压轴题06 二次函数中四种角度问题-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（人教版）

压轴题06 二次函数中四种角度问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、角相等问题 2 题型二、二倍角关系问题 9 题型三、两角和与差问题 21 题型四、特殊角问题 34 压轴能力测评（11题） 43 1、角的数量关系处理的一般方法如下：     （1）证等角：常运用等腰三角形两底角相等，等角的余角相等，等角的补角相等、全等三角形和相似三角形的对应角相等及两角的锐角三角函数值相等，等等；     （2）证二倍角：常构造辅助圆，利用圆周角定理；     （3）证和差角：常旋转、翻折、平移构造角． 2.特殊角问题处理的一般方法如下：     （1）运用三角函数值；     （2）遇45°构造等腰直角三角形；     （3）遇30°，60°构造等边三角形；     （4）遇90°构造直角三角形． 一、角相等问题 对于二次函数中的角相等问题，首选方法是利用等角的三角比解决问题（利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角），其次选择利用相似三角形中的比例线段解决问题。 二次函数中的角相等问题比较灵活，在遇到具体问题时具体分析，合理构造等角，解决问题。 二、二倍角关系问题 对于平面直角坐标系中的二倍角问题，往往将其转化成等角问题。对于等角问题，往往有以下解决路径： 等角的构造方法 （1）将等角转化在一个三角形中，利用等腰三角形两边相等，借助距离公式解决； （2）用等角的三角比相等，构造直角三角形，寻找比例关系；； （3）利用角的和差关系，寻找等角，而等角存在两个相似三角形中，往往是子母三角形，利用比例线段构建数量关系； （4）利用角平分线的相关性质定理。 二倍角的构造方法 如图，已知，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造，在BC边上找一点D，使得BD=AD，则. 这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了 题型一：角相等问题 【例1】．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连结，． (1)求点A和点C的坐标． (2)若在第一象限的二次函数图象上存在点D，使，求点D的坐标． 【变式1】．（23-24九年级上·陕西西安·期末）抛物线 经过，两点，若D是抛物线上的一点，满足，求点D的坐标． 【变式2】．（23-24九年级上·陕西西安·期末）已知抛物线经过点，，与y轴的交点为C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴m右侧，对称轴m与x轴交于点M，过点P作轴，垂足为N．若，求出点P的坐标． 【变式3】．（23-24九年级上·四川南充·期末）如图，经过点的抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，，求点的坐标； (3)如果是抛物线第一象限上动点，（2）中确定的点与分别在直线两侧，点在射线上．当四边形面积最大时，求的值． 题型二：二倍角关系问题 【例2】．（22-23九年级上·湖北黄石·期末）抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点．    (1)直接写出A，B，C三点的坐标为A______，B______，C______； (2)连接，若，求点P的坐标； (3)连接，是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式1】．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线与y轴交于，与x轴交于B、C两点（C在B的右侧），顶点坐标为． (1)求抛物线解析式； (2)点是抛物线上一动点，且位于直线的上方，过点作的垂线交于点，求长度的最大值； (3)在直线上是否存在点G，使得？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】．（22-23九年级下·湖北恩施·期中）已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点和点，与轴交于点，点为第二象限内抛物线上的动点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接交于点，当时，请求出点的坐标； (3)如图2，点的坐标为，点为轴负半轴上的一点，，连接，若，请求出点的坐标； (4)M是平面内一点，将绕点逆时针旋转后，得到，若的两个顶点恰好落在抛物线上，请求点的坐标． 【变式3】．（23-24九年级上·广东珠海·期中）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过B，C两点，且与轴的负半轴交于点，动点在二次函数图象上，过点作平行于轴，交直线BC于点．    (1)求二次函数的表达式； (2)若以M、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)根据图象，直接写出不等式的解集________．若的横坐标在此范围内时，且，直接写出点的坐标为_______． 题型三：两角和与差问题 【例3】．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，连接，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，拋物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，已知点． (1)求抛物线的解析式； (2)是线段上的一个动点，过点作轴，延长交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】．（21-22九年级上·重庆·期末）如图1，在平而直角坐标系中，抛物线（、、为常数，）的图像与轴交于点、两点，与轴交于点，且抛物线的对称轴为直线．      (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点；是否存在点，使得取得最大值，若存在请求出它的最大值及点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，若点是抛物线上另一动点，且满足，请直接写出点的坐标． 【变式3】．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）已知抛物线经过点，它的对称轴为直线，且函数有最小值为．P是抛物线上的一个动点，且横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线与x轴的交点为A，B（A在B左侧）与y轴的交点为C，P是抛物线上第四象限内的一个动点，连接，，当面积为面积的三分之一时，求出此时点P的坐标； (3)连接，是否存在点P，使得，若存在，直接写出m的值，若不存在，请说明理由． 题型四：特殊角问题 【例4】．（23-24九年级上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，． (1)求a的值； (2)点与点是抛物线上两个不重合的点，求的值； (3)点P是抛物线对称轴上一点，在直线BC上有且仅有一个点Q，使得，求点P的坐标． 【变式1】．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）（1）【建立模型】在数学课上，老师出示这样一个问题：如图1，在中，，，直线l经过点C，，，垂足分别为点D和点E，求证：，请你写出证明过程； （2）【类比迁移】勤奋小组在这个模型的基础上，继续进行探究问题：如图2，在平面直角坐标系中，直线的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，反比例函数的图象经过点B，请你求出反比例函数的解析式； （3）【拓展延伸】创新小组受到勤奋小组的启发，结合抛物线的图象继续深入探究：如图3，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，创新小组的同学发现在第一象限的抛物线的图象上存在一点P，连接，当时，请你和创新小组的同学一起求出点P的坐标． 【变式2】．