24.1 一元二次方程（4大题型提分练）数学冀教版九年级上册

第二十四章 一元二次方程 24.1 一元二次方程（4大题型提分练） 知识点01 一元二次方程的概念 只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可） 如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数 知识点03 一元二次方程的根 1、能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。 2、一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。 3、常考点：为利用根的概念求代数式的值； 4、一元二次方程近似解：两端逼近法。 步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。 题型一 一元二次方程的定义 1．（23-24八年级下·河北张家口·期末）若方程□是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（    ） A． B． C． D．x 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义判断作答即可． 【详解】解：由一元二次方程的定义可知，“□”可以是， 故选：A． 2．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A．2 B． C．2或 D．1或 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握其定义“方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程”． 根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程； （4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ， ， 又， ， ， 故选：B． 3．（22-23九年级上·河北邢台·期末）如果方程是关于x的一元二次方程，则p的值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程判断．本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得， 故， 故选B． 4．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）把一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为2，则一次项系数和常数项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，先化为一般形式，进而根据一元二次方程的定义，即可求解． 【详解】解：由题意得：，即， ∴若二次项系数为2，则一次项系数和常数项分别是，， 故选：B． 5．（2023·河北·一模）一元二次方程的一个根为0，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查对一元二次方程的解的理解和掌握，能根据题意得出，且，是解此题的关键．把代入一元二次方程得到，且，求出即可． 【详解】解：把代入一元二次方程， 得：，且， 解得：， 故答案为：． 6．（23-24九年级上·河北衡水·期中）关于的一元二次方程中，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答． 一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程； （4）含有一个未知数． 【详解】根据题意，知一元二次方程的二次项系数不为0， ∴a≠0； 故答案是：a≠0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0． 7．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）若关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义可得：，从而可得答案． 【详解】解： 关于的方程是一元二次方程， ， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知关于的一元二次方程有一个根是，则的值是 ． 【答案】 【分析】把代入方程进行计算，结合一元二次方程的二次项系数不为0，即可得到答案． 【详解】解：把代入方程，得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：. 【点睛】本题考查了解一元二次方程，以及方程的解，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，利用方程的解正确求出参数. 9．（22-23九年级下·广东梅州·开学考试）若是关于x的一元二次方程，求m的值． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件，即可进行解答． 【详解】解：∵原方程是关于x的一元二次方程，则一定是此二次项． ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，要特别注意二次项系数这一条件，本题容易出现的错误是忽视这一条件． 10．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）根据一元一次方程的定义可以解答本题； （2）根据一元二次方程的定义可以解答本题 【详解】（1）解：， 如果此方程是一元一次方程， 则， 解得：， 即时，此方程是一元一次方程； （2）解：， 如果此方程是一元二次方程， 则， 解得，且， 即且，方程是一元二次方程． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元一次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义和一元一次方程的定义． 题型二 一元二次方程的一般形式 1．（23-24九年级上·河北邢台·期中）一元二次方程的一次项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式及其各项的概念，掌握一元二次方程的一般形式中，叫做方程的二次项，其中a是二次项系数，叫做方程的一次项，其中b是一次项系数，c叫做方程的常数项；根据一元二次方程中的为一次项求解即可． 【详解】解：一元二次方程的一次项是， 故选：C． 2．（23-24九年级上·河北唐山·期中）一元二次方程化为一般形式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式的定义“一元二次方程的一般形式是，它的特征是等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0”即可得． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 3．