24.1 一元二次方程-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(冀教版2012)

第二十四章一元二次方程 大单元建构 概念 一般式 一元二次方程 一元二次方程 根与系数的关系 方程的解 一元二次方程 直接开平方法 配方法 面积问题 完全平方公式 数字与变化率问题 求根公式 公式法 一元二次方程的应用 根的判别式 解一元二次方程 球赛与传播问题 因式分解法 营销问题 本章核心素养 学科核心素养 具体内容 能通过观察方程形式上的共同点得到一元二次方程的概念及其一般形式；类比其他方程的解得 到一元二次方程根的概念；联系平方根的知识得到直接开平方解一元二次方程的方法，进而循序 抽象能力 渐进地掌握配方法、公式法，归纳得到各种解法的一般步骤；根据两个实数的积等于0的条件得 到运用因式分解解一元二次方程的方法，并归纳出一般步骤；通过大量的实例，采用从特殊到一 般的方法得到根的判别式的作用和根与系数的关系 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；会用一元二次方程根 运算能力 的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等；了解一元二次方程的根与系数的关系，能利 用根与系数的关系解决一些简单的问题；能根据具体问题的实际意义检验方程解的合理性 能正确地分析问题中的数量关系，根据等量关系列出一元二次方程，在分析解决问题的过程中更 应用意识 深入地体会一元二次方程的应用价值 通过经历完整地建立一元二次方程解决实际问题的过程，深入地认识一元二次方程与现实生活 模型观念 的联系，加强建模思想，提高运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力 能通过对一元二次方程一般形式的配方推理得到求根公式；能通过求根公式直接计算两根的和 推理能力 与积，进而得出根与系数的关系 通过列一元二次方程解决现实情境中有意义的数学问题，获得数学活动经验，感悟数学的价值， 创新意识 形成批判质疑、克服困难、勇于担当的科学精神，增强创新意识 优计学案·课时通 24.1一元二次方程（答案5） 7.(2023·石家庄裕华区月考)已知关于x的一 元二次方程(m一1)x2十2x十m2一1=0有一 知识点1一元二次方程的定义 个根是0，则m的值是 1.(2023·廊坊广阳区开学)下列方程是一元二 知识点4”根据题意列一元二次方程 次方程的是( 8.模型观念如图所示，有一面积为600m2的长 A.2x+1=0 B.y2+x=0 方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长35m),另外 C.x2-x=0 D.1+x=0 三边用竹篱笆围成，其中一边开有1m的门， 竹篱笆的总长为69m.设鸡场垂直于墙的一边 2.(2023·邯郸月考)若方程xm+1-(m十1)x 为xm,则下列方程正确的是( 2=0是关于x的一元二次方程，则m的值 A.x(69+1-2x)=600 为() B.x(69-1-2x)=600 A.0 B.±1 C.x(69-2x)=600 C.1 D.-1 D.x(35+1-2x)=600 3.(2023·保定顺平期中)若关于x的方程 易错对方程的概念理解不清，造成错解 (a-2)x2+2x-1=0是一元二次方程，则a 9.如图所示，在建筑工地上，为了支撑一堵墙，用 满足的条件是 一根5m长的木杆，顶端撑在墙上，底端撑在 知识点2”一元二次方程的一般形式 地面上，图中BO=4m,则AO= ·现在 4.(2023·邯郸广平期末)在下列一元二次方程 为了增加支撑的效果，底端B向墙角O移 中，一次项系数为3的是() 1m,问顶端上移了多少米？在这个问题中，设 A.2x2+3.x-1=0 顶端上移xm,则可列方程为 B.x2+3=0 整理成一般形式是 C.2x2-3x-1=0 D.3x2十2x-1=0 5.填表： 一般 二次项 一次项 常数 方程 >>>》>>>>>>>)>>>>>>>>>>>>>>>>>>》 形式 系数 系数 项 通能力 2x2-x=4 10.(2023·邯郸武安期末)若m是方程2x2 √2y-4y2=0 3x-1=0的一个根，则6m2一9m+2018的 2x)2=(x+1) 值为( ) A.2018B.2019C.2020D.2021 知识点3一元二次方程的解 11.(2023·保定莲池区月考)若关于x的一元二 6.(2023·廊坊安次区月考)已知x=2是关于x 次方程x2一2x十k=0有一个根为1，则实数 的一元二次方程x2-mx一2=0的一个根，则 k的值为 m的值是( 12.(2023·保定莲池区期末)若关于x的方程 A.-1 B.0 (k一1)x1+1一x十5=0是一元二次方程， C.1 D.0或1 则及= 一九年级上册·数学：山 13.(2023·唐山丰润区期末)若x=一1是关于 通素第>2》沙 x的一元二次方程ax2+bx一2=0的一个 根，则2023-2a+2b的值为 17.阅读理解阅读理解： 14.