（23-24九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，是该抛物线的顶点．    (1)求的值． (2)判断的形状，并说明理由． (3)在抛物线对称轴上是否存在点，使？若存在，请求出符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． (4)在（3）的条件下，平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式3】．（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图，已知抛物线（）与轴相交于点，与轴分别交于点和点A，且． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由； (3)抛物线的对称轴交轴于点，在轴上是否存在一个点，使的值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 1．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，点A的坐标为．    (1)该抛物线的表达式为　　； (2)点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接．当时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点Q，将线段绕点Q顺时针旋转，使点恰好落在抛物线上？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 2．（23-24九年级上·福建福州·期中）抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线，点D在抛物线上．      备用图 (1)求拋物线的解析式； (2)如图，点D在上方的抛物线上，当的面积最大时，求点D的坐标； (3)是否存在点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C．    (1)求二次函数解析式； (2)如图1，若在x轴上方的抛物线上存在一点D，使得，求点D的坐标； (3)如图2，平面上一点，过点E作任意一条直线交抛物线于P、Q两点，连接、，分别交y轴于M、N两点，则与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 4．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，二次函数的图象经过点，，且与y轴交于点C，直线与x轴、y轴交于点D、E，与二次函数图象交于点F，G．    (1)求该二次函数的解析式. (2)点M为该二次函数图象上一动点． ①若点M在图象上的C，F两点之间，求的面积的最大值. ②若，求点M的坐标． 5．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图1，已知抛物线顶点C的纵坐标是4，与x轴交于A、O两点，经过点A的直线经过，D为直线上一动点． (1)______；______； (2)连接，当线段与直线夹角为时，求点D的坐标． (3)如图2，连接，线段上是否存在点E，连接，当时，线段被x轴截得线段比为两部分，若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）如图，抛物线经过点，且交x轴于，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，过点D作轴，垂足为M，点P在直线下方抛物线上运动，过点P作，，求的最大值，以及此时点P的坐标． (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点G，使得，请写出所有符合条件的点G的横坐标，并写出其中一个的求解过程． 7．（23-24九年级上·辽宁朝阳·期末）如图，抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，直线经过点B，点C．    (1)试求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)若M是抛物线上一点，且，请直接写出点M的坐标． 8．（23-24九年级上·内蒙古包头·期末）如图，抛物线与x轴相交于原点和点，在第一象限内与直线交于点B，抛物线的顶点为C点．    (1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标； (2)点在抛物线上，连接，求的面积； (3)抛物线上是否存在点D，使得？若存在，求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点是抛物线的顶点，连接．    (1)求抛物线的函数解析式及顶点的坐标； (2)设直线与抛物线相交于、两点（点在点的左侧且点在第四象限），当直线与直线相交所成的一个角为时，求点的坐标； (3)如图2，作直线，分别交轴正、负半轴于点、，交抛物线于点、，设点、的纵坐标分别为、，且，求证：直线经过一个定点． 10．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线，点的坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)点为抛物线上一点（不与点重合），连接．当时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，使点恰好落在抛物线上？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，连接，，． (1)求该抛物线的表达式及其顶点坐标； (2)的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)设直线与直线交于点，若存在与中一个是另一个的2倍，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴题06 二次函数中四种角度问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、角相等问题 2 题型二、二倍角关系问题 9 题型三、两角和与差问题 21 题型四、特殊角问题 34 压轴能力测评（11题） 43 1、角的数量关系处理的一般方法如下：     （1）证等角：常运用等腰三角形两底角相等，等角的余角相等，等角的补角相等、全等三角形和相似三角形的对应角相等及两角的锐角三角函数值相等，等等；     （2）证二倍角：常构造辅助圆，利用圆周角定理；     （3）证和差角：常旋转、翻折、平移构造角． 2.特殊角问题处理的一般方法如下：     （1）运用三角函数值；     （2）遇45°构造等腰直角三角形；     （3）遇30°，60°构造等边三角形；     （4）遇90°构造直角三角形． 一、角相等问题 对于二次函数中的角相等问题，首选方法是利用等角的三角比解决问题（利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角），其次选择利用相似三角形中的比例线段解决问题。 二次函数中的角相等问题比较灵活，在遇到具体问题时具体分析，合理构造等角，解决问题。 二、二倍角关系问题 对于平面直角坐标系中的二倍角问题，往往将其转化成等角问题。对于等角问题，往往有以下解决路径： 等角的构造方法 （1）将等角转化在一个三角形中，利用等腰三角形两边相等，借助距离公式解决； （2）用等角的三角比相等，构造直角三角形，寻找比例关系；； （3）利用角的和差关系，寻找等角，而等角存在两个相似三角形中，往往是子母三角形，利用比例线段构建数量关系； （4）利用角平分线的相关性质定理。 二倍角的构造方法 如图，已知，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造，在BC边上找一点D，使得BD=AD，则. 这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了 题型一：角相等问题 【例1】．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连结，． (1)求点A和点C的坐标． (2)若在第一象限的二次函数图象上存在点D，使，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）当时，，计算求解，进而可求，当时，，则． （2）如图，设与x轴交于点E，则，，待定系数法求直线的函数表达式为．