（23-24九年级上·河北沧州·期中）用公式法解方程时，下列关于a、b、c的值正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是理解一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：由可得， ，，， 故选：． 4．（23-24九年级上·河北唐山·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的概念．一元二次方程的一般形式是：(，，是常数且)特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，， 故选：D． 5．（22-23九年级上·河北沧州·阶段练习）将一元二次方程化为一般形式为 ． 【答案】 【分析】首先去括号，移项，合并同类项，把右边化为0，变为一般式即可． 【详解】解： ， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 6．（22-23九年级上·河北沧州·阶段练习）一元二次方程化为一般形式后，常数项为 . 【答案】-6 【分析】利用多项式乘以多项式运算法则化简并整理成一元二次方程的一般式，进而可求解． 【详解】解：原方程化为一般形式为， ∴常数项为-6， 故答案为：-6． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，解答关键是熟知一元二次方程的一般形式：（a≠0），其中是二次项，bx是一次项，c为常数项．本题还考查了多项式乘以多项式的运算． 7．（22-23九年级上·河北沧州·阶段练习）一个一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为，这个一元二次方程是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的一般形式写出这个方程即可求解． 【详解】解：一个一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为， ∴这个一元二次方程是， 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式是：（是常数且a≠0）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 8．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）关于的一元二次方程的二次项系数，一次项系数及常数项之和等于3，则的值为 ． 【答案】 【分析】把原方程转化为一般形式得：，其中二次项系数是，一次项系数，根据二次项系数，一次项系数及常数项之和等于，即可得到关于的方程，从而求得的值． 【详解】解：原方程可化为：， 由题意得， 解得， 故答案为：． 【点睛】一元二次方程的一般形式是：（、、是常数且），注意在说明二次项系数、一次项系数、常数项时，一定要带上前面的符号． 9．（23-24九年级上·全国·单元测试）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)二次项系数为，一次项系数为，常数项为 (2)二次项系数为，一次项系数为，常数项为 (3)二次项系数为，一次项系数为，常数项为 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． （1）通过移项将方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可； （2）通过整式乘法运算及移项将方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可； （3）通过整式乘法运算及移项将方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可． 【详解】（1）解：原方程变形为， 则二次项系数为，一次项系数为，常数项为； （2）原方程变形为， 则二次项系数为，一次项系数为，常数项为； （3）原方程变形为， 则二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 10．（23-24九年级上·全国·单元测试）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1 (2)，二次项系数为4，一次项系数为5，常数项为 (3)，二次项系数为1，一次项系数为5，常数项为0 (4)，二次项系数为2，一次项系数为，常数项为2 (5)，二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为10 (6)，二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为 【分析】本题考查了一元二次方程的相关概念，解题的关键是掌握一元二次方程中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． （1）先将方程化为一般式，再根据相关定义进行解答即可， （2）先将方程化为一般式，再根据相关定义进行解答即可， （3）先将方程化为一般式，再根据相关定义进行解答即可， （4）先将方程化为一般式，再根据相关定义进行解答即可， （5）先将方程化为一般式，再根据相关定义进行解答即可， （6）先将方程化为一般式，再根据相关定义进行解答即可． 【详解】（1）解：将化为一般式为， ∴二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1； （2）解：将化为一般式为， ∴二次项系数为4，一次项系数为5，常数项为； （3）解：将化为一般式为， ∴二次项系数为1，一次项系数为5，常数项为0； （4）解：将化为一般式为， ∴二次项系数为2，一次项系数为，常数项为2； （5）解：将互为一般式为， ∴二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为10； （6）解：将化为一般式为， 二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为； 题型三 一元二次方程的解 1．（23-24九年级上·河北邢台·期中）已知是一元二次方程的解，则的值为（） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 根据一元二次方程的解的意义，把代入原方程得到的一次方程，然后解一次方程即可． 【详解】解：把代入得， 解得． 故选：B． 2．（23-24九年级上·河北唐山·期中）若是一元二次方程方程的一个根，则（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了对一元二次方程的解的理解和掌握，把代入方程，求出关于的方程的解是解此题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴把代入得：， 解得：． 故选：D． 3．（22-23九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）若一元二次方程的一个根为2，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】把代入已知方程，列出关于p的一元一次方程，通过解该方程来求p的值． