21.2 第3课时 因式分解法&第4课时 一元二次方程的根与系数的关系-【课课练】2025-2026学年九年级上册数学同步训练（人教版2012）

数学九年镂上四 第3课时 因式分解法 第二十一章 209 。学习目标 1.了解用因式分解法解方程的步骤和方法（提公因式法和公式法）. 2.会用因式分解法解可化为两个因式的乘积等于0的形式的方程. 夺实五分钟 难度：☆ 1.用因式分解法解方程，下列过程正确的是 是排乱的解题过程： ( ①x+1=0或x-6=0;②x2-5x-6=0;③x1=-1, A.(2x-2)(3x-4)=0化为2x-2=0或3x-4=0 x2=6:④(x+1)(x-6)=0. B.(x+3)(x-1)=1化为x+3=1或x-1=1 其中正确的解题步骤顺序是 C.(x-2)(x-3)=2×3化为x-2=2或x-3=3 5.用因式分解法解下列方程： D.x(x+2)=0化为x+2=0 (1)x2-2x+1=0: 2.一元二次方程(x-5)2=4(x-5)的根为( (2)x(2x-3)=2(2x-3). A.x=5 B.x=-5 C.x1=5,x2=9 D.x1=5,x2=1 3.荣荣在解一元二次方程x2-x=0时，只得出 个根x=1,则被漏掉的根是 4.用因式分解法解一元二次方程x2-5x=6,下列 素养稳提升 难度：女名 6.一元二次方程3x(x-1)=2(x-1)的根的情况是 A.6 B.10 C.9 D.12 9.定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相 A.有两个不相等的实数根 同的实数根，我们称这两个方程为“友好方 B.有两个相等的实数根 程”.如果关于x的一元二次方程x2+3x=0与 C.只有一个实数根 x2+2x+m-1=0为“友好方程”，则m的值为 D.没有实数根 () 7.已知x=1是一元二次方程(m2-1)x2-mx+m2= A.-1 B.-16 0的一个根，则m的值是 ( C.-1或-4 D.1或-2 A2或-1B c或1吃 10.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根 8.已知某三角形每条边的长都是方程x2-6x+9= 是x1=2,x2=-4,则关于y的一元二次方程 0的根，则该三角形的周长是 a(y+1)2+b(y+1)+c=0的根是 () 8● 第二十一章一元二次方程司 Ay1=2,y2=-4 By1=1,y2=-5 (4)x2-x+(3x-3)=0. C.y1=3,y2=-3 D.y1=1,y2=-3 11.已知(x2+y2)2-5(x2+y2)=0,那么x2+y2= 第二十一章 12.已知某三角形的两边长分别是3和5，第三边 的长为一元二次方程x2-3x-(4x-12)=0的 一个根，则这个三角形的周长为 13.用因式分解法解方程： (1)(x-1)2-16=0: (2)(x+1)2=2(x+1): (3)(x+2)(x-1)=2-2x; 中考一点通 难接：☆合 14.观察下面方程的解法：x4-29x2+100=0. 15.换元法是指引入一个或几个新的变量代替原 解：因式分解，得(x2-4)(x2-25)=0, 来的某些变量，变量求出结果之后，返回去求 即(x+2)(x-2)(x+5)(x-5)=0, 原变量的结果在解一些复杂的因式分解问题 于是，得x+2=0,或x-2=0,或x+5=0,或x-5=0 时，常用到换元法试用换元法解方程： 解得x1=-2,x2=2,x3=-5,x4=5, 2x2+3x-5V2x2+3x+9+3=0. 请仿照上述解法求方程x2-6x+8=0的解 9 数学九年镂上四 第二十一章 第4课时 一元二次方程的根与系数的关系 002 ©学习日标 1.了解一元二次方程的根与系数的关系， 2.会用一元二次方程的根与系数的关系解决问题， 夺实五分钟 难度：☆ 1.