令，计算求解，进而可求点坐标． 【详解】（1）解：当时，， 解得，，， ，； 当时，， ． （2）解：如图，设与x轴交于点E， ∵，，， ∴， ∴，即， 设直线的函数表达式为． 将 代入得，， 解得，， 直线的函数表达式为． 令， 解得，，， 当时，，即． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，一次函数解析式，二次函数与角度综合等知识．熟练掌握二次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，一次函数解析式，二次函数与角度综合是解题的关键． 【变式1】．（23-24九年级上·陕西西安·期末）抛物线 经过，两点，若D是抛物线上的一点，满足，求点D的坐标． 【答案】点D的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的判定，勾股定理；利用函数值相等的点关于对称轴对称得出D点坐标是解题关键．分点P在左侧与右侧两种情况，即可得D点坐标． 【详解】解：如图， 当点D在左侧时， 由，得， D与P关于y轴对称，， 得； 当点D在右侧时，延长交x轴于点G． 作于点H，则，． ， ． 设，则，． 在中，由，得． ∴点． ∴直线的解析式为 ， 解方程组得或． ， ． ∴点D的坐标为或． 【变式2】．（23-24九年级上·陕西西安·期末）已知抛物线经过点，，与y轴的交点为C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴m右侧，对称轴m与x轴交于点M，过点P作轴，垂足为N．若，求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合， （1）运用待定系数法解题即可； （2）先求出对称轴是直线，得到，再求出，进而得到直线解析式为，如图所示，当点P在x轴下方且在对称轴右侧时，由可得，则，进而得到直线的解析式为，联立解得或（舍去）则点P的坐标为；由对称性可知，直线与抛物线对称轴右侧的交点也满足题意，同理可得点P的坐标为． 【详解】（1）解：把，代入得：， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：∵抛物线解析式为， 抛物线的对称轴是直线， ∴， 在中，令得， ， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 如图所示，当点P在x轴下方且在对称轴右侧时， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 联立解得或（舍去） ∴点P的坐标为； 由对称性可知，直线与抛物线对称轴右侧的交点也满足题意， 联立解得或（舍去）， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 【变式3】．（23-24九年级上·四川南充·期末）如图，经过点的抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，，求点的坐标； (3)如果是抛物线第一象限上动点，（2）中确定的点与分别在直线两侧，点在射线上．当四边形面积最大时，求的值． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2)点的坐标为，或 (3) 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）点关于对称轴的对称点符合．取关于轴的对称点．射线与抛物线的交点也符合．设为．将代入，得出射线为．联立抛物线解析式得出点的坐标，即可求解； （3）由（2）得，，则，为定值．则的最大值由确定．作轴于，与直线交于．设，则．表示出根据二次函数的性质得出当时，得出最大值，进而将代入，即可求解． 【详解】（1）∵在轴， ∴可设抛物线为． 将代入， 得 解得 ∴抛物线解析式为． （2）∵， ∴抛物线对称轴为． 点关于对称轴的对称点符合． 取关于轴的对称点． 射线与抛物线的交点也符合． 设为．将代入， 得 解得． ∴射线为． 由， 得．解得，或． 当时，． 综上，点的坐标为，或． （3）∵（2）中确定的点与分别在直线的两侧， ∴点的坐标为， ∵， ，即，为定值． ∴的最大值由确定． 由（2）可知，射线为， ∵ ∴直线为． ∵抛物线对称轴为，与轴的一个交点， ∴另一个交点． 作轴于，与直线交于． 设，则． 则． ∴ ． 当时，取最大值． 将代入，得． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 题型二：二倍角关系问题 【例2】．（22-23九年级上·湖北黄石·期末）抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点．    (1)直接写出A，B，C三点的坐标为A______，B______，C______； (2)连接，若，求点P的坐标； (3)连接，是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)点P的坐标为 (3)点P的坐标为 【分析】（1）令，则，令，则，所以或，由此可得结论； （2）连接，设，则，列出方程求出m的值，进而可以解决问题； （3）在的延长线上截取，连接，过点B作轴，交于点E，连接，求出直线的解析式为：，直线的解析式为：，联立方程组即可解决问题． 【详解】（1）解：令，则， 令，则， 解得：或， ∴． 故答案为：； （2）解：如图，连接，    设， P是第一象限内抛物线上的一点， ， 则， ， ， ， ， ，即， 解得：或（舍去）， 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：存在点P使得，理由如下： 如图2，在的延长线上截取，连接，过点B作轴，交于点E，连接，    在中， ， ， ， ， 轴， ， ， ． 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令，则， ， ， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立：， 解得：（舍去）或， ∴点P的坐标为． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查待定系数法求一次函数，面积问题，角度的存在性等相关内容，解本题（3）的关键是正确画出辅助线，确定点P的坐标． 【变式1】．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线与y轴交于，与x轴交于B、C两点（C在B的右侧），顶点坐标为． (1)求抛物线解析式； (2)点是抛物线上一动点，且位于直线的上方，过点作的垂线交于点，求长度的最大值； (3)在直线上是否存在点G，使得？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的解析式为； (2)的最大值为； (3)点的坐标为：或． 【分析】本题为二次函数综合题，涉及到二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）根据顶点坐标为，设二次函数的顶点式为，由题意，将代入解析式得，，即可求解； （2）作轴交于点，是等腰直角三角形，当最大时，最大，求得关于m的二次函数，根据二次函数的性质即可求解； （3）当，则，即，进而求解． 【详解】（1）解：顶点坐标为， 设二次函数的顶点式为， 抛物线与轴交于， ， 解得，． 二次函数的解析式为； （2）解：令， ． 或3． 抛物线与轴的交点，． 由，得，直线为． 作轴交于点， 设，则， ∵直线与轴夹角， ∴是等腰直角三角形，当最大时，最大． ， ∵， ∴有最大值，最大值为， ∴的最大值为； （3）解：存在，理由： 如图，当， 则， 即， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设点的坐标为：， 当时， 即， 解得：， 则点； 当点在点的上方时， 则，设点， 则， 解得：（舍去）或， 则点， 综上，点的坐标为：或． 【变式2】．