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为2， ， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 4．（23-24九年级上·河北邢台·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则“●”代表的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程解的定义把代入方程即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故选：． 5．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知关于的方程的一个根是，则的值是 ． 【答案】 【分析】把代入原方程求a即可． 【详解】解：把代入，得， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程的根求字母的值，掌握一元二次方程根的定义是解题的关键． 6．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）若关于的一元二次方程有一个根的值是2，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据关于的一元二次方程有一个根的值是2，可以得到，然后求解即可．解答本题的关键是明确题意，求出的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有一个根的值是2， ， 解得， 故答案为：4． 7．（23-24九年级上·河北邢台·期末）已知m是方程的一个根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】根据方程根的定义，转化为代数式的求值解答．本题考查了方程根的定义，代数式的整体思想求值，掌握定义，活用整体思想是解题的关键． 【详解】∵m是方程的一个根，且， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项之和为 ，m是的一个根，则的值为 ． 【答案】 6 2020 【分析】本题考查一元二次方程的概念，一元二次方程的根，整体代入求值；直接根据方程即可得到第一空的答案；根据m是的一个根可得，再对进行变形，最后代入求值即可得第二空的答案． 【详解】解：， ，，， ； 是的一个根， ， ， ； 故答案为：6；2020． 9．（22-23九年级上·河北邯郸·期中）先化简，再求值：，其中x为方程的根． 【答案】， 【分析】先将小括号内进行通分计算，括号外面的分子分母进行因式分解，然后将除法转化为乘法进行约分计算，最后将整体代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵x为方程的根， ， ∴原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，解题的关键是准确的对分式进行化简，再把方程变为整体代入进行计算． 10．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于的一元二次方程． (1)若，求证：必是该方程的一个根； (2)当之间的关系是___________时，方程必有一个根是？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，理解解的含义是解本题的关键； （1）由，可得，从而可得答案； （2）由时，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，， ∴当时，方程成立， ∴是方程的一个解， （2）∵时，有， ∴当时，方程必有一个根是． 题型四 一元二次方程的解的估算 1．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）探索关于的一元二次方程的一个解的过程如下表所示： 1 4 0.06 0.02 可以看出该方程的一个解应介于整数和之间，则整数，分别是（    ） A．， B．，1 C．1，4 D．4，5 【答案】B 【分析】利用表中数据得到，于是可判断x在范围内取某一个值时，，即可求解． 【详解】解：∵当时，当时， ∴当x在中取一个值时，， ∴，． 故选：B． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解． 2．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）根据下表确定方程的解的取值范围是（　　） … 4 5 6 13 5 … 5 13 A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据表格数据的变化规律，利用“夹逼法”得到一元二次方程的解的取值范围． 【详解】解：根据表格，当和时，， 当和时，， ∴该方程的解的取值范围为或， 故选：A． 【点睛】本题考查估算一元二次方程的近似解，弄清表格中数据变化规律，掌握利用“夹逼法”探究一元二次方程的近似解是解答的关键． 3．（22-23九年级上·河北廊坊·期末）观察下表，一元二次方程的解的范围是（    ） 0.09 0.34 0.61 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值的范围，即可得到答案． 【详解】解：时，， 时，， 一元二次方程的解的范围是， 故选C． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 4．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格中的数据可得：在和之间有一个值能使的值为0，于是可判断方程一个解x的取值范围为． 【详解】解：由题意得： 当时，， 当时，， ∴方程一个解x的取值范围为． 故选：C． 5．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ． x 1 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：时，， 时，， 时，存在， 即方程必有一个解x满足， 故答案为：． 6．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值的范围，即可得到答案． 【详解】解：时，，时，， ∴一元二次方程的解的范围是． 故答案为： 7．（22-23九年级上·山东青岛·期中）根据下表得知，方程的一个近似解为 （精确到0.1） x … … … 0.56 1.25 1.96 … 【答案】 【分析】看0在相对应的哪两个的值之间，那么近似根就在这两个对应的的值之间． 【详解】解：， 当时，随增大而减小， 根据表格得，当时，，即， ∵0距近一些， ∴方程的一个近似根是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 8．（22-23九年级上·福建漳州·期中）根据表格对应值： 判断关于x的方程的一个解x的范围是 ． 【答案】 【分析】结合表格可知：当时，；当时，；所以方程的一个解x的范围为：． 【详解】解：由表格可知： 当时，； 当时，； ∴方程的一个解x的范围为：． 