角形拼成一个正方形，则图中阴影部分的面积为 ． 13．已知：，则 ． 14．若，，，则 ． 15．已知，B是一个多项式，在计算时，小马同学把看成了，结果得，则 ． 16．如图，将两张边长分别为和的正方形纸片分别按图和图两种方式放置在长方形内（图和图中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边，的长度分别为，；设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为，当时，的值为 ． 17．如果（其中a为常数）成立，那么 ． 18．如果，那么称为的“拉格数”，记为由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论： ①，②，③，④，⑤ 其中正确的结论有 ． 3、 解答题（本大题共7小题，共64分） 19．计算：． 20．计算： (1) (2) 21．在长方形内将两张边长分别为a和的正方形纸片按图1和图2两种方式放置（图1和图2两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．    (1)当，，，时，__________，__________． (2)当，时，__________，__________．（用a和b的代数式表示） (3)当时，的值是__________．（用a、b或a和b的代数式表示） 22．发现与探索：你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手． 先分别计算下列各式的值： ①； ②； ③； 由此我们可以得到：___________． 请你利用上面的结论，完成下面两题的计算： （1）． （2）． 23．如图①，一个宽为a，长为的长方形，然后用四块小长方形拼成一个正方形（如图②）． (1)观察图②，请你用等式表示，，之间的数量关系：____； (2)根据（1）中的结论，如果，，求代数式的值． (3)如果，求的值． 24．阅读材料，回答下列问题．阅读材料，回答下列问题． 多项式相乘的计算法则为用多项式中的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把结果加起来，例如 （乘法分配律） （合并同类项） 则叫做的展开式，叫做的展开式． (1)计算的展开式； (2)请指出是几次几项式，并计算的展开式（按照x进行降幂排列），指出这个展开式是几次几项式，并推测是几次几项式（用n表示，其中n为正整数）； (3)推测的展开式中各项系数之和，并证明你的结论（用n表示，其中n为正整数）． 25．阅读理解并解答：在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？ 【初步思考】 同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： 因为， 所以． 所以当时，的值最大，最大值是0. 所以当时，的值最大，最大值是4. 所以的最大值是4 【尝试应用】 (1)求代数式的最大值，并写出相应的的值． (2)已知，，请比较与的大小，并说明理由． 【拓展提高】 (3)将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有无最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度；若没有，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$