精品解析：湖南省邵阳市绥宁县第一中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题

2023年上期绥宁县第一中学高一年级期末考试 数学 命题人：聂超瑜 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列集合中，可以为集合的真子集的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足：，（其中i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，则是的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 现采用随机模拟的方式估计一运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 6. PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日PM2.5日均值（单位：）的统计数据，则下列叙述不正确的是（ ） A. 从这10天的日均PM2.5监测数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是 B 从5日到9日，PM2.5日均值逐渐降低 C. 这10天中PM2.5日均值的平均数是49.3 D. 这10天的PM2.5日均值的中位数是45 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 一圆台的上底半径为，下底半径为，母线为.现有一蚂蚁从下底面圆周的点，绕圆台侧面（即要求与圆台的每条母线均相交）向上底面圆周的点爬行一圈，则此蚂蚁爬行的最短路线是 A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 某公司生产三种型号的轿车，年产量分别为1500辆、6000辆和2000辆．为检验产品质量，公司质检部门要抽取57辆进行检验，则下列说法正确的是（ ） A. 应采用分层随机抽样抽取 B. 应采用抽签法抽取 C. 三种型号的轿车依次应抽取9辆、36辆、12辆 D. 这三种型号的轿车，每一辆被抽到的可能性相同 10. 在中，角，，对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论正确的是（ ） A. 当时，是直角三角形 B. 当时，是锐角三角形 C. 当时，是钝角三角形 D. 当时，是钝角三角形 11. 下列不等式中正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当，时， D. 当，时， 12. 已知是定义在上的偶函数，其图象关于点对称.以下关于的结论正确的有（ ） A. 是周期函数 B. 满足 C. 在上单调递减 D. 是满足条件的一个函数 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.第16题第一空2分. 13. 甲、乙两人下中国象棋，若甲获胜的概率是，下成和棋的概率是，则乙获胜的概率是_______________________． 14. 向量在向量上的投影向量__________. 15. 为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为0.5，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为1，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为____________. 16. （1）祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家.祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R的圆柱与半径为R的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R，高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体，设圆锥顶点到平面的距离为l，则截得的截面面积都为______（用R，l表示），由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等，从而得到半球的体积公式. （2）如图所示，某工艺品可以看成是一个球被一个棱长为32厘米的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为厘米，则该工艺品的体积为______立方厘米. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 在平面直角坐标系中，已知向量． （1）求； （2）若，，求实数的值． 18. 已知函数的部分图象，如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域. 19. 在中,角的对边分别为,且满足. （1）求角; （2）若为边的中点,且,,求的周长. 20. 某地为了了解市场经营户年收入情况，随机抽取60家经营户，经统计，这60家经营户去年经营收入（单位：万元）均在区间内，按，，，，，分成6组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第80百分位数为8.9. （1）求，的值； （2）估计这60经营户年收入的平均值（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； （3）用分层抽样的方法在收入区间为的营业户中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1户在收入区间为内的概率. 21. 如图所示，三棱台体积为7，其上、下底面均为等边三角形，平面平面，且，棱AC与BC的中点分别为G，H. （1）证明：平面平面FGH； （2）求点E到平面FGH的距离. 22. 设是半径为1的圆O内接正2024边形，M是圆O上的动点． （1）求的取值范围； （2）试探究是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023年上期绥宁县第一中学高一年级期末考试 数学 命题人：聂超瑜 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列集合中，可以为集合的真子集的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据真子集的概念得答案. 【详解】集合的真子集为. 故选：D. 2. 已知复数z满足：，（其中i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法求出，可得，再由复数的几何意义可得答案. 【详解】由已知可得，则， 所以的共轭复数在复平面内对应的点为位于第三象限. 故选：C. 3. 已知，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可判断命题. 【详解】当时，，但，则命题p推不出命题q； 当时，，则命题q推出命题p， 所以命题p是命题q的必要不充分条件. 故选：B. 4. 现采用随机模拟的方式估计一运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据古典概型概率计算公式即可求解． 