专题01 二次根式 章末分层突破Ⅰ-概念与性质-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

专题01 二次根式 章末分层突破Ⅰ-概念与性质 一、单选题 1．下列各式中，是二次根式的是（    ） A． B． C．2 D． 2．式子有意义的条件是（    ） A． B． C． D．且 3．下列与是同类二次根式的是（  ） A． B． C． D． 4．下列二次根式，被开方数中各因式的指数都为1的是 （    ） A． B． C． D． 5．下列各组二次根式中，为同类二次根式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 6．下列二次根式中，最简二次根式的是（  ）. A． B． C． D． 7．下列各根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 8．下面能与合并的二次根式的是（   ） A． B． C． D． 9．实数a，b在数轴上的位置，如图所示，那么化简结果是（    ）    A． B． C．a D． 10．已知是整数，则正整数n的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．8 11．已知，，化简二次根式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 12．已知，，则代数式的值是（    ） A． B．0 C．4 D．1 二、填空题 13．代数式如果有意义，则x的取值范围为 ． 14．比较大小： ．（填“”，“”，或“”） 15．二次根式的有理化因式是 ． 16．写出的一个有理化因式 17．计算： ． 18．计算的结果为 ． 19．计算： ． 20．化简： ． 21．分母有理化： ． 22．最简二次根式与能合并，则 ． 23．已知，则的值为 ． 24．若，化简二次根式 ． 25．若成立，则的取值范围是 ． 26．不等式的解集是 ． 27．已知是有理数，且，则化简的结果为 ． 三、解答题 28．求使下列各式有意义的字母的取值范围： （1） （2） （3） 29．化简：． 30．化简以下二次根式： (1)； (2)； (3)（）． 31．化简： (1)； (2)； (3)． 32．实数a在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)化简：_______；______． (2)若最简二次根式与是同类二次根式，求a的值． 33．如果最简二次根式与能进行合并，且化简：． 34．当时，求的值，如图是小亮和小芳的解答过程：    (1) 的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质： ； (3)当时，求的值． 35．先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，使得，那么便有：． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，由于即，； ． 由上述例题的方法化简：． 36．【阅读理解】 在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件为，解得， ∴， ∴原式． 【启发应用】 (1)按照上面的解法，试化简：； (2)已知a、b、c为的三边长，化简：． 37．阅读理解题如图，数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点表示的数是其他两个点表示的数的和，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别是，3，，此时A就是B与C的“关联点”． (1)若点B表示的数是，点C表示的数是2，点B表示的数的相反数是点表示的数，则与C的关联点表示的数是__________； (2)若点A表示的数是，点B表示的数是，其中B是A与C的关联点，则点C表示的数是__________； (3)若点A表示的数是，点P表示的数是点B表示的数的倍，若在A，B，P中，有一个点恰好是其他两个点的“关联点”，求点P表示的数是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式 章末分层突破Ⅰ-概念与性质 一、单选题 1．下列各式中，是二次根式的是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的定义，根指数为2且被开方数为非负数，即为二次根式，据此逐项分析即可作答． 【解析】解：A、是二次根式，故该选项是正确的； B、根指数不为2，故该选项是错误的； C、2不是二次根式，故该选项是错误的； D、的被开方数为负数，故该选项是错误的； 故选：A． 2．式子有意义的条件是（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件．熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键． 由题意得，，求解作答即可． 【解析】解：由题意知，， 解得，， 故选：B． 3．下列与是同类二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式定义．根据题意将选项进行化简，继而得到本题答案． 【解析】解：∵，，， ∴与是同类二次根式， 故选：B． 4．下列二次根式，被开方数中各因式的指数都为1的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的定义．根据二次根式的定义判断即可． 【解析】解：A、因为，4的指数不是1，故本选项不符合题意； B、被开方式的指数为1，故本选项符合题意； C、的指数为2，故本选项不符合题意； D、的指数为5，故本选项不符合题意； 故选：B． 5．下列各组二次根式中，为同类二次根式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类二次根式．将二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义逐项判断即可解答． 【解析】解：A、与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误； B、与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误； C、与的被开方数相同，所以它们是同类二次根式；故本选项正确； D、与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误； 故选：C． 6．下列二次根式中，最简二次根式的是（  ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的识别，解题关键是掌握二次根式满足的条件：①被开方数的因数是整数，字母因式是整式；②被开方数不能含开得尽方的因数或因式．据此逐一判断，即可得到答案． 【解析】解：A、，故A选项不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，故C选项不是最简二次根式，不符合题意； D、，故D选项不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 7．