直线和圆的方程专项训练-2025届高三数学一轮复习

2024-2025学年高三数学上学期一轮复习专题：直线和圆的方程 一、单选题 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线和圆相交于A，B两点.若，则（    ） A．2 B． C．4 D． 3．已知直线与圆相交于两点，则弦长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知是坐标原点，若圆上有且仅有2个点到直线的距离为2，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，直线上有且仅有一点，使，则直线被圆截得的弦长为（   ） A． B． C． D． 6．已知，直线为l上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知点为圆上不同的四点，直线平分圆，直线把圆的周长分为3∶1的两部分，若，则四边形的面积为（    ） A．1 B． C． D． 8．已知点M是直线和（）的交点，，，且点M满足恒成立，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知圆是直线上一动点，过点作直线分别与圆相切于点，则（    ） A．圆上恰有一个点到的距离为 B．直线恒过点 C．的最小值是 D．四边形面积的最小值为 10．已知圆关于直线对称的圆的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．若点是圆上一点，则的最大值是 B．圆关于直线对称 C．若点是圆上一点，则的最小值是 D．直线与圆相交 11．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美．定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”下列有关说法中正确的是（    ） A．对圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数； B．函数是圆的一个太极函数； C．存在圆，使得是圆的太极函数； D．直线所对应的函数一定是圆的太极函数． 三、填空题 12．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到直线距离的最小值为 ． 13．在中，的角平分线交边于点，若，则面积的最大值为 . 14．在平面直角坐标系中，圆经过点和点，与轴正半轴相交于点．若在第一象限内的圆弧上存在点，使，则圆的标准方程为 ． 四、解答题 15．已知圆C过两点，， 且圆心C在直线上. (1)求圆C的方程； (2)过点作圆C的切线，求切线方程. 16．已知直线，. (1)若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值； (2)当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程. 17．如图，已知，，，直线：． (1)求直线经过的定点坐标； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 18．已知圆：和圆：． (1)若圆与圆相交，求r的取值范围； (2)若直线l：与圆交于P、Q两点，且，求实数k的值． 19．已知圆的方程为，直线与圆交于两点．    (1)若坐标原点到直线的距离为，且过点，求直线的方程； (2)已知点，为的中点，若在轴上方，且满足，在圆上是否存在定点，使得的面积为定值？若存在，求出的面积；若不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】先将直线变形成斜截式，再根据倾斜角的取值范围结合直线斜率公式求得即可. 【详解】由题意可将原直线方程变形为， 由倾斜角的取值范围，所以倾斜角为.即A、 B 、C错误. 故选：D. 2．D 【分析】借助点到直线的距离公式与垂径定理计算即可得. 【详解】圆的圆心为：，半径为， 则圆心到直线的距离为， 由垂径定理可得. 故选：D. 3．B 【分析】根据题意，求得直线恒过点，结合圆的性质和弦长公式，即可求解. 【详解】因为直线，可得， 由，解得，所以直线恒过点， 可得点在圆内部， 又由圆，可得圆心，半径为， 当直线过圆心时，截得弦长最长，此时， 当直线与垂直时，此时弦长最短，又由， 可得， 所以弦长的取值范围是. 故选：B. 4．