（22-23九年级下·湖北恩施·期中）已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点和点，与轴交于点，点为第二象限内抛物线上的动点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接交于点，当时，请求出点的坐标； (3)如图2，点的坐标为，点为轴负半轴上的一点，，连接，若，请求出点的坐标； (4)M是平面内一点，将绕点逆时针旋转后，得到，若的两个顶点恰好落在抛物线上，请求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据抛物线解析式求得的坐标，进而得出，根据得出则点到轴的距离为，即可得出点的坐标； （3）设直线交轴于点，求得直线的表达式为，联立并解得 (舍去正值)，即可求解． （4）依题意，轴，轴．当点在抛物线上时，设点的横坐标为，则点的横坐标为．得出点，当点，在抛物线上时，同理可得． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴ 解得：， ∴； （2）令，得． 解得：． ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ 过点作轴于点，      ∴点到轴的距离为， ∵，则， ∴点； （3）设直线交轴于点，    ∵，， ∴， ∴． 则直线的表达式为 联立 解得 (舍去正值)． 故点 （4）∵绕点逆时针旋转， ∴轴，轴． 如图1，当点在抛物线上时， 设点的横坐标为，则点的横坐标为． ∴ 解得，则点 如图2，当点，在抛物线上时， 设点的横坐标为，则点的横坐标为， 点的纵坐标比点的纵坐标大， ∴ 解得． 则点 ∴点的坐标为或    【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，角度问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式3】．（23-24九年级上·广东珠海·期中）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过B，C两点，且与轴的负半轴交于点，动点在二次函数图象上，过点作平行于轴，交直线BC于点．    (1)求二次函数的表达式； (2)若以M、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)根据图象，直接写出不等式的解集________．若的横坐标在此范围内时，且，直接写出点的坐标为_______． 【答案】(1)二次函数的表达式为 (2)或或 (3)； 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）设，则，根据平行四边形的性质得出，然后列出方程求解即可； （3）结合函数图象即可确定不等式的解集；作点关于轴的对称点，连接，过点作交抛物线与点，利用轴对称的性质得出，再由待定系数法确定直线的解析式为，联立求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴令时，；令时，； ∴，， ∵二次函数的图像经过两点，且与轴的负半轴交于点， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）由（1）得， ∴， ∵轴即， ∵以M、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形， ∴， 设，则， ∴， 解得：，，， ∴，，， ∴点M的坐标为：或或； （3）由图象得一次函数与的交点为点，， ∴当一次函数位于二次函数上方时，即， 此时， 如图所示，作点关于轴的对称点，连接，过点作交抛物线与点， ∴，， ∴，则点为所求点，    ∵， ∴， 设直线的解析式为，且， ∴，解得，， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设所在直线的解析为， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线与抛物线交于点， ∴联立方程组得，解得，或， ∵动点在直线下方的二次函数图像上，即点的横坐标的范围为：， ∴不符合题意，舍去， ∴当时，点的坐标为； 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式的方法，二次函数图像的性质，平行四边形的判定和性质，一次函数与二次函数的交点问题及轴对称的性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 题型三：两角和与差问题 【例3】．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，连接，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为： (2)面积的最大值是：，此时点的坐标为： (3)点的坐标是：或 【分析】（1）用待定系数法，将点，点坐标代入，即可求解， （2）首先确定的形状，再由，，确定的形状，由三角形面积公式可得，当最大时，面积的取最大值，设点坐标为：，则点坐标为：，可得出关于的表达式，根据一元二次方程极值，求出的最大值后，即可求解， （3）分点在上方和下方两种情况进行讨论，分别找到的等角，与拼接成角，求出对应的点位置，即可求解． 【详解】（1）将点，点代入可得： ，解得：， 故抛物线的解析式为：， （2）由，当时，， 点坐标为：， 设直线的解析式为 把两点代入得：，解得 直线解析式为：， ， ，， ，，， ， 设点坐标为：，则点坐标为：， ， 当时，取最大值，此时点坐标为：， ， 故面积的最大值是及此时点的坐标为：， （3）当点在上方时，作点关于轴的对称点，过点作交抛物线于点，   与关于轴对称， ， 又， ， ， ， 点，点， 同理可求直线解析式为：， 设直线解析式为：，将代入，解得：， 直线解析式为：， 联立抛物线与直线解析式： 解得：或， ， 当点在下方时， 作点，直线与抛物线交于点，   点，点， 直线解析式为：， ，，， ， ， ， 联立抛物线与直线解析式： 解得：或， 故答案为：点的坐标是或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，解题的关键是： （1）熟练掌握待定系数法求二次函数解析式， （2）用含字母的式子表示点坐标和相关线段的长度，熟练掌握求二次函数最值， （3）通过平移、对称等方法，找到符合已知条件的点的位置． 【变式1】．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，拋物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，已知点． (1)求抛物线的解析式； (2)是线段上的一个动点，过点作轴，延长交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)最大值为2，的坐标为； (3)存在，或． 【分析】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用了三角形的面积得出关于n的方程，以防遗漏； （1）根据对称轴，利用待定系数法即可求解； （2）根据对称轴得出点坐标，由点、的坐标得直线的解析式为，设点，则点，进而求解； （3）根据三角形的面积，可得关于的方程，根据解方程，可得答案； 【详解】（1）点的坐标为 ． 抛物线过点，对称轴是直线， ， 解得， 抛物线的解析式为． （2）抛物线对称轴为直线，点的坐标为， 点的坐标为． ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为． 设点， 则点， ． ， 当时，线段的值最大，最大值为2，此时点的坐标为； （3）存在． 设点， 如图，过点作于点，连接． ， ， ． ， ． 由的面积，得， 即化简，得， 解得（不符合题意，舍去）， ． 设点与点关于原点对称，则， ． 综上所述，点的坐标为或． 【变式2】．（21-22九年级上·重庆·期末）如图1，在平而直角坐标系中，抛物线（、、为常数，）的图像与轴交于点、两点，与轴交于点，且抛物线的对称轴为直线．      (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点；是否存在点，使得取得最大值，若存在请求出它的最大值及点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，若点是抛物线上另一动点，且满足，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)P的坐标为：或． 