故答案为： 【点睛】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是理解方程根的定义，找出当时，；当时，． 9．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【答案】（1），，，，（2） 【分析】 （1）第一步: 代入及, 可求出的的值, 进而可得出;第二步: 根据及时, 的值，进而可得出； （2）由的结论, 可得出的值约为. 【详解】 解：（1）第一步: 当时, ， 当时, , ∴； 第二步: 当时,， 当时,， ∴ . 故答案为：，，，； （2）通过以上探索,的值约为. 【点睛】 本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握用列举法估算一元二次方程的近似解的方法是解题的关键. 10．（23-24九年级上·全国·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【答案】(1)见解析 (2)矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤． （1）分别计算当、、、时代数式的值，即可补充表格； （2）根据（1）中得出的x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴补充表格如下： 第一步：           3 所以 第二步：                          所以 ． （2）解：由（1）可得：， ∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3． 1．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）下列关于x的方程中，是一元二次方程的有（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程的概念；根据一元二次方程的概念判断即可, 只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：、，是一元一次方程，不符合题意； 、，当时，不是一元二次方程，不符合题意； 、，是一元二次方程，符合题意； 、，含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 2．（23-24九年级上·广东江门·阶段练习）已知是一元二次方程的一个根，则是（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】A 【分析】把代入一元二次方程得出关于m的方程，然后求出m的值即可． 【详解】解：把代入一元二次方程得：， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解答的关键是熟知一元二次方程解的定义列出关于m的方程． 3．（23-24九年级上·河北唐山·阶段练习）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用整式乘法展开，化成的形式． 【详解】， ， 故选：C 【点睛】本题考查一元二次方程的变形，掌握整式运算及等式性质是解题的关键． 4．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）若关于x的一元二次方程的解是，则的值是（    ） A．2018 B．2008 C．2014 D．2022 【答案】D 【分析】将代入到中求得的值，然后求代数式的值即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，求解代数式的值，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 5．（23-24九年级上·山东东营·阶段练习）根据下列表格的对应值，判断方程．（，、、为常数）一个解的范围是（    ） x A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的图象与直线的交点就是方程的根，再根据函数的增减性即可判断方程一个解的范围． 【详解】解：函数的图象与直线的交点就是方程的根， 由表中数据可知：在与之间， ∴对应的x的值在与之间，即． 故选：D． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，掌握函数（，、、为常数）的图象与直线的交点与方程的根的关系是解题的关键所在． 6．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知（m－1）＋3x－5＝0是一元二次方程，则m＝ ． 【答案】－1 【分析】根据一元二次方程的定义m-1≠0，且，解答即可． 【详解】∵（m－1）＋3x－5＝0是一元二次方程， ∴m-1≠0，且， ∴m-1≠0，且， ∴， 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义即含有一个未知数且含未知数项的次数最高是2的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 7．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）把方程化成一元二次方程的一般形式是 ． 【答案】 【分析】移项，去括号，合并同类项即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式． 8．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）一元二次方程．的一个实数根为，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程解的定义，求代数式的值，根据一元二次方程解的定义，可得，再代入，即可求解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键． 【详解】∵的一个实数根为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）关于的一元二次方程的二次项系数，一次项系数及常数项之和等于，则的值为 ． 【答案】-1 【分析】把原方程转化为一般形式得：，其中二次项系数是，一次项系数，常数项是，根据二次项系数，一次项系数及常数项之和等于，即可得到关于的方程，从而求得的值. 【详解】原方程可化为：， 由题意得， 解得或， 又因为一元二次方程的二次项系数不能为， 即， 所以. 故答案为：. 【点睛】一元二次方程的一般形式是：（、、是常数且），注意在说明二次项系数、一次项系数、常数项时，一定要带上前面的符号. 10．（22-23九年级上·河北廊坊·期末）将方程化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数为，一次项系数为，常数项为，则 ． 【答案】 【分析】先化为一般形式，根据一元二次方程的一般形式，得出的值，进而即可求解． 【详解】解： 整理得， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）． 11．（22-23八年级下·浙江·课后作业）判断下列各式哪些是一元二次方程． ①；②；③ ；④ ； ⑤ ；⑥ ；⑦ ． 【答案】②③⑥. 