下列各根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【解析】解：、不是最简二次根式，不符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 故选：． 8．下面能与合并的二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式以后如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．先根据二次根式的性质化成最简二次根式，再看看是否是同类二次根式即可． 【解析】解：A．从整体上看不是二次根式，故本选项不符合题意； B． ，不能与合并，故本选项不符合题意； C． ，能与合并，故本选项符合题意； D．，不能与合并，故本选项不符合题意； 故选：C 9．实数a，b在数轴上的位置，如图所示，那么化简结果是（    ）    A． B． C．a D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是关键．利用数轴得出，，进而利用二次根式的性质化简求出即可． 【解析】解：由数轴可得：，， ∴，， 则 ， 故选：B． 10．已知是整数，则正整数n的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据是整数，即可求解． 【解析】解：， 当时， ，是整数， 故正整数的最小值为． 故选C． 11．已知，，化简二次根式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的化简，根据二次根式的被开方数必须为非负数，及二次根式性质原式化简得到答案． 【解析】解：∵， ∴，故， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 12．已知，，则代数式的值是（    ） A． B．0 C．4 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式乘除法公式和合并同类二次根式法则是解本题的关键． 根据题意可判断，，然后再根据二次根式乘除法法则和合并同类二次根式法则进行化简求值即可． 【解析】，， ，， ． 故选：A． 二、填空题 13．代数式如果有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件列不等式，求出x的取值范围即可． 【解析】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 14．比较大小： ．（填“”，“”，或“”） 【答案】 【分析】本题考查了比较实数的大小，以及二次根式的性质，先把根号外的因式移入根号内，再根据实数的大小比较方法（绝对值大的反而小）比较大小即可． 【解析】解：，， ， ， ， 故答案为：． 15．二次根式的有理化因式是 ． 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握有理化因式的意义是解题的关键．根据平方差公式进行计算，即可解答． 【解析】解：，， 二次根式的有理化因式是或， 故答案为：或（答案不唯一）． 16．写出的一个有理化因式 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查有理化因式，根据有理化因式的定义求解即可．有理化因式即为与之乘积为有理式的因式． 【解析】解：由得：的一个有理化因式可以是：， 故答案为：(答案不唯一)． 17．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是利用二次根式的性质化简，利用直接可得答案． 【解析】解：， 故答案为： 18．计算的结果为 ． 【答案】18 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，掌握是正确解答的关键．根据即可得出答案． 【解析】解：， 故答案为：18 19．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据化简即可． 【解析】解：∵ ∴ 故答案为：. 20．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，根据根式的性质进行化简即可．熟悉相关性质是解题的关键． 【解析】解：， 故答案为：． 21．分母有理化： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分母有理化，分子分母同时乘以，即可求解． 【解析】解：， 故答案为：． 22．最简二次根式与能合并，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，代数式求值等知识．熟练掌握同类二次根式，最简二次根式，代数式求值是解题的关键． 由题意知，，，计算求解，然后代值求解即可． 【解析】解：由题意知，，， 解得，，， ∴， 故答案为：2． 23．已知，则的值为 ． 【答案】12或2 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，先根据二次根式性质，由，得出，，然后求出的值即可． 【解析】解：∵有意义， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴或， 故答案为：12或2． 24．若，化简二次根式 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，掌握二次根式的非负性是解题的关键．先将化成，再根据二次根式的非负性即可解答． 【解析】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 25．若成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，即可得到答案，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 26．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式和分母有理化，根据“移项，合并同类项，化系数为”即可求解，解题的关键是掌握一元一次不等式求解方法和分母有理化的计算方法． 【解析】解： ， 故答案为：． 27．已知是有理数，且，则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质进行化简，先由二次根式有意义的条件得出，从而得出，代入结合二次根式的性质进行化简即可． 【解析】解：由题意得：，， 解得：， 将代入得， ， 故答案为：． 三、解答题 28．求使下列各式有意义的字母的取值范围： （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）全体实数；（3）． 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可得不等式，再解不等式即可； （2）根据二次根式有意义的条件可得不等式，得m取任意实数； （3）根据分式有意义和二次根式有意义的条件可得，且，解不等式即可． 