已知关于x的一元二次方程2x一3xb-5 定义：如果关于x的方程a1x2十b1x十c1=0 0,试写出满足要求的所有a,b的值. (a1≠0，a1,b1,c1是常数)与a2x2十b2x+ c2=0(a2≠0，a2,b2,c2是常数)，其中方程中 的二次项系数，一次项系数，常数项分别满足 a1十a2=0,b1=b2,c1十c2=0,则这两个方程 互为“对称方程”.比如：求方程2x2一3x+ 1=0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2 3x十1=0可知，a1=2,b1=一3，c1=1,根据 15.指出下列方程是关于x的一元二次方程的 a1十a2=0,b1=b2c1+c2=0,求出a2,b2,c2 条件： 就能确定这个方程的“对称方程” (1)mx2+2mx-m-x2=-1; 请你根据上述方法解决下面问题： (1)填空：写出方程x2-4x+3=0的“对称方 程”是 (2)关于x的方程5x2+(m-1)x-n=0与 -5.x2-x=1互为“对称方程”，求(m十n)2 (2)x2+3ax+ay-5=0. 的值. 16.(2023·张家口万全区期末)关于x的一元二 次方程(k一1)x2+6x十k2一k=0的一个根 是0，求的值. 25 优计学案·课时通一故有9+7十14+a=3, 6.C7.-18.A 4 9.3m(4-1)2+(3+x)2=52x2+6x-7=0 解得a=0. 10.D11.112.-113.2019 当点E在点D的右侧时，因为DE=1,点D所表示 的数为4，所以点E所表示的数为5， 14解：根鬓感应，知6-”皮6-皮6二日安 故有一9+7+14+0-5， 4 a='或a=0, b=21 xb=2. 解得a=8. 15.解：(1)由原方程，得(m一1)x2+2mx-m+1=0, 答：a的值为0或8. 则当m-1≠0，即m≠1时，该方程是一元二次 10.解：(1)甲组的达标率是：5×100%=60%； 方程. (2)由题意，得y的系数为0，即当a=0时，该方程 乙组的达标率是：号×10%=60%。 是一元二次方程. 16.解：将x=0代入(k-1)x2+6x+k2-k=0, (2)乙组的平均数是：5×(19+20+17+16+ 得2一k=0,解得=1或k=0. .k-1≠0，.k=0. 18)=18(秒)， 17.解：(1)-x2-4x-3=0 乙组的方差是：2=5×[19-182+(20-18+ 1 (2)由-5.x2-x=1, 移项，得-5x2-x-1=0. (17-18)2+(16-18)2+(18-18)2]=2(秒2)， .方程5x2+(m-1)x-n=0与-5.x2-x-1=0 2.1>2,∴.乙组的成绩相对稳定. 互为“对称方程”，.m-1=一1，-n十(-1)=0， 【通中考】 解得m=0,n=-1,∴.(m十n)2=(0-1)2=1. 11.D 24.2解一元二次方程 12.解：(1)由条形图可知，第10个数据是3分，第11 个数据是4分， 第1课时配方法 .中位数为3.5分 1.D2.x1=3+√2，x2=3-√2 由统计图可得平均数为 3.解：(1)两边直接开平方，得x一1=士2，所以x1=3, 1X1+3×2+6×3+5×4+5×5=3.5(分)， x2=-1. 20 (2)方程整理，得(x十3)2=7. ∴.客户所评分数的平均数或中位数都不低于3.5分， 两边开平方，得x十3=士√7. ∴.该部门不需要整改. 所以x1=-3十√7，x2=-3-√7， (2)监督人员抽取的问卷所评分数为x分，则有 4.A5.7 3.5×20+x>3.55,解得x>4.55. 6.解：(1)移项，得y2+4y=1.配方，得y2+4y+4= 20+1 满意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共 1十4，即(y+2)2=5.两边开平方，得y+2=土√5， 5档. 所以y1=-2-5,y2=-2+5, ∴监督人员抽取的问卷所评分数为5分 (2)去括号，得x2-6.x+9=25-20x十4x2. ,4<5,∴加入这个数据，客户所评分数按从小到 移项，得3x2-14x=-16. 大排列后，第11个数据不变还是4分，即加入这个 数据后，中位数是4分，∴.与(1)相比，中位数发生 所以-。-E方，得}-日两边 了变化，由3.5分变成4分. 第二十四章 一元二次方程 开平方，得了-士号所以2 7.C8.C9.C10.B 24.1一元二次方程 11.x2+6.x十4=012.第二象限13.1或-3 1.C2.C3.a≠24.A 14.解：(1)B 5.解： (2)②等号右边没有加9 一般 二次项 一次项 常数 方程 (3)x2+6x-4=0. 形式 系数 系数 项 移项，得x2十6x=4. 2x2-x 2x2-x=4 2 -1 配方，得x2十6.x十9=4+9，即(x十3)2=13. 4=0 x十3=士√3， -4y2+ √2y-4y2=0 -4 0 √2y=0 √2 ∴.x+3=√13或x+3=-√13， ∴.x1=-3+√13，x2=-3-√13， (2x)2=(x+1)2 3x2-2x 3 -2 1=0 15.解：(3x)2-2X√2X√5x+(√2)2=2+(2)2， 5