【详解】依题意在组随机数中三次投篮恰有两次命中的有：，，共个， 所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率， 故选：A． 5. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦函数的倍角公式化简题设函数，从而利用最小正周期公式即可得解. 【详解】因为， 所以所求最小正周期为. 故选：C. 6. PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日PM2.5日均值（单位：）的统计数据，则下列叙述不正确的是（ ） A. 从这10天的日均PM2.5监测数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是 B. 从5日到9日，PM2.5日均值逐渐降低 C. 这10天中PM2.5日均值的平均数是49.3 D. 这10天的PM2.5日均值的中位数是45 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，根据古典概型的概率计算公式求解即可；对于B，由图知从5日到9日PM2.5日均值逐渐降低；对于C，根据平均数的计算公式计算即可；对于D，将数据从小到大排列后，中位数是第5和第6个数据的平均数. 【详解】对于A：从图表可以看出，“空气质量为一级”的有：3日、8日、9日、10日，故概率，故A正确； 对于B：从5日到9日，折线图逐日下降，故日均值逐渐降低，故B正确； 对于C：这10天中PM2.5日均值的平均数是，故C正确； 对于D：这10天的数据从小到大依次为：30、32、33、34、45、49、57、58、73、82， 故中位数为，故D错误； 故选：D. 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数，对数函数的单调性，找出中间值，让其和进行比较，从而得出结果. 【详解】由指数函数的单调性和值域，在上单调递增，故； 由的值域，且在上单调递增可知，； 根据对数函数的单调性，在上单调递增，故，由在上单调递减，故.结合上述分析可知：. 故选：A 8. 一圆台的上底半径为，下底半径为，母线为.现有一蚂蚁从下底面圆周的点，绕圆台侧面（即要求与圆台的每条母线均相交）向上底面圆周的点爬行一圈，则此蚂蚁爬行的最短路线是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设圆台上，下底面半径分别是，，圆台侧面展开图扇环圆心角是.易得 ， . 所求最短距离应是切线和弧的长的和. . 由于，所以，从而.即弧. 所以最短距离是. 故答案为A 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 某公司生产三种型号的轿车，年产量分别为1500辆、6000辆和2000辆．为检验产品质量，公司质检部门要抽取57辆进行检验，则下列说法正确的是（ ） A. 应采用分层随机抽样抽取 B. 应采用抽签法抽取 C. 三种型号的轿车依次应抽取9辆、36辆、12辆 D. 这三种型号的轿车，每一辆被抽到的可能性相同 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据分层抽样的概念及计算方法，逐项判定即可求解． 【详解】对于A，因为是三种型号的轿车，个体差异明显，所以选择分层随机抽样，所以A正确； 对于B，个体数目多，用抽签法制签难，搅拌不均匀，抽出的样本不具有代表性，所以B错误； 对于C，因为，所以（辆），（辆），（辆），所以三种型号的轿车依次应抽取9辆、36辆、12辆，所以C正确； 对于D，分层随机抽样中，每一个个体被抽到的可能性相同，故选项D正确． 故选：ACD． 10. 在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论正确的是（ ） A. 当时，是直角三角形 B. 当时，是锐角三角形 C. 当时，是钝角三角形 D. 当时，是钝角三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】 由题意根据正弦定理，余弦定理逐一判断各个选项即可得解 【详解】对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，，显然是直角三角形，故命题正确； 对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 显然等腰三角形，， 说明为锐角，故是锐角三角形，故命题正确； 对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 可得，说明为钝角，故是钝角三角形，故命题正确； 对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 此时，不等构成三角形，故命题错误. 故选：. 【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，利用正弦定理进行边角转化，再利用余弦定理求出角度的范围即可判断三角形形状，意在考查学生对定理的掌握与应用，属于基础题. 11. 下列不等式中正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当，时， D. 当，时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式和函数单调性，任何数的平方大于等于零，结合选项即得结果. 【详解】当时，，可得，当且仅当时取到等号； 当时，，可得，当且仅当时取到等号，故A错误； 当时，因为为增函数，所以，故B正确； 当，时，，当且仅当时取到等号，故C正确； 当，时，，即得，故D正确. 故选：BCD 12. 已知是定义在上的偶函数，其图象关于点对称.以下关于的结论正确的有（ ） A. 是周期函数 B. 满足 C. 在上单调递减 D. 是满足条件的一个函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】题目中条件：可得知其周期，利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心，结合这些条件可探讨函数的奇偶性，及单调性． 【详解】对于A：，其图象关于点对称即 所以， 函数是周期函数且其周期为4，故A正确； 对于B：由A知，对于任意的，都有满足， 又函数是偶函数，即，故B正确； 对于C：反例：如图所示的函数，关于轴对称， 图象关于点对称，函数的周期为4，但是在上不是单调函数，故C不正确； 对于D：是定义域为在， 且， ， 所以是定义域为在上的偶函数，其图象关于点对称的一个函数， 故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.第16题第一空2分. 13. 甲、乙两人下中国象棋，若甲获胜的概率是，下成和棋的概率是，则乙获胜的概率是_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率性质可知所有可能的概率和为1. 【详解】乙获胜的概率是， 故答案为： 14. 向量在向量上的投影向量__________. 【答案】或 【解析】 【分析】利用投影向量的定义进行求解. 【详解】因为，， 所以向量在向量上的投影向量的模长为， 所以投影向量或. 故答案为：或. 15. 为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为0.5，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为1，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出该地区中学生每天睡眠时间的平均数，再利用分层抽样方差的计算方法求得结果. 