【解析】解：（1）由题意得：， 解得：； （2）， 的取值范围是全体实数； （3）由题意得：，且， 解得． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，（3）要注意分母不为零． 29．化简：． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【解析】解：，， ， ∴ = ． 【点睛】本题主要考查了化简二次根式，解题的关键是掌握二次根式的运算法则和性质．． 30．化简以下二次根式： (1)； (2)； (3)（）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式性质进行的化简即可得解； （2）根据二次根式性质进行的化简即可得解； （3）根据二次根式性质进行的化简即可得解． 【解析】（1）解：； （2）解：由二次根式非负性得， ∴， ∴； （3）解：由二次根式非负性得，又， ∴， ∴． 【点睛】本题考查二次根式的性质和化简，掌握被开方数化为因式积的形式，正确开方化简是解题关键． 31．化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式性质进行的化简即可得解； （2）根据二次根式性质进行的化简即可得解； （3）根据二次根式性质进行的化简即可得解． 【解析】（1）解：∵， ， ∴， ∴原式=； （2）解：由二次根式非负性，即有，可得， 原式=； （3）解：原式=． 【点睛】考查二次根式的性质和化简，掌握被开方数化为因式积的形式，正确开方化简是解题关键． 32．实数a在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)化简：_______；______． (2)若最简二次根式与是同类二次根式，求a的值． 【答案】(1)， (2)． 【分析】本题主要考查最简二次根 及二次根式的化简，数轴，解答的关键是对相应的知识的掌握． （1）由数轴可得，再根据二次根式的性质进行求解即可； （2）根据最简二次根式和同类二次根式的定义列方程求解即可． 【解析】（1）由数轴得：， ， ． 故答案为：，； （2） 解：最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得：（不合题意，舍去）或． ∴ 33．如果最简二次根式与能进行合并，且化简：． 【答案】4 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，二次根式的化简，二次根式有意义的条件，先根据最简二次根式与能进行合并得出，求出，再根据当时，，不符合题意，得出，根据，将进行化简即可． 【解析】解：由题意，得， 解得． 当时，， ， ， ， 原式． 34．当时，求的值，如图是小亮和小芳的解答过程：    (1) 的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质： ； (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2)当时， (3)2 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质分析即可； （2）根据二次根式的性质分析即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可． 【解析】（1）解：∵， ∴，， ∴ ， 当时， 原式， ∴小亮的解法是错误的． 故答案为：小亮； （2）错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：当时，． 故答案为：当时，； （3）， ． 原式． 35．先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，使得，那么便有：． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，由于即，； ． 由上述例题的方法化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，读懂阅读材料中的方法是解题的关键．先将原式变形，再由，，仿照阅读材料中的方法计算即可． 【解析】解：，这里， 由于，， ∴， ∴ ． 36．【阅读理解】 在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件为，解得， ∴， ∴原式． 【启发应用】 (1)按照上面的解法，试化简：； (2)已知a、b、c为的三边长，化简：． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，三角形的三边关系： （1）要使有意义，其被开方数应大于或等于0，求出的取值范围，再根据二次根式的性质化简即可； （2）根据三角形三边关系及二次根式的性质可得答案． 【解析】（1）解：隐含条件为，得， ∴． ∴原式； （2）解：∵a，b，c为的三边长， ∴， ∴， ∴ ． 37．阅读理解题如图，数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点表示的数是其他两个点表示的数的和，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别是，3，，此时A就是B与C的“关联点”． (1)若点B表示的数是，点C表示的数是2，点B表示的数的相反数是点表示的数，则与C的关联点表示的数是__________； (2)若点A表示的数是，点B表示的数是，其中B是A与C的关联点，则点C表示的数是__________； (3)若点A表示的数是，点P表示的数是点B表示的数的倍，若在A，B，P中，有一个点恰好是其他两个点的“关联点”，求点P表示的数是多少？ 【答案】(1) (2) (3)点P表示的数是或6或 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式的性质，新定义运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握“关联点”的定义． （1）先求出表示的数是，然后根据“关联点”的定义进行求解即可； （2）先求出点A表示的数是，点B表示的数是，然后根据“关联点”的定义进行求解即可； （3）分三种情况进行讨论：当点P是A与B的关联点时，当点A是P与B的关联点时，当点B是A与P的关联点时，分别列出方程进行求解即可． 【解析】（1）解：∵的相反数是， ∴表示的数是， ∵是与C的“关联点”， ∴表示的数是． （2）解：∵点A表示的数是，点B表示的数是， ∴点A表示的数是，点B表示的数是， ∵B是A与C的关联点， ∴点C表示的数是． （3）解：点A表示的数是， 设点B表示的数是x，则点P表示的数是， 分三种情况∶①当点P是A与B的关联点时，则： ， 解得：， ∴； ② 当点A是P与B的关联点时，则： ， 解得：，； ③ 当点B是A与P的关联点时，则， 解得， 综上所述，点P表示的数是或6或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$