A 【分析】求出平行于直线且距离为2的直线方程，再求出与圆心较近的直线与圆相交，另一条平行直线与圆相离的的范围. 【详解】圆的圆心，半径， 设与直线平行且距离为2的直线方程为， 则，解得，直线，， 点到直线的距离，到直线的距离， 由圆上有且仅有2个点到直线的距离为2，得圆与直线相交，且与直线相离， 则，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A    5．D 【分析】利用垂径定理直接求解即可. 【详解】由题意知：坐标原点到直线的距离； 圆的圆心为，半径，被圆截得的弦长为. 故选：D. 6．D 【分析】根据题意分析得当，分别为圆的切线，且最小时，最大，此时最小，再利用二倍角公式即可得解. 【详解】由题意得的标准方程为，所以圆心，半径为2， 所以圆心到直线的距离为，所以直线与相离， 所以当，分别为圆的切线，且最小时， 最大，又，则最大， 所以最大，此时最小， 此时. 故选：D. 7．C 【分析】由已知条件可确定，，为圆的直径，求得，计算面积即可． 【详解】直线把圆的周长分为的两部分，则弦所对圆心角为，即． 因为直线平分圆，所以为圆的直径． 因为，所以过的平分线，有． 由得，则四边形的面积为. 故选：C． 8．D 【分析】根据题意，得到点的轨迹方程为，结合恒成立，求得点，再由，且直线的方程为，得到在直线上存在两个点满足或三点共线，进而求得其最小值. 【详解】将直线化为，可得直线恒过定点， 同理可得直线恒过定点，当时， 可得，则，，当时，显然，所以， 因为点是直线和的交点，所以点的轨迹方程为， 又因为恒成立，可得恒成立， 即恒成立，所以，即， 又由，且直线的方程为， 可得原点到直线的距离为， 所以在直线上存在两个点满足或三点共线， 如图所示，可得， 所以的最小值为. 故选：D. 9．BCD 【分析】根据直线与圆的位置关系，求出圆上点到直线距离的最值可判断A错误；求出直线的方程可得其恒过点，利用弦长公式可求得的最小值是，可得BC正确；进而求得四边形面积的最小值为，即D正确. 【详解】易知圆心，半径，如下图所示： 对于A，圆心到直线的距离为， 可得圆上的点到直线距离的最小值为,圆上的点到直线距离的最大值为， 所以圆上恰有两个点到的距离为，即A错误； 对于B，设，可得； 易知，由， 整理可得， 同理可得，即可知两点在直线上， 所以直线的方程为，即， 令，解得， 所以直线恒过定点，即B正确； 对于C，由直线恒过定点，当点与圆心的连线垂直于时，的值最小， 点与圆心之间的距离为，所以，故C正确； 对于D，四边形的面积为， 根据切线长公式可知，当最小值，最小， ，所以，故四边形的面积为，即D正确； 故选：BCD 10．AB 【分析】根据点关于直线对称可得，进而可得圆方程，根据斜率的意义，结合直线与圆相切即可求解A，根据圆心在直线上即可求解B，根据点到直线的距离公式即可求解CD. 【详解】设圆的圆心为． 因为圆关于直线对称的圆的方程为， 圆的圆心为，半径为2，所以圆的半径为2， 两圆的圆心关于直线对称，则解得 所以，故圆的方程为． 对于A，的几何意义为圆上的点与坐标原点连线的斜率， 如图，过原点作圆的切线，当切线的斜率存在时，设切线方程为，即，所以圆心到直线的距离，解得， 故由图可知的最大值是，故A正确；    对于B，圆心在直线上，则圆关于直线对称，故B正确； 对于C，表示圆上任意一点到直线的距离的倍，圆心到直线的距离为，所以的最小值是，故C错误； 对于D，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，故D错误． 故选:AB． 11．BD 【分析】举出反例判断A；说明的图象关于点成中心对称，结合太极函数定义判断B；说明图象关于对称，不在函数图象上，结合太极函数定义判断C；求出直线过的定点，恰为圆心，即可判断D. 【详解】对于A，如图折线形成的函数是偶函数，满足，    显然函数的图象能将圆的周长和面积同时等分成两部分，A错误； 对于B，将正弦函数的图象向上平移1个单位即得的图象， 即的图象关于点成中心对称，而圆也关于点中心对称， 因此函数的图象能将圆的周长和面积同时等分成两部分，B正确； 对于C，的定义域为，且， 即为奇函数，图象关于对称，    若是圆的太极函数，则圆的圆心应为，但是不在的图象上， 因此函数不能将圆的周长和面积同时等分成两部分，C错误； 对于D，直线，即， 由，解得，则直线恒过定点， 显然直线经过圆的圆心， 该直线能将圆的周长和面积同时等分成两部分，D正确， 故选：BD 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 12．