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）过点作于点，求得，直线的解析式为，设，点在直线上，则，进而求得，根据二次函数的性质求得最值以及的值，进而求得的坐标； （3）取点，连接，则，进而证明，根据的解析式求得的解析式，进而联立抛物线解析式即可求得点的坐标，当时，记与轴的交点为，也满足条件，证明，可得，求解为，进而联立抛物线解析式即可求得点的坐标，． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，与轴交于点、两点，与轴交于点， 设抛物线的解析式为，将点代入得 解得 抛物线的解析式为 即 （2）解：如图，过点作于点，    设直线的解析式为，将点， 代入得： 解得 直线的解析式为 ， 是等腰直角三角形 轴， 轴 在中， 在直线上方的抛物线上有一动点，设 点在直线上，则 ， 即当时，的最大值为： 此时 即 （3）如图，取点，连接，则，    又 设直线的解析式为 则 解得 直线的解析式为 设直线的解析式为，过点 解得 直线的解析式为 是抛物线上的一点，则为直线与抛物线的交点，则 解得， 当时，记与轴的交点为，也满足条件，      ∵，， ∴，， ∴，而， ∴， ∴， ∴， 设为， ∴，解得：， ∴为， ∴，解得：或， ∴， 综上：P的坐标为：或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，一次函数的平移问题，二次函数最值问题，掌握二次函数的图象的性质与清晰的分类讨论是解题的关键． 【变式3】．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）已知抛物线经过点，它的对称轴为直线，且函数有最小值为．P是抛物线上的一个动点，且横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线与x轴的交点为A，B（A在B左侧）与y轴的交点为C，P是抛物线上第四象限内的一个动点，连接，，当面积为面积的三分之一时，求出此时点P的坐标； (3)连接，是否存在点P，使得，若存在，直接写出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）设抛物线的顶点式，运用待定系数法求解即得； （2）过点P作轴，交于点D，先计算，再用含m的代数式表示的长，进而列出方程求解，即得点P的坐标； （3）分两种情况求解，当在的内部时，为的平分线，设交x轴于点E，过点E作于点H，设，求出的长，并列方程即可求得点E的坐标，进而得到直线的解析式，从而求得m的值；当在的外部时，过点B作轴，交的延长线于点F，证明，即可得到点F的坐标，进而求得的解析式，从而求得m的值． 【详解】（1）由题意知抛物线的顶点为， 设， 将代入得， 解得， 所以抛物线的解析式为，即； （2）过点P作轴，交于点D， 令，得，， 令，得， 解得，， ，， ， ， P点的横坐标为m， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ， ， ， 解得，， 当时，，， 当时，，， 点P的坐标为或； （3）存在，或． 理由如下： ，， ， ， ， 所以存在两种情况： ①当在的内部时，为的平分线， 设交x轴于点E，过点E作于点H， 设，则， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 解方程组得，或（舍去）， ； ②当在的外部时，过点B作轴，交的延长线于点F， ，，， ， ， ， 求得直线的解析式为， 解方程组得， ， 或． 【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的面积问题，二次函数的角度问题等知识，综合运用这些知识是解答本题的关键． 题型四：特殊角问题 【例4】．（23-24九年级上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，． (1)求a的值； (2)点与点是抛物线上两个不重合的点，求的值； (3)点P是抛物线对称轴上一点，在直线BC上有且仅有一个点Q，使得，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】该题主要考查了二次函数综合问题，解题的关键是熟悉二次函数的性质，利用数形结合思想解答； （1）根据题意得出再由且即可求解； （2）由（1）得抛物线的解析式为,将和代入解析式，将两式相加和相减即可求得； （3）设点P坐标为，根据题意可确定当为与对称轴交点时，可使得根据，即可求解； 【详解】（1）令 则， 解得：， 令，解得： 点A在点B的左侧, ∴， ∵ 且 ； （2）由（1）得抛物线的解析式为, 将和代入解析式得： ， 两式相减可得：，两式相加可得：， 即，或， 将代入可得：， ； （3）由（1）得： 抛物线对称轴为设点P坐标为， ∴， 则直线方程：, 设点坐标， ，， 可得，当为与对称轴交点时，可使得 ， 点的坐标为．    【变式1】．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）（1）【建立模型】在数学课上，老师出示这样一个问题：如图1，在中，，，直线l经过点C，，，垂足分别为点D和点E，求证：，请你写出证明过程； （2）【类比迁移】勤奋小组在这个模型的基础上，继续进行探究问题：如图2，在平面直角坐标系中，直线的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，反比例函数的图象经过点B，请你求出反比例函数的解析式； （3）【拓展延伸】创新小组受到勤奋小组的启发，结合抛物线的图象继续深入探究：如图3，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，创新小组的同学发现在第一象限的抛物线的图象上存在一点P，连接，当时，请你和创新小组的同学一起求出点P的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，一次函数与反比例函数的综合问题，一次函数与二次函数的综合， （1）直接根据角角边证明三角形全等即可； （2）先求出A，C坐标，再得出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）过点C作，且，过点B作轴，垂足为点E，连接交抛物线于点P，求出直线的解析式，再与二次函数解析式联立，解方程即可； 熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴， ∴ ∵，， ∴ （2）∵， ∴当时，，当时，，， ∴，， 由（1）可知：， ∴，， ∴，点B的坐标为 把代入得：，解得， ∴反比例函数的解析式为： （3）过点C作，且，过点B作轴，垂足为点E，连接交抛物线于点P， ∴， 由（2）可知，， ∴设直线的解析式为， ∴，∴， ∴ ∴， 解得：，（不合题意，舍去） 当时，， ∴ 【变式2】．（23-24九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，是该抛物线的顶点．    (1)求的值． (2)判断的形状，并说明理由． (3)在抛物线对称轴上是否存在点，使？若存在，请求出符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． (4)在（3）的条件下，平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形 (3)存在， (4)点的坐标为，， 【分析】（1）把代入即可求解； （2）先根据条件求出，，，进而求出，利用勾股定理逆定理即可验证； （3）设，求出，利用勾股定理逆定理即可求解； （4）分情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：； （2）解：由（1）得：抛物线解析式为：， ∴，， ∴， 令，即，解得：， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴，，， ∵， ∴是直角三角形； （3）解：存在； 由（2）得：，，， 设， ∴，， ∵， 若，则，即，解得：， ∴， ∴在抛物线对称轴上存在点，使； （4）解：存在； 由题意得：，，， 设， 当为对角线时，则，，即， ，解得：，， ∴； 当为对角线时，则，，即，，解得：， ∴； 当为对角线时，则，，即，，解得：， ∴； 综上：点的坐标为，，； 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，勾股定理以及其逆定理，灵活运用所学知识是关键． 【变式3】．