已知关于x的一元二次方程x2-4x+c=0的一 的两根分别为1，x2,则x1+x2= 个根为1，则另一个根是 ( x2= A.5 B.4 C.3 D.2 4.已知关于x的一元二次方程x2+kx+4=0的一 2.关于x的一元二次方程3x2-2x+m=0有两根， 个根为-3，则k=,另一个根 其中一根为x=1,则这两根之积为 ( ) 为 A号 B号 c.1 5.若x1,x2是一元二次方程x2-4x+3=0的两个实 数根，则x1+x2-x12= 3.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 秦养稳提升 难度：食有 6.已知关于x的一元二次方程x2-kx-1=0(k为10.已知关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0 常数)，下列说法错误的是 的两个实数根分别是x1,x2,且x子+号=7，则 A.该方程有两个不相等的实数根 (x1-x2)2的值是 ( ) B该方程有两个异号实数根 A.1 B.12 C.13 D.25 C.该方程的两个实数根之和为k 11.已知关于x的方程x2-(2m-1)x+m2=0的两 D该方程有两个实数根且互为倒数 个实数根分别为x1,2,且(x1+1)(x2+1)=3, 7.已知m,n是一元二次方程x2+2x-5=0的两个 则m的值为 ()》 根，则m2+mn+2m的值为 A.-3 B.-1 C.-3或1D.-1或3 A.0 B.-10 C.3 D.10 12.已知关于x的一元二次方程x2-(2a-1)x+a2 8若一元二次方程x2-3x-1=0的两根分别为 a=0. ,,则+的值为 (1)求证：方程有两个不相等的实数根； ( (2)若方程有两个实数根x1,x2,且x1(x2+1)+ A.3 B.-3 C.±3 D.9 x2(x1+1)=7,求a的值， 9.已知关于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0 (m>0)的一个根比另一个根大2，则m的值为 ( A.2 B.m>0 C.1 D.0 10(2)k=-1. (3)k<-1. 中考一点通 15.解：若原方程为一元二次方程，则m-2≠ 0,且m2+2m-6=2,解得m=-4,所以一元 1 二次方程为-6x2-4x+2=0,解得x=3, x2=-1 16.(1)证明：在该一元二次方程中，a=1, b=-2m,c=m2-1,则4=b2-4ac=(-2m)2 4×1×(m2-1)=4>0,所以无论m取何值， 该方程总有两个不相等的实数根 2m+W4 (2)解：因为4=4，所以名=2 =m+1, 2m-√4 x2= =m-1,根据题意有m+1>3,且 2 m-1<3,解得2<m<4.故m的取值范围 为2<m<4 第3课时 因式分解法 夺实五分御 1.A2.C 3.x=04.②④①③ 5.解：(1)因式分解，得(x-1)2=0, 于是，得x-1=0, 解得x1=x2=1. (2)因式分解，得(2x-3)(x-2)=0, 于是，得2x-3=0,或x-2=0, 3 解得x=26=2 素养稳提升 6.A7.B8.C9.D10.B 11.0或512.11或12 13.解：(1)因式分解，得(x-1+4)(x-1 4)=0. 于是，得x+3=0,或x-5=0 解得x1=-3,x2=5. (2)移项，得(x+1)2-2(x+1)=0, 因式分解，得(x+1)(x+1-2)=0, 长老答煮反解价 于是，得x+1=0,或x-1=0, 解得x1=-1,x2=1. (3)移项，得(x+2)(x-1)-(2-2x)=0, 即(x+2)(x-1)+2(x-1)=0, 因式分解，得(x-1)(x+2+2)=0, 于是，得x-1=0,或x+4=0, 解得x1=1,x2=-4. (4)因式分解，得(x+3)(x-1)=0, 于是，得x+3=0,或x-1=0, 解得x1=-3,x2=1 中考一点通 14解：原方程可化为(1x1)2-61x1+8=0, 因式分解，得(1x1-2)(Ix1-4)=0, 于是，得1x|-2=0,或1x1-4=0, 即1x|=2,或|x|=4, 解得x1=-2,x2=2,x3=-4,x4=4. 