1 【分析】先得出圆心的轨迹圆，再用轨迹圆的圆心到直线的距离减半径即可. 【详解】由题意知，半径为1的圆经过点，所以圆心的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 到直线的距离为， 所以圆心到直线距离的最小值为. 故答案为：1 13．3 【分析】由角平分线定理可得，再建系可得点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除去，结合圆的知识即可求得面积取最大值. 【详解】因为角的平分线交于点，则，故，则. 以为坐标原点建立如图平面直角坐标系， 因为，故，设， 则，化简可得，即， 故点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除去. 故时，面积取最大值为. 故答案为：3. 14． 【分析】根据题意作图，由，求得，进而求出B的坐标，求出圆的方程. 【详解】根据题意作图，如图所示： 显然，，而， 于是，又，则AB为圆的直径，设， 由，得， 因此，即，又，则AB的中点， 所以圆C的标准方程为：. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用圆的性质求出点的坐标，是解决问题的关键. 15．(1)（或标准形式） (2)或 【分析】（1）根据题意，求出的中垂线方程，与直线联立，可得圆心的坐标，求出圆的半径，即可得答案； （2）分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合可得答案． 【详解】（1）根据题意，因为圆过两点，， 设的中点为，则， 因为，所以的中垂线方程为，即 又因为圆心在直线上，联立，解得， 所以圆心，半径，故圆的方程为； （2）圆的圆心为，半径， 当过点P的切线的斜率不存在时，此时直线与圆C相切； 当过点P的切线斜率k存在时，设切线方程为， 即（*）， 由圆心C到切线的距离， 即，可得， 将代入（*），得切线方程为，即， 综上，所求切线方程为或. 16．(1)或 (2)或 【分析】（1）依据点到直线的距离公式建立方程求解即可. （2）联立求出直线交点，再分类讨论直线是否过原点，求解即可. 【详解】（1）设原点O到直线m的距离为， 则，解得或； （2）由解得，即m与n的交点为. 当直线l过原点时，此时直线斜率为， 所以直线l的方程为； 当直线l不过原点时，设l的方程为， 将代入得， 所以直线l的方程为. 故满足条件的直线l的方程为或. 17．(1) (2) 【分析】（1）分离参数，列方程可得直线过定点； （2）分别求点关于直线与的对称点与，进而可得，再根据对称性可得，即可得直线方程. 【详解】（1）由直线：，即， 令，解得， 故直线恒过定点； （2）设关于的对称点，则， 关于的对称点， 由直线的方程为，即， 所以，解得， 所以， 由题意得、、、四点共线，， 由对称性得， 所以入射光线的直线方程为， 即． 18．(1) (2)． 【分析】（1）先求出两圆的圆心和半径，然后由两圆相交，得，从而可求出r的取值范围； （2）设，，将直线方程代入圆方程化简，利用根与系数的关系，再结合列方程可求出实数k的值． 【详解】（1）圆：的标准方程为，则圆心，， 圆：的标准方程为，则圆心，， 所以． 因为圆与圆相交，所以， 即，解得， 所以r的取值范围为． （2）已知直线l：与圆交于P、Q两点， 设，，联立，得， 由，得， 所以， 所以，解得， 因为，所以． 19．(1)； (2)存在点，使为定值. 【分析】（1）设直线的方程为：，根据原点到直线的距离为，解出的值即可； （2）设，直线的方程为：，利用韦达定理及，可得，，从而得点的轨迹为，设，可得，再根据三角函数的性质即可得解. 【详解】（1）解：设直线的方程为：， 因为原点到直线的距离为， 所以，解得， 所以直线的方程为； （2）解：设，直线的方程为：， 由，可得， 则， ， 所以， 因为在轴上方，所以，所以， 又因为为的中点，所以， 又因为，， 所以， 即，整理得：， 又因为， 整理得：， 代入， 化简得， 所以或， 当时，直线过定点不符题意， 所以，所以， 所以点在直线上， 即点的轨迹为， 所以直线，即，且， 假设存在满足条件的点，其坐标为， 则点到直线的距离， 所以， 所以当，即，，时， 为定值，此时的坐标为， 所以存在点，使为定值. 【点睛】关键点睛：本题的关键是得出点的轨迹，为后面设点的坐标和求的坐标作好铺垫. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$