【分析】直接根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：①不是方程； ④ 不是整式方程； ⑤ 含有2个未知数，不是一元方程； ⑦ 化简后没有二次项，不是2次方程， ②③⑥符合一元二次方程的定义． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的辨别，熟练掌握一元二次方程的定义是解答此题的关键． 12．（2023九年级上·全国·专题练习）把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数： （1）； （2）． 【答案】（1），各项的系数分别是：，，；（2），各项的系数分别是：，，． 【分析】（1）两边都乘-1，再根据一元二次方程的定义找出各项的系数； （2）两边同乘-12，再根据一元二次方程的定义找出各项的系数． 【详解】（1）两边都乘-1，就得到方程： 3x2+4 x -2=0． 各项的系数分别是： a=3，b=4，c=-2． （2）两边同乘-12，得到整数系数方程： 6 x 2-20 x +9=0． 各项的系数分别是：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程． 13．（23-24九年级上·广东汕头·期中）已知是一元二次方程的一个解，且，求的值． 【答案】 【分析】根据是一元二次方程的一个解，可以求得的值，再根据，可以求出答案. 【详解】解：把代入方程，得：， 又 所以，． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程解的含义.也考查了因式分解. 14．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知关于的方程． (1)当为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】(1) (2),一元二次方程的二次项系数是、一次项系数是，常数项是 【分析】本题考查了一元二次方程，一元一次方程的定义；熟练掌握定义是解答本题的关键． （1）根据二次项系数等于零，一次项系数不等于零时是一元一次方程，可得答案； （2）根据二次项系数不等于零是一元二次方程，可得答案． 【详解】（1）解：由是一元一次方程，得 根据题意，得且． 解得． 所以当时，此方程是一元一次方程； （2）根据题意，得． 解得． 此时一元二次方程的二次项系数是、一次项系数是，常数项是． 15．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）观察下列方程： 方程 方程的解 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， … … … (1)按照此规律，请你写出第5个方程：________________；第5个方程的解为________________． (2)按此规律写出第n个方程及其解，并验证解的正确性． 【答案】(1)；， (2)，， 【分析】本题是规律探索题，考查了一元二次方程及其解； （1）根据规律直接写出方程及其解即可； （2）根据规律可写出第n个方程及其解，把两个解代入方程中检验即可． 【详解】（1）解：由规律得，第5个方程为：；其两个解，； 故答案为：；，； （2）解：根据规律，第n个方程为：，其两个解为：，； 当时，方程左边右边， 当时，方程左边右边， ∴，是方程的两个根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 一元二次方程 24.1 一元二次方程（4大题型提分练） 知识点01 一元二次方程的概念 只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可） 如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数 知识点03 一元二次方程的根 1、能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。 2、一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。 3、常考点：为利用根的概念求代数式的值； 4、一元二次方程近似解：两端逼近法。 步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。 题型一 一元二次方程的定义 1．（23-24八年级下·河北张家口·期末）若方程□是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（    ） A． B． C． D．x 2．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A．2 B． C．2或 D．1或 3．（22-23九年级上·河北邢台·期末）如果方程是关于x的一元二次方程，则p的值是（    ） A．2 B． C．3 D． 4．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）把一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为2，则一次项系数和常数项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（2023·河北·一模）一元二次方程的一个根为0，则 ． 6．（23-24九年级上·河北衡水·期中）关于的一元二次方程中，的取值范围是 ． 7．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）若关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是 ． 8．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知关于的一元二次方程有一个根是，则的值是 ． 9．（22-23九年级下·广东梅州·开学考试）若是关于x的一元二次方程，求m的值． 10．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 题型二 一元二次方程的一般形式 1．（23-24九年级上·河北邢台·期中）一元二次方程的一次项是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河北唐山·期中）一元二次方程化为一般形式是（ ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·河北沧州·期中）用公式法解方程时，下列关于a、b、c的值正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（23-24九年级上·河北唐山·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( ) A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（22-23九年级上·河北沧州·阶段练习）将一元二次方程化为一般形式为 ． 6．（22-23九年级上·河北沧州·阶段练习）一元二次方程化为一般形式后，常数项为 . 7．（22-23九年级上·河北沧州·阶段练习）一个一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为，这个一元二次方程是 ． 