15.解：根据换元的思想，设a=√2x2+3x+9, 则a≥0，a2=2x2+3x+9,2x2+3x=a2-9, 原方程可变为a2-9-5a+3=0, 即a2-5a-6=0, 因式分解，得(a-6)(a+1)=0, 解得a=6,或a=-1(舍去)， 所以36=2x2+3x+9, 即2x2+3x-27=0. 因式分解，得(2x+9)(x-3)=0, 解得=号3， 9 9 经检验x=2。=3均为原方程的解 第4课时 一元二次方程的根与系数的关系 伤实玉五分抑 1.C2.D 3-6c 134 4. a a 33 5.1 素养稳提升 6.D7.A8.B9.C10.C11.A 12.(1)证明：因为x2-(2a-1)x+a2-a=0, 所以4=[-(2a-1)]2-4(a2-a) 3 数学九年镂 上 =4a2-4a+1-4a2+4a =1>0, 所以该方程有两个不相等的实数根， (2)解：由(1)及根与系数的关系，得 x1+x2=2a-1,x1x2=a2-a. 因为x1(x2+1)+x2(x1+1)=7, 所以x1x2+x1+x1x2+x2=7, 即2x1x2+x1+x2=7, 代入得2(a2-a)+(2a-1)=7, 整理得a2=4, 解得a=±2. 21.3实际问题与一元二次方程 夯实五分钟 1.D2.B3.A4.0 5.解：设个位上的数字为a,则十位上的数字 为(a-3).根据题意得a+10(a-3)=a2,解 得a1=5,a2=6. 当a=5时，这个两位数是25； 当a=6时，这个两位数是36. 所以这个两位数是25或36. 素养稳提升 6.A7.C8.D 9.25(1-x)2=1610.1211.x(x-1)=132 12.解：(1)设每轮传染中平均一个人传染 x人 根据题意得1+x+x(1+x)=121, 解得x1=10,x2=-12, 因为x>0,所以x=10, 故每轮传染中平均一个人传染10人， (2)根据题意可得经过三轮传染后患甲 流的总人数为(10+1)3=1331 因为1331<1500， 所以经过三轮传染后累计患甲流的人数 不超过1500. 中考一点通 13.解：(1)设每年绿化面积的平均增长率 为x 根据题意，得1000(1+x)2=1210 解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题意， 舍去) 故每年绿化面积的平均增长率为10%. (2)1210×(1+10%)=1331(万平方米) 故2026年的绿化面积是1331万平方米 14.解：(1)设甲工程队施工xm,则乙工程队 施工(5000-x)m, 依题意，得12(5000-x)≥6×10x, 解得x≤2500 故甲工程队最多施工2500m. (2)依题意，得(10+a)(5+G)+12(5- 号)=12x5+10x5+(7a-12. 整理，得a2-18a+72=0,解得a1=12,a2=6, 当a=12时，总成本为12×5+10×5+7× 12-12=182(万元). 因为182>150，所以a=12不符合题意， 舍去 当a=6时，总成本为12×5+10×5+7×6- 12=140(万元). 因为140<150，所以a=6符合题意. 故a的值为6. 强化训练 一元二次方程在涉及面积的问题 中的应用 1.C2.C 3.(11-2x)(7-2x)=214.0.25 5.解：(1)因为AD=BC=x, AD+BC-2+AB-2=40, 所以AB=-2x+44. (2)由题意得(-2x+44)x=192, 即x2-22x+96=0, 解得x1=6,x2=16 当x=16时，AB=12,AB<AD,故舍去； 当x=6时，AD=6,AB=-2×6+44=32,符 合题意 故AD的长为6m,AB的长为32m.