（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图，已知抛物线（）与轴相交于点，与轴分别交于点和点A，且． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由； (3)抛物线的对称轴交轴于点，在轴上是否存在一个点，使的值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点坐标为或 (3)存在， 【分析】（1）根据点的坐标，可求出点A的坐标，运用待定系数法即可求解； （2）如图所示，过点作交轴于点，交抛物线于点，作关于轴的对称点，作交抛物线于，根据题意分别计算出直线的解析式，根据直线与抛物线由交点，联立方程组求解即可； （3）如图所示，过点作于，过点作于，交轴于点，根据点的坐标可得是等腰直角三角形，由此可得是等腰直角三角形，可得，当运动到，和重合时，的值最小，最小值是，根据抛物线的特点可得点的坐标，由此可求出的长，根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将，，代入得， ，解得，， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：存在一点，使得，理由如下： 如图所示，过点作交轴于点，交抛物线于点，作关于轴的对称点，作交抛物线于， ∵， ∴，即点是满足题意的点， ∵，， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为：，将代入得：， ∴， ∴直线的解析式为：，， 直线与抛物线联立方程组得， 解得，（与重合，舍去）或， ∴， ∵关于轴对称， ∴直线的解析式为：， ∴，， ∴是满足题意的点， 设直线的解析式为：，将代入得：， ∴， ∴直线的解析式为：， 直线与抛物线联立方程组得， 解得，（与重合，舍去）或， ∴， 综上所述，点坐标为或． （3）解：在轴上存在一个点，使的值最小，理由如下： 如图所示，过点作于，过点作于，交轴于点， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵，，则， ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴最小即是最小， ∴当运动到，和重合时，的值最小，最小值是， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即的最小值为． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法解二次函数解析式，几何图形的变换特点，一次函数与二次函数联立方程组求解，等腰直角三角形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键． 1．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，点A的坐标为．    (1)该抛物线的表达式为　　； (2)点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接．当时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点Q，将线段绕点Q顺时针旋转，使点恰好落在抛物线上？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由对称轴为直线，点的坐标为，得出，通过交点式得出函数关系式； （2）设抛物线对称轴交x轴于点F，交于点D，连接并延长交于，则可得，，且得点D的坐标，证明，得D为中点，由中点公式求出的坐标，由待定系数法求出直线的关系式，与抛物线联立即可求出交点P的坐标； （3）分在上方和下方两种情况，当在上方时，构造出，得代入抛物线即可，当在上方时，得出． 【详解】（1）解：对称轴为直线，点的坐标为， ， ； （2）解：设抛物线对称轴交x轴于点F，交于点D，连接并延长交于，如图， ∵对称轴为直线， ∴， ，， ∴；    在中，令，得， ∴， ， ， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴，， ，， ∴， ∴， 由中点坐标公式得：， 设直线的关系式为：， 把C、E两点坐标分别代入得：，解得：， 直线的关系式为：， 联立二次函数与一次函数解析式并消去y得：， 解得：（舍，， 当时，， ； （3）解：存在； 点旋转后的对应点为，作对称轴于，对称轴于， 当在上方时，    则，设， 将线段绕点顺时针旋转得线段， ∴，则， 又， ∴， 又，， ， ，，， ， 恰好落在抛物线上， ， 解得，（舍）， ∴点Q的纵坐标为； ， 当在上方时，作对称轴于，    可知：为等腰直角三角形， ∴， ∴点Q的纵坐标为， ， 综上：或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式，旋转的性质，等腰直角三角形的性质以及运算能力等知识，用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 2．（23-24九年级上·福建福州·期中）抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线，点D在抛物线上．      备用图 (1)求拋物线的解析式； (2)如图，点D在上方的抛物线上，当的面积最大时，求点D的坐标； (3)是否存在点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法列方程组求解抛物线的解析式即可； （2）连接，过点D作于点E，设，即可求得点C的坐标，即可求得、，再根据确定关于面积的函数关系式，然后化为顶点式即可； （3）分两种情况进行分析：当D在上方时，当D在下方时，分别画出相应图象，然后利用平行线的性质及二次函数的性质求解即可 【详解】（1）解：∵，抛物线的对称轴为直线， ， 解得：， 所以，抛物线的解析式为：； （2）解：如图：连接，过点D作于点E，    ，令， 解得， ∴， 设， ， ∵点D是上方抛物线上的一个动点， ， ， 令，则， ， ． ， ． ， 设 ， ∴， ∴当时，面积取得最大值， 此时， 的坐标为； （3）解：存在点，使得，理由如下： 当D在上方时，如图：    ∵， ∴， 令中，， 即， 解得：或， ∴； 当D在下方时，设交x轴于K，如图：    ∵， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴ 设直线的解析式为，将点，代入得： ，解得， ∴， 联立， 解得：或， ∴ ∴点D的坐标为或． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，两个函数的交点问题，坐标与图形，不规则图形面积的求法，采用数形结合的思想及正确作出辅助线是解决此题的关键． 3．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C．    (1)求二次函数解析式； (2)如图1，若在x轴上方的抛物线上存在一点D，使得，求点D的坐标； (3)如图2，平面上一点，过点E作任意一条直线交抛物线于P、Q两点，连接、，分别交y轴于M、N两点，则与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值，为2，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过作交于点，作轴于点，证明，可得，用待定系数法求出直线的解析式，与抛物线联立解交点即可得出的坐标； （3）设直线的解析式为，，，由直线过点，可得其解析式为，与抛物线联立得到，，作轴于点，作轴于点，证明，可得，，代入计算，即可得出是一个定值． 【详解】（1）∵抛物线交x轴于，两点， ∴ 解得 ∴； （2）∵ 当时，， ∴点， 过作交于点，作轴于点，    ， ，即， ， ， ， ，， ， ，， ， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 联立， 解得（舍去），或， ； （3）是定值，为2，理由： 过点作一直线交抛物线于、两点， 设直线的解析式为，，， ，得， 直线的解析式为①， ∵抛物线②， ∴联立①②得：， ，， 如图，作轴于点，作轴于点，    则， ，即， ， 同理，， ，为定值． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，根和系数的关系等．解决（3）问的关键的是通过相似三角形用坐标表示出线段，的长． 4．