8．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）关于的一元二次方程的二次项系数，一次项系数及常数项之和等于3，则的值为 ． 9．（23-24九年级上·全国·单元测试）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)． 10．（23-24九年级上·全国·单元测试）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型三 一元二次方程的解 1．（23-24九年级上·河北邢台·期中）已知是一元二次方程的解，则的值为（） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 2．（23-24九年级上·河北唐山·期中）若是一元二次方程方程的一个根，则（　　） A．1 B．2 C． D． 3．（22-23九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）若一元二次方程的一个根为2，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 4．（23-24九年级上·河北邢台·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则“●”代表的数是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知关于的方程的一个根是，则的值是 ． 6．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）若关于的一元二次方程有一个根的值是2，则的值是 ． 7．（23-24九年级上·河北邢台·期末）已知m是方程的一个根，则代数式的值是 ． 8．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项之和为 ，m是的一个根，则的值为 ． 9．（22-23九年级上·河北邯郸·期中）先化简，再求值：，其中x为方程的根． 10．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于的一元二次方程． (1)若，求证：必是该方程的一个根； (2)当之间的关系是___________时，方程必有一个根是？ 题型四 一元二次方程的解的估算 1．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）探索关于的一元二次方程的一个解的过程如下表所示： 1 4 0.06 0.02 可以看出该方程的一个解应介于整数和之间，则整数，分别是（    ） A．， B．，1 C．1，4 D．4，5 2．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）根据下表确定方程的解的取值范围是（　　） … 4 5 6 13 5 … 5 13 A．或 B．或 C．或 D．或 3．（22-23九年级上·河北廊坊·期末）观察下表，一元二次方程的解的范围是（    ） 0.09 0.34 0.61 A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（      ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ． x 1 6．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 7．（22-23九年级上·山东青岛·期中）根据下表得知，方程的一个近似解为 （精确到0.1） x … … … 0.56 1.25 1.96 … 8．（22-23九年级上·福建漳州·期中）根据表格对应值： 判断关于x的方程的一个解x的范围是 ． 9．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 10．（23-24九年级上·全国·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 1．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）下列关于x的方程中，是一元二次方程的有（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广东江门·阶段练习）已知是一元二次方程的一个根，则是（    ） A． B．3 C．1 D． 3．（23-24九年级上·河北唐山·阶段练习）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）若关于x的一元二次方程的解是，则的值是（    ） A．2018 B．2008 C．2014 D．2022 5．（23-24九年级上·山东东营·阶段练习）根据下列表格的对应值，判断方程．（，、、为常数）一个解的范围是（    ） x A． B． C． D． 6．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知（m－1）＋3x－5＝0是一元二次方程，则m＝ ． 7．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）把方程化成一元二次方程的一般形式是 ． 8．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）一元二次方程．的一个实数根为，则的值是 ． 9．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）关于的一元二次方程的二次项系数，一次项系数及常数项之和等于，则的值为 ． 10．（22-23九年级上·河北廊坊·期末）将方程化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数为，一次项系数为，常数项为，则 ． 11．（22-23八年级下·浙江·课后作业）判断下列各式哪些是一元二次方程． ①；②；③ ；④ ； ⑤ ；⑥ ；⑦ ． 12．（2023九年级上·全国·专题练习）把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数： （1）； （2）． 13．（23-24九年级上·广东汕头·期中）已知是一元二次方程的一个解，且，求的值． 14．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知关于的方程． (1)当为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 15．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）观察下列方程： 方程 方程的解 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， … … … (1)按照此规律，请你写出第5个方程：________________；第5个方程的解为________________． (2)按此规律写出第n个方程及其解，并验证解的正确性． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$