【详解】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为： （小时）， 该地区中学生每天睡眠时间的方差为： . 故答案为： 16. （1）祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家.祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R的圆柱与半径为R的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R，高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体，设圆锥顶点到平面的距离为l，则截得的截面面积都为______（用R，l表示），由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等，从而得到半球的体积公式. （2）如图所示，某工艺品可以看成是一个球被一个棱长为32厘米的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为厘米，则该工艺品的体积为______立方厘米. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由大圆面积减去小圆面积可得截面面积； （2）分别求得面截圆锥时所得小圆锥的体积和平面与圆柱下底面之间的部分的体积，结合祖暅原理可求得结果. 【详解】（1） 如图，G为右图圆柱底面圆心，A为右图截面圆心. 由已知，B右图圆环截面内圆上一点，易有， 所以，右图截面面积为； （2）由（1）左图截面以上部分的体积等于右图截面以上部分的体积， 即右图几何体体积减去右图截面以下部分的体积， 右图几何体体积即半球体积，设为，则， 右图截面以下部分的体积设为，其等于圆柱的体积减去圆锥的体积， 设，则，由（1）， 所以， 则左图截面以上部分的体积，整理得， 设被截的球为下图，截面圆的周长为，则截面圆的半径为， 设球心为，截面圆的圆心为，为截面圆上一点， 则，由题意，， 所以，则， 所以球O被截去的体积为， 所以工艺品的体积为， 代入数据计算得结果为. 故答案为：①；②. 【点睛】关键点点睛：第二问解题关键点是求得面截圆锥时所得小圆锥的体积和平面与圆柱下底面之间的部分的体积，结合祖暅原理可求得结果. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 在平面直角坐标系中，已知向量． （1）求； （2）若，，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量坐标运算法则计算得到，从而计算出模长；（2）利用向量坐标运算和数量积等于0求出实数的值. 【小问1详解】 ， 所以 【小问2详解】 ， 因为， 所以， 解得： 18. 已知函数的部分图象，如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数的图像求三角函数的解析式，根据最大值求出，由最小正周期求出，并确定. （2）根据平移后得到新的正弦型函数解析式，由函数解析式求出函数值域. 【小问1详解】 解：根据函数的部分图象 可得，，所以. 再根据五点法作图可得， 所以，. 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位后，可得的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象. 由，可得 又函数在上单调递增，在单调递减 ，， 函数在的值域. 19. 在中,角的对边分别为,且满足. （1）求角; （2）若为边的中点,且,,求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由正弦定理将边化角,然后利用内角和定理将转化成即可求解;(2)分别在两个三角形中用余弦定理即可求解出各边长,从而求出周长. 【小问1详解】 在中因为, 由正弦定理得, 所以, 即, 又因为,,所以, 所以. 【小问2详解】 取边的中点,连接,则， 且,， 在中,由余弦定理得: , 解得,所以. 在中,由余弦定理得: 所以的周长为. 20. 某地为了了解市场经营户年收入情况，随机抽取60家经营户，经统计，这60家经营户去年经营收入（单位：万元）均在区间内，按，，，，，分成6组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第80百分位数为8.9. （1）求，的值； （2）估计这60经营户年收入的平均值（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； （3）用分层抽样的方法在收入区间为的营业户中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1户在收入区间为内的概率. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1，以及80百分位数计算公式，列式求解； （2）根据频率分布直方图的平均数公式，列式求解； （3）首先计算出区间和的频数，再利用分层抽样，计算出抽取的户数，结合样本空间，和古典概型公式，即可求解. 【小问1详解】 依题意得，即，又第80百分位数在， ，解得，. 【小问2详解】 . 【小问3详解】 在有9户，在有18户，所以在抽取2户，在上抽取4户， 设在抽取的2户，设为,在上抽取4户，设为， 任取2户的所有情况为，，共15种情况， 其中至多有1户在内的样本点包含共9个， 设至多有1户在内为事件，则. 21. 如图所示，三棱台的体积为7，其上、下底面均为等边三角形，平面平面，且，棱AC与BC的中点分别为G，H. （1）证明：平面平面FGH； （2）求点E到平面FGH的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面平行的判断定理，转化为证明线线平行； （2）首先根据第一问转化为点到平面的距离，再根据等体积转化求点到平面的距离. 【小问1详解】 证明：分别是的中点， ， 平面，平面， 平面， 又，， ∴四边形为平行四边形，∴. 平面，平面， 平面FGH， 平面ABED，平面ABED，， ∴平面平面FGH. 【小问2详解】 平面ABED，由（1）知平面FGH， 点E到平面FGH的距离等于点A到平面FGH的距离，设为d. 由题意得上底面面积为，下底面面积为， 设三棱台的高为，则，得. 由，得， 设CG的中点为I，连接IH，IF，∵平面平面ABC且交于AC，， ∴平面ABC，，， ， ， ∵，∴， 故点E到平面FGH的距离为. 22. 设是半径为1的圆O内接正2024边形，M是圆O上的动点． （1）求的取值范围； （2）试探究是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】（1） （2）是，4048 【解析】 【分析】（1）根据向量加法的多边形法则，化简可得原式.然后根据已知，即可得出答案； （2）根据已知可得出， .根据向量的减法运算可得，代入原式，根据数量积的运算律展开化简，即可得出，进而得出答案. 【小问1详解】 由已知可得，. 因为是半径的圆O内接正2024边形，M是圆O上的动点， 所以， 所以，． 【小问2详解】 是定值，定值为4048. 因为是半径为1的圆O内接正2024边形， 所以，， 所以，， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$