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，二次函数的图象经过点，，且与y轴交于点C，直线与x轴、y轴交于点D、E，与二次函数图象交于点F，G．    (1)求该二次函数的解析式. (2)点M为该二次函数图象上一动点． ①若点M在图象上的C，F两点之间，求的面积的最大值. ②若，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)①；②点M的坐标为：或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）①由的面积，即可求解； ②当点在上方时，若，则点轴，即可求解；当点在下方时，若，则，即可求解． 【详解】（1）将点，代入中，得 解得， ∴该二次函数的解析式是； （2）①如图1，过M作轴，轴，垂足为H、K，连OM，    ∵，当时，， ∴， 当时，， ∴ ∴， 设 ∴ ∵，开口向下，当时，有最大值 ②当点M在第三象限时，设ME交x轴于点N，如图2，    ∵， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得， ∴， 设直线EN解析式为，把代入得， 解得 ∴ 则 解得（舍） ∴ ∴ 当点M在第二象限时，如图3，    ∵， ∴轴， 当时， 解得（舍） ∴ 综上所述，点M的坐标为：或 【点睛】本题为二次函数综合题，涉及到二次函数的图象性质、解直角三角形、面积的计算等，分类求解是本题解题的关键． 5．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图1，已知抛物线顶点C的纵坐标是4，与x轴交于A、O两点，经过点A的直线经过，D为直线上一动点． (1)______；______； (2)连接，当线段与直线夹角为时，求点D的坐标． (3)如图2，连接，线段上是否存在点E，连接，当时，线段被x轴截得线段比为两部分，若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点D的坐标为或 (3)存在，点E的坐标为或 【分析】（1）将抛物线解析式改写成顶点式，根据顶点纵坐标可求得，再求出，利用待定系数法即可求出k的值； （2）当时，证明，可得点在的垂直平分线上，然后可求点的坐标；当时，证明，设，根据两点间距离公式列式求出t的值即可得出答案； （3）求出直线的解析式为，设，其中，抛物线对称轴交直线于G，交x轴于点J，在x轴负半轴上取点，使，连接，，过点E作，交于D，交x轴于K，求出可得，根据，利用勾股定理建立方程求出，运用待定系数法可得直线的解析式为，进而可求得直线的解析式，联立两直线解析式求出，由线段被x轴截得线段比为两部分，得出或，求出m即可解决问题． 【详解】（1）解：∵，顶点的纵坐标是4， ∴， ∴， ∴， 令，即， 解得：，， ∴， 把，代入得：， 解得：， 故答案为：，； （2）∵线段与直线的夹角为， ∴或， 当时，如图1， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点横坐标为，， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， 解得：（舍去），， ∴， 综上所述，点D的坐标为或； （3）存在； 由（1）得：， ∴， 设直线的解析式为， 代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点E是线段上一点， ∴设，其中， 如图2，设抛物线对称轴交直线于G，交x轴于点J，在x轴负半轴上取点，使，连接，，过点E作，交于D，交x轴于K， ∵，J是中点， ∴G是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，，且， ∴设直线的解析式为， 代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立方程组得， 解得：， ∴， ∵线段被x轴截得线段比为两部分， ∴或， ∴或， ∴或， 解得：或， ∴点E的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法的应用，一次函数和二次函数的图象与性质，直角三角形斜边中线的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，解一元二次方程，平行线分线段成比例等知识，运用分类讨论思想和方程思想是解题关键． 6．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）如图，抛物线经过点，且交x轴于，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，过点D作轴，垂足为M，点P在直线下方抛物线上运动，过点P作，，求的最大值，以及此时点P的坐标． (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点G，使得，请写出所有符合条件的点G的横坐标，并写出其中一个的求解过程． 【答案】(1) (2)最大值为， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线解析式为，证明，得到，再证明是等腰直角三角形，得到，则，设，则，，求出，，则，利用二次函数的性质即可求出答案； （3）求出，得到，进而推出将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于把原抛物线向上平移个单位长度，再向左平移1个单位长度，则平移后的抛物线解析式为；如图所示，取点，连接，证明是等腰直角三角形，且，得到，则与抛物线 的交点即为点G，同理可得直线的解析式为，联立得，解得或（舍去），则点G的坐标为；同理当取点时，可证明是等腰直角三角形，且，则，同理可求出点G的坐标为． 【详解】（1）解：把，代入中得： ， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线解析式为，设交于H， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴ ∴ （3）解：∵抛物线交y轴于点C． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于把原抛物线向上平移个单位长度，再向左平移1个单位长度， ∵原抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线解析式为； 如图所示，取点，连接， ∵，， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴与抛物线 的交点即为点G， 同理可得直线的解析式为， 联立得， 解得或（舍去）， ∴点G的坐标为； 同理当取点时，可证明是等腰直角三角形，且， ∴， ∴与抛物线 的交点即为点G的位置， 同理可得直线的解析式为， 连接得， 解得或（舍去）， ∴点G的坐标为； 综上所述，点G的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理得逆定理等等，通过构造等腰直角三角形得到45度的角是解题的关键． 7．（23-24九年级上·辽宁朝阳·期末）如图，抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，直线经过点B，点C．    (1)试求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)若M是抛物线上一点，且，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题考查的二次函数综合运用，涉及到一次函数、勾股定理等相关知识，利用勾股定理求出点H的坐标是本题的关键． （1）先求出点B和点C的坐标，利用待定系数法可求解； （2）过点P作交于点E，先求出点A坐标，设点，则点，利用面积和差关系可求解； （3）分两种情况讨论，先求出直线或的解析式，联立方程组可求解． 【详解】（1）解：直线与x轴交于点B，与y轴交于点C， 当时，，当时，， ∴，， 将，代入， 可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）如图1，过点P作交于点E，    ∵抛物线与x轴的交点为A、B， ∴， ∴，， ∴点， 设点，则点， ∴， ∵的面积， ∴当时，的面积有最大值， 当，， 此时点； （3）如图2，当点M在上方时，设交于点H，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∵点，点， ∴直线解析式为：， 联立方程组可得， 解得：或， ∴点， 当点在下方时， ∵， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为； 综上所述：点M的坐标为或． 8．（23-24九年级上·内蒙古包头·期末）如图，抛物线与x轴相交于原点和点，在第一象限内与直线交于点B，抛物线的顶点为C点．    (1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标； (2)点在抛物线上，连接，求的面积； (3)抛物线上是否存在点D，使得？若存在，求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为或； 【分析】（1）运用待定系数法可求得抛物线的解析式为； （2）如图，过作轴交于，求解的坐标与的解析式，的坐标，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）存在点D，使得．分两种情况：当点D在直线的上方时，当点D在直线的下方时，分别运用待定系数法求出直线的解析式，再联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：把，分别代入，得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为 ∴顶点坐标为：． （2）当时，， ∴， 如图，过作轴交于，    设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， ∴， ∴； （3）存在点，使得 ∵抛物线的顶点为， 如图，当点在直线的上方时，    ， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 直线的解析式为， 联立，得：， 解得：（舍去），， ； 当点在直线的下方时， 如图，过点作轴于点，过点作于点，交于点，连接交抛物线于点，则，， 点是的中点，即， 是线段的垂直平分线， ， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，得， 解得：， ， 设直线的解析式为则， 解得：， ∴直线的解析式为，与联立，得， 解得：（舍去），， ； 综上所述，存在点，使得，点的坐标为或； 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数上的坐标特征，三角形的面积和全等三角形的判定及性质，解题的关键正确表达两个三角形面积的比． 9．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点是抛物线的顶点，连接．    (1)求抛物线的函数解析式及顶点的坐标； (2)设直线与抛物线相交于、两点（点在点的左侧且点在第四象限），当直线与直线相交所成的一个角为时，求点的坐标； (3)如图2，作直线，分别交轴正、负半轴于点、，交抛物线于点、，设点、的纵坐标分别为、，且，求证：直线经过一个定点． 【答案】(1)，顶点 (2)点坐标为 (3)见解析 【分析】（1）利用待定系数法求得函数解析式，再利用抛物线的顶点坐标公式即可求解； （2）先求得直线过定点，再构造一线三等角，证明，求得，再求得，根据平行线的性质求得，联立即可求解； （3）设：，：，表示出M、N的坐标，由，得到，联立，根据根与系数的关系，求得，，设：，联立，根据根与系数的关系，求得，，据此求得，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：∵经过点， ∴， ， ， ∴抛物线解析式：， 对称轴， 时， ∴顶点， 综上所述，抛物线解析式，顶点； （2）解：∵， ∴当，即时，， ∴过定点， 过作，，连， 过作交抛物线于，， 过作轴，过作于，过作于，      ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入得，解得， ∴， 联立，解得，， 又， ∴，， ∴点坐标为； （3）解：设：，：， ∴，， ∵， ∴， ∴， 联立：， ∴， ∴， ∴， 同理：， 设：， 联立：， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，    ∴， ∴， ∴定点． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 10．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线，点的坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)点为抛物线上一点（不与点重合），连接．当时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，使点恰好落在抛物线上？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）由对称轴和点A的坐标，可得到点B的坐标，进而得到函数关系式； （2）作于D，可知D在对称轴上，求出点E的坐标，得出直线的关系式与抛物线求交点即可； （3）分P在Q上方和下方两种情况，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线，点A的坐标为， ∴， ∴； （2）解：作于D，交于E，对称轴交x轴于一点F，连接，，如图所示： ， ∵，对称轴为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在的中垂线上， ∴点在抛物线的对称轴上， ∴， ∴， ∵， 在中， ， ∴（AAS）， ∴， ∴， 设直线的关系式为，将点C、E的坐标代入， 得，解得， ∴直线的关系式为：， 联立， ∴， 解得：（舍）， ∴； （3）解：点P旋转后的对应点为，作对称轴于一点D，对称轴于一点E， 当P在Q上方时，如图所示： ， 此时，设， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，则， 又， ∴， 又， ∴（AAS）， ∴， ∴， ∵恰好落在抛物线上， ∴， 解得：（舍）， ∴点Q的纵坐标为， ∴； 当Q在P上方时，作对称轴于一点D， 则：为等腰直角三角形， ∴， ∴点Q的纵坐标为， ∴， 综上可得：存在这样一点Q，点Q的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的性质以及运算能力，用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，求出线段之间的关系是解答本题的关键． 11．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，连接，，． (1)求该抛物线的表达式及其顶点坐标； (2)的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)设直线与直线交于点，若存在与中一个是另一个的2倍，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)．顶点坐标为：； (2)面积的最大值为，此时点的坐标为，； (3)点的坐标为，或，或，． 【分析】（1）把点和点的坐标代入抛物线，即可得抛物线表达式，抛物线的表达式化为顶点式即可得其顶点坐标； （2）由三角形的面积公式得到二次函数关系式，由二次函数最值的求法解答； （3）需要分两种情况，当及，再根据题目中条件求解即可． 【详解】（1）抛物线过点、， ，解得：， 抛物线的表达式为：． ， 即顶点坐标为：； （2）如图1，过点作轴，交于点， ，， 直线的解析式为， 设点的坐标为，则的坐标为， ， ， 当时，面积的最大值为，此时点的坐标为，； （3）设， 当，如图2， ， ， ，即点在线段的垂直平分线上， 抛物线的表达式为：．令，则． 解得或1， ，， ，解得， 点的坐标为，； 当时，如图3， ， ， ， ， 或（舍去）， 点的坐标为，； 当时，，， 设， ，解得或0（舍去）， ， ， 或（舍去）， 点的坐标为，； 综上，点的坐标为，或，或，． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求表达式，铅垂法表达面积，分类讨论思想等内容，第（3）问要注意，题干中给出条件不明确，需要分类讨论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$